LISTA 2 - Cálculo Diferencial e Séries - 1º sem 2018

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lista de exerc´ıcios
func¸o˜es de va´rias varia´veis
Adilson E. Presoto
A lista contempla a Sec¸a˜o 1 do Cap´ıtulo 15 da refereˆncia [2].
1. Represente graficamente o domı´nio da func¸a˜o z = f(x, y) abaixo
a) x+ y − 1 + z2 = 1, z ≤ 0 e) f(x, y) = x− y√
1− x2 − y2
b) z =
√
y − x2 +
√
2x− y f) z = ln (2x2 + y2 − 1)
c) x2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0 g) z =
√
|x| − |y|
d) 4x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0 h) z = x− y
sen x− sen y
2. Seja f : R2 → R uma func¸a˜o linear. Sabendo que f(0, 1) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule f(x, y).
3. Desenhe as curvas de n´ıvel e esboce o gra´fico
a) f(x, y) = x+ 3y e) z =
√
x2 + y2
b) f(x, y) = 1 + x2 + y2 f) f(x, y) =
1√
1− x2 − y2 x
2 + y2 < 1
c) f(x, y) =
√
1− x2 − y2 g) f(x, y) = sen x, 0 ≤ x ≤ pi, y ≥ 0
d) f(x, y) = x2, −1 ≤ x ≤ 0 e y ≥ 0 h) f(x, y) = xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
4. Fac¸a uma correspondeˆncia entre a func¸a˜o e seu gra´fico (idenficados por I) - VI)). Justifique a sua escolha.
a) f(x, y) = |x|+ |y| d) f(x, y) = |xy|
b) f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
e) f(x, y) = (x2 − y2)2
c) f(x, y) = (x− y)2 f) f(x, y) = sen (|x|+ |y|)
−4 −2
2 4
−4
−2
2
4
0.5
1
x
y
z
I)
−2 −1
1 2−1
1
5
10
x
y
z
II)
−2 −1
1 2
−2
2
−0.5
0.5
x
y
z
III)
1
−2 −1
1 2−1
1
10
x
y
z
IV)
−2 −1
1 2−1
1
1
2
x
y
z
V)
−2 −1
1 2−1
1
2
x
y
z
VI)
5. Suponha que T (x, y) = 4x2 + 9y2 representa uma distribuic¸a˜o de temperatura no plano xy: T (x, y) e´ a
temperatura, que podemos supor em oC, no ponto (x, y).
(a) Desenhe a isoterma correspondente a` temperatura de 36oC. (Uma isoterma a` temperatura k e´ os
conjuntos dos pontos cuja temperatura e´ k).
(b) Determine o ponto de mais baixa temperatura na reta x+ y = 1.
6. Se V (x, y) e´ o potencial ele´trico em um ponto (x, y) no plano xy, enta˜o as curvas de n´ıvel de V sa˜o
chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial e´ ele´trico e´ o mesmo.
Esboce algumas curvas equipotenciais de
V (x, y) =
c√
r2 − x2 − y2 ,
onde c e´ uma constante positiva.
7. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f cuja curvas de n´ıvel sa˜o dadas abaixo.
a)
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
1
1
2
2
5
5
5
10
10
10
10
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
b)
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
5
5
5
5
10
1013
1314
1415
15 c)
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
1
2
44
6
6
6
8
88
8
10
10
10
10
10
8. Represente geometricamente o domı´nio da func¸a˜o dada.
a) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2 d) w =√1− |x| − |y| − |z|
b) f(x, y, z) =
√
1− z e) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2)
c) f(x, y, z) =
√
1− x− y − z, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0
9. Desenhe a superf´ıcie de n´ıvel correspondente a c = 1
a) f(x, y, z) = x d) f(x, y, z) = x2 + y2
b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2 e) f(x, y, z) =
√
x2 + 4y2 + z2
10. Fac¸a uma correspondeˆncia entre a func¸a˜o, seu gra´fico (idenficados por I) - VI)) e seus mapas de contorno
(identificados por α)− ζ)). Justifique a sua escolha.
a) f(x, y) = sen (xy) c) f(x, y) = (1− x2)(1− y2) e) f(x, y) = senx− sen y
b) f(x, y) = sen (x− y) d) f(x, y) = ex cos y f) f(x, y) = x− y
1 + x2 + y2
.
2
−2
2
−5
5
−5
5
x
y
z
I)
−5
5
−5
5
−0.5
0.5
x
y
z
II)
−5
5
−6 −4 −2
2 4 6
−2
−1
1
2
x
y
z
III)
−2
2
−2
2
10
x
y
z
IV)
−2 −1
1 2
−2
2
−1
−0.5
0.5
1
x
y
z
V)
−2
2
−2
2
−1
−0.5
0.5
1
x
y
z
VI)
α) β) γ)
δ) �) ζ)
Refereˆncias
[1] Guidorizzi, L.H., Um curso de ca´lculo vol. 2, 5aedic¸a˜o, LTC, Rio de Janeiro, 2012.
[2] Stewart, J., Ca´lculo vol. 2, 5a edic¸a˜o, Cengage Learning, Sa˜o Paulo, 2009.
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