Apostila de eletricidade FAETEC 2011

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Trabalho = força x distância 
 
ELETRICIDADE 
 
1 - ENERGIA E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA 
 
1.1 - TRABALHO: 
Realiza-se trabalho quando algo é movido contra uma força resistiva. Por exemplo, realizamos trabalho quando 
um peso é levantado contra a atração da gravidade (figura 1), ou quando empurramos um engradado a uma 
determinada distância (figura 2). 
 
 
Figura 1 - Halterofilista realiza trabalho enquanto ergue o peso. 
 
 
 
Figura 2 - Realização de trabalho ao deslocar a caixa. 
O trabalho realizado é obtido através do produto da força aplicada pela distância através da qual a força se move, 
isto é: 
A unidade de trabalho no sistema internacional de medidas (SI) é o joule usualmente abreviado por J. O joule 
representa o trabalho realizado quando uma força de um newton age através de uma distância de um metro (1 J 
= 1 N.m). 
 
1.2 - Energia: 
Energia é a capacidade de realizar trabalho; o trabalho também pode ser visto como uma transferência de 
energia. A energia mecânica é medida nas mesmas unidades que o trabalho. Por exemplo, quando um peso é 
levantado, o corpo humano ou o dispositivo de içamento que o moveu despende energia. O peso, por outro lado, 
adquire energia potencial, em virtude de haver sido elevado acima do chão. Essa energia potencial armazenada 
no peso levando pode ser utilizada, por exemplo, para levantar outro peso através de um sistema de polias ou 
pode ser deixado cair como em um bate-estaca transferindo a sua energia para a estaca no momento do impacto. 
 
 
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Figura 3 - Transferência de energia através de 
polias. 
 
Figura 4 - Transferência de energia em um bate-
estaca. 
Um princípio geral aplicável a todos o sistemas físicos é o princípio da conservação de energia, o qual estabelece 
que a energia não é criada nem destruída, apenas muda de forma. A energia pode ser transformada em calor, em 
luz ou em som; ela pode ser energia mecânica de posição ou de movimento, pode ser armazenada numa bateria 
ou em uma mola; mas não pode ser criada nem destruída. 
1.3 - POTÊNCIA: 
Para propósitos práticos, existe muito interesse na velocidade de realização de trabalho ou liberação de energia. 
Esta velocidade é chamada potência. No sistema internacional de medidas, a potência é medida em watts 
(abreviatura W), sendo um watt igual a um joule por segundo. Então, a partir da definição de potência, se W é o 
trabalho realizado ou a energia dissipada ou liberada no tempo t, a potência média neste período é: 
 
t
W
P
 
Devida à íntima relação entre potência e energia, encontramos freqüentemente a energia expressa em tais 
unidades como watt-segundo (W.s) ou quilowatt-horas (kW h)(1kW h=1000 x 3600) 
 
2 - CARGAS ELÉTRICAS 
A grandeza elétrica mais elementar é a carga elétrica. Um dos primeiros fatos ao estudarmos os efeitos das 
cargas elétricas é que estas cargas são de dois tipos diferentes. Estes tipos são arbitrariamente chamados positivo 
(+) e negativo (-). O elétron, por exemplo, é uma partícula carregada negativamente. Um corpo descarregado 
possui o mesmo número de cargas positivas e negativas. Um corpo está carregado positivamente quando existe 
uma deficiência de elétrons e uma carga negativa significa um excesso de elétrons. 
 
A carga elétrica é representada pela letra Q e medida em Coulombs (abreviado C). 
 
A carga de um elétron é –1,6 x 10-19 C, ou seja, um Coulomb equivale à carga aproximada de 6,25 x 1018 
elétrons. 
 
Um dos efeitos mais significativos de uma carga elétrica é que ela pode produzir uma força. Especificamente, uma 
carga repelirá outras cargas de mesmo sinal e atrairá cargas de sinal contrário como apresenta a figura 5. Deve-se 
notar que a força de atração ou de repulsão é sentida de modo igual pelos dois corpos ou partículas carregados. 
 
 
 
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Figura 5 - Força entre cargas. 
 
2.1 - CAMPOS ELÉTRICOS 
Existe uma região de influência em torno de uma carga elétrica tal que uma força tornar-se-á tanto menor quanto 
mais afastada estiver a carga. Uma região de influência como está é chamada Campo. O campo estabelecido pela 
presença de cargas elétricas é chamado de Campo Elétrico 
E
 e quando as cargas elétricas estão em repouso esse 
campo será chamado de Campo Eletrostático. 
O campo elétrico pode ser representado por linhas de campo radias orientadas e a sua unidade é o 
newton/coulomb [N/C]. Se a carga for positiva, o campo é divergente, isto é, as linhas de campo saem da carga e 
se a carga for negativa, o campo é convergente, isto é, as linhas de campo chegam à carga conforme mostra a 
figura 6. 
 
Figura 6 - Linhas de campo. 
Quando duas cargas de sinais contrários estão próximas, as linhas de campos convergem da carga positiva para a 
carga negativa conforme a figura 7. Em cargas próximas de mesmo sinal as linhas de campo se repelem, figuras 8 
e 9. 
Figura 7 - Linhas de campo entre cargas de sinais contrários. 
 
 
Figura 8 - Linhas de campo entre cargas positivas. Figura 9 - Linhas de campo entra cargas negativas. 
 
 
 
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Quando duas placas paralelas são eletrizadas com cargas de sinais contrários, surge entre elas um campo elétrico 
uniforme, caracterizado por linhas de campo paralelas. 
 
Figura 10 - Linhas de campo entre duas placas paralelas eletrizadas com cargas contrárias. 
A expressão matemática do campo elétrico é dada por: 
2d
QK
E
 
onde: K = constante dielétrica = 9x109 N.m2 / C2 (no vácuo e no ar) 
 Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C] 
 d = distância, em metro [m] 
 
2.1 - FORÇAS ELÉTRICAS 
Um carga Q colocada em um campo elétrico uniforme, ficará sujeita a uma força 
F
 , cuja unidade de medida é 
newton [N] e cujo módulo é: 
F = Q E 
onde: Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C] 
 E = módulo do campo elétrico, em Newton/Coulomb [N/C] 
A amplitude da força entre duas partículas carregadas é proporcional ao produto das cargas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre elas. Isto é, a força F entre duas partículas carregadas com cargas Q1 
e Q2 é dada por: 
2
21.
d
QQ
kF
 
Onde d é a distância entre as cargas e k é uma constante que depende das unidades usadas e do meio que 
envolve as cargas. Esta equação é conhecida como Lei de Coulomb ou Lei do Inverso do Quadrado 
 
Figura 11 - Força entre cargas de sinais 
contrários. 
 
Figura 12 - Força entre cargas de sinais opostos. 
 
2.3 - POTENCIAIS ELÉTRICOS 
Dizer que uma carga elétrica fica sujeita a uma força quando esta numa região submetida a um campo elétrico, 
significa dizerque, em cada ponto dessa região existe um potencial para a realização de trabalho. O potencial 
elétrico (V) é expresso em volts e é dado pela expressão: 
d
QK
V
 
O potencial elétrico é uma grandeza escalar, podendo ser positivo ou negativo, dependendo do sinal da caga 
elétrica. Pela expressão acima, podemos verificar que o potencial em uma superfície onde todos os pontos estão 
 
 
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a uma mesma distância da carga geradora, possui sempre o mesmo valor. Essas superfícies são denominadas de 
superfícies equipotenciais. 
 
Figura 13 - Superfícies equipotenciais. 
2.4 - DIFERENÇA DE POTENCIAL - DDP 
Seja uma região submetida a um campo elétrico E criado por uma carga Q positiva conforme mostra a figura 14. 
Colocando um elétron –q no ponto A, situado a uma distância dA da carga Q, ele se movimentará no sentido 
contrário do campo, devido à força F que surge no elétron, indo em direção ao ponto B, situado a uma distância 
dB da carga Q. 
 
 
Figura 14 - Carga -q colocada no ponto A de uma região submetida a um campo E. 
 
Como dA > dB, o potencial do ponto A é menor que o do ponto B, uma vez que o potencial é dado pela expressão 
d
QK
V
. Assim podemos escrever que VA < VB. 
 
Figura 15 - Potencial no ponto A é menor que no ponto B. 
Conclui-se, então, que uma carga negativa move-se do potencial menor para o maior. Se uma carga positiva +q 
fosse colocada no ponto B, ela se movimentaria na mesma direção do campo elétrico, indo do potencial maior 
para o menor. 
 
Figura 16 - Carga +q colocada no ponto B de uma região submetida a um campo E. 
Assim, para que uma carga se movimente, isto é, para que haja condução de eletricidade, é necessário que ela 
esteja submetida a uma diferença de potencial ou ddp. 
 
