3lista de Geometria Analitica com resolução

Prévia do material em texto

1
Tutoria - Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Semana 03 - 01/2018
1). Considere a matriz C =

1 −1 0 2
−1 2 2 0
0 −1 0 1
1 0 1 2
. Se A e´ uma matriz 4× 4 tal que detA = 4, quanto
vale o determinante da matriz AC?
2). Encontre os valores de a para que o sistema homogeˆneo

2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + az = 0
tenha
infinitas soluc¸o˜es.
3). Sejam B e C matrizes 3 × 3 tais que det(B) = 10 e det(C) = −4. Se D = (2BC)−1, calcule o
determinante de D.
4). Dadas as matrizes A =
 3 0 0−1 1 0
0 2 −2
, B = [ 3 1−1 0
]
e C =
 1 −10 1
−1 0
, encontre a matriz
X tal que A−1XB−1 = (adjA)C.
5). A partir de uma matriz A de tamanho 3×3, fizemos as seguintes operac¸o˜es elementares, obtendo,
sequencialmente, as matrizes B, C e D:
A 3× 2alinha→ 2alinha B 1alinha↔ 3alinha C 4× 1alinha+ 2alinha→ 2alinha D
Se D =
 3 2 −10 1 2
0 0 5
, calcule o determinante de A.
6). Se A e´ uma matriz quadrada invert´ıvel tal que A−1 = At (ou seja, sua inversa e´ igual a sua
transposta), prove que detA = 1 ou detA = −1.
7). Se E e´ uma matriz 3 × 3 tal que E3 = 0, mostre que (I3 − E + E2)−1 = I3 + E. (I3 denota a
matriz identidade 3× 3).
8). Seja C =
 0 2 1−1 0 1
0 0 1
 e considere ainda uma matriz invert´ıvel P tal que P−1 =
 2 0 05 2 −1
2 0 1
.
2
a). Determine a matriz M tal que MP = 3C.
b). Resolva os sistema linear PX = B, onde X =
 xy
z
 e B =
 −10
1
.
RESOLUC¸O˜ES:
1). OBS: na resoluc¸a˜o abaixo, sera´ usado o me´todo de cofatores para todas as contas de determinantes
(Me´todo de Laplace). Quando estivermos trabalhando com uma matriz 3× 3, podemos calcular seu
determinante usando outros me´todos (Sarrus, por exemplo), a menos que o problema exija o uso dos
cofatores (na˜o e´ o caso deste exerc´ıcio).
Temos: detAC = det(A) det(C). Vamos calcular enta˜o o determinante de C. (Escolhi a linha 3
de C para o ca´lculo do determinante de C).
detC = c31c˜31 + c32c˜32 + c33c˜33 + c34c˜34, onde
c˜ij = (−1)i+j det C˜ij (a matriz C˜ij e´ uma matriz 3 × 3 neste caso obtida de C depois de retirada a
linha i e coluna j de C).
detC = 0c˜31 + (−1)c˜32 + 0c˜33 + 1c˜34 = −c˜32 + c˜34
c˜32 = (−1)3+2 det
 1 0 2−1 2 0
1 1 2
 = − det
 1 0 2−1 2 0
1 1 2

