Hidraulica cap. 3

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HIDRÁULICA – CCE-0187 
PERÍODO 2016/02 
Capítulo III: Cinemática 
dos Fluidos e Equação 
da energia para regime 
permanente 
ENGENHARIA / UNESA 
 
1 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Vazão – velocidade média na seção 
Define-se vazão em volume Q como o volume de fluido que atravessa uma certa seção de escoamento 
por unidade de tempo. 
 
 
 
 Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade do fluido : 
 Para uma velocidade uniforme na seção: Q = vA 
 Na maioria dos casos práticos, o escoamento não é unidimensional. Assim, podemos definir uma 
velocidade média como: 
 
ENGENHARIA / UNESA 
 
2 
As unidades correspondem à definição: m3/s, L/s, m3/h, L/min, 
ou 
qualquer outra unidade de volume ou capacidade por unidade 
de tempo 
𝑄𝑣 =
𝑉
𝑡
 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Assim como se define uma vazão em volume, podem ser analogamente definidas as vazões em massa (Qm) e 
em peso (QW). 
 
 
 
 
 
 
 Equação da continuidade para regime permanente 
Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente. Em um tubo de corrente não pode haver fluxo 
lateral de massa. 
Seja a vazão em massa na seção de entrada Qm1 e na saída Qm2. Para que o regime seja permanente é 
necessário que não haja variação de propriedades, em nenhum ponto do fluido, com o tempo. 
ENGENHARIA / UNESA 
 
3 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Logo, 
 
 
 Se o fluido for incompressível, então a massa específica na entrada e na saída do volume V deverá ser 
a mesma. Dessa forma: 
 
 
ENGENHARIA / UNESA 
 
4 
Qm1 
Qm2 
A1 
A2 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
Ao longo do escoamento, velocidades médias e áreas são inversamente proporcionais, isto é, à 
diminuição da área correspondem aumentos da velocidade média na seção e vice-versa. 
Para o caso de diversas entradas e saídas de fluido, a generalização abaixo pode ser feita: 
 
 
Se o fluido for incompressível e for o mesmo em todas as seções, isto é, se for homogêneo: 
ENGENHARIA / UNESA 
 
5 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Regime permanente: é aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto com o 
passar do tempo. Note-se que as propriedades do fluido podem variar de ponto para ponto, desde 
que não haja variações com o tempo. 
 Isso significa que, apesar de um certo fluido estar em movimento, a configuração de suas propriedades 
em qualquer instante permanece a mesma. Um exemplo prático disso será o escoamento pela tubulação 
do tanque da Figura, desde que o nível dele seja mantido constante. 
ENGENHARIA / UNESA 
 
6 
NC 
(1) 
(2) 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Nesse tanque, a quantidade de água que entra em (1) é idêntica à quantidade de água que sai por (2); 
nessas condições, a configuração de todas as propriedades do fluido como velocidade, massa específica, 
pressão etc., será, em cada ponto, a mesma em qualquer instante. Note-se que em cada ponto a 
velocidade, por exemplo, é diferente, assim como a pressão o será, pela lei de Stevin. 
 Regime variado: é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos ou regiões de pontos variam 
com o passar do tempo. Se no exemplo da Figura, não houver fornecimento de água por (1), o regime 
será variado em todos os pontos. 
 Denomina-se reservatório de grandes dimensões um reservatório do qual se extrai ou no qual se admite 
fluido, mas devido à sua dimensão transversal muito extensa, o nível não varia sensivelmente com o 
passar do tempo. 
 Em um reservatório de grandes dimensões, o nível mantém-se aproximadamente constante com o passar 
do tempo, de forma que o regime pode ser considerado aproximadamente permanente. 
 
ENGENHARIA / UNESA 
 
7 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 A Figura mostra um reservatório de grandes dimensões, em que, apesar de haver uma descarga do 
fluido, o nível não varia sensivelmente com o passar do tempo, e o regime pode ser considerado 
permanente. 
 
 
 
 
 A Figura abaixo mostra um reservatório em que a seção transversal é relativamente pequena em face 
da descarga do fluido. Isso faz com que o nível dele varie sensivelmente com o passar do tempo, 
havendo uma variação sensível da configuração do sistema, caracterizando um regime variado. 
 
