CADERNO DO FUTURO - 6 ano - ALUNO

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Caderno do Futuro A evolução do caderno EDIÇÃO REFORMULADA MATEMÁTICA naturais Operações com números naturais ano Potenciação e radiciação Múltiplos e divisores ENSINO FUNDAMENTAL Frações decimais Geometria Medidas IBEPSUMÁRIO CAPÍTULO 1 NÚMEROS NATURAIS CAPÍTULO 5 FRAÇÕES 1. Sequências 4 1. A ideia de fração e sua representação 68 2. Conjunto dos números naturais (N) 6 2. Tipos de frações 70 3. Sucessor e antecessor 6 3. Frações equivalentes 73 4. Relação de ordem 8 4. Simplificação de frações 74 5. Representação de um número natural 5. Comparação de frações 75 na reta numérica 8 6. Adição e subtração de frações 76 6. Sistema de numeração decimal 10 7. Multiplicação, divisão e potenciação de frações 78 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 8. Expressões fracionárias 81 COM NÚMEROS NATURAIS 9. Problemas com frações 82 1. Adição 14 CAPÍTULO 6 NÚMEROS DECIMAIS 2. Subtração 18 3. Multiplicação 24 1. Frações decimais 87 4. Divisão 31 2. Operações com números decimais 91 5. Expressões numéricas 35 3. Dízimas periódicas 97 CAPÍTULO 3 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO CAPÍTULO 7 NOÇÕES DE GEOMETRIA 1. Potenciação 1. Curvas abertas e curvas fechadas 37 101 2. Radiciação 42 2. Ponto, reta, plano 103 3. Reta, segmento de reta e semirreta 104 CAPÍTULO 4 MÚLTIPLOS E DIVISORES 4. Perímetro 105 DE NÚMEROS NATURAIS 5. Área 106 1. Múltiplos 46 CAPÍTULO 8 MEDIDAS 2. Divisores 48 3. Critérios de divisibilidade 49 1. Medidas de comprimento 111 4. Números primos 53 2. Noção de área 113 5. Máximo divisor comum (mdc) 57 3. Volume, capacidade e massa 115 6. Mínimo múltiplo comum (mmc) 64 4. Medidas de massa 118CAPÍTULO 1 - NÚMEROS NATURAIS 1. Sequências Sequência é uma lista ordenada de números ou figuras, em que há um padrão que indica como os elementos vão se suceder. Exemplos Sequência dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... Sequência dos números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... Sequência das estações do ano: Primavera, verão, outono, inverno, primavera, verão, outono, ... Sequência dos meses do ano: Janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro, janeiro, fevereiro, ... Esta é uma sequência de figuras. 1. Descubra qual é O próximo elemento de cada sequência. a) b) c) d) 4e) f) g) h) i) j) 2. Complete as lacunas das sequências numéricas a seguir. 67 10 b) 5 10 25 35 40 50 11 13 19 d) 2 68 12 16 18 52. Conjunto dos números naturais (N) 0 conjunto formado pelos elementos {0,1,2,3,4,5,...} é chamado de conjunto dos números naturais, e é representado pela letra N. N = {0,1,2,3,4,5...} N* representa conjunto dos números naturais não nulos, ou seja, sem número zero. N* = {1,2,3,4,5,...} 3. Complete as sentenças. a) N = conjunto dos números b) N* = conjunto dos números naturais sem c) O número 25 pertence ao conjunto dos números 3. Sucessor e antecessor Sucessor Todo número natural tem um número que vem depois dele, chamado de sucessor. Exemplos: 0 sucessor de 5 é 6. sucessor de 9 é 10. 0 sucessor de 17 é 18. Note que sucessor de um número natural n é dado por n + 1. Antecessor Com exceção do zero, todo número natural também tem um número que vem antes dele, chamado de antecessor. Exemplos: 0 antecessor de 6 é 5. 0 antecessor de 14 é 13. antecessor de 19 é 18. Note que antecessor de um número natural n é dado por n - 1. 4. Complete as sentenças. a) Todo número natural tem um b) zero não é de nenhum número natural. 6c) O sucessor de = 6. As letras apresentadas nesta atividade representam números naturais. Complete d) O sucessor de + = as sentenças com valor que cada letra e) sucessor de 0 é + = representa. a) Se a é O sucessor de 7, então a = f) O sucessor de b) Se sucessor de 25, então b = g) sucessor de c) Se é sucessor de então n = h) Todo número natural, com exceção do zero, tem um d) Se X é antecessor de 5, então X = i) O antecessor de 26 é 26 1 = e) Se m é O antecessor de 9, então m = j) O antecessor de 88 é 88 = f) Se péo sucessor de = 10, então k) O antecessor de é 40 1 = 39. p = O antecessor de é 100 1= g) Seséo sucessor de então 5. Escreva V (verdadeiro) ou F (falso). S = a) O conjunto Né infinito. h) Se i é O antecessor de jej=20, então b) O zero pertence ao conjunto i = c) O zero é O menor número natural. i) Se p é O antecessor de então p = d) sucessor do número O 10. j) Sebéo sucessor de (a + b) = 15, e) O antecessor de 4 é número 3. então OS números a e b valem e f) O antecessor do 0 é número 1. g) O zero não possui antecessor. 