 
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Agora já estamos em condições de relacionar trabalho e transferência de energia com forças elétricas. Suponha 
que movamos uma partícula carregada positivamente em sentido contrário ao de um campo elétrico no qual 
esteja mergulhada, isto é, contra a força exercida sobre elas por outras cargas elétricas. Se por exemplo, o campo 
fosse devido à presença de uma carga negativa próxima, afastaríamos a carga positiva dela. Com isto, ao mover-
se a carga contra forças que atuam sobre ela, seria realizado um trabalho equivalente ao levantar-se um peso no 
campo gravitacional terrestre. Além disso, seria aplicável a lei da conservação da energia; isto é, a partícula 
estaria agora em uma posição potencial mais elevada, do mesmo modo que um peso levantado possui maior 
energia potencial. Já estamos familiarizados com os dispositivos para realização de trabalho útil através de pesos 
que passam a posições de potencial mais baixo no campo gravitacional da terra. Talvez o dispositivo que melhor 
exemplifique este estudo seja uma roda hidráulica obtendo trabalho a partir de uma queda d’água. De um modo 
mais ou menos análogo, podemos obter trabalho de um fluxo de cargas que se movam sob a influência de forças 
elétrica para uma posição de potencial mais baixo. 
 
 
 
Figura 17 - Roda hidráulica. 
 
 
 
 
3 - CORRENTE ELÉTRICA 
 Usualmente estamos mais interessados em cargas em movimento do que cargas em repouso, devido à 
transferência de energia que pode estar associada às cargas móveis. Estamos particularmente, interessados nos 
casos em que o movimento de cargas esteja confinado a um caminho definido formado de materiais como cobre, 
alumínio, etc, devido a serem bons condutores de eletricidade. Em contraste, podemos utilizar materiais mal 
condutores de eletricidade, chamados de isoladores, para confinar a eletricidade a caminhos específicos 
formando barreiras que evitam a fuga das cargas elétrica. Os caminhos por onde circulam as cargas elétricas são 
chamados de circuitos. 
 Aplicando uma diferença de potencial num condutor metálico, os seus elétrons livres movimentam-se de 
forma ordenada no sentido contrário ao do campo elétrico. O movimento da carga elétrica é chamado de 
corrente elétrica. A intensidade I da corrente elétrica é a medida da quantidade de carga elétrica Q (em coulombs) 
que atravessa a seção transversal de um condutor por unidade de tempo t (em segundos). A corrente tem um 
valor constante dado pela expressão: 
 
t
Q
I
tempo
coulombsemcarga
 
 A unidade de corrente é o ampère (abreviado por A). Existe um ampère de corrente quando as cargas 
fluem na razão de um coulomb por segundo. Devemos especificar tanto a intensidade quanto o sentido da 
corrente. 
 
 
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 Exemplo: Se a carga que passa pela lâmpada do circuito da figura 21 é de 14 coulombs por segundo, qual 
será a corrente: 
 
A
segundo
coulonbs
t
Q
I 14
 1
 14
 
 Em uma corrente contínua, o fluxo de cargas é unidirecional para o período de tempo em consideração. A 
figura 18, por exemplo, mostra o gráfico de uma corrente contínua em função do tempo; mais especificamente, 
mostra uma corrente contínua constante, pois sua intensidade é constante, de valor I. 
 Em uma corrente alternada as cargas fluem ora num sentido, ora noutro, repetindo este ciclo com uma 
freqüência definida como mostra a figura 19. 
 
 
Figura 18 - Corrente contínua. 
Figura 19 - Corrente alternada. 
 A utilidade prática de uma corrente continua ou alternada é o resultado dos efeitos por ela causados. Os 
principais fenômenos que apresentam uma grande importância prática e econômica são: 
1. Efeito Térmico (Joule): Quando flui corrente através de um condutor, há produção de calor. Este 
fenômeno será estudado na Lei de Ohm. 
Aplicações: chuveiro elétrico, ferro elétrico. 
 
2. Efeito Magnético (Oersted): Nas vizinhanças de um condutor que carrega uma corrente elétrica, forma-
se um segundo tipo de campo de força, que fará as forças serem exercidas sobre outros elementos 
condutores de corrente ou sobre peças de ferro. Este campo, chamado de Campo Magnético coexiste 
com o Campo Elétrico causado pelas cargas. Este fenômeno é o mesmo que ocorre na vizinhança de um 
imã permanente. 
Aplicações: telégrafo, relé, disjuntor. 
 
3. Efeito Químico: Quando a corrente elétrica passa por soluções eletrolíticas ela pode separar os íons. 
Aplicações: Galvanoplastia (banhos metálicos). 
 
4. Efeito Fisiológico: Efeito produzido pela corrente elétrica ao passar por organismos vivos 
 
3.1 - CORRENTE ELÉTRICA CONVENCIONAL: nos condutores metálicos, a corrente elétrica é formada apenas por 
cargas negativas (elétrons) que se deslocam do potencial menor para o maior. Assim, para evitar o uso freqüente 
de valor negativo para corrente, utiliza-se um sentido convencionalpara ela, isto é, considera-se que a corrente 
elétrica num condutor metálico seja formada por cargas positivas, indo, porém do potencial maior para o menor. 
 Em um circuito, indica-se a corrente convencional por uma seta, no sentido do potencial maior para o 
menor como mostra a figura, em que a corrente sai do pólo positivo da fonte (maior potencial) e retorna ao seu 
pólo negativo (menor potencial). 
 
 
 
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Figura 20 – Sentido da corrente convencional. 
Exemplos: 
1. Qual a intensidade da corrente elétrica que passa pela seção transversal de um fio condutor, sabendo-se que 
uma carga de 3600 C leva 12 segundos para atravessá-la? 
 
A
s
C
t
Q
I 300
12
103600 6
 
2. Pela seção transversal de um fio condutor passou uma corrente de 2mA durante 45 segundos. Quantos 
elétrons atravessaram essa seção nesse intervalo de tempo? 
CmCsAtIQ
t
Q
I 33 1090904510.2
 
carga de 1 elétron é dada por q = -1,6 10-19C, utilizando somente o módulo de q e uma simples regra de 3, 
temos 
 
1 elétron = 1,6 10-19 
N elétrons = 90 10-3 
 
Fazendo o produto cruzado, temos: 1,6 10-19 N(elétrons) = 90 10-3 1(elétron) 
elétronsNN 15
19
3
105,562
106,1
1090
 
 
3.2 - DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO OU TENSÃO ELÉTRICA 
A figura 21 apresenta o diagrama de um circuito elétrico simples. O objetivo desse circuito é conduzir energia 
elétrica da bateria para uma lâmpada distante. Isto é realizado através da conexão de fios para levar e trazer a 
corrente I da bateria até a lâmpada, uma chave e um fusível de proteção para o circuito. Assim, quando a chave 
esta fechada, um caminho completo de condução é proporcionado e obtém-se um circuito completo ou circuito 
fechado. 
 
Figura 21 - Diagrama descritivo. 
 
Figura 22 - Diagrama esquemático. 
 
 
 
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Por outro lado, se um dos fios fosse desligado, ou a chave estiver aberta, teríamos um circuito aberto, sendo nula 
a corrente I, e, portanto, não havendo transferência de energia. Um outro caso ocorreria se ligássemos um fio 
entre os pontos c e d da lâmpada ou entre os pontos a e b da bateria. Neste caso, teríamos um curto-circuito. A 
corrente de saída da fonte seria elevada (freqüentemente destrutivamente elevada), mas somente uma porção 
insignificante passaria pela lâmpada e não haveria uma transferência eficiente de energia para a lâmpada. 
Usualmente é feita uma proteção contra esses problemas, inserindo fusíveis ou disjuntores que abrem 
automaticamente quando ocorrem tais falhas. 
No circuito da figura utilizou-se o símbolo padrão para uma bateria, com linhas paralelas mais longas 
indicando o terminal positivo ou aquele pelo qual a corrente sai da bateria ao fornecer energia ao circuito. A 
figura 23 mostram outros tipos de simbologias padrões para representar fontes de tensão CC. 
 
