Estudo de Análise de Treliças

Prévia do material em texto

See	discussions,	stats,	and	author	profiles	for	this	publication	at:	https://www.researchgate.net/publication/301298120
Estudo	e	Análise	de	Treliças
Technical	Report	·	April	2016
DOI:	10.13140/RG.2.1.1816.8724
CITATIONS
0
READS
10,117
1	author:
Some	of	the	authors	of	this	publication	are	also	working	on	these	related	projects:
Indoor	air	quality	regulation	through	the	usage	of	eco-efficient	mortars:	INDEEd	-	INDoor	Eco	Efficient
View	project
Idalia	Gomes
Instituto	Politécnico	de	Lisboa
32	PUBLICATIONS			108	CITATIONS			
SEE	PROFILE
All	content	following	this	page	was	uploaded	by	Idalia	Gomes	on	15	April	2016.
The	user	has	requested	enhancement	of	the	downloaded	file.
 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO DE LISBOA 
INSTITUTO SUPERIOR ENGENHARIA DE LISBOA 
Área Departamental de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO E ANÁLISE DE 
TRELIÇAS 
 
 
 
Unidade Curricular de Estática 
 
 
Maria Idália da Silva Gomes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abril de 2016 
 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC i 
 
ÍNDICE DO TEXTO 
1.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 4 
1.2. ABORDAGEM HISTÓRICA .......................................................................................... 5 
1.3. DEFINIÇÃO DE TRELIÇAS .......................................................................................... 6 
1.4. ESTATICIDADE DE UMA TRELIÇA ........................................................................... 9 
1.4.1. Estaticidade global ............................................................................................. 14 
1.4.2. Estaticidade interior ........................................................................................... 15 
1.4.3. Estaticidade exterior ........................................................................................... 16 
1.4.4. Conclusão ........................................................................................................... 16 
1.5. CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO ................. 18 
1.4.1. Treliça Simples .................................................................................................... 18 
1.4.2. Treliças compostas .............................................................................................. 19 
1.4.3. Treliças complexas .............................................................................................. 20 
1.6. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM TRELIÇAS ............................................... 21 
1.4.1. Considerações ..................................................................................................... 21 
1.4.2. Equilíbrio dos nós ............................................................................................... 22 
1.4.3. Método de Ritter ................................................................................................. 23 
2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ......................................................................................... 28 
2.1. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 30 
1.5.1. 
 
1.5.2. 
 
1.5.3. 
 
1.6.1. 
 
1.6.2. 
 
1.6.3. 
 