74. Relação de ordem i) 10 é diferente de 3 + y: j) X + igual a 3: A passagem de uma sentença da linguagem comum (escrita) para a linguagem matemática pode ser feita de acordo com os exemplos: 8. Complete com símbolos > (maior) 7 é maior que 2 (linguagem comum) ou 2 (linguagem matemática) a) 15 12 2 é menor que 9 (linguagem comum)b) Na reta numérica abaixo, O valor de k é e O valor de 012345k7p910 10. Complete as sentenças com as seguintes palavras: antecessor sucessor maior menor a) Na reta numérica, qualquer número é do que aquele que está à sua direita. b) Na reta numerada, qualquer número a partir do 1 é do que aquele que está à sua esquerda. c) Na reta numérica, O número à direita de outro é seu d) Na reta numérica, O número à esquerda de outro é seu 96. Sistema de numeração decimal No sistema de numeração decimal, os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são utilizados para representar qualquer quantidade. Por exemplo: Nesse sistema, a ordem de qualquer algarismo situado à esquerda de outro tem um valor dez vezes maior. Ordens e classe As casas das unidades, dezenas e centenas chamam-se ordens, e a cada três ordens, da direita para a esquerda, tem-se uma classe, como mostra quadro. Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades 9a ordem ordem ordem ordem ordem ordem ordem ordem ordem C D U C D U C D U 4 5 7 2 1 4 2 3 11. Complete: a) 7 0 9 3 a) 23 = 20 + b) 78 = +8 c) 127 = +7 d) e) = + + f) b)345679 12. Escreva as ordens, conforme exemplo: 3 7 2 9 ordem ordem ordem ordem 1013. O número 925.427.632 lê-se: 15. Escreva números abaixo na novecentos e vinte e linguagem comum. milhões, quatrocentos e a) 3 042: mil e seiscentas e trinta e duas unidades. 14. Em 8.726: b) 15 789: 06 ocupa a ordem e a classe das 02 ocupa a ea c) 752 520: classe das 07 ocupa a ea classe das d) 08 ocupa a ea classe dos O número 8.726 lê-se: e) 5 732 856 791: 11Valor absoluto e valor relativo 17. Complete as lacunas. de um número a) Em 1 468 algarismo que ocupa a ordem é Valor absoluto de um algarismo não depende da sua posição no número, é valor que ele representa quando considerado sozinho. b) Em 13 456 a ordem do algarismo 4 tem Valor relativo de um algarismo valor dez vezes maior do que a ordem do depende da sua posição no número, algarismo é valor que representa conforme a sua posição. Corresponde a seu valor posicional. c) Em 68 315 a ordem do algarismo 8 tem valor dez vezes menor do que a ordem do 16. No número 758 319, temos: algarismo a) O valor absoluto do algarismo b) valor relativo do algarismo d) Em 8 365 algarismo que tem valor absoluto igual ao valor relativo é O c) valor absoluto do algarismo d) valor relativo do algarismo é 9. 18. No número a) O valor relativo de 7 é e) O valor relativo do algarismo é 8 000. f) valor do algarismo b) valor relativo de 7 é 700 c) O valor relativo de g) valor do algarismo 3 é 300. d) valor absoluto do algarismo 7 é h) O valor relativo do algarismo e) valor do algarismo 4 é 400. 1219. Observe O exemplo: = + 800 + 0 + 2 Decomponha OS seguintes números: 20151 130789 990 009 1151000 9001 13CAPÍTULO 2 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS 1. Adição c) Em a + b = C, a operação chama-se e resultado é Ideias associadas à adição: juntar chamado de quantidades e acrescentar uma quantidade a outra. Seus elementos são chamados de soma e d) Em 5 + 8 = , número é parcela. chamado soma e a operação chama-se 5 parcela + 4 parcela 9 soma e) Em 7 + = 10, a operação chama-se 1. Na operação responda: a) Qual é O nome da operação? f) Em 4 7 = as parcelas são b) Como se chamam números números e número e a operação chama-se c) Como se chama O resultado da operação indicada pelo sinal adição? 