Licoes ALGA (Bernadino Mucavele) (2)

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Álgebra Linear e Geometria Analítica Bernardino da Conceição Mucavele 
 
UDM - Área de formação em ciências tecnológicas 
Licenciatura em Engenharia Ambiental/Industrial e Engenharia em Gestão de Energias 
0 
 
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A = (a i j) m x n
Bernardino da Conceição Mucavele
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1 
 
Direitos de autor 
Este manual de lições não pode ser reproduzido para fins comerciais. No caso de reprodução 
deve ser mantida a referência ao autor do manual de lições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
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2 
Ficha Técnica 
Título: Lições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
Autor: Bernardino da Conceição Mucavele. 
Desenho Instrucional: Thomson Alfredo Mucavela 
Revisão Linguística: Nelsia Marina 
Produção: Individual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
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3 
Índice Página 
Objectivos Gerais 
Breves Considerações sobre Manual 
Biografia Euler ˮ Cego que Enxerga Longe ˮ 
Provérbio Popular 
TEMA I MATRIZES 
8 
9 
11 
13 
13 
1.1. Definição 13 
1.2. Representação de uma Matriz 14 
1.3. Espaço Algébrico das Matrizes 15 
1.3.1. Igualdade de Matrizes 15 
1.4. Tipos de Matrizes 15 
1.4.1. Matriz Quadrada 16 
1.4.2. Matriz Nula 16 
1.4.3. Matriz coluna 16 
1.4.4. Matriz linha 16 
1.4.5. Matriz Identidade ou Unidade 16 
1.4.6. Matriz diagonal 16 
1.4.6.1. Diagonal Principal 16 
1.4.6.2. Diagonal Secundária 17 
1.4.7. Matriz Triangular Superior 17 
1.4.8. Matriz Triangular Inferior 17 
1.4.9. Matriz Transposta 17 
1.4.9.1. Propriedades da Matriz Transposta 17 
1.4.10. Matriz Simétrica 18 
1.4.11. Matriz Anti-simétrica 18 
1.4.12. Matriz Oposta 18 
1.4.13. Matriz Ortogonal 18 
1.4.14. Matriz Permutável 18 
1.5. Operações Elementares com Matrizes 19 
1.5.1. Adição 19 
1.5.2. Multiplicação de Matrizes 19 
1.5.2.1. Propriedades de produto de Matrizes 20 
1.5.3. Produto de uma Matriz por Escalar 20 
1.5.4. Operações elementares sobre as linhas 20 
1.6. Matriz Reduzida à forma Escalonada 21 
1.6.1. Teorema da matriz escalonada 23 
Biografia Cauchy ʺ Barão por Excelência ʺ 24 
Provérbio Popular 25 
TEMA II DETERMINANTES 26 
2.1 Noção de Determinantes 27 
2.1.1. Dispositivos práticos para determinantes de ordem n ≤ 3 27 
2.2. Regra de Sarrus 27 
2.3. Propriedades dos Determinantes 28 
2.4. Desenvolvimento de Laplace 30 
2.4.1. Teorema de Laplace 32 
2.5. Matriz Adjunta e Matriz Inversa 32 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
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4 
2.5.1. Teorema da Matriz Inversa 32 
2.5.2. Método de Jordan para o cálculo da Matriz Inversa 
Biografia Laplace ʺ O Ministro do Interior ʺ 
Provérbio Popular 
33 
35 
36 
TEMA III SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 37 
3.1. Sistema de Equações Lineares 37 
3.2. Conjunto de Soluções de um Sistema de Equações Lineares 37 
3.3. Sistemas de Equações Lineares Equivalentes 38 
3.4. Compatibilidade de Sistema de Equações Lineares 38 
3.5. Teorema dos Sistema de equações lineares 39 
3.5.1. Teorema 39 
3.6.Representação de Sistemas de Equações na forma Matricial. 39 
3.7. Resolução de Sistema de Equações Lineares pelo Método de Gauss 40 
3.8. Sistema de Equações Homogéneas 42 
3.9. Resolução de Sistemas de Equações Recorrendo à Matriz Inversa 43 
3.10. Regra de Crammer 44 
Biografia Gauuss ʺO Príncipe da Matemáticaʺ 46 
Provérbio Popular 47 
TEMA IV CÁLCULO VECTORIAL 48 
4.1. Vectores 48 
4.1.2. Grandezas Escalares e Grandezas Vectoriais 48 
4.1.3. Segmentos orientados 48 
4.1.4. Definição do vector 49 
4.1.5. Representação Geométrica de um Vector 49 
4.2. Tipos de Vectores 50 
4.2.1. Vector Nulo 50 
4.2.2. Vectores Iguais 50 
4.2.3. Vectores Opostos 51 
4.2.4. Vector Unitário 51 
4.2.5. Norma de Vector 51 
4.3. Adição de vectores 51 
4.3.1. Soma de Dois Vectores 51 
4.3.2. Adição de Três vectores 52 
4.3.3. Adição com um vector nulo 52 
4.3.3. Subtracção de vectores 52 
