II Geometria Cilindro Cone R0

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UNIPROJEÇÃO – CAMPUS II
LICENCIATURA DE MATEMÁTICA
Francisco das Chagas N. de Oliveira M:201511459
Glacial – M: xxxxxxxx
Jean Oliveira B Santos – M: 201521998
Josinei Moura Santos – M: 201711814 
GEOMETRIA ESPACIAL
Cilindro e Cone
Brasília (DF)
2017
GEOMETRIA ESPACIAL
Cilindro e Cone
Pesquisa elaborada como exigência parcial para aprovação na disciplina de Geometria Espacial.
Orientador: Prof.° Cícero F. da Silva
Brasília (DF)
2017�
SUMÁRIO
41. INTRODUÇÃO	�
52. JUSTIFICATIVA	�
63. OBJETIVO	�
63.1. OBJETIVO GERAL	�
63.2. OBJETIVO ESPECÍFICO	�
74. FUNDAMENTAÇÃO	�
74.1 CONCEITO DE CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO	�
85. CILINDRO	�
85.1 DEFINIÇÕES E ELEMENTOS	�
105.2 VOLUME DO CILINDRO	�
126. CONE	�
126.1 SUPERFÍCIE CÔNICA	�
156.2 DEFINIÇÕES E ELEMENTOS	�
166.3 VOLUME DO CONE	�
17REFERÊNCIAS	�
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1. INTRODUÇÃO
A Geometria é uma das aérea do conhecimento abordado pela Matemática, são feitas comparações, análises, classificações, entre outros. Inicialmente, é o ramo do conhecimento imediato da nossa relação com o espaço e os problemas colocados por este que nos levam à construção gradativa do saber geométrico.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam a importância desse ramo da matemática que também serve de instrumento para outras áreas do conhecimento, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.
O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1997, p.39).
 Podemos dividir o estudo da geometria que se aprende na educação básica em três partes: Plana, Espacial e analítica. Sendo a Geometria Espacial alvo desta pesquisa acadêmica, onde iremos trata de duas entidades especifica o Cilindro e o Cone. 
2. JUSTIFICATIVA
Inicialmente, é válido ressaltar a que a geometria preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades dos espaços, pode contribuir significativamente para viabilizar uma educação de qualidade para toda sociedade.
Consequentemente, diante disso, a importância da formação dos educadores no avanço da qualidade do ensino e na realização e fortalecimento do aprendizado no que tange a geometria colaborando para o conhecimento básico da geometria, é fundamental para os indivíduos interagirem em seu meio, e também que esse conhecimentos compreender conceitos de geometria, suas propriedades e relações simples, os quais deveriam ser introduzidos nas séries iniciais, para que na sequência do ensino fundamental os alunos pudessem compreender de forma significativa seus fundamentos.
Estes são os princípios norteadores das atividades de pesquisa que se pretende desenvolver.
3. OBJETIVO
3.1. Objetivo geral
Capacitar para a compreensão dos teoremas relacionados à geometria e para as aplicações de propriedades do Cilindro e Cone na sua forma sólida.
Contribuir com o aprendizado e a qualificação dos docentes da Educação Básica.
3.2. Objetivo específico
Incentivar os docentes e profissionais da educação básica a refletir sobre a importância da geometria e a desenvolver práticas colegiadas que favoreçam no ambiente escolar a formar estudante no campo do desenvolvimento geométrico.
Desenvolver uma compreensão pedagógica da geometria, situada nos contextos micro e macro da escola.
4. FUNDAMENTAÇÃO
4.1 Conceito de Circunferência e Círculo
	Para o estudo do cilindro circular, convém recordarmos as fórmulas do perímetro de uma circunferência e da área de um círculo.
O perímetro de uma circunferência de raio r é igual a 2πr
Dado um ponto O de um plano, vamos marcar nesse plano os pontos que estão em uma mesma distância r de O:
A figura obtida chama-se circunferência de centro O e raio r.
Qualquer segmento determinado pelo centro e pôr um ponto da circunferência é igual ao raio.
Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência.
	
Exemplo:
Calcular o perímetro de uma circunferência de raio 5 cm.
Para r = 5cm temos:
Perímetro = 2π * 5cm = 10π cm
A área de um círculo de raio r é igual a πr²
Calcular a área de um círculo de raio 5 cm.
Para r = 5cm temos:
		Área = π * 5² cm² = 25 π cm²
5. CILINDRO
5.1 Definições e elementos
Superfície cilíndrica é toda superfície gerada por uma reta geratriz, paralela a uma reta fixa r; que se move sobre uma curva plana chamada diretriz.
Exemplos:
São superfícies cilíndricas:
Se a curva diretriz é uma reta, então a superfície cilíndrica gerada é um plano;
Se a curva diretriz é um polígono fechado contido num plano que é concorrente com a reta geratriz, então a superfície cilíndrica é uma superfície prismática ilimitada;
Se a curva diretriz é uma circunferência que está contida num plano que é concorrente com a reta geratriz, então a superfície cilíndrica gerada é uma superfície cilíndrica circular. E, ainda, se o plano que contém a circunferência é perpendicular à reta geratriz, temos uma superfície cilíndrica circular reta.
Superfície cilíndrica de rotação ou revolução é a superfície gerada pela rotação de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo) fixa, sendo g paralela e distinta de e. Considere um círculo de centro O e raio r, situado num plano α, e um segmento de reta P Q, não nulo, não paralelo e não contido em α. Chama-se cilindro circular, ou apenas, cilindro a união dos segmentos congruentes e paralelos a P Q, com extremidade nos pontos do círculo e situados num mesmo semi espaço dos determinados por α.
Bases - dois círculos congruentes c1(O’, r) e c2(O, r);
Geratrizes - segmentos com uma extremidade em c1 e a outra no ponto correspondente em c2;
Eixo - segmento OO′;
Raio - raio r dos círculos das bases
Altura - distância entre os planos das bases h;
Superfície lateral - união de todas geratrizes. A área dessa superfície é chamada área
lateral e indicada por Al; Trata-se da planificação da superfície do cilindro, conhecido também como desenvolvimento da superfície.
Superfície total - união da superfície lateral com a área dos dois círculos da base. A área dessa superfície é chamada área total e indicada por At.
Área Lateral
A área lateral de um cilindro circular reto é dada por:
Pois sua superfície lateral é um retângulo de dimensões 2.r.π.h
	