ENGENHARIA / UNESA 
 
8 
NC 
t1 
t1 
t2 
t2 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Experiência de Reynolds (1883): 
Seja um reservatório que contém água. Um tubo transparente é ligado ao reservatório e, no fim deste, 
uma válvula permite a variação da velocidade de descarga da água. 
No eixo do tubo é injetado um líquido corante do qual se deseja observar o comportamento. Nota-se 
que ao abrir pouco a válvula, portanto para pequenas velocidades de descarga, forma-se um filete 
reto e contínuo de fluido colorido no eixo do tubo (3). 
Ao abrir mais a válvula (5), o filete começa a apresentar ondulações e finalmente desaparece a uma 
pequena distância do ponto de injeção. 
Nesse último caso, como o nível (2) continua descendo, conclui-se que o fluido colorido é injetado, mas, 
devido a movimento transversais do escoamento, é totalmente diluído na água do tubo (3). 
Esses fatos denotam a existência de dois tipos de escoamento separados por um escoamento de 
transição. 
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9 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
ENGENHARIA / UNESA 
 
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(1) Água (,) 
(2) Líquido colorido 
(3) Tubo de vidro (diâmetro D) 
(4) Filete de líquido colorido 
(5) Válvula para regulagem da velocidade 
v 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
No primeiro caso, em que é observável o filete colorido reto e contínuo, conclui-se que as partículas 
viajam sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas concêntricas, entre as quais não há troca 
macroscópicas de partículas – escoamento laminar. 
No segundo caso, as partículas apresentam velocidades transversais importantes, já que o filete 
desaparece pela diluição de suas partículas no volume de água – escoamento turbulento. 
O escoamento laminar é menos comum na prática, mas pode ser visualizado por todos, em um filete 
de água de uma torneira pouco aberta ou no início da trajetória seguida pela fumaça de um cigarro, 
já que a uma certa distância dele notam-se movimentos transversais. 
Reynolds verificou que o fato de o movimento ser laminar ou turbulento depende do valor do número 
adimensional dado por: 
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11 
D = comprimento característico da geometria (ex: diâmetro da tubulação, m); 
 =  /  = viscosidade cinemática do fluido (m2/s); 
𝑅𝑒 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠
=
𝑣𝑚é𝑑𝑖𝑎𝐷

=
𝑣𝑚é𝑑𝑖𝑎𝐷𝜌
𝜇
 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Essa expressão se chama número de Reynolds e mostra que o tipo de escoamento depende do conjunto 
de grandezas v, D e , e não somente de cada uma delas. 
 Reynolds verificou que, no caso de tubos, seriam observados os seguintes valores: 
1. Re  2.300 – escoamento laminar 
2. 2.300  Re  4.000 – escoamento de transição 
3. Re  4.000 – escoamento turbulento 
 Observação: mesmo que o escoamento seja turbulento, poderá, em geral, ser admitido como 
permanente em média nas aplicações. 
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 No capítulo anterior, foi introduzida a equação da continuidade. Essa equação conclui que, para que a 
hipótese de regime permanente seja verdadeira, a massa de fluido que flui por uma seção de um tubo 
de corrente deve ser idêntica àquela que o abandona por outra seção qualquer. 
 Pode-se, então, fazer um balanço de massas ou vazões em massa entre seções de entrada e saída de 
um certo escoamento. 
 Baseado no fato de que a energia não pode ser criada nemdestruída, mas apenas transformada, é 
possível construir uma equação que permitirá fazer o balanço das energias, da mesma forma como foi 
feito para as massas, por meio da equação da continuidade. 
 A equação que permite tal balanço chama-se equação da energia e nos permitirá, associada à 
equação da continuidade, resolver inúmeros problemas práticos como, por exemplo: determinação da 
potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em escoamento, transformação de energia 
etc. 
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13 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido 
Energia potencial (Ep) é o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da gravidade 
em relação a um plano horizontal de referência (PHR). Essa energia é medida pelo potencial de 
realização de trabalho do sistema. 
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14 
z 
PHR 
CG 
G = mg 
Na física, o centro de gravidade ou 
baricentro de um corpo é o ponto onde 
pode ser considerada a aplicação da força 
da gravidade de todo o corpo formado 
por um conjunto de partículas. Essas 
partículas são atraídas para o Centro da 
Terra, cada qual com sua força peso. 
Centro de gravidade, portanto, é o ponto 
onde pode-se equilibrar todas essas forças 
de atração. 
 