Figura 23 - Simbologias para fontes de tensão CC. 
Considerando que o circuito da figura 21 não possua nenhum tipo de problema de curto-circuito ou 
circuito aberto. Para que se mantenha a corrente I no circuito é necessário gastar energia da mesma forma que 
para manter o fluxo de água através de um sistema de tubulações. Deve-se realizar trabalho para dar às cargas 
elétricas a energia que elas entregam ao fluir através dos fios e das lâmpadas. Este trabalho ou energia deve, é 
claro, ser obtido da fonte por conversão de energia química em energia elétrica na bateria da figura 21, por 
exemplo, ou conversão de energia mecânica em elétrica no caso de um gerador. 
O trabalho realizado ao movimentar-se uma carga positiva unitária entre dois pontos de um circuito é 
chamado de diferença de potencial ou tensão entre dois pontos. Em outras palavras, tensão é o trabalho por 
unidade de carga. Deve-se especificar dois pontos no circuito, uma vez que o trabalho é realizado ao mover-se a 
carga de um ponto para outro. Se o trabalho realizado ao mover-se uma carga de 1 C de um ponto a outro for de 
1 J, a diferença de potencial entre esses pontos será de 1 Volt (abrevia-se V). O trabalho, ou energia total W 
associado com o movimento de Q coulombs entre dois pontos, é; 
QEW 
quando a diferença de potencial entre dois pontos for de E volts. 
Quando essa diferença de potencial é fornecida por uma fonte de energia elétrica, ela é freqüentemente 
chamada de força eletromotriz (abreviada FEM). Como os circuitos contêm fontes e consumidores de energia 
elétrica, devemos considerar cuidadosamente se o trabalho é realizado sobre a carga unitária, ou pela carga 
unitária ao mover-se do primeiro até o segundo ponto. No primeiro caso, a energia potencial da carga é 
aumentada; no outro caso, é diminuída. Se o trabalho for realizado sobre a carga positiva e sua energia potencial 
é aumentada ao ir do ponto a para o ponto b de um circuito, existe uma subida de tensão no sentido de a para b. 
Inversamente, existe uma queda de tensão no sentido de b para a, porque a carga perderia energia se fosse de b 
para a. Do ponto de vista de ganho ou de perda de energia, subidas de tensão são grandezas opostas a queda de 
tensão. 
O circuito da figura 22 ilustra estas declarações. Devido à bateria existe uma subida de tensão de a para b e 
haverá uma queda de tensão de c para d. 
 
 
Observação: Freqüentemente utilizamos uma nomenclatura do tipo VAB, para indicar um valor de tensão entre 
dois pontos, por isso, é importante saber o seu significado. Na figura 24 a tensão VA encontra-se no potencial de 
maior valor (+) e a tensão VB no potencial de menor valor (-). 
 
 
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Figura 24 - Diferença de potencial. 
A fonte de tensão E se encontra entre os dois potenciais VA e VB, portanto, essa fonte representa a diferença 
entre estes dois potenciais. Matematicamente temos: 
 
 
 
 
4 - FONTES DE ALIMENTAÇÃO 
 
 O dispositivo que fornece tensão para um circuito é chamado genericamente de fonte de tensão ou fonte 
de alimentação. Exemplos de fontes de tensão são as pilhas e as baterias. Uma pilha comum, quando nova, 
possui tensão de 1,5V. Estas podem ser associadas em série, para aumentar a tensão, como por exemplo, 3 pilhas 
de 1,5V cada fornecem 4,5V juntas. Tanto as baterias como as pilhas produzem energia elétrica a partir de 
energia liberada por reações químicas. 
 Com o tempo de uso, as reações químicas dessas baterias ou pilhas liberam cada vez menos energia, 
fazendo com que a tensão disponível seja cada vez menor. Hoje em dia, existem muitos tipos de baterias que 
podem ser recarregados por aparelhos apropriados, inclusive as pilhas comuns, o que é um avanço importante, 
sobretudo no que se refere ao meio ambiente. 
 Outrotipo de fonte de tensão são as fontes de alimentação eletrônicas que utilizam um circuito 
eletrônico para converter a tensão alternada da rede elétrica em tensão contínua. Esses dispositivos são 
conhecidos por eliminadores de bateria, e são amplamente utilizados em equipamentos portáteis como 
aparelhos de som, vídeo games, etc. 
 Outro tipo de fonte de tensão muito utilizado em laboratórios e oficinas de eletrônicas, são as fontes de 
tensão variáveis (ou ajustáveis). Este tipo de fonte tem a vantagem de fornecer tensão contínua e constante, cujo 
valor pode ser ajustado manualmente, conforme a necessidade. Nas fontes variáveis mais simples, o único tipo de 
controle é o ajuste de tensão. Nas mais sofisticadas, existem ainda os controles de ajuste fino de tensão e de 
limite de corrente. 
 
5 - TERRA (GND = GROUND) OU POTENCIAL DE REFERÊNCIA 
 Em circuitos elétricos, deve-se sempre estabelecer um ponto cujo potencial elétrico servirá de referência 
para medidas das tensões. Em geral, a referência é o pólo negativo da fonte de alimentação, que pode ser 
considerado um ponto de potencial zero, fazendo com que a tensão entre qualquer outro ponto do circuito e 
essa referência seja o próprio potencial elétrico do ponto considerado. 
 Assim, se VB é a referência do circuito da figura 24, a tensão VAB entre os pontos A e B é dada por: 
VAB = VA – VB = VA - 0 = VA 
 A essa referência, damos o nome de terra, massa ou GND (ground), cujos símbolos mais 
utilizados são mostrado na figura 25. 
 
Figura 25 - Simbologia do terra (GND). 
E = VA - VB = VAB 
 
 
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 Em um circuito podemos substituir a linha do potencial de referência por símbolos de terra, simplificando 
o seu circuito para um dos seguintes diagramas mostrados na figura 27. 
 
 Em muitos equipamentos, o potencial de referência do circuito é ligado à sua carcaça (quando esta é 
metálica) e a um terceiro pino do plug que vai ligado à tomada da rede elétrica. Esse terceiro pino para conectar o 
terra do circuito à malha de aterramento da instalação elétrica, com o objetivo de proteger o equipamento e o 
usuário de uma sobrecarga elétrica. 
 
Exemplo: Dado o circuito da figura 26, represente seus dois diagramas elétricos equivalentes utilizando o símbolo 
de terra. 
 
Figura 26 - Circuito elétrico. 
ou 
 
 
Figura 27 – Outras formas de representações de circuitos. 
6 - FONTE DE CORRENTE 
 A fonte de corrente, ao contrário da fonte de tensão, não é um equipamento vastamente utilizado, mas 
seu estudo é importante para a compreensão futura de determinados dispositivos e circuitos eletrônicos. 
O símbolo para a fonte de corrente é um círculo com uma seta dentro, que indica o sentido da corrente. 
Este sentido deve ser o mesmo que o da corrente produzida pela polaridade da fonte de tensão correspondente. 
Lembre-se de que uma fonte produz um fluxo de corrente que sai do terminal positivo. A fonte de corrente ideal 
é aquela que fornece uma corrente I sempre constante, independente da carga alimentada, isto é, para qualquer 
tensão V na saída. A figura 28 mostra a simbologia utilizada para indicar uma fonte de corrente e a sua curva 
característica. 
 
 
Figura 28 - Fonte de corrente e sua curva característica. 
7 - POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA 
A expressão W = E Q exprime o trabalho realizado ou a energia transferida num circuito ou numa parte de um 
circuito elétrico, pelo produto da tensão pela carga. 
 Se o trabalho é realizado a uma velocidade constante e a carga total Q sofre uma variação de potencial de 
E volts, em t segundos, então a potência, ou o trabalho por unidade de tempo é: 
 
 
 
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t
QE
t
W
P
.
 watts ou joule/segundo 
 Do ponto de vista prático, interessa-nos mais a corrente do que a carga. Utilizando a equação I = Q/t, 
obtém-se uma forma mais útil para a equação P = (E Q)/t , que é 
Como 
t
Q
I
, 
IEP .
 watts 
Se E e I são constantes num intervalo de tempo de t segundos, a energia total eliminada ou absorvida é 
tIEW ..
 watt-segundo ou joules 
Até agora já foram introduzidas as grandezas elétricas principais com as quais estaremos tratando. Um 
resumo delas está apresentado na tabela 1, juntamente com suas unidades de medida e abreviaturas mais 
usadas. Para alguns propósitos, estas unidades são inconvenientemente pequenas ou grandes. Para expressar 
unidades maiores ou menores, usa-se uma série de prefixos juntamente com o nome da unidade básica, 
evitando-se assim uma aglomeração de zeros antes ou depois da vírgula decimal. Esses prefixos, com suas 
abreviaturas, são apresentados na tabela-2. 
Tabela 1 - Resumo das principais grandezas elétricas 
Grandeza 
elétrica 
Símbolo 
Unidades 
(Sistema SI) 
Equação de 
definição 
Análogo 
mecânico 
Análogo hidráulico 
Carga Q Coulomb (C) . . . . . Posição Volume 
Corrente I Ampère (A) 
t
Q
I
 Velocidade Fluxo 
Tensão E ou V Volt (V) 
Q
W
E
 Força Altura ou pressão 
Potência P Watt (W) 
IEP .
 Potência Potência 
Energia ou 
trabalho 
W 
Joule (J) ou 
Watt-segundo (W.s) tPW .
 