3.1. 
 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC iii 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
Figura 1 - Tipos de treliças usadas em coberturas (coluna da esquerda) e pontes ou passagens 
superiores (coluna da direita) ................................................................................................................ 5 
Figura 2 - Ponte de Apollodorus sobre o Danúbio .................................................................................. 6 
Figura 3 - (a) Treliça tridimensional - carrinho de avanço e (b) Treliça plana ....................................... 7 
Figura 4 - Composição de uma treliça ..................................................................................................... 7 
Figura 5 - Ponte de treliça, com transmissão de cargas do pavimento para os nós da treliça ................. 8 
Figura 6 - Barras de treliças sujeitas: à esquerda, à compressão e, à direita, à tracção ........................... 9 
Figura 7 - Sistemas estruturais: (a) elemento triangular; (b) elemento rectangular e (c) elemento 
poligonal ............................................................................................................................................. 10 
Figura 8 - Treliça simples ...................................................................................................................... 10 
Figura 9 - Treliças estaticamente indeterminadas: (a) colocação adicional de uma barra e (b) colocação 
adicional de um apoio móvel .............................................................................................................. 11 
Figura 10 - Apoio móvel ....................................................................................................................... 12 
Figura 11 - Articulação móvel da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, 1885 ............................................ 12 
Figura 12 - Articulação móvel da ponte ferroviária Zarate Brazo, Argentina, 1978 ............................. 12 
Figura 13 - Articulação móvel da ponte Millennium, sobre o rio Tâmisa, Londres, 2000 ................... 12 
Figura 14 - Apoio fixo ........................................................................................................................... 13 
Figura 15 - Articulações fixas da ponte ferroviária, Argentina, 1978 ................................................... 13 
Figura 16 - Articulação fixa da Estação Mapocho, actualmente Centro Cultural, Santiago, Chile, 1912
 ............................................................................................................................................................ 13 
Figura 17 - Articulação fixa da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, 1885 ................................................ 13 
Figura 18 - Apoio pendular ................................................................................................................... 14 
Figura 19 - Exemplos de apoios pendulares .......................................................................................... 14 
Figura 20 - Treliça globalmente isostática estável ................................................................................ 16 
Figura 21 - Treliça globalmente isostática instável ............................................................................... 17 
Figura 22 - Treliça instável: (a) configuração imprópria, (b) número inadequado de barras e (c) treliça 
interiormente isostática, exteriormente - número inadequado de reacções de apoio. ......................... 17 
Figura 23 - Formação de uma treliça simples de ponte Howe .............................................................. 18 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC ivFigura 24 - Formação de uma treliça simples de telhado Howe ........................................................... 18 
Figura 25 - Estrutura de suporte para telhado, com a configuração de uma treliça simples de Fink .... 19 
Figura 26 - Treliça composta ................................................................................................................. 19 
Figura 27 - Treliça composta ................................................................................................................. 20 
Figura 28 - Treliças complexas ............................................................................................................. 21 
Figura 29 - Treliça simples de cobertura ............................................................................................... 21 
Figura 30 - Equilíbrio no nó 1 ............................................................................................................... 22 
Figura 31 - Equilíbrio no nó 3 ............................................................................................................... 23 
Figura 32 - Corte da treliça pelo Método de Ritter ............................................................................... 23 
Figura 33 - Corte da treliça pelo Método de Ritter, excepção ............................................................... 24 
Figura 34 - À direita, treliça simples e, à esquerda, corte da treliça pelo Método de Ritter.................. 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo e Análise de Treliças 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pretende-se com esta sebenta que os alunos reconheçam as configurações de uma treliça, 
estruturas normalmente utilizadas em coberturas de telhados, passagens superiores, pontes, 
viadutos, entre outros; pretende-se ainda que identifiquem as características de uma treliça 
ideal e o qual o significado de uma treliça estável ou instável; os alunos devem ainda saber 
determinar a estaticidade de uma treliça e classifica-la quanto à sua lei de formação 
(simples, composta e complexa); por fim os alunos deverão saber determinar os esforços nas 
barras de uma treliça através do Método dos nós e do Método de Ritter. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 4 
1.1. INTRODUÇÃO 
Dá-se o nome de estrutura aos elementos resistentes de uma construção, de uma máquina, de 
um objecto, entre outros. Ao olhar em nosso redor, podemos observar que tudo o que nos 
cerca possui uma estrutura: o edifício onde nos encontramos; o computador que utilizamos; a 
estante onde guardamos os nossos livros; até mesmo a cadeira em que nos sentamos apresenta 
uma estrutura. Nós próprios temos uma estrutura, constituída por ossos, músculos e tendões. 
A estrutura tem como função resistir aos esforços produzidos pelas acções que nelas actuam. 
Para que uma estrutura cumpra as suas funções, esta deve resistir às acções (toda e qualquer 
solicitação física imposta a uma estrutura) que actuam sobre ela ao longo da sua vida útil. 
As acções, que solicitam a estrutura podem dividir-se quanto: 
� à natureza: 
- cargas aplicadas (peso próprio da estrutura, o peso da sobrecarga, pressões, impulsos de 
terras, …); 
- deformações impostas (variações de temperatura, sismos, assentamento de apoios, 
retrações, …); 
- casos especiais (incêndios, explosões, …); 
� ao modo de aplicação: 
- estáticas (peso próprio da estrutura, neve, pressões hidrostáticas, …); 
- dinâmicas (vento, sismo, vibrações mecânicas, pressões hidrodinâmicas, …); 
� à duração: 
- permanentes (peso próprio da estrutura, revestimento, retração do betão, impulsos de 
terras, …); 
- variáveis (sobrecarga, variações de temperatura, sismo, vento, …); 
- acidentais (impacto, incêndios, explosões, …). 
Ao realizar um projecto de estabilidade para além de se saber identificar os diferentes tipos de 
forças a que as estruturas irão estar sujeitas, é necessário estimar quais as acções que poderão 
solicitar a estrutura ao longo da sua vida útil e projectá-la de maneira a esta suportar 
adequadamente as acções. Algumas destas acções são conhecidas com alguma exactidão, 
nomeadamente: o peso próprio; o impulso de terras numa estrutura subterrânea; ou mesmo o 
impulso da água num reservatório. Quando estas não são conhecidas é necessário determiná-
las estatisticamente. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 5 
As treliças são um dos principais tipos de estruturas de engenharia, apresentando-se como 
uma solução estrutural simples, prática e económica para muitas situações de engenharia, 
especialmente em projecto de passagens superiores, pontes e coberturas. A treliça apresenta a 
grande vantagem de conseguir vencer grandes vãos, podendo suportar cargas elevadas 
comparativamente com o seu peso. Podemos ainda observar as estruturas treliçadas em postes 
de alta tensão, vigas de lançamento, gruas e em inúmeras outras estruturas de engenharia. 
 
1.2. ABORDAGEM HISTÓRICA 
Pode-se observa na Figura 2 algumas das configurações clássicas de estruturas treliçadas que 
foram utilizadas desde a Revolução Industrial (século XIX). Na época do desenvolvimento 
das treliças, estas distinguiam-se pelas suas configurações, pelos materiais, pela capacidade de 
resistirem a elevados esforços e ainda por apresentarem grandes vãos. Ainda hoje, as treliças 
designam-se pelos nomes de quem as aperfeiçoou. 
 
Figura 1 - Tipos de treliças usadas em coberturas (coluna da esquerda) e pontes ou passagens superiores 
(coluna da direita) 
 
Treliça de Pratt 
Treliça de Howe 
Treliça de Fink 
Treliça de Fink Composta 
Treliça de Pratt 
Treliça de Howe 
Treliça de Warren 
Treliça de Warren Modificada 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 6 
As treliças surgiram como um sistema estrutural mais económico às vigas, sendo um dos 
principais tipos de estruturas de engenharia. Estes sistemas estruturais foram utilizados 
durante séculos para vencer grandes vãos. O engenheiro romano Apollodorus construiu sobre 
o Rio Danúbio por volta de 105 d.C, uma ponte de treliça de múltiplos vãos. Cada vão de 
ponte tomou forma similar à arqueada (Schmidt e Boresi, 1999), Figura 2. 
Até à Revolução Industrial não ouve grandes avanços neste tipo de estruturas, mas durante a 
revolução industrial, devido à falta de disponibilidade de ferro forjado na Europa e devido à 
expansão das ferrovias, os engenheiros foram pressionaram a desenvolver treliças mais 
racionais para a construção de pontes de grandes vãos mas com um baixo peso próprio. 
No início do século XIX surge o ferro laminado, que apesar de menos económico que o ferro 
fundido, apresentava uma melhoria substancial no seu comportamento face às tracções. Pela 
primeira vez os projectistas tinham ao seu dispor um material capaz de realizar distintas 
tipologias: estruturas suspensas, estruturas com vigas, estruturas em arco e uma melhoria nas 
estruturas treliçadas. 
A partir da década de 70 do século XIX, o aço começou a substituir o ferro fundido eo ferro 
laminado, principalmente devido à sua maior resistência e ductilidade. 
 