Área Total 
A área total de um cilindro circular reto é dada por:
Sendo Ab, área da base dada por:
5.2 Volume do Cilindro
	Como todo sólido geométrico, possui um volume que determina a sua capacidade. Todo cilindro possui uma base no formato de circunferência de raio r e altura h. Seu volume é dado pelo produto entre a área da base no formato circular e a medida da altura.
Consideremos um cilindro de altura h e área da base B1 = O’ e um prisma de altura h e área da base B2 = O, podemos expressar a fórmula de cálculo do Volume para Cilindro.
O Volume de um cilindro circular é dada por:
6. CONE
6.1 Superfície Cônica
Superfície Cônica sejam π um plano fixo e S um ponto pertencente ao mesmo. Considerando-se todas as retas pertencentes ao ponto S e que formam ângulo constante θ (0°<θ<90°)
	
A reta normal ao plano π que contém o ponto S é chamada eixo da superfície cônica de revolução e S é o seu vértice.Portanto as superfícies cônicas são superfícies geradas por uma reta g (geratriz) que passa por um ponto V (vértice) e percorre os pontos dado d (diretriz), com V fora de d.
 
De forma geral podemos afirmar que:
Se a diretriz é uma reta, a superfície cônica gerada é um plano, menos a reta paralela à diretriz.
Se a diretriz é um segmento de reta, a superfície cônica gerada é a reunião de dois ângulos (setores angulares) opostos pelo vértice.
Se a diretriz é uma linha poligonal fechada (polígono) cujo plano não contém o vértice (V), a superfície cônica gerada é a reunião de duas superfícies de ângulos poliédricos (superfícies poliédricas ilimitadas) oposta pelo vértice.
Se a diretriz é uma circunferência cujo não contém o vértice, a superfície cônica gerada é uma superfície gerada é uma superfície cônica circular.
Se a diretriz é uma circunferência de centro O e a reta VO é perpendicular a seu plano, a superfície cônica é uma superfície cônica circular reta.
 
Plano, menos a paralela a d por V
						
Reunião de dois ângulos opostos pelo vértice
Superfície cônica circular					Superfície cônica circular reta
	Superfície cônica de rotação ou conhecida também como de revolução é uma superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g oblíqua ao eixo e. O vértice (V) é a intersecção das retas g e e.
	Considera-se que cada ponto da geratriz (com exceção de V) descreve uma circunferência com centro no eixo e cujo plano é perpendicular ao eixo.
	A superfície cônica de revolução acima citada é dita de segunda espécie. Se a geratriz é uma semirreta (Vg), oblíqua ao eixo (e) e de origem (V) nele, temos uma superfície cônica de primeira espécie. 
6.2 Definições e elementos 
	Por definição devemos considerar um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama se cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo.
	Cone é a parte do cone ilimitado que contém o vértice quando se divide este cone pelo plano de uma secção circular, reunida com esta secção. 
Elementos:
Base: O círculo de centro O e raio r ou a secção citada acima.
Geratriz: São os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base.
Vértice: O ponto V citado acima.
Sendo r o raio da base e a altura de um cone é a distância entre o vértice e o plano da base. 
Classificamos como Superfície lateral a reunião das geratrizes, através desta área temos a área lateral e indicada por Al. Para a Superfície total, temos a reunião da superfície lateral com o círculo da base, está área é chamada de área total e é indicada por At.
Área Lateral
A área lateral de um cone é dada por:
θ = rad		ou	θ = graus
Área Total
A área total de um cone é dada por:
At = Al + B
At = π.r + π.r²
Portanto,
6.3 Volume do Cone
O volume de um cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura.
O Volume de um cone é dada por:
REFERÊNCIAS
PAIVA, M. Matemática 2. São Paulo: Moderna, v. 2, 1995.
POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar. 5°. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Área da Base
Área lateral Planificada
Área da Base
Al = 2.π.r.h
At = Al + 2.Ab
Ab = π.r²
Volume = π.r².h
Al = π.r.g
At = π.r.(g+r)
V = � QUOTE � ��� π.r².h
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