Topografia Aula 04

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• Prof. M.Sc. 
• Janilton Maciel Ugulino
TOPOGRAFIA
Aula 04
Altimetria: 
Levantamento Composto
OBJETIVOS
• Nivelamento geométrico 
composto 
• Distribuição de erros 
• Nivelamento em 
percurso fechado
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
SIMPLES
• Na aula passada, nivelamento simples 
– Diferença de um referencial para outro
Plano Horizontal
RN: 100m 
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
SIMPLES
• Em campo, usamos o nível
A
B
1,875m 0,145m
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
SIMPLES
• Medida de diferenças de nível 
– Baseada em um único referencial 
• Distâncias de até 70m... 
– 100m com muito esforço, e baixa precisão
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Medir diferenças em distâncias maiores?
Plano de Referência
h1
h2
h3
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Medir diferenças em distâncias maiores? 
– Medir em várias etapas!
Plano de Referência
h1
h2
h3
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Usamos: referência temporária em cada etapa!
Plano de Referência
h1
h2
h3
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Usamos: referência temporária em cada etapa!
Plano de Referência
h1
h2
h3
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Usamos: referência temporária em cada etapa!
Plano de Referência
h1
Δcota2 
h3 
Δcota1 
h2
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Em campo... 
– Referência Temporária: Ré 
– Ponto medido: Vante
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923
E2 2,799
E3 1,851
E3 2,097
E4 1,339
E4 1,925
E5 1,823
E5 1,550
E6 2,580
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923
E2 2,799
E3 1,851
E3 2,097
E4 1,339
E4 1,925
E5 1,823
E5 1,550
E6 2,580
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923
E2 2,799
E3 1,851
E3 2,097
E4 1,339
E4 1,925
E5 1,823
E5 1,550
E6 2,580
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923 865,001
E2 2,799
E3 1,851
E3 2,097
E4 1,339
E4 1,925
E5 1,823
E5 1,550
E6 2,580
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923 865,001
E2 2,799
E3 1,851 865,949
E3 2,097
E4 1,339 866,707
E4 1,925
E5 1,823 866,809
E5 1,550
E6 2,580 865,779
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Outro caso...
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Referência Temporária: Ré 
• Ponto medido: Vante ou Vante de Mudança 
• Vante de Mudança: passará a ser referência 
– Para medidas seguintes, será a nova “Ré”
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• Referência Temporária: Ré 
• Ponto medido: Vante ou Vante de Mudança 
• Vante de Mudança: passará a ser referência 
– Para medidas seguintes, será a nova “Ré”
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
• É usual chamar as “vantes não de mudança”... 
– ... de Detalhes 
• E chamar de vante as vante de mudança
Detalhe B Detalhe C
Detalhe E Detalhe F
Vante D
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923
E3 1,851
E3 2,097
E4 1,339
E6 1,925
E6 1,823
E7 1,550
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923 865,001
E3 1,851
E3 2,097
E4 1,339
E6 1,925
E6 1,823
E7 1,550
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923 865,001
E3 1,851 865,073
E3 2,097
E4 1,339 865,831
E6 1,925
E6 1,823
E7 1,550
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923 865,001
E3 1,851 865,073
E3 2,097
E4 1,339 865,831
E6 1,925 865,245
E6 1,823
E7 1,550
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,498 865,426
E2 1,923 865,001
E3 1,851 865,073
E3 2,097
E4 1,339 865,831
E6 1,925 865,245
E6 1,823
E7 1,550 865,518
Montagem de planilha de campo
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto Visado Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m) Cota Provisória (m) Altitude (m)
RN 40,6 1,498 865,426
E2 40,1 1,923 865,001
E3 39,2 1,851 865,073
E3 38,9 2,097
E4 43,4 1,339 865,831
E6 43,6 1,925 865,245
E6 42,5 1,823
E7 41,7 1,550 865,518
É usual, ainda, indicar a distância
ESTADIA
Alguns níveis e teodolitos possuem 4 retículos
ESTADIA
• Usamos as leituras de A e B para confirmar M
Confira!