4.3.4. Soma de Vectores no Plano 53 
4.3.5. Multiplicação de Vectores 53 
4.3.5.1. Multiplicação de Vector �� por um Escalar k ∈ ℝ 53 
4.4. Produto Escalar ou Produto Interno de Dois Vectores 55 
4.4.1. Aplicação do Produto Escalar na Física 55 
4.4.2. Demonstração 56 
4.4.3. Corolário 2 56 
4.4.4. Corolário 1 56 
4.4.5. Propriedades do Produto Escalar 56 
4.4.6. Norma de vector como função do Produto Escalar 56 
4.5. Co-senos Directores 57 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
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5 
4.5.1. Teorema 57 
4.5.2. Versor do Vector 57 
4.5.3. Condição de Ortogonalidade de Dois Vectores 58 
4.6. Projecção do Vector v�� na Direcção do Vector u�� 58 
4.7. Produto Vectorial ou Produto Externo de Dois vectores 58 
4.7.1. Aplicação do Produto Vectorial na Física 58 
4.7.2. Corolário 59 
4.7.3. Propriedades do Produto Vectorial 59 
4.7.4. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vectorial 59 
4.8. Produto Misto 60 
4.8.1. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto 60 
4.8.2. Volume do Paralelepípedo 60 
4.8.3 Volume do Prisma 60 
4.8.4. Volume do tetraedro 60 
4.9. Duplo Produto Vectorial. 61 
4.10. Distância entre Dois Pontos 62 
4.10.1. Ponto que Divide um Segmento numa Razão Dada 62 
Biografia Pitágoras ˮ O Pai da Geometria Demonstrativa ˮ 64 
Provérbio Popular 65 
TEMA V ESPAÇOS VECTORIAIS 66 
5.1. Introdução 66 
5.1.1. Definição do Espaços ℝ
 67 
5.2. Espaço Vectorial 67 
5.2.1. Sub-espaços Vectoriais 68 
5.3. Operações Elementares 68 
5.3.1. Igualdade de Vectores 68 
5.3.2. Operação de Soma 69 
5.3.3. Vector Simétrico 69 
5.3.4. Multiplicação do vector por um escalar 69 
5.4. Combinação Linearde Vectores 69 
5.4.1. Sub-espaço Gerado 69 
5.5. Dependência e Independência Linear 71 
5.5.1. Teoremas da Dependência e Independência Linear 71 
5.6. Mudança de Base. Auto-valores e Auto-vectores 72 
Biografia Dieudonné ˮ A Matemática Moderna ˮ 74 
Provérbio Popular 75 
TEMA VI RECTA E PLANO NO ESPAÇO 76 
6.1. Introdução 76 
6.1.1. Sistemas de Coordenadas no Espaço Tridimensional ℝ3 76 
6.1.2. Particularidades 77 
6.2. Estudo das Equações do Plano 77 
6.2.1. Equação Vectorial do Plano 77 
6.2.2. Equações paramétricas do plano 77 
6.2.3. Equação Geral do Plano 78 
6.2.4. Posições relativas de recta e plano. 79 
6.2.5. Posições relativas de dois planos 80 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
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6 
6.3. Estudo das Equações da Recta 81 
 6.3.1. Equação Vectorial Paramétrica da Recta 81 
6.3.2. Equações paramétricas da recta 81 
6.3.3. Equações Simétricas da Recta 82 
6.3.3.1 Casos Particulares das Equações Simétricas da Recta 82 
6.3.4. Equações Simétricas da Recta por Dois Pontos 83 
6.3.5. Equação da Recta determinada pela Intersecção de dois Planos 83 
6.3.6. Equação Geral da Recta 83 
6.3.6.1. Demonstração 84 
6.3.7. Equação reduzida da recta 84 
6.3.8. Equação Segmentária da Recta 85 
6.3.9. Coeficiente Angular 86 
6.3.10. Equação de uma recta, conhecendo o coeficiente angular e um ponto da recta 86 
6.3.11. Posições Relativas de duas Rectas 87 
6.3.12. Ângulo entre duas rectas 87 
6.3.13. Distância entre ponto e recta 88 
6.3.14. Distância entre duas rectas 88 
6.3.15. Razão de secção 89 
6.3.16. Ponto Médio de um segmento 90 
6.3.17. Baricentro de um Triângulo 90 
6.3.17.1 Cálculo das Coordenadas do Baricentro 91 
Biografia Fermat ʺ O Príncipe dos amadores em Matemática ʺ 92 
Provérbio Popular 93 
TEMA VII CURVAS E SUPERFÍCIES DE SEGUNDA ORDEM 94 
7.1. Introdução 94 
7.1.2. Secções Cónicas 94 
7.2. Estudo da Parábola 95 
7.2.1. Equação Canónica da Parábola 96 
7.2.1.2. Equações Paramétricas da Parábola 97 
7.3. Estudo da Elipse 98 
7.3.1. Elementos da elipse 98 
7.3.2. Equação Canónica da Elipse 99 
7.4. Estudo da Hipérbole 101 
7.4.1. Equação Canónica da hipérbole 101 
7.5. Estudo da Circunferências 102 
7.5.1. Equação canónica da circunferência 102 
7.5.2. Equação geral da circunferência 103 
Biografia Recém-nascido abandonado nos degraus de uma Igreja 104 
Provérbio Popular 105 
BIBLIOGRAFIA 
Biografia Leibniz ˮ O Autodidacta ˮ 
Provérbio Popular 
 