Energia ou 
trabalho 
Energia ou trabalho 
 
Tabela 2 - Prefixos usados com unidades elétricas 
Para grandezas 
maiores que a unidade 
Para grandezas 
menores que a unidade 
Quilo (K) 103 unidades Mili (m) 10-3 unidades 
Mega (M) 106 unidades Micro ( ) 10-6 unidades 
Giba (G) 109 unidades Nano (n) 10-9 unidades 
Tera (T) 1012 unidades Pico (p) 10-12 unidades 
 
Exemplo: A lâmpada do circuito da figura 21 está sujeita a uma tensão de 115 V. A corrente I do circuito é 2,61 A. 
Qual é a potência consumida pela lâmpada? Quanto se gasta ao manter acesa por 10 horas, se a energia elétrica 
custa 2 centavos por kWh? 
 
P = E.I = (115).(2,61) = 300 W 
 
W = E.I.t = P.t = (300).(10) = 3000 Wh = 3,0 kWh 
 
Custo = (3,0) x (2,0) = 6 centavos 
 
 
 
 
 
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8 - INSTRUMENTOS DE MEDIDAS ELÉTRICAS 
 
8.1 - Multímetro: 
Este instrumento é muito utilizado em laboratórios e oficinas de eletrônica, e tem por finalidade medir 
grandezas elétricas como tensão, corrente, resistência e outras funções. 
 
O multímetro possui dois terminais nos quais são ligadas as pontas de prova ou pontas de teste. A ponta de 
prova vermelha deve ser ligada ao terminal positivo do multímetro (vermelho ou marcado com sinal +) e a ponta 
de prova preta deve ser ligada ao terminal negativo do multímetro (preto ou marcado com sinal -). 
 
Os multímetros possuem alguns controles, sendo que o principal é a chave rotativa ou conjunto de teclas para 
seleção da grandezaa ser medida (tensão, corrente ou resistência) com os respectivos valores de fundo de escala. 
 
Fundo de escala é o máximo valor medido, por exemplo, quando giramos a chave seletora do multímetro da 
figura 29 até a posição de 20 DC V, o fundo de escala é de 20 volts. Em multímetros analógicos o fundo de escala 
é a máxima deflexão do ponteiro. 
 
 
Figura 29 - Multímetro digital. 
 
Figura 30 - Multímetro analógico. 
 
Generalidades: 
 
 Em qualquer valor medido está associado um erro. O valor estimado para esse erro pode ou não ser 
significante dependendo da aplicação; 
 erro depende não somente do equipamento, como também do procedimento de medida; 
 Qualquer aparelho de medida interfere no circuito que está sendo medido. 
 
Os termos voltímetro, amperímetro e ohmímetro correspondem ao multímetro operando, 
respectivamente, nas escalas de tensão, corrente e resistência. 
 
8.2 - Voltímetro: É o instrumento utilizado para medir a tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um 
circuito elétrico. Para que o multímetro funcione basta selecionar uma das escalas para medida de tensão (CC ou 
CA). A simbologia utilizada para voltímetro é mostrada na figura 31. 
 
 
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Figura 31 - Simbologia do voltímetro. 
 
Para medir uma tensão, as ponteiras do voltímetro devem ser ligadas aos dois pontos do circuito em que 
se deseja conhecer a diferença de potencial, isto é, em paralelo, podendo envolver um ou mais dispositivos, como 
mostra a figura 32. 
Se a tensão a ser medida for contínua (CC), o pólo positivo do voltímetro deve ser ligado no ponto de 
maior potencial e o pólo negativo no ponto de menor potencial. Assim, o voltímetro indicará um valor positivo 
de tensão. 
 
 
Figura 32 - Exemplo de uso do voltímetro. 
 
Cuidado! Estando a ligação dos terminais do voltímetro invertida, sendo digital, o display indicará valor negativo; 
sendo analógico, o ponteiro tentará defletir no sentido contrário, o que poderá danificá-lo. 
 
 
Figura 33 - Ponteiras do voltímetro ligadas invertidas. 
 
Se a tensão a ser medida for alternada (CA), os pólos positivo e negativo do voltímetro podem ser ligados 
ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa medida sempre positiva. 
 
Observação: Um voltímetro ideal tem resistência interna infinita. Isto para que a corrente do circuito não 
circule pelo voltímetro e este não interfira no comportamento do circuito. Um voltímetro real possui uma 
resistência interna muito alta, mas não infinita, que causa um pequeno erro. Porém, esse erro, normalmente, 
pode ser desprezado, pois geralmente é menor que as tolerâncias dos componentes do circuito. 
 
 
 
8.2 - AMPERÍMETRO: 
 
Este instrumento é utilizado para medir a corrente elétrica que atravessa um condutor ou um dispositivo. Para 
que o multímetro funcione como um amperímetro, basta selecionar uma das escalas para medida de corrente (CC 
ou CA). A simbologia utilizada para amperímetro é mostrada na figura 34. 
 
 
 
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Figura 34 - Simbologia do amperímetro. 
Para medir uma corrente, o circuito deve ser aberto no ponto desejado, ligando o amperímetro em série, 
para que a corrente elétrica passe por ele. A corrente que passa por um dispositivo pode ser medida antes ou 
depois dele, já que a corrente que entra num bipolo é a mesma que sai. 
Se a corrente a ser medida for contínua (CC), o pólo positivo do amperímetro deve ser ligado ao ponto 
pelo qual a corrente convencional entra, e o pólo negativo ao ponto pelo qual ela sai. 
 
 
Figura 35 - Exemplo de uso do amperímetro. 
 
Cuidado! Se a ligação dos terminais do amperímetro for invertida, sendo digital, o display indicará valor negativo; 
sendo analógico, o ponteiro tentará defletir no sentido contrário, podendo danificá-lo. 
 
Cuidado! Caso a corrente a ser medida for alternada (CA), os pólos positivo e negativo do amperímetro podem 
ser ligados ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa medida sempre positiva. 
 
Observação: 
Um amperímetro ideal tem resistência interna zero. Isto para que o amperímetro não forneça resistência à 
passagem de corrente do circuito e este não interfira no comportamento do circuito. Um amperímetro real possui 
uma resistência interna muito baixa, mas não zero, que causa um pequeno erro. Porém, esse erro, normalmente, 
pode ser desprezado, pois geralmente é menor que as tolerâncias dos componentes do circuito. 
 
ATENÇÃO! NUNCA UTILIZE A ESCALA DE CORRENTE DO MULTÍMETRO PARA MEDIDAS DE TENSÃO! ISSO DANIFICARÁ O 
APARELHO. 
 
8.3 - OHMÍMETRO: 
 
O instrumento que mede resistência elétrica é chamado de ohmímetro. Os multímetros possuem escalas 
apropriadas para a medida de resistência elétrica. 
Para medir a resistência elétrica de uma resistência fixa ou variável, ou ainda, de um conjunto de 
resistores interligados, é preciso que eles não estejam submetidos a qualquer tensão, pois isso poderia acarretar 
em erro de medida ou até danificar o instrumento. Por isso, é necessário desconectar o dispositivo do circuito 
para a medida de sua resistência. 
Para a medida, os terminais do ohmímetro devem ser ligados em paralelo com o dispositivo ou circuito a 
ser medido, sem importar-se com a polaridade dos terminais do ohmímetro. 
 
Cuidado! Nunca segure os dois terminais do dispositivo a ser medido com as mãos, pois a resistência do corpo 
humano pode interferir na medida, causando um erro. 
 
 
 
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O ohmímetro analógico é bem diferente do digital, tanto no procedimento quanto na leitura de uma medida. No 
ohmímetro digital, após a escolha do valor de fundo de escala adequado, a leitura da resistência é feita 
diretamente no display. 
 
No ohmímetro analógico, a escala graduada é invertida e não linear, iniciando com resistência infinita (R = ) na 
extremidade esquerda (correspondendo aos terminais do ohmímetro em aberto e ponteiro na posição de 
repouso) e terminando com resistência nula (R = 0) na extremidade direita (correspondendo aos terminais do 
ohmímetro em curto e ponteiro totalmente defletido). 
 
