Lista de Exercícios 4

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GAAL Exerćıcios 4: Umas soluções
1. Considere as seguintes matrizes:
A =
(
2 0
6 7
)
, B =
(
0 4
2 −8
)
, C =
(
−6 9 −7
7 −3 −2
)
D =
−6 4 01 1 4
−6 0 6
 , E =
 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
 .
Se for posśıvel, calcule
(a) AB −BA
(b) 2C −D
(c) (2Dt − 3Et)t
(d) D2 −DE.
Observe que AB 6= BA.
R:
(a)
(
−24 −20
58 24
)
6=
(
0 0
0 0
)
logo AB 6= BA.
(b) não definida pois C é 2× 3 e D não é 2× 3.
(c)
−30 −19 275 2 20
6 0 15

(d)
80 34 −2210 −4 45
72 30 −12

2. Encontre um valor de x tal que ABt = 0, em que
A =
(
x 4 −2
)
, B =
(
2 −3 5
)
.
R: ABt = 2x− 22, logo ABt = 0 se, e somente se, x = 11.
3. Mostre que as matrizes A =
(
1 1/y
y 1
)
, em que y 6= 0, verificam a equação
X2 = 2X.
R: Queremos confirmar que A2 = 2A. Calculando, obtemos
A2 = 2A =
(
2 2/y
2y 2
)
.
1
4. Mostre que se A e B são matrizees que comutam com a matriz
M =
(
0 1
−1 0
)
,
então AB = BA.
R: A matriz
(
a b
c d
)
comuta com M está dizendo que
(
a b
c d
)(
0 1
−1 0
)
=
(
−b a
−d c
)
é igual a (
0 1
−1 0
)(
a b
c d
)
=
(
c d
−a −b
)
.
Logo a = d e −b = c. Noutra direção, pode confirmar que toda matriz
com estas condições comuta com M . Então nossas matrizes A,B têm as
formas:
A =
(
a a′
−a′ a
)
, B =
(
b b′
−b′ b
)
para alguns a, a′, b, b′ ∈ R. Agora só fazemos os cálculos para confirmar
que AB = BA:
AB = BA =
(
ab− a′b′ ab′ + a′b
−a′b− ab′ ab− a′b′
)
.
5. (a) Dê um exemplo de matrizes A,B tais que (AB)2 6= A2B2.
(b) Sejam A,B matrizes tais que AB = BA. Mostre que (AB)p = ApBp
para todo p ∈ N.
R:
(a) As matrizes A,B da primeira questão, por exemplo: Temos
(AB)2 = ABAB =
(
112 −256
−448 1136
)
mas
A2B2 = AABB =
(
32 −128
−352 1800
)
(b) Vamos fazer para n = 3, o argumento geral é igual: suponha que
AB = BA. Então
(AB)3 = ABABAB = AABABB = AAABBB = A3B3.
6. Para cada item, suponha que a matriz aumentada do sistema linear AX =
B é equivalente à matrix aumentada dada. Resolva o sistema correspon-
dente.
(a)
1 0 0 −7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 −5

2
(b)
1 0 0 0 60 1 0 0 3
0 0 1 1 2

(c)

1 −6 0 0 3 −2
0 0 1 0 4 7
0 0 0 1 5 8
0 0 0 0 0 0

(d)

