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Módulo 1: Conteúdo programático – Equação da quantidade de 
Movimento 
 
Bibliografia: Bunetti, F. Mecânica dos Fluidos , São Paulo, Prentice Hall, 2007. 
 
 
Equação da quantidade de movimento para o volume de controle com aceleração 
linear em relação a um referencial fixo: 
 
relativovmP
rr
.= 
 
 =relativov
r
em relação ao volume de controle móvel 
 
 
.abstoarrastamenrelativo vvv
rrr
=+ ( fixo ) 
 
 =toarrastamenv
r
em relação a um referencial fixo. 
 
 
 
 
 
absamF
rr
.=∑ 
 
 rel
rel
abs
abs a
dt
vd
a
dt
vd r
r
r
r
== 
 
 arelabs aaa
rrr
+= ( quando não há rotação ) 
 
 
rela
arel
amamF
aamF
rrr
rrr
..
).(
=−∑
+=∑
 
 
dt
pd
amF
dt
pd
mamF
dt
vd
mamF
sist
asistsist
sist
sistsistsist
rel
a
r
rr
r
rr
r
rr
=−∑=−∑
=−∑
. ..
..
 
 
 
 Teorema do Transporte de Reynold’s: 
 
 
∫
∫
×+
∀
=
vc
vc dAnv
dt
dd
dt
dN
...
..
rrρη
ρη
 
 
 rv
m
P
m
NPN r
r
r
==== ηη então como 
 
Logo resulta na eq da quantidade de movimento : 
 
 
 
 
 
 Projetando na direção “ x ” temos: 
 
∫ ×+
∫ ∀
=∫ ∀−∑
..
...
..
..
.
cs
dAnvrvdt
d
xr
vd
vc
adxF
x
aext
rrr ρ
ρ
ρ
 
 
 
 Projetando na direção “Y ” temos: 
 
∫ ×+
∫ ∀
=∫ ∀−∑
..
...
..
..
.
cs
dAnvrvdt
d
yr
vd
vc
adyF
yaext
rrr ρ
ρ
ρ
 
 
 
Projetando na direção “Z ” temos: 
 
∫ ×+
∫ ∀
=∫ ∀−∑
..
...
..
..
cs
dAnvrvdt
drvd
vc
adF z
z
a
extz
rrr ρ
ρ
ρ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º EXERCÍCIOS RESOLVIDO 
 
 
No esquema abaixo, o fluido água deixa o bocal com velocidade constante de 10 m/s, atingindo uma 
placa plana. A área do bocal é de 100cm2. Determinar a força atuante aplicada pelo fluido à placa na 
direção “ x ”. Considere regime permanente e propriedades uniformes nas superfícies de controle. 
Adotar massa específica da água de 1000 kg/m3. 
 
 
 
Da eq da quantidade de movimento para a direção X temos: 
 
∫ ×+
∫ ∀
=∫ ∀−∑
..
...
..
..
.
cs
dAnvrvdt
d
xr
vd
vc
adxF
x
aext
rrr ρ
ρ
ρ
 
 
 
 
 
A única força externa é a reação do placa no jato de fluido. Não há aceleração do volume de controle e o 
regime é permanente logo: 
 
 
dAnxVVR r
A
r
rrr ρ∫=− 
 
Na direção X só há uma fluxo de entrada no volume de controle e as propriedades são uniformes logo: 
 
 
AVdAVVR r
A
rr
2ρρ −=−=− ∫ 
 
Numericamente temos: 
 
NR 100010.100.10.1000 42 == − 
 
 
 
 
 
 
 
2º EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
 
 O tanque da figura, quando vazio, apresenta massa de 200 kg. A área da base do tanque é de 1m2. Os 
atritos existentes podem ser desprezados. No interior do tanque, há uma coluna de fluido mantida 
constantemente com 2m de altura. O fluido entra por 1 e sai por 2 e 3. Considerando o escoamento em 
regime permanente e propriedades uniformes nas superfícies de controle, determinar: 
 
a-) A força aplicada ao cabo de aço; 
b-) A leitura da balança. 
 
Dados: V1 = 10 m/s ; V2 = 5 m/s ; V3 = 17,5 m/s ; A1 = 20cm2 ; A2 = 5cm2 ; A3 = 10cm2 . 
 