NIVELAMENTO GEOMETRICO 
COMPOSTO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426
E2 2,1231,722 40,1 1,923 865,001
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
É usual, ainda, indicar a distância
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,6011,199 30,2 865,426
E2 2,1201,722 29,8
E2 1,3950,999 31,3
E3 1,7801,378 32,2
E4 1,5571,121 28,7
E5 2,2181,812 29,6
E5 2,0321,615 30,1
E6 1,7581,342 33,2
1. Complete a planilha abaixo
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,6011,199 30,2 1,400 865,426
E2 2,1201,722 29,8 1,921 864,905
E2 1,3950,999 31,3 1,197
E3 1,7801,378 32,2 1,579 864,523
E4 1,5571,121 28,7 1,339 864,763
E5 2,2181,812 29,6 2,015 864,087
E5 2,0321,615 30,1 1,823
E6 1,7581,342 33,2 1,550 864,36
Resolvendo os exercícios
FIXANDO OS EXERCÍCIOS
Levantamento Geométrico Simple
FIXANDO OS EXERCÍCIOS
Levantamento Geométrico Simple
FIXANDO OS EXERCÍCIOS
Levantamento Geométrico Simple
Ponto 
Visado
Plano de 
referência
Leitura na Mira Cotas ou 
altitudes
OBS
Ré Vante
A 2,80 10,00
B 1,70
C 0,40
D 3,40
FIXANDO OS EXERCÍCIOS
Levantamento Geométrico Simple
Ponto 
Visado
Plano de 
referência
Leitura na Mira Cotas ou 
altitudes
OBS
Ré Vante
A 12,80 2,80 10,00
B 1,70 11,10
C 0,40 12,40
D 3,40 9,40
Obs: em negrito estão os dados com informação de campo, e os demais os dados calculados
FIXANDO OS EXERCÍCIOS
Levantamento Geométrico Composta
FIXANDO OS EXERCÍCIOS
Levantamento Geométrico Composta
Tabela 1
Ponto 
Visado
Plano de 
referência
Leitura na Mira Cotas ou 
altitudes
OBS
Ré Vante
A 2,95 10,00
B 1,00
B (bis*) 3,15
C 0,35
D 3,00
E 0,80
E (bis*) 2,15
F 1,05
FIXANDO OS EXERCÍCIOS
Levantamento Geométrico Composta
Tabela 1
Ponto 
Visado
Plano de 
referência
Leitura na Mira Cotas ou 
altitudes
OBS
Ré Vante
A 12,95 2,95 10,00
B 1,00 11,95
B (bis*) 15,10 3,15
C 0,35 14,75
D 3,00 12,10
E0,80 14,30
E (bis*) 16,45 2,15
F 1,05 15,40
Obs: em negrito estão os dados com informação de campo, e os demais os dados calculados
* significa que este ponto foi medido duas vezes, sendo uma visada de vante e outra de ré
DETERMINAÇÃO DE ERRO
a. Considerando Nivelamento de Poligonal Fechado 
Quando se executa em uma poligonal fechada (ou em looping), ou seja, 
quando se parte de um ponto de cota conhecido em geral de uma RN, e 
termina-se nesse mesmo ponto, significa que a cota final deverá ser igual a 
cota inicial. Logo, a diferença entre a cota inicial e a cota final é o erro 
cometido no nivelamento: 
Onde: 
En - Erro cometido no nivelamento 
Cf - Cota final 
Ci - Cota inicial 
Se Cf > Ci (erro por excesso) 
 Cf < Ci (erro por falta)
DETERMINAÇÃO DE ERRO
b. Considerando Nivelamento de Poligonal Aberta 
Quando se executa em uma poligonal aberta, ou seja, quando se parte de 
um ponto e chega-se em outro ponto, a única maneira de se verificar sua 
exatidão e controlar o erro por ventura cometido consiste em repetir o 
nivelamento de trás para frente, o que se denomina Contranivelamento. 
Na operação de contranivelamento, não é necessário nivelar todas as 
estacas do nivelamento, bastando fazer o nivelamento dos pontos auxiliares 
para que, partindo do último, retorne-se ao ponto de partida. 
A diferença entre a conta do ponto de partida e a cota que for calculada para 
o ponto de partida ao final do contra nivelamento é o erro cometido no 
nivelamento:
DEFINIÇÃO DA TOLERÂNCIA
A definição de tolerância nos nivelamentos varia de acordo com as 
irregularidades do relevo do terreno e com o numero de estações 
niveladas (distância nivelada). Para nivelamentos taqueométricos, a 
ABNT (1994), por exemplo, considera-se uma tolerância conforme a 
fórmula abaixo, para poligonais principais, sendo “k"a extensão 
nivelada em km, medida em um único sentido.