106 
107 
108 
 
 
 
 
 
 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
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7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objectivos Gerais 
Considerando esta unidade curricular no âmbito da formação pessoal e cien-tí.ca, em geral, e da 
formação matemática em particular, o estudante deverá: 
� Desenvolver capacidades de abstracção, dedução lógica e analítica. 
� Adquirir métodos e técnicas estruturantes do raciocínio científico e matemático que proporcione um 
espírito crítico. 
� Dominar conteúdos matemáticos associados à Análise Linear e geometria analítica, nomeadamente: 
sucessões, Matrizes e Determinantes, Sistema de Equações Lineares, Cálculo Vectorial e Espaços 
Vectoriais, Rectas e Plano no Espaço, Curvas e Superfícies de Segunda Ordem, ao nível de conceitos 
e aplicações. 
� Utilizar conhecimentos matemáticos na resolução de problemas e interpretação da realidade. 
� Adquirir competências matemáticas que possam vir a ser desenvolvidas e aplicadas em contexto 
profissional, de investigação ou de ensino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
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8 
 
Breve Considerações sobre o Manual 
Caro leitor! 
A matemática, quando bem interpretada, não possui somente a verdade, mas a suprema beleza, beleza 
austera e fria, como a da escultura, sem apelo ao que porventura haja em nós de menos elevado, sem os 
faustosos ornamentos da pintura e da música, mas de uma pureza sublime, e capaz de uma perfeição severa, 
que só a arte mais excelsa pode atingir. 
Desde a antiguidade até hoje, somos confrontados com a necessidade de compreender os segredos da 
Natureza, para tal é necessário escalonar o mundo real. Conhecer os segredos da Natureza sempre foi, 
por um lado, um meio de saciar a inquietação e a curiosidade humana e, por outro, quase sempre foi 
fonte de bem-estar. Duas boas razões, portanto, para conhecer e praticar a ciência o que só é hoje 
possível fazer recorrendo à Geometria, Álgebra Linear dentro da Matemática. Assim podemos começar 
por pensar no mundo real que, por um processo de abstracção, pode mais tarde substituir-se por um 
modelo é mais fácil, agradável e até divertido elaborar. 
O presente Livro denominado Lições de Álgebra Linear e Geometria Analítica está subdividido em sete 
temas nomeadamente: 
Matrizes: Foca nos conceitos ligados às Matrizes, desde a sua definição, sua representação, 
classificação, propriedades, operações elementares sobre as suas linhas, matriz reduzida à forma escadas 
por linhas e os teoremas da matriz escalonada. 
Determinantes: Este tema aborda o estudo de determinantes desde a sua definição, propriedades, regra 
de Sarrus, desenvolvimento de Laplace, matriz inversa, a condição suficiente, condição necessária para a 
existência da matriz inversa e método de Jordan para o cálculo da matriz inversa. 
Sistema de Equações Lineares: este tema trata desde a definição do sistema de equações, soluções de 
um sistema de equações, sistema de equações equivalentes, compatibilidade de sistema de equações 
lineares, teorema dos sistemas de equações, a representação de sistemas de equações na forma matricial, 
resolução de sistema de equações lineares pelo método de Gauss, sistema de equações homogéneas, 
resolução de sistemas de equações recorrendo à matriz inversa e a regra de Crammer para a resolução de 
sistemas de equações. 
Cálculo Vectorial: este tema é abordado partindo da conceitualização das grandezas escalares e 
grandezas vectoriais, definição do vector, representação geométrica de um vector, tipos e norma de um 
vector, adição e multiplicação de vectores, produto escalares de dois vectores e aplicação do produto 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
9 
escalar na Física, propriedades do produto escalar de vectores, projecção de um vector, produto vectorial 
e aplicação do produto vectorial na Física, propriedades do produto vectorial, interpretação geométrica 
do módulo vectorial, produto misto e interpretação geométrica do produto misto, duplo produto 
vectorial, distância entre dois pontos e o ponto que divide um segmento numa razão. 
Espaços Vectoriais: nos espaços vectoriais terão como epígrafe a definição do conceito de espaço 
vectorial e suas propriedades, o conceito de sub-espaço vectoriale suas operações, o espaço gerado e a 
combinação linear de vectores, a dependência e a independência linear de vectores, seus teoremas, a 
mudança de base, auto valores, auto vectores e seus teoremas. 
Rectas e Plano no Espaço: aborda o sistema de coordenadas, estudo das equações do plano, 
apresentado a equação vectorial do plano e equações paramétricas do plano, a equação geral do plano, 
posições relativas de rectas e plano e posições relativas de dois planos. O estuda das equações da recta 
com equação vectorial paramétrica da recta e equações paramétricas da recta, equações simétricas da 
recta e seus casos particulares, equação da recta determinada pela intersecção de dois planos e a equação 
geral da recta, equação reduzida da e a equação segmentária da recta, equação de uma recta conhecendo 
o coeficiente angular e um ponto da recta, posições relativas de duas rectas e o ângulo entre duas rectas, 
distância entre ponto e recta e a razão de secção, ponto médio de um segmento, baricentro de um 
triângulo e cálculo das coordenadas do baricentro. 
Curvas e Superfícies de Segunda Ordem: aborda as secções cónicas, evidenciado a parábola, a 
equação canónica da parábola e a equação canónica da parábola, o eixo da parábola e as equações 
paramétricas da parábola. O estudo da elipse, os elementos da elipse, a equação canónica da elipse e os 
eixos da elipse. O estudo da hipérbole, a equação canónica da hipérbole. O estudo da circunferência, a 
equação canónica da circunferência e a equação geral da circunferência. 
Estes temas seguem a sequência mais conveniente para o estudo dos tópicos importantes para um ramo 
da matemática voltada para aplicações em Física e Engenharias de uma forma geral. Neste manual 
orientando para a cadeira de Álgebra Linear e Geometria Analítica pretende-se que o leitor/estudante 
adquira conhecimentos teóricos e práticos que possam oferecer subsídio que vão direccionar os passos a 
tecer ao encontro das ferramentas básicas aplicáveis no tratamento e resolução dos problemas mais 
adaptados ao perfil do curso. 
 