Assim sendo, o procedimento para a realização da medida com o ohmímetro analógico deve ser: 
 
1. Escolhe-se a escala desejada, que é um múltiplo dos valores da escala graduada: x1, x10, x100, x10k e 
x 100k. 
2. Curto-circuitam-se os terminais do ohmímetro, provocando a deflexão total do ponteiro. 
3. Ajusta-se o potenciômetro de ajuste de zero até que o ponteiro indique R = 0. 
4. Abram-se os terminais e mede-se resistência. 
5. A leitura é feita multiplicando-se o valor indicado pelo ponteiro pelo múltiploda escala selecionada. 
 
Observações: 
 
 Por causa da não-linearidade da escala, as leituras mais precisas no ohmímetro analógico são feitas na 
região central da escala graduada. 
 No procedimento de ajuste de zero (item 3), caso o ponteiro não atinja o ponto zero, significa que a 
bateria do multímetro está fraca, devendo ser substituída. 
 O procedimento de ajuste de zero deve ser repetido a cada mudança de escala. 
 
CUIDADOS! 
 
1. Atenção ao medir tensões elevadas: 
- Maiores escalas do aparelho de medição (1000VDC 750VAC); 
- Não tocar na parte metálica; 
- Verificar AC ou DC. 
2. Nunca medir circuitos com alta tensão. 
- Equipamentos e treinamentos especiais 
3. Colocação correta dos conectores e ponteiras. 
4. Não colocar os dedos (ou qualquer outra parte do corpo) nas partes metálicas. 
5. JAMAIS MEDIR A RESISTÊNCIA DA REDE ELÉTRICA. 
6. Na dúvida, iniciar pelas maiores escalas. 
 
9 - RESISTORES E CÓDIGOS DE CORES 
 Os resistores são componentes que tem por finalidade oferecer uma oposição (resistência) à passagem de 
corrente elétrica, através de seu material. A essa oposição damos o nome de resistência elétrica, que possui como 
unidade o ohm ( ). 
A resistência de um condutor qualquer depende da sua resistividade do material, do seu comprimento e 
da sua área da seção transversal, de acordo com a fórmula: 
 
A
l
R
 (2ª Lei de Ohm) 
 
 
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onde, R = resistência do condutor, ohm [ ] 
 l = comprimento do condutor, metro [m] 
 A = área da seção transversal, m2 
 = resistividade, m 
Outro fator que influencia na resistência de um material é a temperatura. Quanto maior a temperatura do 
material, maior é a sua agitação molecular. Devido a essa maior agitação molecular os elétrons terão mais 
dificuldade para passarem pelo condutor. 
 
Os resistores são classificamos em dois tipos: fixos e variáreis. Os resistores fixos são aqueles cujo valor da 
resistência não pode ser alterada, enquanto que os variáveis podem ter sua resistência modificada dentro de uma 
faixa de valores, através de um cursor móvel. 
 
Os resistores fixos são especificados por três parâmetros: 
1. O valor nominal da resistência elétrica. 
2. A tolerância, ou seja, a máxima variação em porcentagem do valor nominal. 
3. A sua máxima potência elétrica dissipada. 
Exemplo: Tomemos um resistor 100 5% - 0,33 W. 
1. O seu valor nominal é de 100 . 
2. A sua tolerância é de 5%, isso é, o seu valor pode ter uma diferença de até 5% para mais ou para 
menos do seu valor nominal. Como 5% de 100 é igual a 5 , o menor valor que este resistor 
pode ter é 95 , e o maior valor é 105 . 
3. Esse componente pode dissipar uma potência de até 0,33 watts. 
 
Nomenclatura usual para resistores: 2500 = 2,5k = 2k5 
Dentre os tipos de resistores fixos, destacamos os de fio, de filme de carbono e o de filme metálico. 
 
 
9.1 - RESISTOR DE FIO: 
 
Consiste basicamente em um tubo cerâmico, que servirá de suporte para enrolarmos um determinado 
comprimento de fio, de liga especial para obter-se o valor de resistência desejado. Os terminais desse fio são 
conectados às braçadeiras presas ao tubo. Além desse, existem outros tipos construtivos, conforme mostra a 
figura 36. 
 
 
Figura 36 - Resistores de fio. 
Os resistores de fio são encontrados com valores de resistência de alguns ohms até alguns kilo-ohms, e são 
aplicados onde se exige altos valores de potência, acima de 5 W, sendo suas especificações impressas no próprio 
corpo. 
 
 
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9.2 - RESISTOR DE FILME DE CARBONO (DE CARVÃO): 
 
Consiste de um cilindro de porcelana recoberto por um filme (película) de carbono. O valor da resistência é obtido 
mediante a formação de um sulco, transformando a película em uma fita helicoidal. Sobre esta fita é depositada 
uma resina protetora que funciona como revestimento externo. Geralmente esses resistores são pequenos, não 
havendo espaço para impressão das suas especificações, por isso são impressas faixas coloridas sobre o 
revestimento para a identificação do seu valor nominal e da sua tolerância. A sua dimensão física identifica a 
máxima potência dissipada. 
 
Figura 37 - Resistor de filme de carbono. 
9.3 - RESISTOR DE FILME METÁLICO: 
Sua estrutura é idêntica ao de filme de carbono. A diferença é que este utiliza liga metálica (níquel-cromo) para 
formar a película, obtendo valores mais precisos de resistência, com tolerâncias de 1% a 2%. 
O custo dos resistores está associado a sua tolerância, sendo que resistores com menores tolerâncias têm custo 
mais elevado. Um bom projeto eletrônico deve considerar a tolerância dos resistores a fim de diminuir o seu 
custo final. 
O código de cores utilizado nos resistores de película, é visto na tabela 3. 
 
Cor 
1ª Faixa 2ª Faixa 3ª Faixa 4ª Faixa 
1ª Algarismo 2ª Algarismo Fator Multiplicador Tolerância 
preto 0 0 x 100 
marrom 1 1 x 101 1% 
vermelho 2 2 x 102 2% 
laranja 3 3 x 103 
amarelo 4 4 x 104 
verde 5 5 x 105 
azul 6 6 x 106 
violeta 7 7 
cinza 8 8 
branco 9 9 
ouro x 10
-1 5% 
prata x 10
-2 10% 
 
 
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Tabela 3 - Código de cores 
 
 
Observação: 
1. A ausência da faixa de tolerância indica que esta é de 20% 
2. Para os resistores de precisão encontramos cinco faixas, onde as três primeiras representam o 
primeiro, segundo o terceiro algarismo significativos e as demais, respectivamente, fator multiplicativo e 
tolerância. 
 
 
 
 
 
 
Valores padronizados para resistores de película. 
1 – Série: 5%, 10% e 20% de tolerância 
10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 
2 – Série: 2% e 5% de tolerância 
10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 
33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 
3 – Série: 1% de tolerância 
100 102 105 107 110 113 115 118 121 124 127 130 
133 137 140 143 147 150 154 158 162 165 169 174 
178 182 187 191 196 200 205 210 215 221 226 232 
237 243 249 255 261 267 274 280 287 294 301 309 
316 324 332 340 348 357 365 374 383 392 402 412 
422 432 442 453 464 475 487 499 511 523 536 549 
562 576 590 604 619 634 649 665 681 698 715 732 
750 768 787 806 825 845 866 887 909 931 953 976 
A seguir, são apresentados alguns exemplos de leitura, utilizando o código de cores: 
1) 
 
 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
4) 
 
 
 
5) 
 
 
ouro 
vermelho 
violeta 
amarelo 
47 x 100 5% = 4,7k 5% = 4k7 5% 
prata 
preto 
preto 
marrom 
10 x 1 10% = 10 10% 
ouro 
ouro 
vermelho 
vermelho 
22 x 0,1 5% = 2,2 5% 
ouro 
verde 
azul 
verde 
56 x 10
5
 5% = 5,6M 5% = 5M65% 
marrom 
preto 
cinza 
amarelo 
laranja 
348 x 1 1% = 348 1% 
 
 
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Além da resistência e da tolerância, o resistor recebe uma capacidade nominal em watts. Isto irá indicar quanto 
calor este resistor pode suportar em uso normal sem queimar. A figura 38 mostra a capacidade em watts de 
resistores de carbono. Observe que a capacidade é determinada pelo tamanho físico. 
 
 
Figura 38 - Tamanho físico dos resistores de carbono em relação a sua potência nominal. 
 
9.5 - SIMBOLOGIA: 
Os símbolos de resistência elétrica utilizados em circuitos são mostrados na figura 39. 
 
Figura 39 - Simbologia para resistores fixos. 
9.6 - RESISTÊNCIAS VARIÁVEIS: 
A resistência variável é aquela que possui uma haste variável para o ajuste manual da resistência. 
Comercialmente, podem ser encontrados diversos tipos de resistências variáveis, tais como os potenciômetros de 
fio e de carbono (com controle rotativo e deslizante), trimpot, potenciômetro multivoltas (de precisão), reostado 
(para altas correntes) e a década resistiva (instrumento de laboratório). 
 Os símbolos usuais para essas resistências variáveis estão mostrados na figura 40. 
 
