Exercícios de apoio Semana 2 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR MGA001

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02/04/2018 Exercícios de apoio - Semana 2: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - MGA001
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1) Para qual valor de o ponto está mais próximo do ponto .
Qual é o valor desta distância?
 
2) Dados os vetores e decomponha o vetor com soma de dois
vetores, e , sendo o 1º paralelo a e o 2º ortogonal a .
 
3) Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores
 e .
 
4) Dados os pontos e obtenha:
a) A equação geral da reta r determinada por e .
b) A equação vetorial desta reta.
 
5) Dada a reta de equação geral obtenha sua equação vetorial.
 
6) Dada a reta de equação obtenha sua equação geral.
 
7) Dada a reta de equação geral obtenha uma equação da reta paralela a e que passa por .
 
8) Determine uma equação da reta perpendicular à reta e que passe pelo ponto .
 
9) Encontre as equações vetorial e paramétrica da reta , que contém o ponto e é paralela à
direção do vetor . Verifique se .
 
10) Encontre a equação vetorial da reta , determinada pelos pontos
a) 
b) 
EXERCÍCIOS DE APOIO ( SEMANA 2 )
Apenas para praticar. Não vale nota.
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11) Encontre a equação simétrica da reta , que contém o ponto e é paralela
à reta .
 
12) Determine a equação geral do plano que contém o ponto e é paralelo às direções dos
vetores linearmente independentes e . Verifique se os pontos e pertencem ou não ao plano .
 
 
GABARITO
 
1) 
 
O mínimo de ocorre no ponto de mínimo da função
 
 
 
Logo 
 
A distância mínima é:
 
2)
 
 
 
 
 
 
3)
Logo, 
 
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4)
a) A equação geral da reta é 
Como .
Como .
Resolvendo o sistema obtemos:
Escolhendo temos . 
Logo uma equação geral da reta é: 
 
b) Um vetor de pode ser obtido fazendo 
Logo uma equação vetorial da reta é:
 
 
5) Fazendo obtemos .
Fazendo obtemos . Logo, temos que os pontos obtidos e pertencem à reta. Um vetor que dá sua
direção é . Logo uma equação vetorial é
 
 
6) Fazendo t=0 obtemos A = (3, -2) e fazendo t = 1 obtemos B = (5, -3)
Equação geral: 
Substituindo as coordenadas de e nesta equação, obtemos o sistema: 
Resolvendo o sistema obtemos:
Fazendo , obtemos a equação geral .
 
 
7) Como a reta deve ser paralela à reta dada, sua equação geral será do tipo . Como ela passa pelo
ponto , devemos ter e portanto . Logo uma equação é:
 
 
8) A reta procurada tem equação do tipo , na qual , ou seja, , escolhendo a reta procurada terá uma
equação da forma . Como ela passa por , então , assim uma equação para a reta é: .
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9) Equação vetorial:
 
 
Equação Paramétrica. Supondo 
, para algum .
Como verifica a 1ª equação e não satisfaz a 2ª equação, .
 
 
10) A equação vetorial da reta é:
a) 
 
b) 
 
 
11) Olhando a equação simétrica da reta , como os coeficientes de e são todos iguais a , vemos que 
 tem a direção do vetor , assim a equação vetorial de é:
Logo a sua equação paramétrica é:
Isolando o parâmetro obtemos:
 
 
12) Vamos obter a equação geral do plano 
 
 
 
Verificando se os pontos e estão no plano ou não.
Ponto 
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Ponto