IAL_-_I_I_-_02_-Espacos_Vetoriais_Euclidianos_-_Prof_Flavio[1]

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4 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
1
4 – ESPAÇOS  VETORIAIS  EUCLIDIANOS
1 Espaço Euclidiano n dimensional1 – Espaço Euclidiano n‐dimensional
Definição: se n é um inteiro positivo,  dizemos que uma sequênciaç p , q q
de números reais é uma n‐upla ordenada. O conjunto de 
todas as n‐uplas ordenadas é chamado o espaço n‐dimensional e denotado 
por
 
n
aaa ,,,
21

npor       .
‐ Quando n=1 , cada n‐upla ordenada consiste simplesmente de um número 

Q , p p
real. Desta forma, tem‐se  o       como o conjunto dos números reais.
Q d 2 3 é l d d
1
‐ Quando n=2 ou n=3 é usual usar os termos par ordenado e terno 
ordenado, respectivamente, em vez de 2-upla e 3-upla.
2
Ob ãObservação
Uma n‐upla ordenada pode ser interpretada 
aaa
Uma n upla ordenada                            pode ser interpretada 
geometricamente  tanto como um ponto generalizado 
quanto um vetor generalizado. As Figuras (a) e (b) ilustram o 
caso considerando n=3
 
n
aaa ,,,
21

caso considerando n=3.  
Observe que o terno ordenado                    pode ser  
321
,, aaa
q p
interpretado como um ponto no espaço tridimensional                                                         
neste caso  a
1
,  a
2
e a
3
são as coordenadas , vide Figura (a).   
 
321  3
A Figura (b) ilustra o caso em que o terno ordenado é 
interpretado como um vetor, caso em que a
1
,  a
2
e a
3
são as 
componentes de um vetor.
Definição: Dois vetores                             e                             em         são ditos
3
),,,(
21 n
uuu u ),,,(
21 n
vvv v nç
iguais  se                                           . A soma            é definida por
e se α é um escalar qualquer, o múltiplo 
)(
21 n
)(
21 n
nn
vuvuvu         ,,,
2211
 vu 
 
nn
vuvuvu          ,,,
2211
vu
escalar αv de v é definido por                                    .),,,(
21 n
vvv  v 
‐ As operações de adição e multiplicação por escalar definidas acima, são 
d i d õ d ãdenominadas operações padrão.
Se é um vetor qualquer de então o negativo (ou
)( uuuu n‐ Se                              é um vetor qualquer de     , então o negativo (ou 
inverso aditivo) de u é denotado por –u e definido por
),,,(
21 n
uuu u 
),,,(
21 n
uuu  u‐ 
‐ A diferença de vetores em         é definida por                           ou em 
termos de componentes,
n )( uvuv 
 
nn
uvuvuv          ,,,
2211
uv
Teorema (Propriedades de vetores em        )
4
n
Se                            ,                            e                               são vetores no          e
α e β são escalares, então:
),,,(
21 n
uuu u  ),,,(
21 n
vvv v  ),,,(
21 n
www w  n
uuuuuu
vuvuwv)uw)vu
uuuvvu



)00
)(((
)()(
((g)(c)
  (f)  (b)
 (e)  (a)



uuuuuu
uuuuuu


10,0)(
)00
  (h)             seja  ou    (d)
( (g)  (c)
,

Prova do Teorema
Sejam                            ,                            e                               vetores no),,,(
21 n
uuu u  ),,,(
21 n
vvv v  ),,,(
21 n
www w  n
 
 
wvu


),,(),,(
),,(),,(),,()(
111
111
nnn
nnn
wvwvuu
wwvvuu

   (b)
 
 
 


)(,,)(
)(,),(
111
111
nnn
nnn
wvuwvu
wvuwvu


 
wvu 

)(
),,(),,(
111 nnn
wwvuvu 
5
   
(g) vvβαβα v  )(   
 
    
(g)
βvv,βvαv
vβα,vβα
v,vβαβα 
nn
n
n
v



,
)(,)(
),(
11
1
1



 
    β α v,vβ v,vα
β,β
nn
nn
vv  ,,
,
11
11

As provas das demais partes são deixadas como exercícios
Definição: Se                             e                             são vetores quaisquer em        ,
ã
As provas das demais partes são deixadas como exercícios
),,,(
21 n
uuu u 
),,,(
21 n
vvv v  n
então                                                 
define o produto interno euclidiano de u e v.      
nn
vuvuvu  
2211
vu
vu p
Teorema (Propriedades do produto interno Euclidiano)
Se u, v e w são vetores em e α é um escalar, então:nSe u, v e w são vetores em         e α é um escalar, então:
(( )
      (  (b)
  (a)
)()
) 

wvwuwvu
uvvu
  se,  somente  e  se    disto  Além    (d)
( (c)
.0,0.0
)()


vvvvv
uvvu
,

Prova do Teorema
6
(b) Sejam                       ,                        e 
   wvu     ),,(,,
111 nnn
wwvuvu 
),,(
31
uu u  ),,(
31
vv v 
),,(
1 n
ww w 
wvwu 

                              
                   
)()(
)()(
1111
111
nnnn
nnn
wvwvwuwu
wvuwvu


As provas das demais partes são deixadas como exercícios
Norma e distância no espaço Euclidiano n‐dimensional
A norma euclidiana (ou o comprimento euclidiano) de um vetor
)( uuuA norma euclidiana (ou o comprimento euclidiano)  de um vetor
em        por
),,(
1 n
uu u
n
  22
2
2
1
2
1
n
uuu  uuu 
A distância euclidiana entre os pontos                        e                        do 
é definida por
 
),,(
31
uu u  ),,(
31
vv v  n
é definida por
22
22
2
11
)()()(),(
nn
vuvuvud  vuvu
Teorema (Propriedades do comprimento em        )
7
n
Se                            ,                            e                               são vetores no          e
α é um escalar, então:
),,,(
21 n
uuu u  ),,,(
21 n
vvv v  ),,,(
21 n
www w  n
)triangular  ade(desiguald       (d)       se  somente  e  se,     (b)
    (c)   (a)
vuvuuu
uuu


00
0 
Prova do Teorema
Sejam e vetores no
)( uuu u )( vvv v n
Sejam                            e                            vetores no),,,(
21 n
uuu u ),,,(
21 n
vvv v 
u
u

     (c)


22
2
2
1
22
2
2
1
222
2
2
1
)()()()(
nn
uuu
uuuuuu


u    
21 n
uuu
vvuu
vvvuuuvuvuvu

          (d)
22
2
)(2
)()(2)()()(
vvuu
vuvuvvuu
vvuu



Schwarz‐Cauchydededesigualda        
 )( absoluto  valor  do  epropriedad            
22
22
2
2
)(2
  vuvuvu uvu         
yg
 
2
  
v
Teorema (Propriedades da distância em       )
8
n
Se                            ,                            e                               são vetores no        , 
então:
),,,(
21 n
uuu u  ),,,(
21 n
vvv v  ),,,(
21 n
www w  n
sesomenteese(c)(a) 0)(0)( vuuvvu dd 
)triangular  ade(desiguald       (d)            (b)
 se somente  e se,   (c)   (a)
),(),(),(),(),(
0),(0),(
vwwuvuuvvu
vuuvvu
ddddd
,dd


Prova do Teorema
)()()( vwwuvuvud (d)
),(),(
)()(),(
vwwuvwwu
vwwuvuvu
dd
d


                          
     (d) 
Definição:  Dois vetores u e v em        são ortogonais se              .n 0 vu
Exemplo 11 .
9
Exemplo 11 .
Considere os vetores                          e                           . Determine uma 
relação entre as componentes de v de tal forma que os vetores sejam 
)2,4,2,1( u ),,,(
4321
vvvvv 
ortogonais.  Dê um exemplo de um vetor v, não nulo, ortogonal a u.
02421  vvvvvu 02421
4321
 vvvvvu
Exemplo de um vetor v ortogonal a u :
Faz‐see  calcule a componente  v
4 , então:   




0
0
2
1
v
v
             2024
44
 vv
 13v
O vetor                             é  ortogonal a u.
)2,1,0,0(v 
2 – Transformações Lineares
10
ç
• Funções de         em n 
Função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um, e 
exatamente um, elemento de um conjunto B. Se f associa  o elemento b ao 
elemento a então escreve‐se  b=f (a).
- b é a imagem de a por f- b é a imagem de a por f
‐ f (a) é o valor de f em a
‐ O conjunto A é o domínio de f
‐ O conjunto B é o contradomínio de fO conjunto B é o contradomínio de f
‐ Duas funções  f
1  e  f2  são consideradas iguais e escreve‐se   f1 =  f2 se 
ambas têm o mesmo  domínio e   f
1
(a) =  f
2
(a)  para qualquer a do 
domínio.
F õ d
11
n m• Funções de         em 
Se o domínio de uma função  f é o        e o contradomínio é o        , então 
f é d i d li ã
n m
n m
mn
f escreve‐se                             e  f é denominada uma aplicação ou 
transformação de         em       .  
‐ Neste caso diz‐se que a função leva ou aplica em .
mn
f :
n m
n mNeste caso diz se que a função leva ou aplica em        .
‐ No caso em que n=m,  a transformação é denominada um operador do       .
 
n
Exemplo .
Uma função                          associa vetores                            com vetores                32: f   2,  yxv  3
,,  cbaw
 cbay
z
f yx,  cba ,,
0
f
xx
y
0
T f õ li d
12
n m• Transformações lineares de         em n m
 
 
 
n
f
xxxfw ,,,
2111
  
Considere o conjunto de equações
 
 
  n
f
xxxfw ,,,
2122


   
 
