P2 antiga 2b alex massarenti UFF

Prévia do material em texto

VE 2 - CALCULO II B - 10 MARÇO 2016
Nome: .........................................................
Matrícula: ...................................................
Exercício 1. Determine os pontos de máximo e de mínimo da função
f(x, y) = xy
no conjunto compacto A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1}.
Exercício 2. Determine o polinômio de Taylor de ordem dois, em volta do ponto (x0, y0) =
(0, 0), da função
f(x, y) = e−(x
2+y2)+1.
Exercício 3. Dada a função f : R2 → R2 definida por
f(x, y) = (x2 + y, ex+y)
- Mostre que f é inversível numa vizinança do ponto (1, 0).
- Determine (f−1)
′
(1, e).
- Determine a função afim que melhor aproxima f−1 numa vizinhaça do ponto (1, e).
Exercício 4. Mostre que a equação sin(x+y)+ cos(x+y)+z = 1 define implicitamente uma
função z = f(x, y) de classe C1 cuja o grafico passa para o ponto (0, 0, 0).
Determine a derivada direcional de f no ponto (0, 0) na direção do vetor u = (1, 2).
Exercício 5. Seja f : A ⊆ Rn → R uma função de classe C1 em A, e seja x = (x1, ..., xn) ∈ A
um ponto tal que
∂f
∂xn
(x) 6= 0.
Mostre que existe um aberto B ⊂ Rn−1, com (x1, ..., xn−1) ∈ B, e uma função g : B ⊆ Rn−1 →
R tal que f(x1, ..., xn−1, g(x1, ..., xn−1)) = 0 por cada (x1, ..., xn−1) ∈ B e g(x1, ..., xn−1) = xn.
Mostre que os espaços tangentes ao conjunto de nível zero de f em x e ao gráfico de g em x
coincidem.
1
	Exercício 1
	Exercício 2
	Exercício 3
	Exercício 4
	Exercício 5