 
 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica
Biografia 
Euler ˮ Cego que Enxerga Longe 
Leonhard Euler nasceu na Basileia, Suíça, onde seu pai era 
ministro religioso com alguns conhecimentos matemáticos. 
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo dos seus filhos 
Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em 
Matemática, Astronomia, Teologia, 
Com auxílio de Bernoulii entrou para a academia de S. 
Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na 
secção de Medicina e Filosofia, e em 1730 passou à secção de 
Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de 
Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos 26 anos de 
idade, dedicou-se profundamente à pes
quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da 
academia. 
Em 1735 perdeu a visão do olho direito, 
continuaram intensas chegando a escrever quando brincava com 
seus filhos. 
Conquistou reputação internacional e recebeu menção de honra na Academia da Ciências de Paris, bem 
como vários prémios em concursos.
academia de Berlim, voltando à Rússia em 1766.
Euler ocupou-se de quase todos os ramo
linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra 
logaritmos naturais, a letra grega 
símbolo i para √�1. Deve-se a ele também o uso das letras minúsculas designando lados do triângulo e 
letras maiúsculas para seus ângulos opostos; sim
adição e f��� para a função de x
Análise. 
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Métodos de Fluxo num só ramo mais geral da Matemática que é a 
Análise, o estudo de processos infinitos, surgindo assim a principal obra
Analise Infinita ˮ baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes 
elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais).
Foi o primeiro a tratar logaritmos como expoente e com ideia correcta sobre logaritmo de números 
negativos. Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultados 
relacionar Analise com Teoria dos Números, e para a Geometr
Introdução ˮ onde dá a representaç
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Aos dezassete últimos anos da sua vida passou em total 
publicações não diminui, escrevendo com giz em grandes quadros negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até aos 76 anos quando ele morreu 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica
UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
10 
 Cego que Enxerga Longe ˮ
 
Leonhard Euler nasceu na Basileia, Suíça, onde seu pai era 
ministro religioso com alguns conhecimentos matemáticos. 
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo dos seus filhos 
Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Medicina, 
eologia, Física e Línguas Orientais. 
Com auxílio de Bernoulii entrou para a academia de S. 
por Catarina I, ocupando um lugar na 
secção de Medicina e Filosofia, e em 1730 passou à secção de 
Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de 
se o principal matemático já aos 26 anos de 
se profundamente à pesquisa compondo uma 
quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da 
Em 1735 perdeu a visão do olho direito, mas sua pesquisas 
continuaram intensas chegando a escrever quando brincava com 
internacional e recebeu menção de honra na Academia da Ciências de Paris, bem 
como vários prémios em concursos. Convidado por Frederico, o grande, Euler passou 25 anos na 
academia de Berlim, voltando à Rússia em 1766. 
se de quase todos os ramos da matemática Pura e aplicada sendo o maior responsável pela 
linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e 
logaritmos naturais, a letra grega � para a razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência e o 
se a ele também o uso das letras minúsculas designando lados do triângulo e 
letras maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por 
x, alem de outras anotações em Geometria, Álgebra Trigonometria e 
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Métodos de Fluxo num só ramo mais geral da Matemática que é a 
infinitos, surgindo assim a principal obra, em 1748,
se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes 
elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais).
o primeiro a tratar logaritmos como expoente e com ideia correcta sobre logaritmo de números 
Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultados 
relacionar Analise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um apêndice da 
 onde dá a representação da Geometria Analítica no Espaço.
 
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Aos dezassete últimos anos da sua vida passou em total cegueira mas o fluxo das suas pesquisas e 
publicações não diminui, escrevendo com giz em grandes quadros negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até aos 76 anos quando ele morreu 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
 
 
 
internacional e recebeu menção de honra na Academia da Ciências de Paris, bem 
Convidado por Frederico, o grande, Euler passou 25 anos na 
s da matemática Pura e aplicada sendo o maior responsável pela 
 como base do sistema de 
para a razão entre o comprimentoe o diâmetro da circunferência e o 
se a ele também o uso das letras minúsculas designando lados do triângulo e 
por lx, usou Σ para indicar 
, alem de outras anotações em Geometria, Álgebra Trigonometria e 
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Métodos de Fluxo num só ramo mais geral da Matemática que é a 
em 1748, a ˮ Introdução a 
se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes 
elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais). 
o primeiro a tratar logaritmos como expoente e com ideia correcta sobre logaritmo de números 
Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultados que o levaram a 
ia, Euler dedicou um apêndice da ˮ 
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos. 
cegueira mas o fluxo das suas pesquisas e 
publicações não diminui, escrevendo com giz em grandes quadros negros ou ditando para seus filhos. 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
11 
 
 
 
 
 
 
Provérbio Popular 
O professor é o mais importante arquitecto. Se estes edificam estruturas de blocos e cimento, O professor é o mais importante arquitecto. Se estes edificam estruturas de blocos e cimento, O professor é o mais importante arquitecto. Se estes edificam estruturas de blocos e cimento, O professor é o mais importante arquitecto. Se estes edificam estruturas de blocos e cimento, 
ferro e vidros, aqueles erguem ferro e vidros, aqueles erguem ferro e vidros, aqueles erguem ferro e vidros, aqueles erguem verdadeiros verdadeiros verdadeiros verdadeiros templos de carne e ossotemplos de carne e ossotemplos de carne e ossotemplos de carne e osso.... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
12 
TEMA I 
MATRIZES 
1. Matrizes 
Neste tema será vista a teoria elementar de matrizes, sua aplicação na álgebra linear e em problemas 
práticos que envolvem sistemas de equações lineares. Serão vistas as propriedades, tipos de matrizes, 
assim como os teoremas fundamentais da álgebra das matrizes. 
É comum depararmos nos com conjunto de números que são operados essencialmente da mesma 
maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é possível através do 
uso de elementos matemáticos chamados Matrizes. 
Foi apenas nos meados do século XIX que as matrizes sua importância detectada e saíram da sombra do 
anonimato. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1826. Ele as chamou de 
tableau (tabela). 
É provável que o nome “matriz” tenha vindo do James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com 
sua famosa Memoir on the theory of matrices, 1858, divulgou esse nome e começou a demonstrar a sua 
utilidade. O significado coloquial da palavra matriz é: local onde se gera ou cria. 
Sylvester as via como “um bloco rectangular de termos… o que não representam um determinante, mas 
como se fosse uma Matriz a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar 
um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas…”. Observe que Sylvester ainda via as matrizes 
como mero ingrediente dos determinantes. 
É só com Cayley que elas passam ater uma vida própria e, gradualmente, começam a suplantar os 
determinantes em importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, dada a aproximadamente 
do ano 2500 antes de Cristo, no livro chinês Chiu-Chang Suan-Shu (nove capítulos sobre a arte 
matemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras, agricultura, pecuária, 
impostos, equações etc. 
Um destes problemas é resolvido com cálculos efectuados sobre uma tabela, tais como efectuamos hoje 
com as matrizes, actualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas do conhecimento. Suas 
aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia e Informática, por exemplo. 
 