 
 
 
Da equação da quantidade de movimento para a direção X temos: 
 
∫ ×+
∫ ∀
=∫ ∀−∑
..
...
..
..
.
cs
dAnvrvdt
d
xr
vd
vc
adxF
x
aext
rrr ρ
ρ
ρ
 
 
 
 
 
A única força externa é a do cabo de aço aplicada ao tanque. Não há aceleração do volume de controle, 
em X existem dois fluxos de saída e o regime é permanente logo: 
 
 
dAnxVVdAnxVVR r
A
rr
A
rcabo
rrrrrr ρρ ∫∫ +=−
32
 
 
 
dAVVdAVVR r
A
rr
A
rcabo ρρ ∫∫ ++=−
32
rr
 
 
Projetando as velocidades no eixo X 
dAVVdAVVR r
A
rr
A
rcabo ρρ ∫∫ −++=−
32
60cos
 
 
Como as propriedades são uniformes temos: 
 
∫∫ −+=−
32
22 60cos
A
r
A
rcabo dAVdAVR ρρ
 
 
 
Integrando 
 
3
2
32
2
2 60cos AVAVR rrcabo ρρ −+=− 
 
 
Pela equação da continuidade determina-se a velocidade 2 
 
 
 
333222111 AVAVAV ρρρ += 
 
Como o fluido é incompressível 
 
 
332211 AVAVAV += 
 
10.5,175.20.10 2 += V 
 
 
s
mV 52 =
 
 
Substituindo os valores na Equação na quantidade de movimento temos: 
V1 = 10 m/s ; V2 = 5 m/s ; V3 = 17,5 m/s ; A1 = 20cm2 ; A2 = 5cm2 ; A3 = 10cm2 . 
 
 
3
2
32
2
2 60cos AVAVR rrcabo ρρ −+=− 
 
Numericamente temos: 
 
 [ ] NRcabo 30010.10.5,175.60cos.51000 422 −=−=− − 
 
NRcabo 300= 
 
 
Item B : Leitura da balança: 
 
 
Este item consiste na aplicação da Equação da quantidade de movimento na direção Y 
 
Nesta direção só há um fluxo de entrada, logo é negativo 
 
dAnxVVmgR r
A
rY
rrr ρ∫=−
1
 
 
 
 
dAVVmgR r
A
rY ρ∫−=−
1
r
 
 
A projeção da velocidade é contra o eixo Y 
 
 
 
dAVVmgR r
A
rY ρ∫−−=−
1
 
 
Como as propriedades são uniformes temos: 
 
∫=−
1
2
A
rY dAVmgR ρ
 
 
 
mgAVR rY += 1
2
1ρ 
 
 
Numericamente temos: 
 
 
kNRy 2,210.20010.20.10.1000
42
=+= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
 
No esquema temos um canal de largura igual a 1,8m. Podemos considerar que nas 
superfícies de controle 1 e 2, as velocidades são uniformes; na superfície 1 a velocidade 
é de 0,5 m/s e há distribuição de pressão hidrostática. A comporta AB apresenta a 
mesma largura do canal. Supondo regime permanente, determinar: 
 
a-) A velocidade na superfície de controle 2; 
b-) A força aplicada na comporta AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
No esquema, o carrinho com o jato de água, apresenta massa de 75 kg e está em repouso no instante t = 0 
segundo. O carrinho é acelerado por um jato de água lançado por um bocal fixo, cuja área é 30cm2. A 
velocidade do jato é de 35 m/s em relação ao bocal. Supondo não haver atritos e desprezando a resistência 
do ar, determinar a velocidade do carrinho no instante t = 5 segundos. Considerar a variação da 
quantidade de movimento do volume de controle desprezível e propriedades uniformes. Dados: A1 = A2 
= 30cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
No esquema abaixo há escoamento em regime permanente com propriedades uniformes em todas as 
seções de escoamento e o fluido é incompressível. Determinar : 
 
a-) O fluxo em massa pelo sistema de controle (1). 
b-) Sabendo-se que a superfície de controle (3) é circular, determinar o diâmetro. 
c-) A resultante das forças geradas pelos escoamentos 
 
Dados: ρ = 1000 kg/m3 ; A1 = 20 cm2 ; A2 = 30 cm2 ; v1 = 2 m/s ; v2 = 2,5 m/s ; v3 = 1,5 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNOA turbina da figura extrai a potência de 2,9 kW da água do escoamento considerado 
ideal. Calcular as forças exercidas sobre a redução e sobre a turbina respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
 
Na instalação esquematizada, há o escoamento ideal de 314L/s de água (massa 
específica de 1000 kg/m³) pelo interior da turbina. A pressão na entrada da mesma é 
18N/cm² e na saída, vácuo com intensidade de 2 N/cm². Considerando a aceleração da 
gravidade com intensidade de 10 m/s², determinar: 
a) a potencia fornecida á turbina pelo escoamento de água 
b) a força na direção X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO 
 
Um jato atinge uma pá que se localiza num plano inclinado. O peso do conjunto é 40N e 
a área do jato 50 cm². Qual deve ser a velocidade do jato para que ocorra o equilíbrio 
estático?