c˜34 = (−1)3+4 det
 1 −1 0−1 2 2
1 0 1
 = − det
 1 −1 0−1 2 2
1 0 1

Chamando D =
 1 0 2−1 2 0
1 1 2
 e B =
 1 −1 0−1 2 2
1 0 1
, usando cofatores, vamos calcular o deter-
minante de D e B.
(Usando a linha 1 de D): detD = d11d˜11 + d12d˜12 + d13d˜13 = d˜11 + 2d˜13 = (−1)1+1 det
[
2 0
1 2
]
+
2(−1)1+3 det
[
−1 2
1 1
]
= 4 + 2(−1− 2) = −2.
(Usando a coluna 3 de B): detB = b13b˜13+b23b˜23+b33b˜33 = 2b˜23+1b˜33 = 2(−1)2+3 det
[
1 −1
1 0
]
+
(−1)3+3 det
[
1 −1
−1 2
]
= −2.1 + 2− 1 = −1.
3
Assim:
c˜32 = − detD = 2 e c˜34 = − detB = 1. O determinante de C vale: detC = c˜34 − c˜32 = 1− 2 = −1.
Logo, detAC = det(A) det(C) = −4.
2). Neste exerc´ıcio, usaremos o teorema:
Teorema: Seja A uma matriz n × n. Enta˜o, o sistema homogeˆneo AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial
(ou seja, infinitas soluc¸o˜es) se, e somente se, detA = 0.
Escrevendo o sistema dado na forma matricial, temos AX = 0, onde A =
 2 −5 21 1 1
2 0 a
, X =
 xy
z
 e 0 denota a matriz nula 3× 1.
Para que o sistema possua infinitas solua¸o˜es, devemos ter detA = 0. Ou seja (escolhi a coluna 2
para os ca´lculos; pode-se usar Sarrus):
detA = a12a˜12+a22a˜22+a32a˜32 = −5a˜12+ a˜22 = −5(−1)1+2 det
[
1 1
2 a
]
+(−1)2+2 det
[
2 2
2 a
]
=
7a− 14
detA = 0 =⇒ 7a− 14 = 0 =⇒ a = 2.
3). Temos que: detD = det
(
(2BC)−1
)
=
1
det (2BC)
=
1
23 det(BC)
=
1
8 det(BC)
=
1
8(detB)(detC)
=
− 1
320
4). Temos:
A−1XB−1 = (adjA)CBt
AA−1XB1 = A(adjA)CBt
I3XB
−1 = (detA)I3CBt
XB−1 = (detA)CBt
XB−1B = (detA)CBtB
XI2 = (detA)CB
tB
X = (detA)CBtB
detA = 3 · 1(−2) = −6
Bt =
[
3 −1
1 0
]
Fazendo as contas:
4
X = −6
 1 00 1
−1 0
[3 −1
3 1
]
= −6
 1 00 1
−1 0
[10 3
3 1
]
= −6
 10 33 1
−10 −3
 =
−60 −80−18 −6
60 18

5). Temos que: detD = 3.1.5 = 15 (a matriz D e´ trainagular superior; portanto, seu determinante e´
o produto dos elementos da diagonal principal).
Podemos escrever:
detB = 3detA
detC = − detB
detD = detC
Enta˜o: detC = detD = 15
detB = − detC = −15
detA =
1
3
detB =
1
3
(−15) = −5.
6). A−1 = At =⇒ detA−1 = detAt =⇒ 1
detA
= detA =⇒ (detA)2 = 1 =⇒ detA = 1 ou detA =
−1.
7). Temos:(
I3 − E + E2
)
. (I3 + E) = I3.I3+ I3.E−E.I3−E.E+E2.I3+E2.E = I3+E−E−E2+E2+E3 =
I3 + E
3 = I3 + 0 = I3.
Logo:
(
I3 − E + E2
)−1
= I3 + E.
8). a). Temos que: MP = 3C =⇒ MPP−1 = 3CP−1 =⇒ MI3 = 3CP−1 =⇒ M = 3CP−1.
Fazendo as contas:
M = 3
 0 2 1−1 0 1
0 0 1

 2 0 05 2 −1
2 0 1
 = 3
 0 + 10 + 2 0 + 4 + 0 0− 2 + 1−2 + 0 + 2 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1
0 + 0 + 2 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1
 = 3
 12 4 −10 0 1
2 0 1

=
 36 12 −30 0 3
6 0 3

b). PX = B =⇒ P−1PX = P−1B =⇒ I3X = P−1B =⇒ X = P−1B.
Fazendo as contas:
X =
 2 0 05 2 −1
270 1

 −10
1
 =
 −2 + 0 + 0−5 + 0− 1
−2 + 0 + 1
 =
 −2−6
−1
.