1.1. Definição 
Uma matriz é uma tabela rectangular de números, ou outro tipo de objectos matemático, dispostos em m 
linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). 
Dizemos assim que a matriz possui ordem mxn (lê-se: ordem m por n). Por outra chama-se matriz de 
ordem m x n a uma disposição rectangular com m linhas e n colunas. 
O conceito de matriz pode ser extraído de várias formas; a partir de sistemas de equações ou a partir de 
uma extensão de vectores sob o ponto de vista de um estudo genérico tensores. No que diz respeito a 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
13 
este tema não interessa muito a sua origem, o que importa é conhecer suas operações e suas 
propriedades fundamentais para daí serem utilizados em estudos posteriores. 
 
1.2. Representação de uma Matriz 
Representamos uma matriz colocando os dados da tabela entre parênteses ou entre colchetes. Assim a 
representação matricial de úmeros ou operações decorre de sistemas algébricos (múltiplas operações) 
lineares. Vejamos abaixo o exemplo de matriz. 
 
���
 =
�
��
��� ��� ������ ��� ���⋮ ⋮ ⋮
… �� …… �� ⋯⋮ ⋮ ⋮
��
��
⋮�"� �"� �"� ⋯ �" ⋯ �"
��� ��� ��� ⋯ �� ⋯ ��
#
$% = � = &�" '��
 ()*+: 1 ≤ - ≤ . + 1 ≤ / ≤ ) 
 
É habitual usar-se letras maiúsculas para designar matrizes, exceptuando-se o caso quando as matrizes 
apresentam uma e única coluna, para as quais, frequentemente são utilizadas letras minúsculas. A matriz 
A da definição pode ser representada na forma � = &�" '��
 ou simplesmente � = &�" ' se o tipo for 
conhecido do contexto ou não for importante na questão que estejam em estudo. 
As matrizes são usadas para a representação de múltiplas operações lineares de álgebra. O arranjo na 
horizontal do tipo ��"� �"� ⋯ �"
� da matriz chamamos de linha da matriz e ao arranjo na vertical 
como0�� �� ⋮�
 1 coluna da matriz. Assim a dimensão ou ordem de uma matriz é por m x n, onde m é o 
número de linhas e n é o número de colunas. Uma matriz A pode ser indicada como � = &�" '��
, 
i ∈ 31,2,3, … , .6 e / ∈ 31,2,3, … , )6, em que os �" são os elementos da matriz que ocorrem na i'ésima 
linha e j'ésima coluna da matriz A ou seja o �" é o elemento da linha i e da coluna j da matriz dada. 
 
Exemplo 1. 
Escreva a matriz � = &�" '��� onde: 7�" = 2- se - = /�" = / − 10 se - ≠ / < 
Resolução: � = =��� ������ ���> para 
 ��� tem-se i = j = 1 quando i = j temos �" = 2- logo ��� = 2.1 = 2 ��� tem-se - ≠ / ou ainda - = 1 e / = 2 quando i ≠ j temos �" = / − 10 logo ��� = 2 − 10 = −8 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
14 
��� tem-se - ≠ / ou ainda- = 2 e / = 1 quando i ≠ j temos �" = / − 10 logo ��� = 1 − 10 = −9 
 ��� tem-se - = j = 2 quando i = j temos �" = 2- 
logo ��� = 2 . 2 = 4 Solução: � = = 2 −8−9 4> 
 
1.3. Espaço Algébrico das Matrizes 
Definimos o espaço Emxn ao espaço de toda a matriz do tipo .�). Seja A uma matriz qualquer, com os 
elementos A = (aij)mxn onde os índices i e j representam as linhas e as colunas respectivamente, onde se 
encontra o elemento no arranjos matricial. 
 
1.3.1. Igualdade de Matrizes 
Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn pertencente ao espaço algébrico das matrizes Emxn dizem-se 
iguais quando � = N se e somente se aij = bij para todos i ∈ 31,2,3, … . , .6 e todos j ∈ 31,2,3, … , )6. De 
outro modo, a definição anterior nos diz que A e B são iguais se, e somente se, são da mesma ordem e 
têm elementos correspondentes iguais e escreve-se A=B. Assim apenas quando todo o elemento da 
i'ésima linha e da j'ésima coluna da matriz A for correspondentemente igual ao elemento da i'ésima linha 
e da j'ésima coluna da matriz B. 
 