Figura 2 - Ponte de Apollodorus sobre o Danúbio [Schmidt e Boresi, 1999] 
 
1.3. DEFINIÇÃO DE TRELIÇAS 
Um sistema articulado plano rígido é definido como sendo um sistema de barras rígidas 
delgadas complanares ligadas entre si por extremidades rotuladas, formando um sistema 
estável. Esta estrutura é definida como treliça. O carregamento numa treliça é realizado nos 
nós. A forma como as barras estão colocadas na treliça torna-a num sistema eficiente para 
suportar estas cargas, ou seja, uma treliça pode suportar cargas pesadas comparativamente 
com o seu peso próprio. A maioria das estruturas reais apresenta várias treliças unidas entre 
si, formando uma estrutura espacial (Figura 3a). Cada treliça é projectada para suportar as 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 7 
cargas que actuam no seu plano, podendo assim serem tratadas como estruturas 
bidimensionais, ou seja, os eixos das barras estão contidos num mesmo plano (Figura 3b). 
 
(a) (b) 
Figura 3 - (a) Treliça tridimensional - carrinho de avanço e (b) Treliça plana 
A treliça é composta pelo cordão inferior (conjunto de elementos que forma a parte inferior), 
cordão superior (conjunto de elementos que forma a parte superior), montantes (barras 
verticais) e diagonais (barras inclinadas), como se pode visualizar na Figura 4. 
 
Figura 4 - Composição de uma treliça 
Na teoria de projecto, as barras de uma treliça simples são sujeitas somente a esforços 
normais (tracção ou compressão), sendo estas barra elementos rectos indeformáveis, unidos 
na sua extremidade por nós (articulações) consideradas perfeitas. 
Estes elementos são bastante esbeltos podendo suportar pouca carga lateral, assim sendo, as 
cargas devem ser aplicadas preferencialmente nos vários nós e não nos elementos rectos, 
ficando os elementos estruturais que as constituem solicitados apenas por esforços normais. 
Se houver necessidade de se aplicar uma carga entre dois nós ou quando for necessário aplicar 
uma carga distribuída numa treliça, é preciso prever um sistema de transmissão de cargas para 
os nós da treliça. É o caso de uma ponte com o sistema treliçado (Figura 5), deve ser previsto 
um sistema de pavimento, onde um sistema de longarinas e vigas transversais irão transmitir a 
carga para os nós. 
Cordão Inferior 
Diagonais 
Montante
s 
Cordão Superior 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 8 
 
Figura 5 - Ponte de treliça, com transmissão de cargas do pavimento para os nós da treliça [Beer et al, 2006] 
Na Figura 1, mostram-se vários tipos de treliças usadas em estruturas de sustentação de 
telhados e pontes. Cada uma destas treliças apresenta um nome particular, sendo este 
associado à sua configuração geométrica. A estas treliças dá-se o nome de treliça plana 
(bidimensionais), como referido, todas as barras e as cargas estão no mesmo plano. 
Os estilos de treliças de pontes mais comuns são a treliça tipo Warren, Howe e Pratt (Figura 
1). A treliça Warren é talvez a mais comum quando se necessita de uma estrutura simples e 
contínua. Estas treliças são usadas para vencer vãos entre 50 e 100 metros. Quando se 
projectam pontes com pequenos vãos, também se podem utilizar as treliças tipo Warren, uma 
vez que não é necessário usar elementos verticais (para amarrar a estrutura). O que não 
sucederá em pontes com grandes vãos, estes elementos verticais são necessários para dar 
maior resistência. 
A treliça de pontes Pratt (Figura 1) é facilmente identificada pelos seus elementos diagonais 
que, à excepção dos extremos, apresentam-se todos eles inclinados e na direcção do centro do 
vão. Todas as barras diagonais à excepção das diagonais do centro, estão sujeitos somente à 
tracção, enquanto que as barras verticais suportam as forças de compressão. 
A treliça Howe (Figura 1) é o oposto da treliça Pratt. As barras diagonais estão dispostas na 
direcção contrária do centro da treliça da ponte e suportam a forças de compressão. 
Os materiais utilizados nas treliças incluem o aço, madeira, ferro e por vezes o alumínio. As 
barras podem ser unidas por parafusos ou rebites, podem ser soldados ou por placas de metal, 
outros meios. Nas treliças admite-se que o peso das barras são aplicados nos nós, assim 
metade do peso de cada barra é aplicada em cada um dos seus nós, aos quais a barra está 
unida. Como atrás referido, as barras são unidas por meio de conexões aparafusadas ou 
mesmo soldadas, contudo é comum supor-se que estas sejam unidas por meio de rótulas, 
assim sendo, as forças que actuam em cada extremidade de cada barra reduzem-se a uma 
única força sem binário. Devido a este contexto, considera-se que as únicas forças aplicadas a 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 9 
uma barra de uma treliça são forças únicas aplicadas em cada extremidade desse mesmo 
elemento, orientadas ao longo do eixo da barra. Cada barra pode ser tratada como um 
elemento sujeito a duas forças opostas (Figura 6). Se a barra AB está sujeita à compressão, a 
força F que a comprime converge para os nós A e B (Figura 6a), mas se a barra está sujeita à 
tracção, a força F que a tracciona sai dos nós A e B (Figura 6b). 
 