Figura 40 - Simbologia para resistores variáveis. 
 
As resistências variáveis possuem três terminais. A resistência entre as duas extremidades é o seu valor nominal 
(RN) ou resistência máxima, sendo que a resistência ajustada é obtida entre uma das extremidades e o terminal 
central, que é acoplado mecanicamente à haste de ajuste, conforme mostra a figura 41. 
 
Figura 41 - Resistência variável. 
 
 
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A resistência variável, embora possua três terminais, é também um bipolo, pois, após o ajuste, ele se comporta 
com um resistor de dois terminais como o valor desejado. 
Uma resistência variável pode ser linear, logarítmica, exponencial ou outra conforme a variação de seu valor em 
função da haste de ajuste. 
Os gráficos da figura 42 mostram a diferença de comportamento da resistência entre um potenciômetro rotativo 
linear e um potenciômetro rotativo logarítmico. 
 
 
Figura 42 - Curvas de um potenciômetro linear e um logaritmo. 
Exercícios: 
1. Determine a seqüência de cores para os resistores abaixo: 
a) 10k 5% 
b) 390 10% 
c) 5,6 2% 
d) 715 1% 
e) 0,82 2% 
2. O que determina o valor ôhmico em um resistor de filme de carbono? 
3. Qual é o parâmetro que é definido através das dimensões físicas de um resistor? 
4. Cite um exemplo de aplicação que você conhece do resistor de fio. 
 
 
 
10 - LEIS DE OHM 
A primeira Lei de Ohm diz: “A tensão aplicada através de um bipolo ôhmico é igual ao produto da corrente pela 
resistência”. Esta afirmação resulta em três importantes equações que podem ser utilizadas para calcular 
qualquer um dos três parâmetros – tensão, corrente e resistência – a partir de dois parâmetros. Essa lei é 
representada pela expressão: 
 
10.1 - 1A LEI DE OHM 
IRV . (1ª Lei de Ohm) 
onde, V = tensão aplicada, volts [V] 
 R = resistência elétrica, ohm [ ] 
 I = intensidade de corrente, ampère [A] 
Levantando-se, experimentalmente, a curva da tensão em função da corrente para um bipolo ôhmico, teremos 
uma característica linear, conforme a figura 43. 
 
 
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Figura 43 - Curva característica de um bipolo ôhmico. 
Dessa curva, temos tg = V/ I, onde concluímos que a tangente do ângulo representa a resistência elétrica 
do bipolo, portanto, podemos escrever que: tg = R. Notar que o bipolo ôhmico é aquele que segue esta 
característica linear, sendo que qualquer outra não linear, corresponde a um bipolo não ôhmico. 
Para levantar a curva característica de um bipolo, precisamos medir a intensidade de corrente que o percorre e a 
tensão aplicada aos seus terminais, para isso montamos o circuito da figura 44, onde utilizamos como bipolo um 
resistor R. 
 
Figura 44 - Circuito para levantar a característica de um bipolo ôhmico. 
O circuito consiste de uma fonte variável, alimentando o resistor R. Para cada valor de tensão ajustado, teremos 
um respectivo valor de corrente, que colocamos numa tabela, possibilitando o levantamento da curva conforme 
mostra a figura 45. 
 
V(V) I(mA) 
 
0 0 
2 20 
4 40 
6 60 
8 80 
10 100 
 
Figura 45 - Tabela e curva característica do bipolo ôhmico. 
Da curva temos: 
 
100
1060100
610
3I
V
Rtg
 
 
 
 
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10.2 - CONDUTÂNCIA 
 Chama-se de condutância (G) o inverso da resistência (R): 
R
1
G
 
 G = condutância, siemens [S] ou mho [ -1] 
 R = resistência [ ] 
Exercícios: 
 
1. Qual é a intensidade da corrente elétrica que passa por uma resistência de 1k submetida a uma tensão de 
12 V? 
2. Por uma resistência de 150 passa uma corrente elétrica de 60 mA. Qual é a queda de tensão que ela 
provoca no circuito? 
3. Por uma resistência passa uma corrente de 150 A, provocando uma queda de tensão de 1,8 V. Qual é o valor 
dessa resistência? 
 
11 - POTÊNCIA ELÉTRICA 
 
Aplicando-se uma tensão aos terminais de um resistor, estabelecer-se-á uma corrente que é o movimento de 
cargas elétricas através deste. O trabalho realizado pelas cargas elétricas, em um determinado intervalo de 
tempo, gera uma energia que é transformada em calor por Efeito Joule e é definida como Potência Elétrica. 
Numericamente, a potência é igual ao produto da tensão e da corrente, resultando em uma grandeza cuja 
unidade é o watt (W). Assim sendo, podemos escrever: 
 
IVP
t
 
onde: = trabalho 
 t = intervalo de tempo (s) 
 P = potência elétrica (W) 
Utilizando a definição da potência elétrica juntamente com a Lei de Ohm, obtemos outras relações usuais: 
IVP
 
IRV
 
Substituindo, temos: 
IIRP
 2IRP 
Analogamente: 
R
V
I
 
R
V
VP
 
R
V
P
2
 
O efeito térmico, produzido pela geração de potência, é aproveitado por inúmeros dispositivos, tais como: 
chuveiro, secador, ferro elétrico, soldador, etc. Esses dispositivos são construídos basicamente por resistências, 
que alimentadas por tensões e conseqüentementepercorridas por correntes elétricas, transformam energia 
elétrica em térmica. 
Exercícios: 
1. No circuito da figura abaixo, sabendo que a lâmpada está especificada para uma potência de 900 mW quando 
alimentada por uma tensão de 4,5 V, determine: 
 
a) A corrente consumida pela lâmpada. 
 
 
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b) A resistência da lâmpada nessa condição de operação. 
2. Considere um resistor com as seguintes especificações: 1k - ½ W 
a) Qual é a corrente Imáx e a tensão Vmáx que ele pode suportar? 
b) Que potência P’ ele dissipa caso a tensão aplicada V’ fosse metade de Vmáx? 
c) Quanto vale a relação Pmás/P’ e qual conclusão podem ser tiradas? 
 
 
12 - CIRCUITOS SÉRIE E PARALELO 
12.1 - CIRCUITO SÉRIE: 
Neste tipo de associação os resistores estão ligados de forma que a corrente que passa por eles seja a mesma, e a 
tensão total aplicada aos resistores se subdivida entre eles proporcionalmente aos seus valores. Pela Lei de 
Kirchhoff das Tensões, a soma das tensões nos resistores é igual à tensão total aplicada E, conforme mostra a 
figura 54. 
 
 
Figura 46 - Associação série de resistores. 
E = V1 + V2 + ... + Vn 
Substituindo as tensões nos resistores pela Lei de Ohm (V = R.I), tem-se: 
 
E = R1 I + R2 I + + Rn I E = I (R1 + R2 + + Rn) 
Dividindo a tensão E pela corrente I, chega-se a: 
nRRR
I
E
21
 
O resultado E/I corresponde à resistência equivalente Req da associação série, isto é, a resistência que a fonte de 
alimentação entende como sendo a sua carga. 
 
 
 
Caso particular: 
Se os n resistores da associação série forem todos iguais a R, a resistência equivalente pode ser calculada por: 
 
 
Em um circuito série, a potência total PE fornecida pela fonte ao circuito é igual à soma das potências dissipadas 
pelos resistores. Portanto, a potência total PE = E I fornecida pela fonte é igual à potência dissipada pela 
resistência equivalente Peq = Req I
2 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por quatro resistores ligados em série, determine: 
 
Req = R1 + R2 + + Rn 
Req = n R 
PE = P1 + P2 + + Pn = E I = Req I
2 
 
 
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a) A resistência equivalente do circuito série. 
 
Req = R1 + R2 + R3 + R4 = 1k + 2k2 + 560 + 1k5 Req = 5260 = 5k26 
 
b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito. 
 
mA
R
E
I
eq
56,41056,400456,0
5260
24 3
 
 
c) A queda de tensão provocada por cada resistor. 
ER1 = R1 I = 1k 4,56 10
-3 ER1 4,56 V 
ER2 = R2 I = 2k2 4,56 10
-3 ER2 10,03 V 
ER3 = R3 I = 560 4,56 10
-3 ER3 2,55 V 
ER4 = R4 I = 1k5 4,56 10
-3 ER4 6,84 V 
 
2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) se os resultados do item 1c estão corretos. 
LKT: A soma algébrica das tensões que elevam o potencial do circuito é igual à soma das tensões que 
causam a queda de potencial, logo: 
 
E = ER1 + ER2 + ER3 + ER4 = 4,56 + 10 + 2,55 + 6,84 = 23,98 
 
3) Mostre que: PE = P1+ P2 + P3 + P4 = PReq. 
 