Exemplo 2. 
Sejam � = O�� + 1 0Q(R�S� T�U + N = =10 T − 24 4 > determine x e y para A = B. 
Resolução: Se A=B então: 
VW
X�� + 1 = 10T − 2 = 0Q(R�S� = 4T� = 4 < ⇔ VW
X� = ±√9T = 2�[ = 81T = ±√4
< ⇔ \� = ± 3… … … … … … … .�[ = 3[T = ± 2 < ⇔ 
 ]� = 3T = 2< 
 
1.4. Tipos de Matrizes 
As matrizes são originárias de problemas matemáticos expressos em termos de sistema algébrico de 
equações. Dependendo do tipo de problema, este origina a partir do seu sistema de equações uma matriz 
característica desse problema. As propriedades específicas das matrizes são responsáveis pela definição 
de diferentes tipos de matrizes, também existem matrizes que, por apresentarem características notáveis, 
merecem destaque. Vejamos, a seguir algumas delas. 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
15 
1.4.1. Matriz Quadrada 
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas ou 
por outra. = ). Tais como: ���� + N��� nota que a ordem de uma 
matriz quadrada é n x n ou simplesmente de ordem n. Quando 
m≠ ) diz-se que a matriz é rectangular. 0
��� ������ ��� ⋯ ��
⋯ ��
⋮ ⋮�
� �
� ⋮ ⋮⋯ �
1 
 
1.4.2. Matriz Nula 
É aquela que todos seus elementos são iguais a zero. Tal como, é a matriz nula 
de ordem 2x2 
 
� = =0 00 0> 
1.4.3. Matriz coluna 
É aquela que possui uma e única coluna. Tal como: � = ^121_ ou N = ` 
30 1 8a 
1.4.4. Matriz linha 
É aquela que possui uma e única linha. Tal como: � = �1 2 1� ou N = �3 0 1 −8� 
 
1.4.5. Matriz Identidade ou Unidade 
Chama-se matriz Identidade à toda matriz diagonal de qualquer ordem e a qual os elementos da sua 
diagonal principal são iguais a 1. 
Onde: � = &�" '.�) tal que: abc = 0 para i ≠ j e abc = 1 para i = j. 
 � = f� = =1 00 1> N = f[ = `
1 00 1 0 00 00 00 0 1 00 1a 
1.4.6. Matriz diagonal 
É uma matriz quadrada �. = )� na qual �" = 0 g�h� - ≠ / isto é os elementos que não estão na 
diagonal principal são nulos. 
 
Exemplo 3. � = =1 00 4> N = `0 00 0 0 00 00 00 0 0 00 4a 
 
1.4.6.1. Diagonal Principal 
Numa matriz quadrada � = &�" ' de ordem n, os elementos �" , em que i = j, constituem a diagonal 
principal. Assim, os elementos a11, a22, a33, …, ann constituem a diagonal principal. Para a definição de 
uma diagonal principal a matriz deve ser quadrada. 
 
Observação 
Seja A = (aij)nxn uma matriz quadrada de ordem n; denomina-se traço da matriz A, a soma dos elementos 
a11 + a22 + a33 +… + ann dos elementos da diagonal principal da matriz A, o qual indicamos por tr(A). 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
16 
1.4.6.2. Diagonal Secundária 
Numa matriz quadrada � = &�" ' de ordem n, os elementos �" , em que i + j = n+1, constituem a 
diagonal secundária da matriz. Assim, os elementos a1n, a2n-1, a3n-2, ... , an1 constituem a diagonal 
secundária. 
Exemplo 4. 
Seja a matriz i = ^8 9 16 4 43 7 2_A matriz M é quadrada, a sua diagonal principal é 38, 4, 26 e a diagonal 
secundária é 31, 4, 36. O traço da matriz M é dado por tr(M) = 8 + 4 + 2 = 14. 
 
1.4.7. Matriz Triangular Superior 
 é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são 
nulos (�" = 0 l+ - > /� 
 
� = ^2 0 30 1 40 0 4_ 
1.4.8. Matriz Triangular Inferior 
é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos 
(�" = 0 l+ - < /� � = ^2 0 00 1 01 3 4_ 
 
1.4.9. Matriz Transposta 
Chama-se matriz transposta de uma matriz � = &� " ' . � ) e designa-se por �� ou por �o a matriz 
At = (atji)nxm tal que atji = aij, para todo o i e todo o j, ou seja a transposta da matriz A é obtida trocando 
ordenadamente suas linhas pelas colunas (ou suas colunas por linhas). Portanto, a operação de 
transposição aplicada a qualquer matriz não altera a diagonal principal da matriz transposta em relação 
a matriz original. 
 
Exemplo 5. � = =1 23 4> ; �o = =1 32 4> e N = ^1 −1 03 2 14 −3 −2_ ; No = ^
 1 3 4−1 2 −3 0 1 −2_ 
 
 
1.4.9.1. Propriedades da Matriz Transposta 
a) A transposta de uma matriz transposta é a matriz dada; Seja � = &�" '.�); q ∈ ℝ + N = &r" '.�) 
b) ��o�o = � 
c) ��o + No� = �� + N�o 
d) �q. ��o = q�o 
 
 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
17 
1.4.10. Matriz Simétrica 
é uma matriz quadrada A = (aij)nxn em que �" = � " Tal como: � = ^ 3 5 −1 5 0 1−1 1 4 _ assim: a�� = a�� ; ��� = ��� e ��� = ��� assim, observa que se: A é simétrica se At = A. 
 
 
1.4.11. Matriz Anti-simétrica 
Uma matriz quadrada � = &�" '��
 diz-se anti-simétrica quando �" = − � " para todo i tal que 1 < - < . + para todo / tal que 1 < / < ) porque os elementos da diagonal principal são todos nulos. 
 
Exemplo 6. 
A = ^ 0 −a b a 0 c−b −c 0_ é uma matriz Anti-simétrica, e se isso se verificar então a transposta da matriz anti-
simétrica também é uma matriz anti-simétrica, isto é, �o = −� 
 
1.4.12. Matriz Oposta 
 Chama-se matriz oposta de uma matriz A à uma matriz B tal que: � + N = 0 onde: � = − N 
 
1.4.13. Matriz Ortogonal 
Diz-se que uma matriz é ortogonal se esta possuir uma matriz inversa e a sua matriz inversa coincidir 
com a sua matriz transposta. 
 