3. Complete as lacunas com O número que 2. Complete as sentenças. torna as igualdades verdadeiras. a) Na operação 9+1 = números a) = e chamam-se e b) 5 + =8 número 10 chama-se c) b) Na operação 10+3= números e chamam-se e d) 15+5= chama-se soma. f) 19 + = 29 14g) 12 + 33 = e) Adição é nome da operação. h) 36 + = 50 f) O sinal que indica a adição é i) 15 + = 30 Propriedades da adição j) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma. k) 0+ =5 Elemento neutro: zero é elemento I) 12 + = 17 neutro da adição. Exemplo: 5+0=5 Associativa: Na adição de três ou mais m) 38 + = 50 números naturais, pode-se associar suas parcelas que resultado não se alterará. n) 50 + = 100 Exemplo: (4 + 2) + 1 = 4 + (2 + 1) Fechamento: Na adição de dois ou mais números naturais valor da soma será 60 + = 90 sempre um número natural. p) 99 + = 100 5. Complete as sentenças abaixo. a) A ordem das parcelas não altera a 4. Para a igualdade determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). b) Na adição de números naturais valem as propriedades associativa, a) Os números 5 e 4 são chamados de de fechamento e de elemento neutro. parcelas. c) O zero somado a um número não b) O número chamado de adição. esse c) O número 9 chama-se soma. número. d) A operação chama-se soma. d) Na adição zero é O elemento 156. Complete as sentenças abaixo de modo 8. Com base na propriedade associativa da que as igualdades sejam verdadeiras. adição, complete as igualdades. a) 12+9 d) 8 + (9 + = e) e) )+ f) = + ) + C 7. Com base na propriedade comutativa da + ) adição, complete as igualdades. + ) + a) = 9. Indique com C a propriedade comutativa, com A a propriedade associativa, com E c) 10+3= + a propriedade de elemento neutro e com d) = + Fa propriedade de fechamento. e) 2+8 = + a) Na adição de três números naturais, podemos agrupar as duas primeiras ou f) 4 + as duas últimas parcelas. g) 3 + = a+ b) O zero adicionado a um número em qualquer ordem não altera esse número. 16c) A ordem das parcelas não altera a d) Em se adicionarmos 2 a uma soma. das parcelas e 3 a outra, valor da nova soma será igual a d) Na adição de cinco números naturais O valor da soma será um número natural. e) O elemento neutro da adição é O número 10. As letras nesta atividade representam números naturais. Complete com valor de cada letra. 12. Complete as adições. a) Se então valor de X é a) 473 3 82 + 2 7 1 0 3 3 b) Se 5+9=a, então O valor de a é b) 8 3 + 5 2 11. Complete as lacunas das sentenças. 18255 c) a) Na igualdade 3 + 7 = 10, O número 10 é 9 3 1 9 + 978 7 chamado de 1 9 5 1 0 6 1 1 b) Na igualdade 3+5=5+3, foi aplicada a d) 6 3 8 3 propriedade 1719552 . c) Em se adicionarmos 2 a uma e) 37 das parcelas, valor da nova soma 8 + 45 será igual a 2 185 f) 632 + 4 85 11006 172. Subtração g) 9 1 8 + 8 3 4 7 1 9 5 5 3 0 8 Ideias associadas à subtração: tirar uma quantidade de outra, comparar quantidades e completar quantidades. h) 5 2 7 É a operação inversa da adição. Seus + 792 elementos são chamados minuendo, 1 0 9 2 1 0 subtraendo e diferença. 10 minuendo i) 3781 6 subtraendo + 1 3 4 diferença ou resto 5 6 2 0 13. Na operação responda: j) 6 3 a) Qual é O nome da operação? + 586 1 0 3 1 8 k) 8 3 b) Como é chamado O número 17? 3 + 7 8 5 1943 c) Como é chamado número 6? I) 3 7 8 + 2 8 5 5 6 5 7 7 d) Como é chamado O resultado da operação de subtração? m) 1 2 3 + 8 7 5 3 4 0 0 14. Complete as lacunas com número ou O sinal que torna as igualdades n) 63 10 verdadeiras. + 23 1 4 5 4 8 3 a) 22 12 = b) 35 =15 18c) 57 16. Para a igualdade determine se as afirmações abaixo são d) 3 - 3 = verdadeiras (V) ou falsas (F). e) 40 = 4 a) Os números 5 e 4 são chamados de subtração. f) 20 17 = 3 b) número chamado de diferença. g) 15 14 = c) O número 5 chama-se minuendo. h) d) A operação chama-se adição. 15. Complete as sentenças. a) Em 15 2 = 13, O número é e) Subtração é O nome da operação. chamado de minuendo, número de f) sinal que indica a subtração é subtraendo é a diferença. g) O número chamado de subtraendo. b) Na subtração -3=9, número chamado de O eo9éa 17. Associe a coluna da esquerda com a coluna da direita. c) Em 10 8 = O eo2éa a) parcelas e soma subtração d) Na operação 8-3 = diferença, eo b) minuendo, subtraendo adição é O subtraendo. e diferença e) Em a operação chama-se e resultado chama-se 1918. Complete as sentenças. Apresente g) Dois números somam 30 e um deles é 8. a conta ou descreva O raciocínio que Então, O valor do outro corresponde ao você utilizou: número a) Numa subtração, subtraendo é 7 e a h) Três números somam 80. Dois entre eles diferença é 10. Então, O minuendo é somam 52 e um desses é 18. Então, OS número números são: b) A diferença entre dois números é 1 e O minuendo é 9. Então, subtraendo número i) De um rolo de corda de 40 m, foram c) Se a diferença é zero e O subtraendo é utilizados na primeira vez 6 m e na 10, então minuendo é O número segunda vez 10 m a mais que na primeira. Então restam m. d) Se O