(a) (b) 
Figura 6 - Barras de treliças sujeitas: à esquerda, à compressão e, à direita, à tracção 
No estudo das treliças admitem-se algumas simplificações: 
� as articulações entre as barras que constituem o sistema faz-se através de rótulas sem atrito 
(articulações consideradas perfeitas e barras consideradas indeformáveis); 
� as cargas e os apoios aplicam-se preferencialmente nos nós da estrutura, embora em casos 
especiais possam existir outras formas de carregamento; 
� o eixo de cada uma das barras contém o centro das articulações das suas extremidades (os 
eixos devem cruzar-se todos no mesmo ponto). 
Quando se verificam estas três condições as barras da estrutura treliçada ficam sujeitas apenas 
a esforços normais, considerando-se treliças ideais. Esta é a grande diferença das treliças para 
outras formas estruturais, as treliças estão sujeitas apenas a forças axiais (compressão ou 
tracção). Ainda que possa existir flexão e forças de corte, isto porque, as hipóteses 
anteriormente formuladas nunca se verificam completamente, uma vez que as articulações 
internas (por mais perfeitas que estas sejam) oferecem sempre uma certa resistência ao 
movimento de rotação das barras que nela convergem; contudo estes efeitos podem ser 
desprezados, pois apresentam valores mínimos. 
1.4. ESTATICIDADE DE UMA TRELIÇA 
Considere uma estrutura com três barras, AB, BC e CA, estando estas barras ligadas nas suas 
extremidades por nós, constituem assim um sistema triangular rígido, formando uma treliça 
simples (Figura 7a). Esta estrutura é estável, ou seja, não altera a sua forma sob a acção da 
força F, aplicada no nó B (força que lhe está a ser aplicada) e das reacções de apoio 
correspondentesno nó A e C. 
Em comparação, as estruturas representadas na Figura 7b e c, apresentam deslocamentos 
quando sujeitas a forças exteriores. As estruturas supra referidas não se apresentam estáveis 
F F F F 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 10 
sob a acção da força F. Estes sistemas são submetidos a uma mudança de forma quando 
sujeitos a uma acção, os seus elementos sofrem deslocamentos, como consequência são 
treliças instáveis. Em geral, qualquer sistema de quatro ou mais barras ligadas por nós, 
formam uma treliça instável, entrando em colapso sob qualquer combinação de cargas. 
A C
F
A D
B
B F
C
B' C'
Estrutura
Original
Estrutura
em Colapso
A E
B D
C
B' D'
C'
Estrutura
em Colapso
F1
Estrutura
Original
F2
 
 (a) (b) (c) 
Figura 7 - Sistemas estruturais: (a) elemento triangular; (b) elemento rectangular e (c) elemento poligonal 
[adaptado de Schmidt e Boresi, 1999] 
Começando com um triângulo rígido (três barra e três nós) (Figura 7a), pode-se acrescentar 
mais duas barras não-colineares obtendo um novo nó. A estrutura resulta numa treliça ABCD 
rígida. 
Este método pode ser continuado até à expansão desejada da treliça, obtendo uma treliça 
triangular básica. À treliça formada desta maneira, dá-se o nome de treliça simples (Figura 8). 
A C
B D
 
Figura 8 - Treliça simples 
Uma treliça simples é também estaticamente determinada, ou seja, as reacções de apoio e as 
forças nas barras podem ser determinadas usando apenas as equações de equilíbrio da estática, 
a estrutura apresenta o mesmo número de incógnitas para o mesmo número de equações 
possíveis da estática. 
Uma treliça estaticamente indeterminada é aquela em que as reacções de apoio e os esforços 
nas barras não podem ser determinadas apenas pelas equações de equilíbrio da estática. 
Na Figura 9a pode visualizar-se que a estrutura apresenta uma barra adicional (barra AD) e na 
Figura 9b a estrutura apresenta quatro reacções de apoio; ambas as treliças são estaticamente 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 11 
indeterminadas, pois apresentam mais incógnitas do que as equações de equilíbrio da estática 
plana. Embora estas sejam estaticamente indeterminadas, apresentam-se estáveis. 
A C
B D
A C
B
D
 
 (a) (b) 
Figura 9 - Treliças estaticamente indeterminadas: (a) colocação adicional de uma barra e (b) colocação adicional 
de um apoio móvel 
As treliças à semelhança de outros sistemas estruturais podem dividir-se em hipoestáticas, 
isostáticas e hiperstáticas; conforme o número de equações da estática disponíveis e se este 
valor for superior, igual ou inferior ao número de incógnitas da estrutura. Contudo, para além 
das incógnitas das reacções de apoio existe ainda a necessidade de calcular os esforços nas 
barras da treliça. É assim necessário, fazer a análise da estaticidade: interior (número de 
barras que é necessário calcular); exterior (número de incógnitas de reacções de apoio); e 
global da estrutura. 
Conforme matéria leccionada no capítulo anterior (Capítulo dos Esforços), verifica-se que as 
estruturas apresentam três graus de liberdade no plano e seis graus de liberdade no espaço. 
Para restringir estes graus de liberdade nas estruturas é necessário colocar vínculos (apoios) 
na estrutura, por forma a impedir os movimentos de translação e rotação a que as estruturas 
ficam sujeitas quando solicitadas pelas acções. De seguida apresenta-se um breve resumo dos 
vínculos que as estruturas podem conter. 
Apoio móvel 
O apoio móvel introduz um vínculo na estrutura, impedindo o deslocamento na direcção 
perpendicular à base do apoio. Introduzindo como reacção de apoio com a direcção do 
deslocamento impedido. Este apoio permite a rotação do sólido em torno do ponto vinculado 
e o movimento do ponto vinculado somente na direcção da base do apoio. Na Figura 10 pode 
visualizar-se que o movimento impedido por este apoio é indicado a vermelho e os 
movimentos permitidos, em azul; a reacção de apoio introduzida por este apoio também é 
mostrada na figura, a preto. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 12 
 