Exemplo 7. 
A matriz AT= `√xx − √xx√xx √xx a é uma matriz ortogonal. 
 
1.4.14. Matriz Permutável 
Uma matriz mxn diz-se matriz permutação se tiver as mesmas linhas que a matriz identidade In, mas não 
necessariamente na mesma ordem, 
Exemplo 8. 
As matrizes;^0 1 01 0 00 0 1_ , ^
0 0 10 1 01 0 0_ e ^
0 1 00 0 11 0 0_ são matrizes de permutação, suas linhas são as 
mesmas da matriz identidade, mas não necessariamente na mesma ordem. 
 
 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ`âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
18 
1.5. Operações Elementares com Matrizes 
1.5.1. Adição � + N = ��" + r" �.�) a soma de matrizes da mesma ordem, resulta numa matriz C de igual 
ordem cujo os elementos são a soma dos elementos correspondentes das matrizes parcelas. Isto significa 
que a soma de duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n, é uma matriz C, da mesma ordem em que 
cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B 
 
Exemplo 9. 
Qual é a soma das seguintes matrizes? � = =1 −65 9> e N = =1 −42 13> 
Resolução: A + B = z�a�� + b��� + �a�� + b��� + �a�� + b��� + �a�� + b���{ A + B = z�1 + 1� + �−6 + −4� + �5 + 2� + �9 + 13�{ = =2 −107 22> 
1.1. Propriedades 
Seja �, N + | três matrizes e 0 a matriz nula. 
a) � + N = N + � adição comutativa 
b) �� + N� + | = � + �N + |� adição associativa 
c) � + 0 = � adição com o elemento nulo. 
d) � + �−�� = 0 adição de matrizes opostas 
 
 
1.5.2. Multiplicação de Matrizes 
Seja � = &�" '.�) e N = �r}o�)�t ~(. q ∈ ℝ; A = ^2 14 25 3_ e B = =0 −10 4> 
Matriz A Matriz B 
m x n n x p 
 Iguais 
 C m x p 
Nota que temos ���� e N��� assim teremos uma multiplicação porque o números de colunas da matriz 
A é igual ao número de linhas da matriz B. O produto das matrizes A e B é uma matriz que tem o número 
de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. Assim chamaremos C à matriz que resulta do 
produto de A.B logo C = A . B é do tipo m x t. 
C = A�€� . B�€� = C�€� = ^a�� a��a�� a��a�� a��_ 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
19 
���- Resulta da multiplicação da primeira linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B ���- Resulta da multiplicação da primeira linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B ���- Resulta da multiplicação da segunda linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B ���- Resulta da multiplicação da segunda linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B ���- Resulta da multiplicação da terceira linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B ���- Resulta da multiplicação da terceira linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B 
 
Assim: | = ^0 20 40 7_ observa que: N. � ≠ �. N = =0 −10 4> . ^
2 14 25 3_ temos: B�€� e ���� Assim não 
teremos a multiplicação porque o número de colunas da matriz B é diferente do número de linhas da 
matriz A. Logo B.A ≠ | e teremos uma multiplicação impossível 
 
1.5.2.1. Propriedades de produto de Matrizes 
O produto de matrizes, desde que sejam possíveis as operações, apresenta as seguintes propriedades: 
a) A . I = I . A = A; (Isto justifica o nome da matriz identidade) 
b) A . B ≠ B . A; (A multiplicação de matrizes não é comutativa) 
c) �A . B�. C = A. �B . C�; (A multiplicação de matrizes é associativa) 
d) A . �B + C� = A . B + A . C; (A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição) 
e) A .0 = 0; (em que o 0 é a matriz nula). 
 
1.5.3. Produto de uma Matriz por Escalar 
Seja: � = &�" '.�) uma matriz dada e q ∈ ℝ uma constante de valor escalar, então: q. � = &q. �" '.�) l+ � = =1 30 −1> + q = 2 desta forma q. � = 2 =1 30 −1> = =2 60 −2> 
 
1.5.4. Operações elementares sobre as linhas 
Se A é uma matriz m x n, cujas linhas são L1, L2, L3, …, Lm podemos denominar os seguintes tipos de 
operações elementares sobre linhas de matrizes: 
a) Permutação de linhas; 
L r ↔ L s , significa que podemos permutar as linhas r e s. 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
20 
b) Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um escalar não nulo; 
L r → k . L r , significa que a r-ésima linha foi substituída por ela própria multiplicada pela constante 
k não nula. 
c) Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos correspondentes de 
outra linha previamente multiplicados por um escalar não nulo; 
L r → L r + k . L s , ou seja, r-ésima linha foi substituída por ela mais k vezes a s-ésima linha. 
 
Exemplo 10. 
Aplique as operações elementares na matriz A = ^2 4 63 5 64 2 1_ de modo a transformá-la na matriz 
identidade. 
Resolução; 
^2 4 63 5 64 2 1_ ƒ� →
12 ƒ� → ^1 2 33 5 64 2 1_ 
 L� → L� + �−3�. L� → ^1 2 30 −1 – 30 −6 −11_ 
 
 L� → �−1�L� → 
 
^1 2 30 1 30 −6 −11_ ƒ� → ƒ� + �−2�ƒ� → ^
1 0 – 30 1 30 −6 −11_ L� → L� + 6L� → 
 
^1 0 − 30 1 30 0 1 _ L� → L� + 3 . L� → ^
1 0 00 1 30 0 1 _ L� → L� + �−3�L� → ^
1 0 00 1 00 0 1_ 
Observação: 
As operações elementares sobre as linhas de uma matriz possuem as propriedades: reflexiva, simétrica e 
transitiva. 
 