minuendo é 180 e subtraendo é 10, O valor da diferença é e) A diferença é 7 e O subtraendo é 9. j) Três irmãos recebem mensalmente a Então, valor do minuendo é seguinte quantia: primeiro R$ 6000,00, segundo R$ 1000,00 a mais que O f) Se minuendo, O subtraendo e a primeiro e terceiro R$ 2000,00 a mais diferença são iguais, O valor dos três que segundo. Então, OS três juntos corresponde ao número recebem mensalmente 20Propriedades da subtração f) g) Se 3) # 7 2), então, na Comutativa: A propriedade comutativa não é válida na subtração, pois a ordem subtração não vale a propriedade dos seus elementos altera resultado. - Associativa: Na subtração não vale a propriedade associativa, pois ao associar h) A subtração não possui as propriedades: seus elementos de maneiras distintas resultado se altera. comutativa, Exemplo: de fechamento e de Fechamento: A subtração de dois números naturais nem sempre resulta um número natural, ou seja, a subtração não é fechada para os naturais. Exemplo: resultado de 7 10 não 20. Determine se as afirmações abaixo são pertence ao conjunto dos números naturais. Elemento neutro: Na subtração não verdadeiras (V) ou falsas (F). existe elemento neutro. a) Na subtração vale a propriedade associativa. 19. Complete as lacunas de modo que as b) Na subtração não vale a propriedade igualdades sejam verdadeiras. comutativa. a) 7 2 = c) O zero é O elemento neutro da subtração. b) então, na subtração não vale a propriedade d) igual a0-5. c) 8-0= e) Na subtração vale a propriedade de fechamento. d) Se então, a subtração não possui elemento f) A subtração não possui elemento neutro. e) 2121. Complete as subtrações. h) a) - 3002 4532 1999 - 1230 i) 1802 - b) 97819 1099 - 73214 j) 13214 c) - 3782 - 1984 5341 d) 9800 k) - - 5789 2421 589 e) 73245 - 60684 I) 3204 - 203 f) - 5391 929 m) 17821 - 10512 g) 63103 09904 2222. Nestas subtrações, cada letra b) representa um mesmo número natural. Determine valores de A, B, C em c) 10 (7 + 1) = cada item. a) AAA d) 11 + 3 = 137 b) e) (20 1) + (13 3) = - B3A 150 = c) ABC 213 g) 1 + [3 + (4 1)] = 23. Observe OS exemplos e resolva as expressões a seguir. h) 3 [5 (3 + 2)] = Exemplo A: 50 + 2 - 10 = = 52 10 = 42 Exemplo B: Exemplo C: 5 + {10 + [13 - (8 + 5 + {10 + [13 10]} j) 2 + [8 (5 + 1) + 3] = 5 + {10 + 3} 5 + 13 = 18 a) = 233. Multiplicação A operação de multiplicação consiste em uma adição de parcelas iguais. Seus elementos são chamados de multiplicador, multiplicando e produto. 6 vezes 6 multiplicando multiplicador n) 18 produto 24. Na operação 4 X 28, responda: a) Como é chamado O número 4? = b) Como é chamado O número 7? c) Como é chamado número 28? = 25. Complete as sentenças com as palavras do quadro abaixo. multiplicador multiplicando produto multiplicação a) Na multiplicação OS números 3 e 7 são chamados de multiplicando e e O 28 é chamado de 24b) Em 5 3 = 15, OS números 5 e 3 são chamados de e Para obter resultado da multiplicação de 6912 por 9 basta multiplicar multiplicador, e O número número 9 por cada algarismo que forma número 6912. 6912 c) Em 10.2=20,a operação chama-se 9 62208 d) Em 8 3 = 24 números 8 e 3 são 27. Desenvolva as multiplicações a seguir. chamados multiplicando e a) 4372 eo número X 2 26. Complete quadro a seguir. 0 0 0 0 0 0 0 b) 1234 X 2 5 1 0 1 5 9 2 0 2 14 3 0 3 4 0 4 20 36 5 0 5 25 c) 9123 X 7 4 6 0 6 30 7 0 7 63 8 0 8 9 0 9 2529. Para a igualdade d) 20156 X 8 determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) 7 é O minuendo e 4 O subtraendo. b) O número 4 é O multiplicador. e) 82346 c) O número 28 é a diferença. X 1 2 7 d) A operação chama-se diferença. e) A operação chama-se multiplicação. f) O número 7 é multiplicando. g) número 28 é produto. 28. Associe elementos apresentados na coluna da esquerda com sua respectiva operação, apresentada na coluna da direita. a) parcelas e soma adição b) minuendo e subtraendo multiplicação c) produto e multiplicador subtração 26Propriedades da multiplicação g) 7.2 = h) =4.3 Comutativa: Na multiplicação de dois ou mais números naturais, a ordem dos fatores não altera produto. 