Figura 10 - Apoio móvel 
Nas Figuras seguintes 11, 12 e 13, podem visualizar-se apoios móveis em três pontes 
construídas em três épocas bem distintas. 
 
Figura 11 - Articulação móvel da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, 1885 [1] 
 
Figura 12 - Articulação móvel da ponte ferroviária Zarate Brazo, Argentina, 1978 [1] 
 
Figura 13 - Articulação móvel da ponte Millennium, sobre o rio Tâmisa, Londres, 2000 [1] 
Apoio fixo 
O apoio fixo introduz dois vínculos na estrutura, impedindo o deslocamento do ponto 
vinculado em qualquer direcção do plano (pode ser visualizado na Figura 14 os movimentos 
impedidos, a vermelho). Este apoio introduz reacções de apoio que podem ser decompostas 
Rv 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 13 
numa força horizontal e vertical (segundo o plano xoy - podem ser visualizadas na Figura 14, 
a preto). Este apoio permite a rotação do sólido em torno do ponto vinculado, é indicado a 
azul na Figura 14. 
 
Figura 14 - Apoio fixo 
Nas Figuras seguintes 15, 16 e 17, apresentam-se apoios fixos em estruturas distintas. 
 
Figura 15 - Articulações fixas da ponte ferroviária, Argentina, 1978 [1] 
 
Figura 16 - Articulação fixa da Estação Mapocho, actualmente Centro Cultural, Santiago, Chile, 1912 [1] 
 
Figura 17 - Articulação fixa da ponte D. Pedro II, Bahia, Brasil, 1885 [1] 
 
Rv 
RH 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 14 
Apoio Pendular 
O apoio pendular impede o movimento na mesma direcção do eixo do apoio, portanto, a 
reacção tem essa direcção desconhecendo-se apenas a sua intensidade. Este tipo de apoio 
introduz uma incógnita. Se a reacção de apoio estiver à tracção designa-se tirante, caso esteja 
à compressão designar-se-á por escora, a reacção deste apoio pode ser visualizado na Figura 
18, a preto. 
 
A
 
 
 
 
Figura 18 - Apoio pendular 
Na Figura 19, apresentam-se dois exemplos de apoios pendulares. 
 
Figura 19 - Exemplos de apoios pendulares 
No caso das treliças não serão considerados os apoios encastrados (apoio que introduz três 
vínculos na estrutura, impedindo a translação e a rotação) uma vez que não existem 
momentos neste tipo de estruturas.1.4.1. Estaticidade global 
O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for 
agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por 
isso invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma 
treliça formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. 
Considerando assim uma treliça constituída por barras articuladas “b” e por nós “n”. O 
número de incógnitas que irão aparecer na treliça (independentemente da forma como esta 
está apoiada) será igual a “b”, já que é este o número de esforços internos existentes. Se 
Rv 
RH 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 15 
admitirmos que esta estrutura tem “a” incógnitas de reacções de apoio, então é possível 
afirmar que o número total de incógnitas do problema será igual a “a + b”. 
O número de equações da estática plana será de “2n”, pois em cada nó aplicam-se as equações 
de equilíbrio de um ponto material [Eq. 1]. 
 ∑ ∑
∑




=
=
⇒=
0
0
0
y
x
F
F
F
rr
 [Eq. 1] 
A terceira equação a que se poderá recorrer, será a do equilíbrio de momentos [Eq. 2], esta 
equação não terá qualquer significado, pois todos os esforços nas barras que concorrem em 
qualquer nó, não produzem momentos. 
 ∑ ∑ =⇒= 00 zMM
rr
 [Eq. 2] 
 
Assim sendo, para uma estrutura com “n” nós, é possível escrever “2n” equações da estática. 
Uma treliça diz-se globalmente isostática ao verificar-se que o número de incógnitas é igual 
ao número de equações disponíveis [Eq. 3]. 
 
nba 2=+
 [Eq. 3] 
O grau de estaticidade global (hg) [Eq. 4] de uma treliça é igual a: 
 