Trabalho = Força x Deslocamento 
W = Gz = mgz 
O PHR é adotado arbitrariamente conforme a conveniência da solução do problema. 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 Energia cinética (Ec) é o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de 
massa m e velocidade v; a energia cinética será dada por: 
 
 
 
 
 Energia de pressão (Epr) corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no 
escoamento do fluido. 
Seja, por exemplo, um tubo de corrente. Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a 
força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A, será F = pA. 
No intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de um ds, sob a ação da força F, produzindo um 
trabalho: 
 W = F.ds = pA.ds = p.dV 
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CG 
m 
v 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
ENGENHARIA / UNESA 
 
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Por definição: dW = dEpr 
e portanto 
dEpr = pdV 
ou 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
Energia mecânica total do fluido (E): excluindo-se energias térmicas e levando-se em conta apenas 
efeitos mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será 
 
 
 
•Equação de Bernoulli 
 A equação de Bernoulli, devido ao grande número de hipóteses simplificadoras, dificilmente poderá 
produzir resultados compatíveis com a realidade. 
No entanto, é de importância fundamental, seja conceitualmente, seja como alicerce da equação 
geral, que será construída pela eliminação gradual das hipóteses da equação de Bernoulli e pela 
introdução dos termos necessários, para que a equação represente com exatidão os fenômenos 
naturais. 
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
As hipóteses simplificadoras são: 
1. Regime permanente; 
2. Sem máquina no trecho de escoamento em estudo (“bombas” que fornecem energia ao fluido ou 
“turbinas” que extraem energia do fluido); 
3. Sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal; 
4. Propriedades uniformes nas seções; 
5. Fluido incompressível; 
6. Sem trocas de calor. 
 A equação de Bernoulli pode ser enunciada da seguinte forma: “Se entre duas seções do escoamento, o 
fluido for incompressível, sem atritos, e o regime permanente, se não houver máquina nem trocas de calor, 
então as cargas totais se mantêm constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de 
carga” 
 É preciso tomar cuidado ao aplicar a equação de Bernoulli, uma vez que ela é uma aproximação que se 
aplica apenas às regiões não viscosas do escoamento. Em geral, os efeitos do atrito sempre são 
importantes em regiões muito próximas de paredes sólidas (camadas-limite) e diretamente a jusante de 
corpos (esteiras). 
 
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
Simbolicamente: H1 = H2 
Onde: H = energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção 
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19 
p1 
Tubo de corrente 
Seções (1) e (2) 
Intervalo de tempo dt, uma 
massa infinitesimal dm1 de 
fluido a montante da seção 
(1) atravessa a mesma e 
penetra no trecho (1)-(2) 
acrescentado-lhe a energia 
dE1. Na seção (2), uma 
massa dm2 do fluido que 
pertencia ao trecho (1)-(2) 
escoa para fora , levando a 
sua energia dE2. 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
Como pelas hipóteses (2), (3) e (6) não se fornece nem se retira energia do fluido, para que o regime 
seja permanente, é necessário que no trecho (1)-(2) não haja variação de energia, o que implica 
obrigatoriamente que: 
 
 
Como  = dm/dV, o fluido é incompressível (1 = 2) e o regime é permanente (dm1 = dm2): 
 
 
Dividindo a equação por g e lembrando que  = g, tem-se a equação de Bernoulli, que permite 
relacionar cotas, velocidades e pressões entre duas seções do escoamento do fluido. 
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
ENGENHARIA / UNESA 
 