31. De acordo com a propriedade Exemplo: 3.2=2.3 Elemento neutro: 0 número 1 é associativa da multiplicação, complete elemento neutro da multiplicação. Exemplo: as lacunas de modo que as igualdades Associativa: Na multiplicação de três se tornem verdadeiras. ou mais números naturais, pode-se associá-los de modos diferentes, que a) 3 (4 8) = (3 )8 resultado não se altera. Exemplo: (4 2) 1 4 (2 1) b) 5 9) = (5 ) Distributiva: 3 (2 + 5) 3 2 + 3 5 = 6 + 15 = 21 c) 8 (2 1) = (8 ) Fechamento: Na multiplicação de dois ou mais números naturais produto será sempre um número natural. d) 6 (5 3) = (6 ) e) a (b ) = ) 30. De acordo com a propriedade comutativa da multiplicação, complete f) 9 (a n) = a) as lacunas abaixo de modo que as ) igualdades tornem-se verdadeiras: a) 3.2=2 h) m (n p) = ) b) 7 8 = 7 32. De acordo com a propriedade c) 4 5 = distributiva da multiplicação, complete as lacunas de modo que as igualdades d) a b = se tornem verdadeiras. e) 8 = 9 +5.2 f) 5 a = b) 9 + 3) = 9 +9. 27c) 4 (8 + 3) = .8+ 3 b) Quanto devo acrescentar ao 12 para obter um resultado igual ao produto de d) 3 (2 + 7) = + 5 X 12? e) 5 (a + b) = 5 a + 5 33. Quanto aumenta ou diminui O valor do produto 35 X 82 se: c) Sabendo que uma caixa de leite contém a) Acrescentarmos 1 ao 35? 12 unidades, quantas caixas devo comprar para obter 60 unidades? b) Acrescentarmos 2 ao 35? c) Acrescentarmos 3 ao 82? 35. Neste exercício, as letras representam números naturais. Complete as lacunas d) Subtrairmos 1 do 35? de modo que as sentenças sejam verdadeiras. e) Subtrairmos 1 do 82? a) Em k b = b k, a propriedade da multiplicação aplicada é a 34. Apresente a solução dos problemas a seguir e explique procedimentos que você utilizou. b) Em uma multiplicação com dois números a) Quero multiplicar 25 por 3. Quanto devo naturais, se um deles é 0, valor do acrescentar ao 25 para obter mesmo produto sempre será resultado? c) O elemento neutro da multiplicação é número d) Se 3 então valor de X é e) Se 5 então valor de X é . 28f) Se X 2 = 10, então O valor de X é . j) O quádruplo de 4 5 ou g) Na expressão k) O quádruplo de 2 é . ou aplicada a propriedade O quádruplo de X é h) O resultado da expressão m) O dobro de aé é n) O triplo de bé i) A expressão 5 (a + b) é equivalente à expressão 5a + O quádruplo de C é Problemas com números naturais 37. Associe a coluna da esquerda com a 36. triplo de ou 12. da direita. A partir desse exemplo, complete as lacunas a) O dobro de um número. 3x das sentenças a seguir (as letras a tividade b) O triplo de um número. 2x representam números naturais). c) O quádruplo de um número. a) O dobro de ou d) Um número mais 4x cinco unidades. b) O dobro de 5 é . ou 10. c) O dobro de ou Na linguagem comum dizemos, por exemplo, que dobro de um número mais três unidades é igual a treze. Já na d) dobro de . ou linguagem matemática, podemos escrever essa mesma afirmação da seguinte forma: e) O dobro de f) O triplo de . ou 38. Passe da linguagem comum para a linguagem matemática. g) O triplo de 4 é ou 12. a) O triplo de um número mais duas h) O triplo de ou . unidades é igual a 11. i) O triplo de X é . 29b) dobro de um número mais sete Cálculo de um número desconhecido unidades é igual a 17. dobro de um número é igual a 10. Que número é esse? Na linguagem matemática podemos escrever essa sentença da seguinte c) O dobro de um número menos cinco maneira: Se = 10, quanto vale x? Vamos determinar valor de unidades é igual a 3. 2 = 10 = Resposta: número procurado é 5. d) O quádruplo de um número mais uma unidade é igual a 9. 39. Por meio da linguagem matemática, resolva problemas. a) O dobro de um número é 24. Qual é esse e) Um número mais duas unidades é número? igual a 5. b) O triplo de um número é 15. Determine f) O dobro de um número mais O seu triplo esse número. é igual a 10. c) dobro da idade de uma pessoa é 20 g) Um décimo de 200. anos. Quantos anos ela tem? h) A sétima parte de um número mais seu d) O triplo de uma quantia é R$ 60,00. Qual triplo. é essa quantia? 30e) Qual é O número cujo dobro mais O seu Um número mais seu triplo é igual a triplo é igual a 60? 40. Qual é esse número? Em linguagem matemática: Se + = 40, qual valor de x? Vamos determinar valor de 3x + 40 4x = = 40 f) A diferença entre O triplo de um número e = Resposta: número é 10. seu dobro é 4. Determine esse número. 40. Por meio da linguagem matemática, resolva problemas. 4. Divisão a) Um número mais seu triplo é igual a 20. Qual é esse número? A divisão é a operação inversa da multiplicação. Determina quantas vezes uma quantidade está contida em outra. Os elementos da multiplicação são chamados de divisor, dividendo, b) Um número mais O seu triplo é 28. Qual quociente e resto. é esse número? dividendo 32 5 divisor resto 2 6 quociente Divisão por zero Não se define divisão de um número c) Determine um número sabendo que O por zero, ou seja, a divisão por zero é impossível. seu dobro mais O próprio número é igual a 12. 