Observe que  estas m equações associam um único ponto
   nmm xxxfw ,,, 21  
 
m
www ,,,
21

em         a cada ponto                          em         e  portanto definem uma 
transformação de         em        . Denotando esta transformação por T, tem‐se
m
n m
 
n
xxx ,,,
21
 n
mn
T     
T
com                                                            .
No caso especial em que o conjunto de equações são lineares a
mn
T :    
mn
wwwxxxT ,,,,,,
2121
 
‐ No caso especial em que o conjunto de equações são lineares, a 
transformação                            definida por estas equações é denominada 
transformação linear (ou um operador linear se m=n).
mn
T :
Assim, uma transformação linear                            é definida por equações 
13
mn
T :
da forma




nn
nn
xaxaxaw
xaxaxaw


22221212
12121111
  
  
da forma



nmnmmm
xaxaxaw 

2211
  
   
ou então em notação matricial 











n
n
x
x
aaa
aaa
w
w


2
1
22221
11211
2
1
ou então, em notação matricial
ou 










 nmnmmm xaaaw



21xw A
‐ A matriz                é denominada matriz canônica da transformação linear  
T e a transformação T é chamadamultiplicação por A
 
ij
aA 
T e a transformação  T é chamada multiplicação por A.
‐ Notação:  



xx AT
T
A
mn
A
)(
:
ç
 

 xx
xx
TT
AT
A
)(
)(
Teorema (Propriedades de Transformações lineares)
14
( p ç )
Uma transformação                            é linear se, e somente se, as seguintes 
relações valem para todos os vetores u e v em         e qualquer escalar  n
mn
T :
)()(
)()()(
uu
vuvu
TT
TTT
     (b)
   (a)
 

Prova do Teorema
Suponha uma transformação linear T e A sua matriz canônica. p ç
Utilizando propriedades aritméticas de matrizes, tem‐se:    
e                                
)()()()()()( vuvuvuvu TTAAAT 
)()()()( vuuu TAAT     
S 0 é t i l tã E t f ã é
00)(T
• Se 0 é a matriz nula mn, então:                              . Essa transformação é 
denominada de transformação nula.
• Se I é a matriz identidade  então Neste caso o
00)(
0
 vvT
vvvT I)(• Se I é a matriz identidade nn, então:                           . Neste caso, o 
operador        é o operador identidade.
vvvT  I)(
I
I
T
‐ Os operadores lineares mais importantes de        e         estão os que 
15
2 3
produzem reflexões, projeções e rotações.      
R fl õ Reflexões
Considere o operador                             que aplica cada vetor na sua imagem 
i ét i l ã i
22
: T
simétrica em relação ao eixo y.
Seja o vetor
)( www
Seja o vetor                          , 
observando o gráfico tem‐se
),(
21
www
  xw
1
f t t i i l


 yw
xw
2
1



x
w
01
1
em formato matricial                                         . 
T é um operador linear com a matriz canônica
 yw 102
1
   01T‐ T é um operador linear com a matriz canônica     10T
16
‐ Reflexões no  2
 Projeções
17
Considere o operador                           que aplica cada vetor na sua projeção 
ortogonal sobre o eixo x.
22
: T
Seja o vetor                          , 
),(
21
www
observando o gráfico tem‐se
 1 xw
em formato matricial                                          
  02w







y
x
w
w
00
01
1
‐ T é um operador linear com a matriz canônica  
 yw 002
  


00
01
T  00
18
‐ Projeções no  2
 Rotações
19
Um operador que gira cada vetor em         por um ângulo fixado  θ é 
denominado rotação em 
2
2
Seja o vetor                          , 
observando o gráfico e utilizando uma
),(
21
www
g
trigonometria básica tem‐se:

 
)i (
)cos(

rx
então
  )sin(ry




)sin(
)cos(
1


rw
rw
Aplicando identidades trigonométricas
  )sin(2 rw




)sin()cos()cos()sin(
)sin()sin()cos()cos(
1


rrw
rrw
em formato matricial :                                         
     )sin()cos()sin()cos(1  Txw
  )sin()cos()cos()sin(2  rrw
   )cos()sin()cos()sin(2  Tyw             
 Dilatações  e  Contrações
20
Se k é um escalar não negativo, então o operador                       de         ou 
é denominado  uma homotetia de razão k ; especificamente, o 
2xx kT )(
3
operador é uma contração de razão k se  0  k  1 e uma dilatação de 
razão k se  k  1 
‐ No  2
• Composição
21
p ç
Sejam                             e                               transformações lineares.  Deno‐
i li ã t d t à
kn
A
T :
TT
T
mk
B
T :
T
mina‐se aplicação composta de       com      ,  e se representa por              ,  à 
transformação linear                                    .
AB
TT 
A
T
mn
AB
TT :
B
T
n k
B
T
m
v
B
T
A
T
 
)(vTT
AB
)(vT
A
  )(vTT
AB

AB
TT 
• A matriz canônica da transformação composta               é o produto das 
matrizes canônicas de T
B
e T
A
.
AB
TT 
B A
    
ABAB
TTTT 