nbahg 2−+= [Eq. 4] 
Se: hg < 0 ⇒ Treliça globalmete hipoestática 
 hg = 0 ⇒ Treliça globalmete isostática 
 hg > 0 ⇒ Treliça globalmete hiperstática 
1.4.2. Estaticidade interior 
Nas treliças, é ainda possível determinar a sua estaticidade interior (hi) [Eq. 5]. Admitindo que 
a treliça está simplesmente apoiada, temos como número de incógnitas de reacções de apoio 
“a =3” (por exemplo um apoio móvel - uma incógnita e uma apoio fixo - duas incógnitas). A 
equação 4 pode assim escrever-se: 
 )32(23 −−=−+= nbnbhi [Eq. 5] 
Se hi < 0, há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada de interiormente 
hipoestática. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições, que não sendo 
verificadas levará o sistema ao colapso. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 16 
Se hi = 0, esta relação é uma condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é 
condição suficiente, porque uma ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que 
não contribuem para uma configuração estável da treliça simples. 
Se hi > 0, existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso, o que sugere que a 
treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. É no entanto 
necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável. 
1.4.3. Estaticidade exterior 
A estaticidade exterior [Eq. 6] é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os 
apoios restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas “a” que surgem, 
são calculadas a partir das equações de equilíbrio independentes da estática, no caso do plano 
serão três. Se os apoios estiverem colocados por forma a impedir qualquer movimento do 
sistema como corpo rígido o grau de hiperestaticidade exterior é então igual a: 
 3−= ahe [Eq. 6] 
Se: he < 0 ⇒ Treliça exteriormente hipoestática 
 he = 0 ⇒ Treliça exteriormente isostática 
 he > 0 ⇒ Treliça exteriormente hiperstática 
1.4.4. Conclusão 
Determinadas treliças, assim como noutros sistemas, é possível que a hiperestaticidade 
exterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmente 
isostático e estável. É o que se verifica na treliça representada na Figura 20. 
F1
F2
R
 
Figura 20 - Treliça globalmente isostática estável 
No entanto, se as ligações ao exterior estiverem incorrectamente localizadas, resulta um 
mecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior compensar o grau de hipostaticidade 
interior, Figura 21. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 17 
F1
F2
R
 
Figura 21 - Treliça globalmente isostática instável 
Na Figura 22a e c, a aplicação da Equação 5 leva à conclusão que os sistemas são isostáticos 
interiormente, contudo os sistemas são instáveis, podendo entrar em colapso quando 
estiverem sujeitas a solicitações. No caso da Figura 22a, as barras estão mal distribuídas, 
formando uma treliça instável. O mesmo sucederá às treliças que não apresentem suficientes 
barras ou reacções de apoio para prevenir o movimento, designado assim treliça instável 
(Figura 22b e c, respectivamente). 
 
 (a) (b) 
 
 (c) 
Figura 22 - Treliça instável: (a) configuração imprópria, (b) número inadequado de barras e (c) treliça 
interiormente isostática, exteriormente - número inadequado de reacções de apoio. 
Conclui-se assim, que se deve ter em atenção o uso das equações 4, 5 e 6, uma vez que estas 
podem permitir tirar conclusões incorrectas sobre a estaticidade de uma treliça. Tal facto 
deve-se a que um sistema de “b” barras com “a” número de incógnitas, devem estar 
correctamente distribuídas, obtendo uma configuração estável para a treliça. Assim, ao 
analisar uma treliça deve ter-se em consideração a sua estaticidade global, interna e externa, 
não deixando de analisar os apoios externos e a sua distribuição, assim como a lei de 
formação interna da treliça em questão. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 18 
1.5. CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO 
É que é importante classificar as treliças quanto à sua lei de formação, pois os métodos de 
resolução das mesmas dependem desta classificação. Quanto à Lei de formação, astreliças 
podem ser: simples; composta; e complexas. 
1.4.1. Treliça Simples 
Dá-se o nome de treliças simples às treliças formadas a partir de um triângulo inicial 
indeformável (três barras e três rótulas) ao qual, para cada novo nó, adicionam-se duas novas 
barras. As treliças simples verificam a isostaticidade interior, hi = 0. 
Na Figura 23, está representada a sequência para a formação de uma treliça simples, 
originando a treliça Howe de pontes. Tem este nome por ter sido inventada pelo engenheiro 
americano William Howe, que a patenteou em 1840. 
Como referido uma treliça simples parte de um triângulo formado por barras articuladas e 
desse triângulo inicial são acrescentadas duas novas barras para cada novo nó. 
 
 
Figura 23 - Formação de uma treliça simples de ponte Howe 
As treliças simples também são bastante usadas em estruturas de suporte para telhados, é o 
caso da treliça que recebe o nome de treliça Howe de telhado, Figura 24. 
 
 
 
Figura 24 - Formação de uma treliça simples de telhado Howe 
1.5.1. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 19 
Na Figura 25, podemos visualizar uma estrutura de suporte para telhado numa edificação de 
uma treliça de Fink. 
 
Figura 25 - Estrutura de suporte para telhado, com a configuração de uma treliça simples de Fink 
1.4.2. Treliças compostas 
A treliça simples é composta por um triângulo base acrescentando-se duas novas barras não-
colineares para cada novo nó. Contudo, existem outras configurações de treliças que não 
seguem esta configuração para a sua lei de formação. Estas configurações são geralmente 
constituídas de duas ou mais treliças simples unidas entre si por barras também 
indeformáveis. Exemplo disso são as treliças compostas. 
As treliças compostas são formadas pela ligação de duas treliças simples por meio de: 
� um nó comum e uma barra (Figura 26a); 
� três barras não-paralelas entre si nem concorrentes num mesmo ponto (Figura 26b). 
Se as barras fossem concorrentes num ponto ou mesmo paralelas entre si o sistema era 
deformável e portanto instável. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 26 - Treliça composta 
A 
1.5.2. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 20 
Na Figura 27, pode observar-se uma treliça composta, esta une duas treliças simples por um 
nó (ponto A) em comum. Para que a treliça seja estável é necessário colocar dois apoios fixos 
(quatro reacções de apoio). 
 
