LISTA DE EXERCÍCIOS 2

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LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
 
Problemas de Equação do 2 grau 
 
1) A soma dos quadrados de dois números reais é 40, e a razão entre eles é 1. Determine-os. 
 . 
. 
 
2) A soma de dois números positivos é 9, e a diferença entre seus quadrados é 45. Quais são 
esses números? 
{x+y=9 
{x²-y²=45 
 
Isoy, agora y=9-x. 
2ªequação: 
 
x²-(9-x)²=45 
x²-81+18x-x²=45 
18x=45+81 
18x=126 
x=7 
 
x=7 e y=9-x, 
logo: 
 
x=9-7 
y=2 
 
x = 2 
 
3) A diferença entre dois números reais é 3. A soma do quadrado do maior com o triplo do menor 
é igual a 19. Calcular esses dois números. (X > y). 
Temos duas equações x-y=3 e x²+3y=19: 
x-y=3 
x²+3y=19 
determinando o valor de y: 
x-y=3 
-y=3-x (-1) 
y=-3+x 
 substituindo y na 2º equação: 
x²+3(-3+x)=19 
x²-9+3x=19 
Organizando a equação: 
x²+3x-9-19=0 
x²+3x-28=0 
Δ = b2 - 4.a.c 
Δ = 32 - 4 . 1 . -28 
Δ = 9 - 4. 1 . -28 
Δ = 121 
x' = (-3 + √121)/2.1 
x' = 8 / 2 
x' = 4 
x'' = (-3 - √121)/2.1 
x'' = -14 / 2 
x'' = -7 
Logo x são 4 e -7, 
Na função 2º grau existe dois valores. Achando y agora. 
y'=-3+4 
y'=1 
y''=-3-7 
y''=-10 
؞ valores de x são 4 e -7 e os valores de y são 1 e -10. 
 
4) A soma de dois números naturais é igual a 13. Sabe-se, também, que a soma dos seus 
quadrados é 97. Calcule os dois números. 
x+y=13x=13-y 
x²+y²=97 
(13-y)²+y²=97 
(169-26y+y²)+y²-97=0 
2y²-26y+72=0 
Δ=(-26)²-4x2x72 
Δ=676-576 
Δ=100 
y=(26+ou-10)/4 
yi=9 
yii=4 
 
xi=13-9 
xi=4 
 
xii=13-4 
xii=9 
S = {4, 9} 
5) Sejam dois números naturais tais que o maior deles é igual ao quadrado do menor, mais 2. 
Sabendo que a soma desses números é 32, determine-os. 
5x5=25 
25+2=27 
27 + 5 = 32 
6) Dividindo um número natural por outro número natural, obtemos 2 como quociente. 
Sabendo que a soma dos quadrados desses números é 125, determine os dois números. 
Temos então que: 
 
x/y = 2 
x²+ y² = 125 
 
Substituição: 
 
Passo1: isolar o x 
 
x/y = 2 
x = 2y 
 
Passo2: substituir o x na segunda equação 
 
x² + y² = 125 
(2y)² + y² = 125 
4y² + y² = 125 
5y² = 125 
y²= 125/5 
y² = 25 
y = +/- √25 
y = +/- 5 
y = 5 
 
Passo 3: 
Voltar na equação isolada 
 
x = 2y 
x = 2.5 
x = 10 
 
Logo os números são: 10 e 5. 
 
7) Um fazendeiro, percorrendo com um jipe toda a divisa (perímetro) de sua fazenda de forma 
retangular, perfaz 26 km. Se a área ocupada pela fazenda é de 40 km2, quais são as dimensões 
dessa fazenda? 
Perimetro = 26km 
 
Area = 40 km² 
 
Dimensões: (medidas do comprimento e Largura) 
FAZENDA FORMA RETANGULAR 
 
O PERIMETRO A AREA 
 
 
P = c + L + c + L A = comprimento x Largura 
P = 2c + 2L A = c x L 
P = 26 km A = 40 km² 
 
2c + 2L = 26km c x L = 40 km 
 
RESOLVENDO 
EQUAÇÃO LINEAR com dua variaveis 
{ 2c + 2L = 26 
{ cxL = 40 
 
 
2c + 2L = 26 
2c = 26 - 2L 
c = 26 - 2L/2 
 
 26 - 2L : 2 13 - L 
c = 2 : 2 1 
 
c = 13 - L (substituindo (c)) 
 
cxL = 40 
(13 - L)L = 40 distributiva 
 
13L - L² = 40 
13L - L² - 40 = 
 
-L² + 13L - 40 = 0 equação do 2º grau 
 
a = -1 
b = 13 
c = - 40 
Δ = b² - 4ac 
Δ = (13)² - 4(-1)(-40) 
Δ = 169 - 160 
Δ = 9 =√Δ = 3 =>√9 = 3 
 
se 
Δ> 0 
(baskara) 
 