DISTIBUIÇÃO DO ERRO
Quando erro está dentro da tolerância estabelecida, ele é 
denominado de Erro Admissível. 
No caso do nivelamento geométrico, a correção deverá ser 
introduzida em cada mudança da posição do nível, ou, mais 
precisamente, nas visadas ré, sendo igual à divisão do erro 
admissível pelo numero de instalações do nível: 
DISTIBUIÇÃO DO ERRO
A correção será feita com sinal contrário ao do erro no nivelamento:
Outra característica é que a correção será cumulativa, de modo a 
compensar as correções anteriores, deve-se ainda observar que: 
• Para a correção, deve-se evitar valores menores do que o milímetro, em 
virtude da precisão das visadas dos nivelamentos topográficos; logo, em 
caso de valores sem divisão exata (decimais), deve-se arredondar e adotar 
valores inteiros em milímetro. 
• Com a alteração da leitura da visada ré, com a respectiva alteração do PR, 
todas as cotas deverão ser recalculadas
DISTIBUIÇÃO DO ERRO
Para o caso do nivelamento trigonométrico de uma poligonal, após 
calcular o erro e sua tolerância, sugere-se a seguinte expressão:
Pode-se ainda, distribuir o erro proporcionalmente às distâncias dos 
lados da poligonal.
ERRO TOLERÁVEL
• Imagine: sabemos a cota de 2 extremos 
• Queremos medir as cotas intermediárias
• Vamos medir uma a uma...
RN1: 100m
140m
165m
133m
170m
195m
186m
850m
240,004m RN2: 240m 
210m240,004m ≠ 240m
Será que esse erro é tolerável?
ERRO TOLERÁVEL
• O erro ser tolerável depende da: 
– Precisão do levantamento 
– Distância entre os pontos medidos com diferença de cota
• A fórmula para o erro tolerável é:
𝑓 = 𝑘 . 𝑠 
– f – Erro tolerável (em mm);
– k – Cte. de precisão do levantamento (usamos 10mm/km1/2); 
– s – Distância entre os pontos, em km. 
𝑓 = 10 . 𝑠
ERRO TOLERÁVEL
• Valor obtido tem uma diferença de 4mm 
• O erro é tolerável!
• No caso do exemplo: 
– k = 10mm/km1/2 
– s = 0,85km 
𝑓 = 10 . 
• f = 9,2mm
0,85
!
DISTRIBUINDO O ERRO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426
E2 2,1231722 40,1 1,923 865,001
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
E se descobrimos que N(E7) = 865,522? Erro de 4mm
DISTRIBUINDO O ERRO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426
E2 2,1231722 40,1 1,923 865,001
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
Primeiro, verificamos se o erro é tolerável
Pontos de Detalhes não 
entram na conta
DISTRIBUINDO O ERRO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Altitude (m)
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426
E2 2,1231722 40,1 1,923 865,001
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
Primeiro, verificamos se o erro é tolerável
Soma: 246,5m f = 10 . 0,2465 f = 5mm
4mm < 5mm → OK
DISTRIBUINDO O ERRO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Ajuste
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426 +0
E2 2,1231722 40,1 1,923 865,001 +1
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
Se é tolerável vamos dividir o erro
Soma: 246,5m 4 / 246,5 = 0,0162mm
RN→E2 = 80,70 
80,70*0,0162=1,3mm
DISTRIBUINDO O ERRO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Ajuste
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426 +0
E2 2,1231722 40,1 1,923 865,001 +1
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073 +1
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
Se é tolerável vamos dividir o erro
Soma: 246,5m 4 / 246,5 = 0,0162mm
RN→E3 = 79,80 
79,80*0,0162=1,3mm
DISTRIBUINDO O ERRO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Ajuste
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426 +0
E2 2,1231722 40,1 1,923 865,001 +1
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073 +1