 
Figura 27 - Treliça composta 
As ligações entre as duas treliças simples restringem os três graus de liberdade que cada uma 
teria relativamente à outra. Se as treliças fossem ligadas entre si por um maior número de 
barras do que os indicados nos dois exemplos anteriores, obtinham-se treliças compostas 
hiperstáticas em vez de isostáticas. 
1.4.3. Treliças complexas 
As configurações de treliças que não podem ser classificadas como simples ou compostas são 
consideradas complexas. Uma treliça complexa pode ser composta de uma qualquer 
combinação de elementos triangulares, quadriláteros ou mesmo poligonais. 
Uma treliça complexa pode apresentar barras que se cruzam sem estas estarem vinculadas 
umas às outras. Exemplo disso são as treliças apresentadas na Figura 28, todos os exemplos 
apresentam barras que se cruzam sem qualquer nó. Estas treliças são estaticamente 
determinadas e estáveis na sua configuração. 
Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem 
composta. Não é possível afirmar se a treliça é isostática pela simples análise da Equação 3, 
que é uma condição necessária mas não suficiente para garantir a isostaticidade. O 
reconhecimento de sua real classificação é feito pelo método de Henneberg (Leggerini e Kalil, 
2009). 
A 
1.5.3. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 21 
 
 
 
 
Figura 28 - Treliças complexas 
1.6. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM TRELIÇAS 
1.4.1. Considerações 
Considera-se a treliça simples sujeita ao carregamento indicado na Figura 29, considerando as 
reacções de apoio calculadas a partir das equações universais da estática. 
A determinação dos esforços axiais das barras de treliças bidimensionais pode ser 
determinada utilizando-se vários métodos dos quais abordaremos dois métodos analíticos: 
� Equilíbrio dos nós; 
� Método de Ritter ou das Secções. 
 
 
 
 
Figura 29 - Treliça simples de cobertura 
VA VB 
HA 1 
4 
5 
6 2 
3 7 
8 
P2 P3 
P1 
1.6.1. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 22 
1.4.2. Equilíbrio dos nós 
Este método consiste em isolar sucessivamente cada um dos nós, marcar as forças exteriores, 
activas e reactivas, e os esforços normais das barras que nele concorrem. Os esforços normais 
das barras serão assim determinados como forças que garantem o equilíbrio do nó. Se a treliça 
está em equilíbrio, todos os seus nós também o estão. 
Assim, aplica-se a equação ∑ = 0
rr
F que garante o equilíbrio de forças concorrentes num 
ponto material, à qual correspondem as equações de projecção ∑Fx=0 e ∑Fy=0, tendo o 
referencial de eixos ortogonais Ox Oy uma qualquer orientação. 
É de notar que, se o nó tiver mais de duas barras para determinação dos esforços (ou seja duas 
incógnitas), as duas equações da estática não chegam para determinar a solução do sistema. O 
cálculo deve-se sempre iniciar pelos nós que possuam apenas duas incógnitas a determinar. 
Assim, a sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços como incógnitas 
em cada novo nó. É aconselhável, no caso da nossa sensibilidade estática não nos permitir 
antever a natureza do esforço, que sejam todos considerados à tracção, e assim, os sinais 
obtidos já serão os sinais dos esforços actuantes: se for positivo (confirma o sentido arbitrado) 
indica tracção; se for negativo indica compressão. A barra estará sujeita à compressão se a 
força que a comprime converge para os nós e, estará à tracção se a força que a tracciona sai 
dos nós. 
Exemplifica-se a seguir o equilíbrio do nó 1 (Figura 30) e nó 3 (Figura 31). 
Nó 1 
12 12
12 13 13
0 N 0 N
0 N cos 0 N
y A
x A
F sen V
F N H
θ
θ
= ⇒ + = ⇒
= ⇒ + + = ⇒
∑
∑
 
Figura 30 - Equilíbrio no nó 1 
A primeira equação permite concluir que a barra 12 está sujeita a um esforço de compressão. 
VA 
HA 1 
 N12 
N13 θ 
1.6.2. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC23 
Nó 3 
 
32 1 32
31 35 35
0 N 0 N
0 N 0 N
y
x
F P
F N
= ⇒ − = ⇒
= ⇒ + = ⇒
∑
∑
 
Figura 31 - Equilíbrio no nó 3 
1.4.3. Método de Ritter 
O Método de Ritter consiste em cortar a treliça por uma secção obtendo duas partes 
totalmente independentes. Contudo, só podem ser cortadas tantas barras (de grandeza e 
sentidos desconhecidos) quantas equações da estática se possam escrever, já que de outra 
forma o sistema de equações seria indeterminado. Se o cálculo for no plano (2D), deve-se 
efectuar no máximo o corte a três barras, não devendo estas ser paralelas nem concorrentes 
num ponto. Se as barras cortadas forem paralelas ou mesmo concorrentes num ponto, embora 
se possa escrever as três equações da estática irá obter-se uma equação linearmente 
dependente. Como a treliça está em equilíbrio, qualquer uma das partes resultantes do corte 
ficará em equilíbrio, isto porque, qualquer barra cortada terá de ser substituída pelo esforço 
que transmitia ao resto da estrutura. 
Cortando a treliça pela a secção SS’, nada se altera sob o ponto de vista estático, desde que, 
como referido, se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas actuantes. Os 
esforços são determinados para que garantam o equilíbrio da estrutura treliçada. É indiferente 
analisar a parte esquerda ou a parte direita da treliça (Figura 32). Escolhe-se, aquela que 
conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforços normais. 
 
