2Lista de Geometria Analitica com resolução

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Tutoria - Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Semana 02 - 1/2018
1). Resolvendo o sistema de equac¸o˜es lineares:

−2x + y = 3
−x − y− z = 2
−3x − 2y − 2z = 0
, vemos que:
a). o sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
b). o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o (x, y, z) tal que 3x+ 2y + z = 5.
c). o sistema na˜o possui soluc¸a˜o.
d). o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o (x, y, z) tal que 3x+ 2y + z = 17.
2). Resolvendo o sistema de equac¸o˜es lineares:

2x − y − 2z + w = 1
x − y + 2z = −2
4x − 3y + 2z + w = −3
3x − 2y + z + w = −1
, vemos que:
a). o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o (x, y, z, w) tal que x+ y + z2 = 24.
b). o sistema possui infinitas soluc¸o˜es da forma (x, y, z, w) tal que x+ y + z2 = 8− 2w.
c). o sistema na˜o possui soluc¸a˜o.
d). o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o (x, y, z, w) tal que x+ y + z2 = 28− 2w.
e). o sistema possui infinitas soluc¸o˜es da forma (x, y, z, w) tal que x+ y + z2 = 28− 2w.
3). Encontre os valores reais de a para os quais o sistema linear abaixo:
a). na˜o tem soluc¸a˜o.
b). possui soluc¸a˜o u´nica.
c). possui infinitas soluc¸o˜es.
x + y − z = 2
x + 2y + z = 3
x + y (a2 − 5)z = a
4). Um nutricionista esta´ elaborando uma refeic¸a˜o que contenha os alimentos A, B e C. Cada grama
do alimento A conte´m 1 unidade de prote´ına, 2 unidades de gordura e 2 unidades de carboidratos.
Cada grama do alimento B conte´m 1 unidade de prote´ına, 1 unidade de gordura e 3 unidades de
carboidratos. Cada grama do alimento C conte´m 1 unidade de prote´ına, 4 unidades de gordura e
5 unidades de carboidratos. Se a refeic¸a˜o deve fornecer exatamente 10 unidades de prote´ına, 20
unidades de gordura e 25 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de alimento devem
ser utilizados?
5). Classifique cada uma das afirmativas a seguir como FALSA ou VERDADEIRA. Se verdadeira,
prove a afirmac¸a˜o. Se falsa, deˆ um contra-exemplo:
a). Se A, B e C sa˜o matrizes quadradas de mesmo tamanho tais que A ’e invert´ıvel, e AB = BA,
2
enta˜o B = C.
b). Se A e´ uma matriz n× n invert´ıvel e k e´ um escalar na˜o nulo, enta˜o (kA)−1 = kA−1.
c). Se A e B sa˜o matrizes n× n invert´ıveis, enta˜o (A+B)−1 = A−1 +B−1.
6). Seja Q uma matriz 3× 3 invert´ıvel tal que sua inversa e´ dada por:
Q−1 =
 −2 3 −11 −3 1
−1 2 −1
. A soma de todos os elementos da matriz Q vale:
a). -2 b). 0 c). 3 d). -4 e). -7
7). Dadas as matrizes A e B abaixo, sabendo que A = B−1, encontre os valores de α, β e γ (da
matriz B). Justifique.
A =

−2 −1 0 2
3 1 −2 −2
−4 −1 2 3
3 1 −1 −2

A =

1 α 0 2
−1 2 2 0
0 −1 0 β
1 0 1 γ

8). Uma matriz quadrada M e´ dita ortogonal quando M−1 = M t. Qual deve ser o valor de m para
que a matriz M =
[
−1 0
0 m
]
seja ortogonal?
Resoluc¸o˜es
1). Escrevendo a matriz aumentada correspondente ao sistema e fazendo o escalonamento, temos: −2 1 0 | 3−1 −1 −1 | 2
−3 −2 −2 | 0
 L1 ↔ L2
 −1 −1 −1 | 2−2 1 0 | 3
−3 −2 −2 | 0
 −L1 → l1
 1 1 1 | −2−2 1 0 | 3
−3 −2 −2 | 0

2L1 + L2 → L2
 1 1 1 | −20 3 2 | −1
−3 −2 −2 | 0
 3L1 + L3 → L3
 1 1 1 | −20 3 2 | −1
0 1 1 | −6
 L2 ↔ L3
 1 1 1 | −20 1 1 | −6
0 3 2 | −1

L1 − L2 → L1
 1 0 0 | 40 1 1 | −6
0 3 2 | −1
 −3L2 + L3 → L3
 1 0 0 | 40 1 1 | −6
0 0 −1 | 17
 L2 + L3 → L2
3 1 0 0 | 40 1 0 | 11
0 0 −1 | 17
 −L3 → L3
 1 0 0 | 40 1 0 | 11
0 0 1 | −17

Observando a matriz aumentada que foi obtida, reescrevemos o sistema:
x = 4, y = 11 e z = −17 (soluc¸a˜o u´nica). Assim, 3x+2y+ z = 12+ 22− 17 = 17 (resposta: letra d).
2). Escrevendo a matriz aumentada correspondente ao sistema e fazendo o escalonamento, temos:

1 −1 2 0 | −2
2 −1 −2 1 | 1
4 −3 2 1 | −3
3 −2 1 1 | −1

−2L1 + L2 → L2
−→
−4L1 + L3 → L3
−3L1 + L4 → L4

1 −1 2 0 | −2
0 1 −6 1 | 5
0 1 −6 1 | 5
0 1 −5 1 | 5

L3 − L2 → L3
−→
L1 + L2 → L1
L4 − L2 → L4
1 0 −4 1 | 3
0 1 −6 1 | 5
0 0 0 0 | 0
0 0 1 0 | 0

−4L4 + L1 → L1
−→
6L4 + L2 → L2

1 0 0 1 | 3
0 1 0 1 | 5
0 0 0 0 | 0
0 0 1 0 | 0

Escrevendo o sistema correspondente, temos: x + w = 3, y + w = 5 e z = 0. Temos um sistema
com infinitas soluc¸o˜es. Enta˜o: x+ y + z2 = (3− w) + (5− w) + 02 = 8− 2w.
3). Escrevendo a matriz ampliada do sistema e escalonando, temos: 1 1 −1 | 21 2 1 | 3
1 1 a2 − 5 | a
 L2 − L1 → L2−→
L3 − L1 → L3
 1 1 −1 | 20 1 2 | 1
0 0 a2 − 4 | a− 2
 L1 − L2 → L1−→ 1 0 −3 | 10 1 2 | 1
0 0 a2 − 4 | a− 2
 (*)
Para chegarmos na forma escalonada reduzida, gostar´ıamos que o pivoˆ da linha 3 fosse 1 e na˜o
a2 − 4. Para podermos multiplicar a linha 3 por 1
a2 − 4, devemos exigir que a
2 − 4 6= 0, o que na˜o
sabemos se ocorre. Assim, vamos dividir o estudo em 3 casos:
CASO 1: a2 − 4 6= 0 (ou seja: a 6= 2 e a 6= −2)
Sendo a2 − 4 6= 0, podemos continuar o escalonamento a partir da matriz (*) da seguinte forma: 1 0 −3 | 10 1 2 | 1
0 0 a2 − 4 | a− 2
 1a2−4L3 → L3−→
 1 0 −3 | 10 1 2 | 1
0 0 1 | 1
a+2

Transformando no sistema correspondente, temos:
4
x− 3z = 1 =⇒ x = 1 + 3z
y + 2z = 1 =⇒ y = 1− 2z
z =
1
a+ 2
Enta˜o:
x = 1 +
3
a+ 2
y = 1− 2
a+ 2
z =
1
a+ 2
Para cada a ∈ R− {−2, 2}, o sistema possui solua¸a˜o u´nica.
CASO 2: a = −2
Voltando a` matriz (*) e substituindo a = −2, obtemos: 1 0 −3 | 10 1 2 | 1
0 0 0 | −4

Escrevendo as equac¸o˜es correspondentes, temos:
x− 3z = 1
y + 2z = 1
0x+ 0y + 0z = −4
Se o sistema linear possu´ısse soluc¸a˜o, a terceira equac¸a˜o acima deveria ser satisfeita, o que e´
absurdo (0 = -4). Logo, o sistema na˜o possui soluc¸a˜o.
CASO 3: a = 2
Voltando a´ matriz (*) e substituindo a = 2, obtemos: 1 0 −3 | 10 1 2 | 1
0 0 0 | 0

Escrevendo as equac¸o˜es correspondentes, temos:
x− 3z = 1
y + 2z = 1
0x+ 0y + 0z = 0
A u´ltima equac¸a˜o e´ sempre verdadeira. As outras duas nos dizem que: x = 1 + 3z, y = −2z.
Assim, o sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
4). Vamos indicar:
5
x: quantidade de gramas do alimento A
y: quantidade de gramas do alimento B
z: quantidade de gramas do alimento C
Observando o que foi dito no enunciado, temos:

x+ y + z = 10
2x+ y + 4z = 20
2x+ 3y + 5z = 25
Vamos resolver esse sistema. 1 1 1 | 102 1 4 | 20
2 3 5 | 25
 L2 − 2L1 → L2−→
L3 − 2L1 → L3
 1 1 1 | 100 −1 2 | 0
0 1 3 | 5
 L2 ↔ L3−→
 1 1 1 | 100 1 3 | 5
0 −1 2 | 0
 L1 − L2 → L1−→
L3 + L2 → L3 1 0 −2 | 50 1 3 | 5
0 0 5 | 5
 15L3 → L3−→
 1 0 −2 | 50 1 3 | 5
0 0 1 | 1
 2L3 + L1 → L1−→
−3L3 + L2 → L2
 1 0 0 | 70 1 0 | 2
0 0 1 | 1

Da´ı, segue que: x = 7, y = 2 e z = 1.
Ou seja: precisamos de 7 gramas do alimento A, 2 gramas do alimento B e 1 grama do alimento
C.
5). a). VERDADEIRA
PROVA: Como A e´ invert´ıvel, existe A−1 matriz de mesmo tamanho de A tal que A−1A = In. Assim:
AB = AC =⇒ A−1AB = A−1AC =⇒ InB = InC =⇒ B = C.
b). FALSA
CONTRA-EXEMPLO: seja A =
[
1 0
0 1
]
. Temos que A e´ invert´ıvel e A−1 =
[
1 0
0 1
]
.
3A =
[
3 0
0 3
]
e (3A)−1 =
[
1
3
0
0 1
3
]
Veja que (3A)−1 6= 3A−1.
c). FALSA
CONTRA-EXEMPLO: sejam A =
[
1 0
0 1
]
e B =
[
3 0
0 3
]
. Temos que A−1 =
[
1 0
0 1
]
e B−1 =[
1
3
0
0 1
3
]
.
Ainda: A+B =
[
4 0
0 4
]
e (A+B)−1 =
[
1
4
0
0 1
4
]
6
Observe que: A−1 +B−1 =
[
1 0
0 1
]
+
[
1
3
0
0 1
3
]
=
[
4
3
0
0 4
3
]
6= (A+B)−1.
6). Temos que:
(
Q−1
)−1
= Q.
 −2 3 −1 | 1 0 01 −3 1 | 0 1 0
−1 2 −1 | 0 0 1
 L1 ↔ L2−→
 1 −3 1 | 0 1 0−2 3 −1 | 1 0 0
−1 2 −1 | 0 0 1
 2L1 + L2 → L2−→L1 + L3 → L3 1 −3 1 | 0 1 00 −3 1 | 1 2 0
0 −1 0 | 0 1 1
 L3 ↔ L2−→
 1 −3 1 | 0 1 00 −1 0 | 0 1 1
0 −3 1 | 1 2 0
 −L2 → L2−→
 1 −3 1 | 0 1 00 1 0 | 0 −1 −1
0 −3 1 | 1 2 0

3L2 + L1 → L1
−→
3L2 + L3 → L3
 1 0 1 | 0 −2 −30 1 0 | 0 −1 −1
0 0 1 | 1 −1 −3
 L1 − L3 → L1−→
 1 0 1 | −1 −1 00 1 0 | 0 −1 −1
0 0 1 | 1 −1 −3

Logo, Q =
 −1 −1 00 −1 −1
1 −1 −3
.
Assim, a soma dos elementos da matriz Q e´ igual a -7.
7). Se A = B−1, enta˜o temos que AB = I4. Vamos denotar: I4 = (xij). Temos que:
0 = x12 = −2α+ (−1).2 + 0.(−1) + 2.0 = −2α− 2 =⇒ α = −1 (usamos a coluna 1 de A com a linha
2 de B)
0 = x14 = −2.2 + (−1).0 + 0.β + 2.γ = 2γ − 4 =⇒ γ = 2 (usamos a coluna 1 de A e a linha 4 de B).
1 = x44 = 3.2 + 1.0− 1.β − 2.γ = −2γ − β + 6 =⇒ β = 2 (usamos a coluna 4 de A e a linha 4 de B).
8). Se M−1 = M t, vale enta˜o: M.M t = I2. Assim:
I2 = M.M
t =
[
−1 0
0 m
]
.
[
−1 0
0 m
]
=
[
1 0
0 m2
]
. Enta˜o: m2 = 1 =⇒ m = 1 ou m = −1.