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831 +3
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
Se é tolerável vamos dividir o erro
Soma: 246,5m 4 / 246,5 = 0,0162mm
RN→E4 = 162,1 
162,1*0,0162=2,6mm
DISTRIBUINDO O ERRO
Ponto 
Visado Estadia (m) Distância (m) Mira ré (m) Mira Vante (m) Detalhe (m)
Cota 
Provisória (m) Ajuste
RN 1,7011,295 40,6 1,498 865,426 +0
E2 2,1231722 40,1 1,923 865,001 +1
E3 2,0951,656 39,2 1,851 865,073 +1
E3 2,3141,880 38,9 2,097
E4 1,5571,121 43,4 1,339 865,831 +3
E6 2,3171,712 43,6 1,925 865,245
E6 2,0321,615 42,5 1,823
E7 1,7481,352 41,7 1,550 865,518
Se é tolerável vamos dividir o erro
Soma: 246,5m 4 / 246,5 = 0,0162mm
RN→E6 = 162,1 
162,1*0,0162=2,6mm
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Apresentado a figura abaixo de um nivelamento 
geométrico composto e responda e preencha a 
planilha: 
a. Calcule as Cotas dos pontos; 
b.Verifique o calculo da planilha; 
c.Determine o erro do nivelamento; 
d. Defina a tolerância (considerando o comprimento 
nivelado k=1.385m); 
e.Distribua o erroEXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Ponto 
Visado
Plano de 
Referência Mira ré (m) Mira Vante (m)
Cota/Altitude
(m)
Correção 
Acumulada Cota Corrigida OBS
RN 0,438 50,000
A 1,795
B 3,542
bis 0,509
C 2,064
D 3,285
bis 3,811
E 2,053
F 0,276
bis 3,794
G 2,082
RN 1,444
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. Calcule as Cotas dos pontos; 
PR = Cota + Ré 
PRRN = CotaRN + RéRN = 50,0000+0,438 = 50,438m 
CotaA = PRRN - VanteA = 50,438-1,795 = 48,643m 
CotaB = PRRN - VanteB = 50,438-3,542 = 46,896m 
PRB = CotaB + RéB = 46,896+0,509 = 47,405m 
Cotac = PRB - Vantec = 47,405-2,064 = 45,339m 
CotaD = PRB - VanteD = 47,405-3,285 = 44,120m 
PRD = CotaD + RéD = 44,120+3,811 = 47,931m 
CotaE = PRD - VanteE = 47,931-2,053 = 45,878m
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Ponto 
Visado
Plano de 
Referência Mira ré (m) Mira Vante (m)
Cota/Altitude
(m)
Correção 
Acumulada Cota Corrigida OBS
RN 50,438 0,438 50,000
A 1,795 48,643
B 3,542 46,896
bis 47,405 0,509
C 2,064 45,341
D 3,285 44,120
bis 47,931 3,811
E 2,053 45,878
F 0,276 47,655
bis 51,449 3,794
G 2,082 49,367
RN 1,444 50,005
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
b. Verifique o Cálculo da Planilha; 
∑Ré - ∑Vante = CotaChegada - CotaInício 
∑Ré = 0,438+0,509+3,811+3,794 = 8,552m 
∑Vante= 3,542+3,285+0,276+1,444 = 8,547m 
CotaChegada = 50,005m 
CotaInício = 50,000m 
∑Ré - ∑Vante = CotaChegada - CotaInício 
8,552-8,547 = 50,005-50,000 
0,005m = 0,005m
Considerar 
apenas Vante 
de mudança
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
b. Determine o erro do Nivelamento; 
é uma poligonal fechada logo: 
E=Cotaf - Cotai 
Ci = 50,000 e Cf = 50,005 
E = 50,005-50,000 → E = +0,005m (+5mm, por excesso)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
c. Defina a tolerância; 
Comprimento nivelado K=1.385,00m; 
Nivelamento de precisão de 2ª ordem - fator = 12mm 
T = fator . √K → T = 12mm . √1,385 → T = ±14,1mm 
T ≌ ±14mm
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
c. Distribua o erro admissível; 
Sendo o erro admissível, por excesso, a correção terá 
sinal contrário (negativo), dado pela expressão: 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Ponto 
Visado
Plano de 
Referência Mira ré (m) Mira Vante (m)
Cota/Altitude
(m)
Correção 
Acumulada Cota Corrigida OBS
RN 50,438 0,438 50,000
A 1,795 48,643 -0,001 48,642
B 3,542 46,896 -0,001 46,895
bis 47,405 0,509
C 2,064 45,341 -0,002 45,339
D 3,285 44,120 -0,002 44,118
bis 47,931 3,811
E 2,053 45,878 -0,003 45,875
F 0,276 47,655 -0,003 47,652
bis 51,449 3,794
G 2,082 49,367 -0,005 49,362
RN 1,444 50,005 -0,005 50,000
BOA NOITE A TODOS