41. Na operação responda: a) Como é chamado O número 28? d) O quádruplo de um número menos O b) Como é chamado O número 4? dobro desse número é 32. Determine esse número. c) Como é chamado O número 7? 3142. Complete as sentenças, de modo que 43. Determine valor do quociente qe sejam verdadeiras. do resto r das divisões abaixo, como a) Na divisão O número mostra O exemplo. dividendo, 4 é o divisor e é 10 ÷ 7 10 7 q = 1 r = 3 3 1 O quociente. a) 8 ÷ 3 q = r = b) Em número dividendo, quociente. b) 15 ÷ 4 r= c) Em número dividendo, c) 17 ÷ 3 q = r = d) q = r = d) Em 20 ÷ 5 = O número e) 18 ÷ 7 q = r = e) Em 24 ÷ = 8, O número f) q = r = dividendo, divisor e g) 18 ÷ 4 q = r= f) Na divisão 18 ÷ número h) dividendo, O i) q = r = 32j) 13 ÷ 10 q = r = 45. Complete a tabela. Dividendo Divisor Quociente Resto 36 5 7 k) q = r = 4 7 1 12 5 2 15 ÷ 13 q = r = 72 6 12 9 7 3 10 3 1 m) 25 ÷ 21 18 7 4 2 50 0 n) 31 ÷ 30 9 4 1 13 13 0 10 10 5 44. Complete. 24 18 6 a) 17 3 -> 17=5.3+ 25 46. Complete as operações de modo que b) 18 5 18=3. + 33 as igualdades se tornem verdadeiras. a) c) 12 5 = + 22 b) d) 19 4 = . + 34 c) = e) 39 9 = . + d) ÷ 1 = 12 34 e) f) 68 7 = . + 59 f) = g) Dd = . g) 3347. Complete as divisões com 48. Com base na igualdade elementos que faltam. verifique se as afirmações são a) 40 35 verdadeiras (V) ou falsas 5 a) O número 15 é O dividendo e O b) 82 40 divisor. 2 b) Divisão é O nome da operação. c) 305 3 005 c) número 5 é a divisão. d) 5 28 d) Essa igualdade é equivalente a e) 175 2 87 e) O número quociente. f) 302 2 f) Quociente é O resultado da divisão. g) A divisão é a operação inversa da g) 7 3 2 multiplicação. h) 35 12 49. Assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. i) 482 3 a) divisor não pode ser nulo (zero). b) O dividendo não pode ser nulo (zero). j) 3004 3 c) Se divisor for 1, quociente é igual ao k) 8006 7 dividendo. d) O resultado da divisão de um número dividido por ele mesmo é sempre 1. I) 372 372 e) 34f) e) g) impossível. f) ÷ h) 6÷6=1 i) 0÷6=6 j) 5. Expressões numéricas h) Numa expressão numérica em que aparecem as quatro operações, faz-se i) primeiro as multiplicações e divisões, depois as adições e as subtrações. =5+6+5-3+4 = ÷ = 50. Determine as soluções das expressões numéricas. a) b) ÷ m) c) ÷ n) d) 3551. Complete as lacunas de modo que as 52. Complete as sentenças com sinais afirmações sejam verdadeiras. a) Em uma divisão, se O dividendo é igual a) 8 ÷ 8 4 ÷ 4 ao divisor, O valor do quociente é sempre b) 2.3 igual a c) 10 3 10.3 b) Em uma divisão, se divisor é igual a 1, d) ÷ 7.0 O valor do quociente é sempre igual ao valor do e) c) Se divisor é zero, então a divisão é f) 4 ÷ 2 g) 4.3 6.2 d) Numa divisão, se O dividendo é zero, h) 5 ÷ 5 8÷8 então O valor do quociente é i) 6.2 4-2 e) Em 8 ÷ 4, O valor do quociente é j) 8 8 7 f) Em 16 ÷ 3, O valor do resto é 36CAPÍTULO 3 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 1. Potenciação d) Em = 25, temos que X é a , A potenciação é uma operação matemática expressa por um número natural a elevado a um expoente e) Em an= b, temos que a é a e indica a multiplicação de a por ele mesmo n vezes. número a é chamado e de base, n de expoente e resultado de potência. n vezes f) Em 72 = 49, a operação chama-se Exemplo: A multiplicação pode ser expressa da seguinte maneira: e o 2, 2³ = 8, em que 2 a base, 3 expoente e 8 a potência. g) Em 81 = ea 1. Complete as sentenças com OS operação, elementos da operação de potenciação. h) Em = a, b é a e base expoente potência a) Em número 2éo i) Em = 2. Escreva as multiplicações como uma operação de potenciação. b) Em 82 = 64, número 8 é a e2éo b) c) Em = 125, número c) = d) = 37e) 10 10 x 10 x 10 = h) = i) g) 3 3 3 = j) = k) i) I) 3⁵ = j) b = m) = k) n) 10⁵ = o) = p) = 3. Sabemos que 3³ é igual 3 3 3, que por sua vez é igual a 27, ou seja, q) 6³ = 3³ = 3 3 3 = 27. Complete as r) = igualdades. a) = 2.2 = s) 112 = b) 8² = t) 10³ = c) = 4. Complete O quadro abaixo. d) = 3² 5² 10² 9 16 36 64 81 e) = f) 2³ = g) 3² = 385. Associe as operações de potenciação, Propriedades da potenciação apresentadas na coluna da esquerda, com seus resultados, apresentados na Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e adicionam-se coluna