Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Universidade Federal de Uberlaˆndia.
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear (GCI004)-2015-1.
Curso: Graduac¸a˜o em Gesta˜o da Informac¸a˜o.
Lista 2.
1. Na figura esta˜o representados os vetores −→v1 ,−→v2 e −→v3 . Achar o produto escalar de −→v1 e −→v2 ,−→v2 e −→v3 , −→v1 e −→v3 e o produto misto de (−→v1 +−→v2), (−→v1 − 2−→v2) e (−→v3 + 2−→v1)
2. Sabendo que |−→u | = 2, |−→v | = 3 e que −→u e −→v formam um aˆngulo de 3
4
pi rad, determinar
|(2−→u −−→v ).(−→u − 2−→v )|.
3. Determinar −→u .−→v + −→u .−→w + −→v .−→w , sabendo que −→u + −→v + −→w = −→0 , |−→u | = 2, |−→v | = 3 e
|−→w | = √5.
4. Verificar se sa˜o coplanares os seguintes vetores:
(a) −→u = (3,−1, 2),−→v = (1, 2, 1), e −→w = (−2, 3, 4).
(b) −→u = (2,−1, 0),−→v = (3, 1, 2), e −→w = (7,−1, 2).
5. Calcular o valor de m para que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores
−→v1 = 2−→i −−→j ,−→v2 = 6−→i +m−→j − 2−→k e −→v3 = −4−→i +−→k seja igual a 10.
6. Mostre que se −→v e´ ortogonal a −→w1 e −→w2, enta˜o −→v e´ ortogonal a α1−→w1 + α2−→w2, onde
α1, α2 ∈ R.
7. Calcular o volume do tetraedro ABCD sendo dados:
(a) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(4, 2, 7).
(b) A(−1, 3, 2), B(0, 1,−1), C(−2, 0, 1) e D(1,−2, 0). Para este, calcular a medida da
altura trac¸ada do ve´rtice A.
8. Demostrar que o segmento cujos extremos sa˜o os pontos me´dios de dois lados de um
triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e igual a` sua metade.
9. Sejam −→u ,−→v e −→w vetores na˜o nulos. Mostre que |−→w |2 = |−→u |2 + |−→v |2 − 2|−→u | |−→v | cosθ.
10. Sejam −→u e −→v vetores do espac¸o, com −→v 6= −→0 :
(a) determinar o nu´mero r tal que −→u − r−→v seja ortogonal a −→v ;
1
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear.
(b) mostrar que (−→u +−→v )× (−→u −−→v ) = 2−→v ×−→u .
11. Determinar um vetor ortogonal a os vetores −→v1 = (1,−1, 0) e −→v2 = (1, 0, 1).
12. Verificar se existe aˆngulo reto no triaˆngulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).
13. Verificar se sa˜o unita´rios os vetores −→u = (1, 1, 1) e −→v =
(
1√
6
,− 2√
6
,
1√
6
)
.
14. Dados os pontos A(3, m− 1,−4) e B(8, 2m− 1, m), determinar m de modo que |−→AB| =√
35.
15. Determinar o vetor −→v , paralelo ao vetor −→u = (1,−1, 2), tal que −→v .−→u = −18.
16. Calcular n para que seja de 30o o aˆngulo entre os vetores −→u = (1, n, 2) e −→j .
17. Os aˆngulos diretores de um vetor sa˜o 45o, 60o e γ. Determinar γ.
18. Determinar o vetor projec¸a˜o do vetor −→u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o de −→v = (2, 1,−2).
19. Qual e´ o comprimento do vetor projec¸a˜o de −→u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?
20. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e C(2, 1,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
de a´rea
√
29
2
.
21. Calcular a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices
(a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3)
(b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)
(c) A(2, 3,−1), B(3, 1,−2) e C(−1, 0, 2)
22. Determinar a a´rea do paralelogramo cujos lados sa˜o determinados pelos vetores 2−→u e -−→v
sendo −→u = (2,−1, 0) e −→u = (1,−3, 2).
23. Verificar se sa˜o coplanares os pontos:
(a) A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0, 2).
(b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1,−2,−2).
(c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) e D(0, 1,−1).
24. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
(a) −→a = (2,−1, k),−→b = (1, 0, 2) e −→c = (k, 3, k)
(b) −→a = (2, 1, 0),−→b = (1, 1,−3) e −→c = (k, 1,−k)
(c) −→a = (2, k, 1),−→b = (1, 2, k) e −→c = (3, 0,−3)
25. Dados os vetores −→u = (2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2), calcular:
(a) −→w ×−→v
(b) −→v × (−→w −−→u )
(c) (−→u +−→v ).(−→u ×−→w )
(d) (−→u ×−→v ).−→w e −→u .(−→v ×−→w )
Eduard Rojas C. UFU-FAMAT. 2 Gesta˜o da Informac¸a˜o.