L = - b - + √Δ/2a 
 
L' = -13 - √9/2(-1) 
L' = - 13 - 3/-2 
L' = -16/-2 
L' = + 16/2 
L' = 8 
e 
 
L" = - 13 + √9/2(-1) 
L" = -13 + 3/-2 
L" = - 10/-2 
L" = + 10/2 
L" = 5 
 
V = { 8;5} 
AS DIMENSÕES DA FAZENDA 
 
comprimento = 8 km 
Largura = 5 km 
 
PORQUE 
 
SE 
CONTORNO(perimetro) = 26 km 
P = C + L + c+ l 
p = 8+5+8+5 
P = 16 + 10 
P = 26 km (é o contorno) 
e 
A = 40km² 
 
A = (8km)(5km) 
A = 40 km² 
 
8) A soma do quadrado de dois números é igual a 53. Sabendo que o produto desses dois 
números é igual a 14. Quais são esses números naturais? 
x-y=5 
x²+y²=53 
5²=x²+y²-2xy 
25=53-2xy 
25-53=-2xy 
-28=-2xy=>14=xy 
O produto dos dois números é 14. 
10) O dobro de um número somado com outro número é igual a 3, e também a soma do 
quadrado desses números é igual a 5. Quais são esses números? 
 2x2 -1=4 e 2^2 +(-1)^2 =5 
 
 
 
11) Um laboratório embalou 156 comprimidos de analgésico em duas caixas, uma com duas 
cartelas de x comprimidos cada e outra com quatro cartelas de y comprimidos cada. Sabendo-
se que y é o quadrado de x, quantos comprimidos havia em cada cartela? 
2x +4 y = 156 
Y=x² 
2x+4x² =156 
2x²+x-78=0 
Δ=1+624=625 
√Δ=25 
X=-1+25 x=6 
 4 
Y=6² = 36 
 
12) O perímetro de um retângulo é 20 m, e sua área é 24 m2. Dessa forma, podemos afirmar que 
as dimensões desse retângulo são: 
2x + 2y 
2x + 2y = 20 
 
área do retângulo é base X altura, x.y 
 
Iguala a área dada 
 
x.y=24 
 
sistema 
2x + 2y =20 
x.y=24 
 
 2x + 2y = 20 
 x + y = 10 
 x = 10 - y 
 
(10-y).y=24 
10y - y²=24 
-y² +10y -24=0 
 
Δ = 100 -4(-1)(-24) = 100 - 96 = 4 
√Δ = + - 2 
 
y=-10 + 2 /-2 = -8/-2 = 4 
ou 
y=-10 -2/-2 = 6 
 
se y = 4 x = 6 
se y=6 x=4 
 
14) São dados dois números inteiros x e y tais que x está para y assim como 1 está para 2. Se ao 
quadrado do número x acrescentar o número y, vamos obter 35. Determine os números x e y. 
x²+y=35⇔ 
(y/2)²+y=35 
y²/4+y=35 
y²/4+y-35=0 
y=10ouy=-14 
 
Cálculoauxiliar: 
 
y = (- 1 ± √ [ 1 - 4 x 0,25 x ( - 35 ) ] ) 
 2 x 0,25 
 y = ( - 1 ± √ 36 ) 
 0,5 
y = (-1+6) ou x = ( - 1 - 6 ) 
 0,5 0,5 
y=10 
ou 
y=-14 
 
P/y=10,x=5 
P/y=-14,x=-7 
 
Comprovação: 
 
P/y=10,5²+10=35 
 25+10=35 
P/ y=- 14, (-7)² - 14 = 35 
 49 - 14 = 35 
 35 = 35 
 
15) São dados dois números naturais. Sabe-se que a diferença entre eles é 3 e que o seu produto 
é 40. Determine esses números. 
 x - y = 3 
 x.y = 40 
 x = 3 + y 
 
substitui: 
(3 + y).y = 40 
y² + 3y = 40 
y² + 3y - 40 = 0 
baskara 
y' = 5 
y" = -8 
 
x = 3 + 5 
x = 8 
 
Resp: 5 e 8