PE = E I = 24 4,56 10
-3 = 109,44 mW 
PReq = Req I
2 = 5260 (4,56 10-3)2 = 109,37 mW 
Pi = P1 + P2 + P3 + P4 = R1 IR1
2 + R2 IR2
2 + R3 IR3
2 + R4 IR4
2 
Pi = 1k (4,56 10
-3)2 + 2k2 (4,56 10-3)2 + 560 (4,56 10-3)2 + 1k5 (4,56 10-3)2= 
Logo, PE PReq Pi 
 
12.2 - CIRCUITO PARALELO: 
Neste tipo de associação os resistores estão ligados de forma que a tensão total E aplicada ao circuito seja a 
mesma em todos os resistores, e a corrente total do circuito se subdivida entre eles de forma inversamente 
proporcional aos seus valores. 
Pela Lei de Kirchhoff para Correntes, a soma das correntes nos resistores é igual à corrente total I fornecida pela 
fonte: 
 
 
 
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Figura 47 - Associação paralela de resistores. 
 
I = I1 + I2 + + In 
Substituindo as correntes nos resistores pela Lei de Ohm (I = E/R), tem-se: 
nn RRR
EI
R
E
R
E
R
E
I
111
2121

 
Dividindo a corrente I pela tensão E, chega-se a: 
nRRRE
I 111
21

 
Chama-se de condutância o inverso da resistência: 
R
G
1
 
O resultado I/E corresponde à condutância equivalente da associação paralela. Invertendo esse valor, 
obtém-se, portanto, a resistência equivalente REQ que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga. 
 
 
 
 
Isso significa que, se todos os resistores dessa associação forem substituídos por uma única resistência de 
valor Req, a fonte de alimentação E fornecerá a mesma corrente ao circuito. 
Assim, a relação entre as potências envolvidas é: PE = P1 + P2 + + Pn = PReq 
 
Casos particulares: 
1 - Se os n resistores da associação paralela forem todos iguais a R, a resistência equivalente pode ser 
calculada por: 
 
 
 
2 – No caso específico de dois resistores ligados em paralelo, a resistência 
equivalente pode ser calculada por uma equação mais simples: 
21
21
1
 
2
111
RR
RR
R
RRR
eq
eq
 
 Observação: Em textos sobre circuitos elétrico, é comum representar dois resistores em paralelos por: 
R1//R2. 
 
Exemplo: 
1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por três resistores ligados em paralelo, determine: 
 
a) A resistência equivalente do circuito paralelo. 
neq RRRR
1111
21

 
n
R
Req
 
 
 
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neq RRRR
1111
21
 
74
1
1
1
33
11
kkkREq
 
72,659eqR
 
b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito. 
 
mA
R
E
I
eq
19,1801819,0
72,659
12
 
 A corrente que passa por cada resistor: 
 
mA
kR
E
I R 64,300364,0
33
12
1
1
 
 
mA
kR
E
I R 12012,0
1
12
2
2
 
 
mA
kR
E
I R 55,200255,0
74
12
3
3
 
2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) se os resultados do item 1c estão corretos. 
LKT: A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem desse 
nó, logo: 
I = I1 + I2 + I3 
333 105,21012106,3
74
12
1
12
33
12
kkk
I
 I = 18,1mA 
3) Mostre que: PE = P1 + P2 + P3 = PReq 
PE = E I = 12 18,19 10
-3 = 218,28mW 
PReq = Req I
2 = 659,72 (18,19 10-3)2 = 218,28 mW 
74
12
1
12
33
12 222
3
2
2
2
1
2
321
kkkR
V
R
V
R
V
PPPPi
 
Logo, PE PReq Pi 
12.3 - CIRCUITO MISTO: 
Este tipo de associação é formado por resistores ligados em série e em paralelo, não existindo uma equação geral 
para a resistência equivalente, pois ela depende da configuração do circuito. Assim, o cálculo deve ser feito por 
etapas, conforme as ligações entre os resistores. 
Exemplo: 
Considerando o circuito da figura abaixo, formado por diversos resistores ligados em série e em paralelo, resolva 
os itens seguintes: 
 
1) Determine RA = R6 // R7: 
2) Determine RB = R4 + R5 + RA: 
3) Determine RC = R3 // RB: 
4) Determine RD = R2 + RC: 
5) Determine Req = R1 // RD: 
 
12.4 - CONFIGURAÇÕES ESTRELA E TRIÂNGULO (Y- ) 
Existem certas configurações de circuitos que não podem ser resolvidas somente pelas combinações série-
paralela. Estas configurações podem ser freqüentemente manuseadas pelo uso de uma transformação Y- . Esta 
 
 
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transformação permite que três resistores que formam uma configuração Y sejam substituídos por outros três em 
configuração , ou vice-versa. Os circuitos das figuras 56 e 57 são redes e Y, respectivamente. 
 
Figura 48 - Configuração estrela. 
 
Figura 49 - Configuração triângulo. 
Se estas redes são equivalentes, a resistência entre qualquer par de terminais deve ser a mesma, tanto 
em Y como em . Três equações simultâneas podem ser escritas expressando estas equivalências de resistências 
terminais, conforme mostra a tabela abaixo. 
 
A rede da Figura abaixo (a) é chamada de rede em T ou rede em Y em virtude de sua forma. A rede da Figura (b) é 
chamada de rede em p (pi) ou em D (delta) pela sua forma. Ao se analisar as redes é muito útil converter o tipo Y 
em D e vice-versa, para simplificar a solução. 
 
 
Conversão Y- Conversão -Y 
3
323121
12
R
RRRRRR
R
 
231312
1312
1
RRR
RR
R
 
2
323121
13
R
RRRRRR
R
 
231312
2312
2
RRR
RR
R
 
1
323121
23
R
RRRRRR
R
 
231312
2313
3
RRR
RR
R
 
Exemplos: 
1. Converter a configuração abaixo de estrela para triângulo: 
 
2. Determine a resistência equivalente única que substituirá a rede da figura abaixo entre os terminais b e d. 
 
 
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Solução: No circuito da figura acima, nenhuma resistência está diretamente em paralelo ou diretamente em série. 
Observe, todavia, que as seções bac e dac formam ambas uma rede ; qualquer uma delas pode ser convertida, 
numa equivalente Y, mostrada, na figura, por resistências cinzas para o caso da seção bac. Os valores 
equivalentes são: 
2
844
84
1R
 
1
844
44
2R
 
2
844
48
3R
 
 
 
A rede que resulta da substituição da rede bac por uma equivalente Y é mostrada na figura abaixo. Nesta rede, Rea 
e Rad estão ligadas em série, como também as resistências Rec e Rcd. Logo, 
 
 
Read = 1 + 5 = 6 e Recd = 2 + 10 = 12 
 
As resistências Read e Recd estão ligadas em paralelo, logo; 
 
4
126
126
edR
 
A resistência de b para d é uma combinação série de Rbe e Red, portanto; 
 
 Rbd = 2 + 4 = 6 
 
12.5 - CIRCUITO PONTE DE WHEATSTONE 
 
A ponte de Wheatstone (circuito da Figura 8) pode ser usada para se medir uma resistência desconhecida Rx. A 
chave S2 aplica a tensão da bateria aos quatro resistores da ponte. Para equilibrar a ponte, o valor de R3 é 
 
 
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variável. O equilíbrio ou balanceamento é indicado pelo valor zero lido no galvanômetro G quando a chave S1 
estiver fechada. Para a ponte equilibrada, os pontos B e C têm o mesmo potencial. Logo, 
 
IxRx=I1R1 (1) e IxR3=I1R2 (2) 
Dividindo (1) por (2): 
 
 
Figura 8 - Circuito da ponte de Wheatstone. 
13 - ANÁLISES DE CIRCUITOS CC 
13.1 - INTRODUÇÃO 
As técnicas de análise de circuitos CC são de grande valia quando se quer calcular parâmetros de circuitos que 
possuem mais de uma fonte de energia, como é o caso de vários sistemas eletrônicos e elétricos de potência. 
Um circuito genérico possui NÓS E RAMOS. Um nó é um ponto de junção de dois ou mais elementos de circuitos. 
O nó principal é aquele que conecta pelo menos três elementos de circuitos e possui uma equação nodal 
considerável (BARTKOWIAK, 1994). O nó secundário conecta apenas dois elementos e é um nó trivial. Qualquer 
caminho entre dois nós é chamado de ramo. 
Então, baseados nas definições acima, nós podemos dizer que um circuito é complexo se há duas ou mais fontes 
 
 
Figura 50 - Exemplo de nó. 
13.1.3 - MALHA: 
Qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos formam um caminho fechado para a corrente. 
 