21 
Equação de Bernoulli 
z = Ep / G = Energia potencial por unidade de peso 
ou energia potencial de uma partícula de peso 
unitário (carga de elevação = energia potencial do 
fluido) 
v2 / 2g = Ec / G = energia cinética por unidade de peso 
ou energia cinética de uma partícula de peso unitário 
(carga da velocidade) 
p /  = Epr / G = energia de pressão por unidade 
de peso ou energia de pressão de uma partícula de 
peso unitário (carga da pressão) 
Energia constante 
no volume entre (1) 
e (2) 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 Equação da energia na presença de uma máquina 
 Neste item serão mantidas todas as hipóteses simplificadoras, mas raciocina-se com a presença de 
uma máquina entre as seções (1) e (2) do tubo de corrente. 
 Máquina, para efeito deste estudo, será qualquer dispositivo introduzido no escoamento, o qual 
forneça ou retire energia dele, na forma de trabalho. A maneira de funcionamento da máquina 
não interessa por enquanto, importando somente como sua presença afeta as equações. 
 Por enquanto, subsiste a hipótese de fluido incompressível, para facilidade de linguagem, será 
denominada “bomba” qualquer máquina que forneça energia ao fluido e “turbina” qualquer 
máquina que retire energia dele. 
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
ENGENHARIA / UNESA 
 
23 
(2) 
(1) 
H1 
H2 
M 
Se não houvesse máquina: H1 = H2 
 
Se a máquina for uma bomba, o fluido receberá um acréscimo de 
energia tal que: H2  H1 
 
Para restabelecer a igualdade, deverá ser somada ao primeiro 
membro a energia recebida pela unidade de peso do fluido na 
máquina. 
 
Logo: H1 + HB = H2 
 
A parcela HB é chamada “carga ou altura manométrica da 
bomba” e representa a energia fornecida à unidade de peso do 
fluido que passa pela bomba. 
𝑃
𝜌𝑔
+
𝑉2
2𝑔
+ 𝑧 = 𝐻 (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜) 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
ENGENHARIA / UNESA 
 
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(2) 
(1) 
H1 
H2 
M 
Se não houvesse máquina: H1 = H2 
 
Se a máquina for uma turbina, há uma retirada de energia do 
fluido, tal que: H1  H2 
 
Para restabelecer a igualdade, deverá ser subtraída do primeiro 
membro a energia retirada da unidade de peso do fluido pela 
turbina. 
 
Logo: H1 - HT = H2 
 
A parcela HT é chamada “carga ou alturamanométrica da 
turbina”. 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
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25 
(2) 
(1) 
H1 
H2 
M 
Como se deseja estabelecer uma equação geral, a carga manométrica 
da máquina será indicada por HM e podemos escrever: 
 
H1 + HM = H2 
 
Sendo: 
HM = HB se a máquina for uma bomba 
HM = - HT se a máquina for uma turbina 
A presença de uma máquina pode acarretar variações da 
carga de pressão, da carga potencial e da carga cinética 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 Potência de uma máquina e noção de rendimento 
Potência, por definição, é o trabalho por unidade de tempo. Como trabalho é uma energia 
mecânica, podemos generalizar definindo potência como sendo qualquer energia mecânica por 
unidade de tempo. 
 
 
 
A energia por unidade de peso já foi definida anteriormente e foi denominada “carga”, e o peso 
por unidade de tempo é a vazão em peso. Dessa forma: 
ENGENHARIA / UNESA 
 
26 
Potência referente ao fluido 
Vazão em volume 
Peso específico do fluido 
Energia por unidade 
de peso ou carga 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 No caso da presença de uma máquina, verificou-se que a energia fornecida ou retirada do fluido, por 
unidade de peso, é indicada por HM (carga manométrica). Logo, nesse caso, a potência referente ao 
fluido será dada por: 
 
 
 
 
 