1 7 0 0 −8 −3
0 0 1 0 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0
.
R:
(a) Escrevendo as variáveis w, x, y, z, a variável z é livre. Colocando
z = α, obtemos das linhas 3,2,1 respetivamente que:
y + z = −5 =⇒ y = −5− z = −5− α.
x+ 3z = 2 =⇒ x = 2− 3z = 2− 3α.
w − 7z = 8 =⇒ w = 8 + 7z = 8 + 7α.
Logo a solução geral é 
8 + 7α
2− 3α
−5− α
α
 .
(b) De novo as variáveis são w, x, y, z e z é livre. Com z = α a solução
geral é 
6
3
2− α
α
 .
(c) Sejam as variáveis v, w, x, y, z. Então w, z são livres. Sejam w =
α, z = β. Temos a solução geral
−2 + 6α− 3β
α
7− 4β
8− 5β
β
 .
(d) As variáveis são v, w, x, y, z e w, z são livres.
−3− 7α+ 8β
α
5− 6β
9− 3β
β
 .
3
7. Resolva os seguintes sistemas:
(a)
 x1 + x2 + 2x3 = 8−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(b)
 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
(c)
 − 2x2 + 3x3 = 13x1 + 6x2 − 3x3 = −2
6x1 + 6x2 + 3x3 = 5
R:
(a) x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2.
(b) x3 = α livre. x1 =
−3α−1
7 , x2 =
1−4α
7 .
(c) não possui soluções.
8. Seja A =
1 0 51 1 1
0 1 −4
.
(a) Encontre a solução geral do sistema (A+ 4I3)X = 0.
(b) Encontre a solução geral do sistema (A− 2I3)X = 0.
(a) A solução geral é −α0
α
 .
(b) A solução geral é 5α6α
α
 .
9. Considere o sistema linear x − 2y + 5z = a4x − 5y + 8z = b−3x + 3y − 3z = c
Determine condições sobre a, b, c para que este sistem admita alguma
solução. Neste caso, o sistem possui uma única solução ou ele possui
infinitas soluçãoes? Dê o conjunto solução deste sistema linear.
R: Por resolvendo o sistema, vimos que a última linha da matriz é:(
0 0 0 c+ b− a
)
,
logo o sistema possui soluções se, e somente se, c+b−a = 0. Então a, b são
livres e a condição é que c = a− b. Neste caso, o sistema possui infinitas
soluções, pois a variável z é livre.
4
10. Considere o sistema linear x + 2y + z = 1x + 3y + z = 1
3x + 7y + (a2 − 1)z = a+ 1
(a) Encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem
solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Para o caso em que o sistem possui infinitas soluções, encontre a
solução geral do sistema.
R:
(a) Resolvendo o sistema, obtemos a seguinte matrix aumentada:1 2 1 10 1 0 0
0 0 a2 − 4 a− 2
 .
O sistema possui:
Única solução ⇔ a2 − 4 6= 0⇔ a 6= ±2.
Infinitas soluções ⇔ a2 − 4 = 0 e a− 2 = 0⇔ a = 2.
Zero soluções ⇔ a2 − 4 = 0 mas a− 2 6= 0⇔ a = −2.
(b) a = 2: a solução geral é 1− α0
α
 .
11. Seja A uma matrix 3 × 3. Suponha que
 1−2
3
 é solução do sistema ho-
mogêneo AX = 0. A matriz A é invert́ıvel ou não? Justifique.
R: O sistema homogêneo possui única solução se e só se A é invert́ıvel.
Já que o sistema possui mais que uma solução (pois aquela dada e 0 são
soluções distintas) a matriz A não é invert́ıvel.
12. Se posśıvel, encontre as inversas das seguintes matrizes:
(a)
1 2 31 1 2
0 1 2

(b)
1 2 31 1 2
0 1 1

(c)
1 2 30 2 3
1 2 4

(d)

1 1 1 1
1 3 1 2
1 2 −1 1
5 9 1 6

5
Caso as matrizes de partes (a), (b), (c) foram invert́ıveis, dê a solução do
sistema AX = B em qual A é a matriz da questão, e B =
14
5
.
R:
(a) Inversa é A−1 =
 0 1 −12 −2 −1
−1 1 1
. A solução de AX = B é
A−1B =
 −1−11
8
 .
(b) Não possui inversa.
(c) Inversa é A−1 =
 1 −1 03/2 1/2 −3/2
−1 0 1
. A solução de AX = B é
A−1B =
−3−4
4
 .
(d) Não possui inversa.
13. Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A =
1 1 01 0 0
1 2 a

tem inversa.
R: Podemos mexer com formas escalonadas, ou podemos calcular o deter-
minante. Usando a terceira coluna, obtemos facilmente que det(A) = −a.
Logo A é invert́ıvel se, e somente se, det(A) = −a 6= 0. Ou seja, A
invert́ıvel se, e somente se, a 6= 0.
14. Sejam A,B matrizes quadradas. Mostre que se a matriz AB for invert́ıvel,
então ambos A e B são invert́ıveis
[dica: use o fato que o sistema linear CX = 0 possui solução única se,
e somente se, C é invert́ıvel. Use que uma solução não trivial de BX =
0 daria uma solução não trivial de (AB)X = 0 para concluir que B é
invert́ıvel. Use esta fato para mostrar que A também é invert́ıvel.]
R: Suponha que B é não invert́ıvel. Então o sistema BX = 0 possui
solução não trivial S 6= 0. Logo BS = 0. Multiplicando os dois lados por
A, obtemos que ABS = A0 = 0, logo S é solução não trivial do sistema
ABX = 0, mostrando que AB não é invert́ıvel.
Segue que AB invert́ıvel implica que B é invert́ıvel. Agora, já que B é
invert́ıvel, obtemos que A = (AB)B−1 é produto de duas matrizes in-
vert́ıveis. Logo A também é invert́ıvel.
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