Figura 51 - Exemplo de malha. 
 
 
 
 
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13.2 - PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF 
 
A primeira lei é conhecida como Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) ou Lei dos Nós ou Lei das Correntes e esta 
diz que: 
 
1.“A soma algébricas de todas as correntes em um nó deve ser Zero”. 
Quando esta lei é utilizada, adota-se, arbitrariamente, as correntes que entram no nó como positivas e as 
correntes que saem do nó como negativas (ou vice-versa, desde que se seja consistente). Na figura 49 a equação 
para o nó a é: 
 
Figura 52 – Correntes entrando e saindo de um nó. 
+ I1 + I2 - I3 - I4 = 0 I1 + I2 = I3 + I4 
 
Exemplo: No circuito da figura 50, são conhecidos os valores de I1, I2 e I4. Determine I3, I5 e I6. 
 
 
Figura 53 – Circuito exemplo para LKC. 
 
I1 + I3 - I2 = 0 2 + I3 - 6 = 0 I3 = 4 A 
I2 - I4 - I5 = 0 6 - 3 - I5 = 0 I5 = 3 A 
I5 - I1 - I6 = 0 3 - 2 - I6 = 0 I6 = 1 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13.3 - SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF 
 
A segunda lei é conhecida como Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) ou simplesmente, Lei das Tensões, porém, 
antes de enunciar essa lei é necessário analisar um outro comportamento possível para as fontes de tensão num 
circuito elétrico. 
 
Num circuito elétrico formado por mais de uma fonte de alimentação, é possível que em alguma fonte a corrente 
entre pelo pólo positivo e saia pelo pólo negativo. Nesse caso, ao invés de elevar o potencial do circuito, a fonte 
estaria provocando a sua queda, isto é, ao invés de gerador, ela estaria funcionando como um receptor ativo. 
 
A Lei de Kirchhoff das Tensões diz que: 
 
 "A soma algébrica de todas as tensões tomadas num sentido determinado, em torno de um caminho fechado, 
deve ser nula". 
A segunda lei é uma conseqüência do princípio de conversação da energia e equivale igualar a energia de entrada 
à de saída. Ao escrever as equações LKT, podemos seguir o caminho em qualquer sentido (horário ou anti-
horário) e somar as subidas ou as quedas de tensão (considerando positivas as que vão de - para + ou vice-versa 
desde que se seja consistente). 
 
 
Figura 54 - Lei de Kirchhoff das Tensões. 
+ E2 + E3 - V2 - V3 - E1 - V1 = 0 E2 + E3 = V2 + V3 + E1 + V1 
Exemplo: 
1- No circuito abaixo, são conhecimentos os valores de E1, E2, V3 e V4. Determine V1 e V2. 
 
 
Equações: 
+ E1 – V2 – V1= 0 (I) 
+ E1 + V3 – E2 + V4 – V1 = 0 (II) 
+ V3 – E2 + V4 + V2 = 0 (III) 
 
Substituindo os valores em (II), temos: + 10 + 5 – 20 + 8 – V1 = 0 V1 = 3 V 
Substituindo os valores em (I), temos: + 10 – V2 – V1 = 0 V2 = 7 V 
- Fazendo uma confirmação de resultados 
Substituindo os valores em (III), temos: + 5 – 20 + 8 + V2 = 0 V2 = 7 V 
 
 
 
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2 – No circuito abaixo são conhecidos os valores de E1, E3, V1, V2 e V4. Determine E2 e V3 para que a Lei de 
Kirchhoff para Tensões seja válida. 
 
Figura 55 - Circuito exemplo. 
Obs. As polaridades de V1, V2 e V4 não são conhecidas. 
 
Equações: 
+ E1 - V1 – V2 + E2 = 0 (I) 
- E3 + V3 - E2 + V2 + V4 = 0 (II) 
- E1 – V3 + E3 – V4 + V1 = 0 (III) 
 
Substituindo os valores em (I), temos: + 15 – 17 - 8 + E2 = 0  E2 = 10V 
Substituindo os valores em (II), temos: - 25 + V3 - 10 + 8 + 5 = 0  V3 = 22 V 
 
13.4 - MÉTODO DAS MALHAS 
 
Uma malha é qualquer percurso fechado de um circuito (GUSSOW, 1996). Ao se resolver um circuito 
utilizando as correntes nas malhas, é preciso escolher previamente os percursos que formarão as 
mesmas. Em seguida, para cada malha é designada a sua corrente, sendo utilizado, por conveniência, o 
sentido horário. Aplicando-se a LKT ao longo dos percursos de cada malha, encontra-se as equações que 
determinarão as correntes de malha desconhecidas. 
Na Figura 2 tem-se um circuito com duas malhas (1 e 2). O procedimento para se determinar as correntes I1 
(malha 1) e I2 (malha 2) é: 
 
Figura 2 - Um circuito CC com duas malhas. 
1º passo: escolher as malhas e mostrar as correntes respectivas no sentido horário, indicando a polaridade de 
tensão para cada resistor, de acordo com o sentido adotado para a corrente. O fluxo convencional de corrente 
num resistor produz uma polaridade positiva onde a corrente entra. 
 
 
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 - 2o passo: aplicar a LKT ao longo de cada malha, percorrendo cada malha no sentido da corrente da malha. Pelo 
fato de haver duas correntes diferentes que fluem em sentidos opostos num mesmo resistor, aparecem dois 
conjuntos de polaridades para o mesmo (no caso da Figura 1, no resistor R2). 
Percorrendo a malha 1 no sentido abcda e aplicando a 
 
tem-se: 
Equação geral 
 
+ VA – I1R1 – I1R2 + I2R2 = 0 
+ VA – I1.(R1 + R2) + I2R2 = 0 
 I1.(R1 + R2) - I2R2 = VA (4) 
Para a malha 2, percorrendo a mesma no sentido adefa: 
- I2R2 + I1R2 – I2R3 – VB = 0 
 I1R2 – I2.(R2 + R3) = VB (5) 
- 3o passo: calcular as correntes I1 e I2 através das Equações (4) e (5). 
- 4o passo: com as correntes conhecidas, calcular todas as quedas de tensão através dos resistores utilizando a Lei 
de Ohm. 
- 5o passo: verificar a solução das correntes das malhas percorrendo a malha abcdefa (malha mais externa que 
engloba as malhas 1 e 2): 
 
 VA – I1R1 – I2R3 – VB = 0 (6) 
 
13.5 - CONSIDERAÇÕES PARA SISTEMAS DE MALHAS GENÉRICAS 
 
• Tenha em mente que circuitos com duas ou mais fontes de tensão isolada não podem ser resolvidos 
usando os métodos vistos até aqui. 
• Estudaremos um método para analisar circuitos como o da figura abaixo. 
 
 
 
 
A abordagem sistemática descrita a seguir deve ser seguida quando se aplicar este método. 
 
 
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Primeiro passo: 
a) Associe uma corrente no sentido horário a cada malha fechada independente do circuito. 
b) Não é absolutamente necessário escolher o sentido horário para todas as correntes de malha. 
c) De fato, podemos escolher qualquer sentido para cada uma dessas correntes sem alterar o 
resultado, enquanto todos os outros passos são seguidos corretamente. 
d) Entretanto, escolhendo o sentido horário como um padrão podemos desenvolver um método 
mais rápido para escrever as equações necessárias, o que poupará tempo e possivelmente 
evitará alguns dos erros mais comuns. 
 
O primeiro passo é realizado com mais eficácia quando colocamos uma corrente de malha dentro 
de cada “janela” do circuito, para assegurar que todas sejam independentes. 
Não importa como sejam escolhidas suas correntes de malha, o número de correntes deve ser igual 
ao número de janelas do circuito plano (sem interseções). 
 
• A corrente no resistor de 4 F não é I1, pois ele também é percorrido pela corrente I2. 
• Como elas possuem sentidos opostos, I de 4 F é a diferença entre I1 e I2. 
• Em outras palavras, uma corrente de malha coincide com uma corrente de ramo somente 
quando ela é a única corrente que percorre este ramo. 
Segundo passo: 
• Indique as polaridades de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o sentido da 
corrente postulado para esta malha. 
• Observe a necessidade de que sejam assinaladas polaridades para todos os componentes de 
todas as malhas. 
Terceiro passo: 
• Aplique a Lei de Kirchhoff para tensões em todas as malhas, no sentido horário. 
• Novamente, o sentido