 
 
 
 
Figura 32 - Corte da treliça pelo Método de Ritter 
P
N31 
3 
 N32 
N35 
VA 
HA 1 
2 
3 
P1 
5 
4 
N24 
N25 
N35 
S 
S’ 
VB 
4 
5 
6 
7 
8 
P3 
N53 
N52 
N42 
2 
3 
 
S 
S’ 
P2 
1.6.3. 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 24 
A determinação das incógnitas é realizada a partir das equações universais da estática plana, 
devendo ser escolhidas e usadas de uma ordem tal que permita a determinação directa de cada 
uma das incógnitas. Assim são usadas três equações de momentos relativamente a três pontos 
não colineares, sendo, cada um destes (pontos), a intersecção das linhas de acção de duas 
forças incógnitas. 
Usando a estrutura da parte esquerda da Figura 32, temos que: 
5 24
1 25
2 35
0
0
0
M N
M N
M N
= ⇒
= ⇒
= ⇒
∑
∑
∑
 
As forças obtidas com sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados. 
Excepções ao Método de Ritter 
Primeira excepção 
Quando se deseja conhecer o esforço numa só barra não é condição obrigatória fazer o corte 
apenas em três barras (Figura 33). Efectivamente se as demais, em qualquer número, se 
intersectarem num único ponto, poderá cortar-se a estrutura com a intercepção nessas barras e 
cortar ainda a barra cujo esforço é incógnito. Assim, escolhe-se a equação de momentos 
relativamente ao ponto onde a maior parte das barras são concorrente e determina-se o esforço 
da única barra que não é concorrente. 
Pretende-se saber N24: 
 
 
 
 
Figura 33 - Corte da treliça pelo Método de Ritter, excepção 
Assim temos: 5 240 M N= ⇒∑ 
VA 
HA 1 
2 
3 
P1 
5 
N54 
N24 
S 
S’ 
N56 
N57 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 25 
Segunda excepção 
Quando duas das três barras cortadas por uma secção de Ritter são paralelas (Figura 34) é 
mais cómodo utilizar duas equações de momentos e uma equação de projecção numa 
direcção, como equações de equilíbrio da estática. 
 
 
 
 
Figura 34 - À direita, treliça simples e, à esquerda, corte da treliça pelo Método de Ritter 
 
 
Assim temos: 
3 24
2 13
23
0
0
0y
M N
M N
F N
= ⇒
= ⇒
= ⇒
∑
∑
∑
 
V
HA 
2 
P1 
5 
4 6 
3 
1 
VB 
P2 S 
S’ 
N23 
N24 
N13 
VA 
HA 
2 
1 3 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo, apresentam-se alguns exercícios para resolução. 
 
 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 28 
2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Das seguintes alternativas, qual não é característica de uma treliça ideal: 
a) todas as barras são rectilíneas; 
b) todas as barras apresentam na sua extremidade um nó; 
c) à excepção do peso próprio da estrutura, todas as cargas na treliça estão aplicados nos 
nós; 
d) as barras estão sujeitas à flexão. 
 
2. Considere uma treliça composta por 8 nós, 13 barras e 3 reacções de apoio. Desenhe a 
treliça e responda: 
a) Quantas equações independentes de equilíbrio estão disponíveis para se usar na 
análise? 
b) Existem quantas grandezas desconhecidas a determinar? 
c) A treliça é estaticamente determinada ou indeterminada? 
d) A treliça é estável ou instável 
 
3. Classifique uma estrutura simples, composta e complexa. 
 
4. Para a estrutura apresentada: 
a) calcule os esforços nas barras; 
b) confirme o esforço para a barra a). 
 
 
 
 
 
 Referências Bibliográficas 
 
 
Estudo e Análise de Treliças Unidade Curricular de Estática 
Mª Idália Gomes – ISEL-ADEC 30 
2.1. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Beer, Ferdinand P.; Johnston, Russell Jr.; Eisenberg, Elliot R.; Clausen, William E. (2006). 
Mecânica vectorial para engenheiros - Estática. 7ª Edição. McGraw Hill, Rio de Janeiro ISBN 
85-86804-45-2. 
Cirne, José M. (2007/2008). Estática - Parte I. Sebenta de Resistência de Materiais. 
Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Coimbra - Faculdade de Ciências 
e tecnologia da Universidade de Coimbra. 
Ghisi, E. (2004). Resistência dos sólidos para estudantes de arquitectura. Folhas de apoio da 
unidade curricular de Resistência dos sólidos. Departamento de Engenharia Civil da 
Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, Agosto. 
Gonçalves, Maria M.; Gomes; Maria I. (2004/2005). Treliças. Sebenta de Mecânica Aplicada. 
Departamento de engenharia Civil do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa. 
Leggerini, Maria R.; Kalil, Sílvia B. (2008). Estruturas Isostáticas. Sebenta de Estruturas. 
Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade do Rio Grande do Sul. 
Romão, X (2002/2003). Sistemas articulados Planos. Folhas de apoio à unidade curricular de 
Mecanica I. 
Schmidit, Richard J.; Boresi, Arthur P. (1999). Estática. Edição de Cengage Learning 
Editores. ISBN 85-22102-87-2, 97-88522102-87-7. 
 
Bibliografia em linha 
 [1] Escola Politécnica da USP - Tradição e Modernidade no Ensino de Engenharia. 
Laboratório de estruturas e materiais estruturais. Cidade Universitária - São Paulo. 
http://www.lem.ep.usp.br/. Consulta em Fevereiro de 2016. 
 
 
3.1.View publication statsView publication stats