da direita. os expoentes. Exemplo: = a) 52 9 Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes (base diferente de zero). b) 2⁵ 8 Exemplo: Potência da potência: conserva-se a c) 70° 100 base e multiplicam-se os expoentes. Exemplo: Todo número elevado a zero é igual a 1. d) 32 Exemplo: 6° = 1 Produto elevado a um expoente: distribui-se expoente para cada fator e) 10 000 ou multiplicam-se os fatores e aplica-se expoente. Exemplo: = ou = 10³ f) 64 6. Determine resultado das potenciações. a) 17 = g) 4³ 25 b) = h) 31 c) = i) 1 d) 10³ e) 15¹ = j) 10⁴ 0 f) = g) 30° = h) = 39i) = 7. Com base na propriedade da multiplicação de potências de mesma j) = base, apresente uma potência k) = equivalente à multiplicação dada. I) = Exemplo: 6³ = m) 10⁴ = a) = n) = b) o) = c) 7.75 = p) d) = 3¹ = e) = r) = f) = 376° = g) b = t) = h) u) = i) = j) = k) a = y) = z) = 408. Com base na propriedade da divisão de 9. Com base na propriedade denominada potências de mesma base, apresente potência de potência, apresente uma uma potência equivalente à divisão dada. potência equivalente à potência dada. Exemplo: Exemplo: a) a) b) b) = c) c) = d) d) = e) e) = f) f) = g) h) h) i) i) = j) j) k) k) (27)3 = I) = m) n) n) 4110. Escreva as potências abaixo na 11. Complete OS itens abaixo de modo que linguagem natural, como se lê. as sentenças se tornem verdadeiras. Exemplo: lê-se: cinco ao cubo. a) 2⁵ é igual a a) b) igual a b) c) 10⁵ é igual a c) 72 d) Em número d) a⁴ e) Em 72 = 49, número 2. Radiciação e) A radiciação é a operação inversa da f) potenciação. Por exemplo, se elevarmos um número ao quadrado e depois extrairmos sua raiz g) a² quadrada, voltamos ao número inicial. Exemplo: = 5. Os elementos da operação de radiciação são: índice, radical, radicando e raiz. h) índice radical = 3 i) radicando raiz 12. Complete as lacunas das sentenças a j) seguir. a) Em = 3, número k) 5n 42b) Em = 2, número 14. Se 8²= 64, então = 8. Observando , 2éa e3 esse exemplo, complete as sentenças abaixo. a) = = 6 c) Em = 5, O número a , b) = √9 = 3 c) = = 5 d) Em = 12, temos que 12éa d) 2³ = = 2 , e) = = 2 e) Em temos que f) 3³ = 27 3/27 = g) = = e7éa h) 10²= = f) Em = 3, a operação chama-se i) 72 = 49 = 7 13. Sabemos que = 3 pois = 9. j) 5³ = 125 = 5 Observe O exemplo e complete as sentenças. k) = 81 = 3 a) = 10 poisi I) 10³= V = 10 b) = pois m) = = c) = pois n) 13 = = 1 d) 3/8 = pois 18 = V1 = e) = pois f) = pois . 4315. Complete quadros com as potências 4) A radiciação é a operação inversa da: e raízes. a) multiplicação; 1²=1 = 9 = 16 b) adição; c) potenciação; d) divisão. 5²=25 5) A raiz quadrada de 9 é: a) 81 b) 4 16. Assinale a alternativa correta. c) 18 1) Em = 5, números 25 e 5 são, d) 3 respectivamente: 6) A raiz quadrada de 100 é: a) raiz e índice; a) 50 b) radicando e raiz; b) 20 c) radicando e índice; c) 5 d) nenhuma das anteriores. d) 10 2) Quando omitimos índice da raiz, ele é: 7) A raiz quadrada de 16 é dobro de: a) 2 a) 16 b) 3 b) 8 c) 1 c) 2 d) 0 d) 4 3) Em lemos: 8) Em = 6, valor de X é: a) raiz cúbica de 16; a) 36 b) raiz quadrada de 16; b) 12 c) raiz quarta de 16; c) 18 d) nenhuma das anteriores. d) 6 449) valor de é: e) 3/8 a) 0 b) 1 c) 2 f) d) nenhuma das anteriores 10) valor de a) 0 g) 4/81 b) 1 c) 2 d) nenhuma das anteriores h) 17. Escreva como se lê. a) i) V1 b) j) c) √a k) √b d) 45CAPÍTULO 4 MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS 1. Múltiplos 2. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para determinar os múltiplos de um a) 12 é múltiplo de número natural, multiplicamos esse número por todos os números naturais. Exemplo: b) 6 não é múltiplo de 3. Vamos determinar os múltiplos de 3. N c) 18 é múltiplo de 9. d) 11 é múltiplo de 5. 1 3x 2 e) 20 é múltiplo de 1. 3 4 f) 100 não é múltiplo de 90. (e assim por diante) Representação: g) múltiplo de 3. = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...}. h) 8 é múltiplo de 8. 