 No caso de transmissão de potência, sempre existem perdas e, portanto, a potência recebida ou 
cedida pelo fluido não coincide com a potência da máquina, que é definida como sendo a potência no 
seu eixo. 
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27 
bombas 
turbinas 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
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28 
B = N / NB  Rendimento da bomba, N  NB devido às perdas na transmissão da 
potência ao fluido, que se devem principalmente a atritos. 
NB = Potência da bomba ou disponível no eixo da bomba 
B 
N = QHB (potência recebida pelo 
fluido ao passar pela bomba) 
perdas 
motor 
eixo 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
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29 
NT = potência da turbina ou 
disponível no eixo da turbina 
Observa-se nesse caso que o fluxo de 
energia é do fluido para a turbina e, 
portanto, NT  N. 
Logo: 
T = NT / N  rendimento de uma turbina 
T 
N = QHT 
Potência cedida pelo fluido à turbina 
perdas 
eixo 
gerador 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 As unidades de potência são dadas por unidade de trabalho por unidade de tempo. 
SI: N.m/s = J/s = W (watt) 
MKS: kgf.m/s = kgm/s 
Outras unidades: CV (cavalo-vapor) e o HP (horse power) 
1 CV = 75 kgm/s = 735 W 
1 HP = 1,014 CV 
1 kgm/s = 9,8 W 
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CV - Esta unidade de medida nasceu quando James Watt precisou expressar a potência da máquina a vapor, sua recente invenção. Já que 
tinham-se estado usando cavalos para mover os moinhos, Watt usou-os como referência. Estimou que um cavalo podia levantar 33.000 lb de 
água a uma altura de um pé em um minuto. Assim nasceu a unidade de medida horsepower, termo inglês que literalmente significa força de 
cavalo. 
Horse-power (HP ou cavalo-de-força) é uma unidade de origem inglesa, aproximadamente equivalente ao CV, porém não são iguais, sendo o 
HP 1,38% maior que o CV. 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 Casos especiais: 
 Escoamento incompressível sem nenhum dispositivo de trabalho mecânico e atrito desprezível  equação 
de Bernoulli. 
Fator de correção da energia cinética, : 
Os fatores de correção da energia cinética quase sempre são ignorados (ou seja,  é igualado a 1) em 
uma análise elementar, uma vez que: (i) a maioria dos escoamento encontrados na prática são turbulentos, 
para os quais o fator de correção é próximo da unidade; e (ii) os termos da energia cinética quase sempre 
são pequenos com relação aos outros termos da equação da energia, e sua multiplicação por um fator 
menor do que 2,0 não faz muita diferença. 
Entretanto, é preciso lembrar de que em algumas situações esses fatores são significativos, particularmente 
quando o escoamento for laminar ( = 2,0 para escoamento de tubo laminar completamente desenvolvido). 
 
𝐏𝟏
𝛒
+ 𝜶𝟏
𝐕𝟏
𝟐
𝟐𝐠
+ 𝐳𝟏 + 𝐡𝐛𝐨𝐦𝐛𝐚,𝐮 =
𝐏𝟐
𝛒
+ 𝜶𝟐
𝐕𝟐
𝟐
𝟐𝐠
+ 𝐳𝟐 + 𝐡𝐭𝐮𝐫𝐛𝐢𝐧𝐚,𝐞 + 𝒉𝑳 
ENGENHARIA / UNESA 
 
31 
Escoamento em regime permanente incompressível 
Perdas de carga 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
Observações finais: 
α =
1
A
 
v
vm
3
dA ∴ quando o diagrama de velocidades não é uniforme na seção 
O coeficiente  é função do diagrama de velocidades. Quanto maior for o valor de , maior será a 
distância de um diagrama de velocidades uniforme. 
Se o perfil de velocidades for dado por: v = vmáx 1 −
rn
Rn
 
vm =
1
A
 vdA ∴ vm =
1
πR2
 vmáx 1 −
rn
Rn
. 2πr. dr 
Assim: 𝐯𝐦 = 𝐯𝐦á𝐱
𝐧
𝐧+𝟐
, onde vm é a velocidade média na tubulação 
Logo: α =
1
πR2
 
Rn−rn
Rn
×
n+2
n
3
. 2πr. dr ∴ α =
2
R2
.
n+2
n
3
. r.
Rn−rn
Rn
3
. dr 
Finalmente: α = 2.
n+2
n
3
.
1
2
+
3
2n+2
−
3
n+2
−
1
3n+2
 
ENGENHARIA / UNESA 
 
32 
Tubulação com seção circular 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
ENGENHARIA / UNESA 
 
33 
           











x
y
Valor de n 
Valor de  
p/escoamento laminar: vm = vmáx 1 −
r
R
2
; n = 2,  = 2 
(1) 
(2) 
𝐻1 +𝐻𝑚 = 𝐻2 + 𝐻𝑃1,2 
A energia é sempre decrescente no sentido do escoamento. 
A potência dissipada ou perdida por atrito pode ser calculada: 
Ndiss = γQ𝑣HP1,2 
𝐻𝑀 = 𝐻𝐵 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 
𝐻𝑀 = −𝐻𝑇(𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎)