Integrais Lista 03

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Lista de exercícios – Integrais – Lista 03 
1- (Integrais definidas - substituição) – Calcule as integrais definidas abaixo: 
a) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(2𝑥)cos⁡(2𝑥)𝑑𝑥
𝜋/4
0
 
b) ∫ (𝑥 − 1)e(𝑥
2−2𝑥−24)𝑑𝑥
6
−4
 
c) ∫
sen(ln𝑥)
𝑥
𝑑𝑥
𝑒𝜋/2⁡
1
 
 
2- (Integral por partes) – Calcule as integrais abaixo: 
a) ∫𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 
b) ∫𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥 
c) ∫(3𝑥 + 1) cos 𝑥 𝑑𝑥 
d) ∫(2𝑥 − 5) sen(𝑥/2) 𝑑𝑥 
e) ∫𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 
f) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 
g) ∫ arctg 𝑥⁡𝑑𝑥 
h) ∫ arcsen 𝑥⁡𝑑𝑥 
i) ∫ sen(𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 
3- (Frações parciais) – Calcule as integrais abaixo: 
a) ∫
15𝑥2−16−8
(𝑥−1)(𝑥2−4)
𝑑𝑥 
b) ∫
−4𝑥2+25𝑥−45
𝑥3−6𝑥2+9𝑥
𝑑𝑥 
c) ∫
−𝑥2+4𝑥−12
𝑥(𝑥2+4)
𝑑𝑥 
4- (Substituição trigonométrica inversa) – Calcule as integrais abaixo: 
a) ∫
1
√16+𝑥2
𝑑𝑥 
b) ∫ √25 − 𝑥2
5
0
𝑑𝑥 
5- (Integrais impróprias) – Calcule as integrais abaixo: 
a) ∫ 𝑥 ⋅ 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
∞
0
 
b) ∫ 5𝑥−3/2𝑑𝑥
∞
1
 
c) ∫ 𝑥−2
∞
4
𝑑𝑥 
d) ∫ 2𝑥−1/5𝑑𝑥
∞
5
 
e) ∫
ln 𝑥
𝑥4
∞
1
𝑑𝑥 
f) ∫
1
(2𝑥−10)1/3⁡
𝑑𝑥
11/2
5
 
6- Calcule o volume do sólido de revolução gerado pelas funções abaixo quando rotacionadas 
em torno do eixo x: 
a) 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 , −
𝜋
4
≤ 𝑥 ≤
𝜋
4
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥,⁡⁡⁡0 ≤ 𝑥 ≤ ln10 
 
Gabarito: 
1- 
a) 
1
6
 
b) 0 (se mudar intervalo de 
integração, obtém-se integral de 0 
a 0) 
c) 1 (veja que ln 𝑒𝜋/2 = 𝜋/2) 
 
2- 
a) 
1
2
𝑒2𝑥(𝑥 − 1/2) + 𝐶 
b) −𝑒−𝑥(𝑥2 + 2𝑥 + 2) + 𝐶 
c) (3𝑥 + 1)sen⁡𝑥 + 3 cos𝑥 + 𝐶 
d) (10 − 4𝑥) cos(𝑥/2) + 8⁡sen⁡(𝑥/
2) + 𝐶 
e) 
1
4
𝑥4 (ln 𝑥 −
1
4
) + 𝐶 
f) 𝑥(ln 𝑥 − 1) + 𝐶 
g) 𝑥 ⋅ arctg(𝑥) −
1
2
ln(1 + 𝑥2) + 𝐶 
h) 𝑥 ⋅ arcsen(𝑥) + √1 − 𝑥2 + 𝐶 
i) 
1
2
𝑒𝑥(sen⁡𝑥 − cos𝑥) 
3- 
a) 
15𝑥2−16−8
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥+2)
=
3
𝑥−1
+
5
𝑥−2
+
7
𝑥+2
 
∫
15𝑥2 − 16 − 8
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑑𝑥
= 3 ln|𝑥 − 1|
+ 5 ln|𝑥 − 2|
+ 7 ln|𝑥 + 2| + 𝐶 
b) 
−4𝑥2+25𝑥−45
𝑥3−6𝑥2+9𝑥
=
1
𝑥−3
−
2
(𝑥−3)2
−
5
𝑥
 
∫
−4𝑥2 + 25𝑥 − 45
𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥
𝑑𝑥
= ln|𝑥 − 3|
+
2
𝑥 − 3
− 5 ln 𝑥
+ 𝐶 
c) 
−𝑥2+4𝑥−12
𝑥(𝑥2+4)
=
2𝑥+4
𝑥2+4
−
3
𝑥
 
∫
−𝑥2+4𝑥−12
𝑥(𝑥2+4)
𝑑𝑥 = ln|𝑥2 + 4| +
2arctg (
𝑥
2
) − 3 ln|𝑥| + 𝐶 (veja que a 
primeira fração se separa em duas, de 
forma que o total de frações são 3). 
 
4- 
a) ln |
√16+𝑥2
4
+
𝑥
4
| + 𝐶 =
ln|√16 + 𝑥2 + 𝑥| + 𝐶 
b) 
25𝜋
4
 
5- 
a) 1/2 
b) 10 
c) 1/2 
d) ∞ (diverge) 
e) 1/9 
f) ¾ 
6- 
a) 2π 
b) 99π/200