1. Represente conjunto formado pelos múltiplos dos números abaixo. i) O zero é múltiplo de qualquer número a) 5 natural. j) Os quatro primeiros múltiplos de 5 são: b) 4 5, 10, 15, 20. c) 1 k) Os quatro primeiros múltiplos de 4 são: d) 10 12 é múltiplo de 2, 3, 4 e 6. e) 8 463. Complete as lacunas de modo que as f) Todo número é múltiplo de 1. sentenças se tornem verdadeiras. g) O maior múltiplo de qualquer número é a) 10=2x5, então 10 é múltiplo de ele mesmo. h) Sempre existirá um maior múltiplo de b) 20 = 1 X 20, então 20 é múltiplo de qualquer número. e i) Qualquer número é múltiplo de si c) 8=2x4, então 8 é múltiplo de e mesmo. j) Os múltiplos de 2 são pares. d) 18=2x9, então 18 é múltiplo de k) Os múltiplos de 3 são ímpares. e 5. Complete as lacunas com números 1, e) 18 = 1 X 18, então 18 é múltiplo de 2,3,4,5. e a) 6 é múltiplo de 1,2, f) 18 = 3 X , então é múltiplo de e b) 8 é múltiplo de 2, g) 30 = 2 X 3 X 5, então 30 é múltiplo de c) 10 é múltiplo de 1, e , d) 5 é múltiplo de 1, 4. Determine se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). e) múltiplo de a) conjunto dos múltiplos de 7 é infinito. f) 20 é múltiplo de b) O conjunto dos múltiplos de finito. c) conjunto dos múltiplos de unitário. g) 30 é múltiplo de h) 15 é múltiplo de d) O menor múltiplo de qualquer número é zero. i) 1 é múltiplo de e) O menor múltiplo de qualquer número é j) 4 é múltiplo de ele mesmo. 472. Divisores f) 9 Como 3 4 = 12, sabemos que 12 é múltiplo de 3 e 4. g) 21 Podemos então afirmar que 12 é divisível por 3 e por 4. 12÷3=4 7. Complete as lacunas de modo que as Ou seja, 3 e 4 são divisores de 12. afirmações sejam verdadeiras. A quantidade de divisores de 12 é finita. Para encontrar os divisores de 12, a) 15 é múltiplo de 5, então 5 é divisor dividimos 12 pelos números naturais que resultam quocientes exatos. de 12 : 1 = 12 1 b) 8 é múltiplo de 2, então é 12 : 2 = 6 2 12 : 3 = 4 3 de 8. 12 4 12 : 4 = 3 6 c) 12 é múltiplo de 3, então é divisor 12 : 6 = 2 12 de 12 : 12 = 1 d) 39 é múltiplo de 13, então é Representação: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. de 6. Represente O conjunto formado pelos 8. Determine se as afirmações são divisores dos números abaixo. verdadeiras (V) ou falsas (F): a) 4 a) 4 é divisor de 20. b) 20 é divisor de 4. b) 18 c) divisor de 16. c) 20 d) divisor de 6. d) 7 e) 1 é divisor de 7. f) 7 não é divisor de 14. e) 14 g) 15 não é múltiplo de 3. 48h) 25 não é múltiplo de 5. d) 1 divisor de qualquer número natural. i) 100 não é múltiplo de 20. e) Zero divisor de j) 100 é múltiplo de 10. números naturais. 9. Assinale (V) quando as afirmações forem f) Zero múltiplo de verdadeiras ou (F) quando forem falsas. qualquer número natural. a) conjunto dos divisores de 12 é finito. b) O conjunto dos divisores de infinito. g) Todo múltiplo de 2 par. c) O conjunto dos divisores de unitário. d) O conjunto dos divisores de 7 é vazio. 3. Critérios de divisibilidade e) O menor divisor de qualquer número Um número é divisível por outro se a é o zero. divisão desse número pelo outro for f) O menor divisor de qualquer número exata, ou seja, se resto da divisão for igual a zero. Exemplo: 12 é divisível por 3, pois 12 ÷ 3 = 4. g) O maior divisor de um número diferente 12 3 de zero é ele mesmo. 0 4 resto zero h) O conjunto dos divisores de zero é vazio. 11. Complete as lacunas das sentenças. i) conjunto dos divisores de zero é a) Um número é divisível por 2 se for par, infinito. isto é, se último algarismo for 0 ou ou ou ou 10. Complete as sentenças com as palavras é ou não é. b) Um número é divisível por outro, se a a) 3 divisor de 8. divisão do mesmo pelo outro for b) 10 múltiplo de 100. c) 120 múltiplo de 12. 4912. Assinale com X números que são h) 105 divisíveis por 2. i) 3 452 a) 342 j) b) 24 k) 51 c) 2 3 d) 35 e) 8 Um número é divisível por 4 se os seus f) 10 dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4. g) 2031 h) 39 14. Verifique quais números são divisíveis i) 215 por 4 e assinale com X. j) 546 a) 420 k) 111 b) 716 c) 48 d) 500 e) 438 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos f) 3428 for divisível por 3. g) 1414 13. Assinale com X números que são h) divisíveis por 3. i) 4 832 a) 33 j) 208 b) 18 k) 1512 c) 92 I) 536 d) 232 m) 15735 e) 47 n) 16516 f) 37 20048 g) 60 50e) 702 Um número é divisível por 5 se seu f) último algarismo for igual a 0 ou 5. g) 15. Assinale com X OS números que são h) 531 divisíveis por 5. i) 999 a) 525 j) 206 b) 20 k) 6 c) I) 234 d) 280 e) 140 Um número é divisível por 8 se seus f) 44 três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8. g) 415 h) 17. Assinale com X OS números que são i) 180 divisíveis por 8. j) a) 4 000 k) b) I) c) d) 40 e) Um número é divisível por 6 se for f) divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. g) 12 16. Verifique quais números são divisíveis h) 16 por 6 e assinale com X. i) a) 36 j) b) 842 k) c) 1230 3456 d) 120 51