 
1.6. Matriz Reduzida à forma Escalonada 
Uma matriz � = &�" '.�) diz-se reduzida à forma escalonada se o seu determinante não for nulo e que 
satisfaça as seguintes condições: 
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é sempre igual a Um (1). 
2. Toda coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma determinada linha, deve ter todos os 
outros elementos dessa coluna iguais a zero (0). 
3. Toda linha nula deve situar-se abaixo das linhas não nulas. 
4. Se as linhas 1,2,3….r-ésima são as linhas não nulas da matriz, e se o primeiro elemento não nulo da 
linha i situa-se na coluna q" então q� < q� … q
. Ou seja esta condição indica que o número de zeros 
^1 0 − 30 1 30 0 7 _ L� → 17 L� 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
21 
que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta à cada linha até que sobre apenas 
linhas nulas, se existir. Esta condição impõe a forma escada a matriz. 
Podemos citar alguns exemplos das matrizes linha reduzida escalonada. 
 A = ^1 00 10 0
0 40 31 4_ B = ^1 1 30 0 00 0 0_ C = =
1 00 0> D = ^1 0 00 1 00 0 1_ 
Por outro lado, as matrizes abaixo não são reduzidas escalonada. 
E = ^1 00 10 0
0 32 11 3_ F = ^
1 2 −30 5 20 0 0_ G = ^
1 2 −30 0 00 1 0_ 
 
Exemplo 11. 
Reduza à forma escalonada as seguintes matrizes. 
a) � = ^1 2 10 2 41 −2 1_ 
b) N = ^1 42 51 −3
 3 1 4 4−2 5_ 
 
a) Resolução: 
 
^1 2 10 2 41 −2 1_ ƒ� → ƒ� − ƒ� ^
1 2 10 2 40 −4 0_ ƒ� → �� ƒ� ⇔ ^
1 2 10 1 20 −4 0_ ƒ� → ƒ� − 2ƒ�ƒ� → ƒ� + 2ƒ� 
 
⇔ ^1 0 −30 1 20 0 8 _ ƒ3 → 18 ƒ3 ⇔ ^1 0 −30 1 20 0 1 _ ƒ1 → ƒ1 + 3ƒ3ƒ2 → ƒ2 + 2ƒ3 ⇔ ^1 0 00 1 0 0 0 1 _ 
 
b) Resolução: 
^1 42 51 −3
 3 1 4 4−2 5_ ƒ� → ƒ� − 2ƒ�ƒ� → ƒ� − ƒ� ⇔ ^
1 40 −30 −7
 3 1 – 2 2−5 4_ ƒ� → ƒ� − 2ƒ� ⇔ ^
1 40 −30 1
 3 1 – 2 2 1 0_ 
ƒ� → ƒ� − 4ƒ�ƒ� → ƒ� + 3ƒ� ⇔ ^1 00 10 0
 −1 1 1 0 1 2_ ƒ� → ƒ� + ƒ�ƒ� → ƒ� − ƒ� ⇔ ^
1 00 10 0
 0 3 0 −2 1 2_ 
 
 
 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
22 
1.6.1. Teorema da Matriz Escalonada 
Toda a � = &�" '.�) é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida escalonada. 
Seja � = &�" '.�) uma matriz escalonada de uma matriz N = &r" '.�). Chama-se posto ou rank da 
matriz A e se designa Š�N� (‹ h�N� o número de linhas não nulas da matriz B. 
Chama-se Nulidade (ou grau de liberdade) de uma matriz A o número N(A) = [) − Š���{: onde n é o 
número de colunas da matriz A. 
Observação: 
Para achar o posto de uma matriz dada é necessário primeiro encontrar a sua matriz linha reduzida a 
forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. E a nulidade é a diferença entre colunas de A e o 
posto. 
Exemplo 12. 
Encontre o posto e a nulidade da matriz A = ^1 00 10 0
−1 1 2 2 0 0_ 
Resolução: observando que a matriz A é linha reduzida escalonada, como o número linhas não nulas da 
matriz A é igual a 2 → P(A) = 2 e a nulidade N(A) = [) − Š���{ = [4 – 2] = 2 logo N(A) = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Biografia 
Cauchy ʺ Barão por Excelência
Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, lodo 
após a queda da Bastilha. Estudou na Escola 
Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois 
gostava muito de ensinar e aceitou a cadeira de 
Monge da Academia, quando este foi demitido. 
Ainda como estudante contou com o apoio de 
Laplace e Lagrange que se interessaram por 
seu trabalho. 
Cauchy chegou a ser um dos engenheiros 
militares de Napoleão. Católico devoto e 
raciocínio convicto, defendia vigorosamente a 
Ordem dos Jesuítas e quando Carlos X, seu rei, 
foi exilado, também deixou Paris, recebendo 
mais tarde o título de barão como recompensa 
por sua fidelidade. Produziu grandes 
quantidades de livros e memoriais, a maioria 
dedicada à Matemática Pura. 
Sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas. 
obtendo um novo resultado, logo tratava de publicá
amplamente com suas memórias para o 
(Notícias) da Academia, onde se publicou, a partir de 1814, em teorias das funções de variáveis 
complexas, da qual é um dos criadores.
Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá
diversas situações como, por exemplo, na propagação de ondas. 
Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o carácter que tem hoje, 
definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram 
fundamentais. Estas obras de Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com ideias 
semelhantes por Bolzano, um padre Tcheco.
Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teorias das funções, e em 
Geometria consegui generalizar a formula 
Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais difíceis e produto de pesquisas 
iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes. Juntamente com Navier, Cauchy foi fundador da 
teoria matemática de elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica Celeste.
Cauchy tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribui para quase todas as partes da Matemática e a 
sua grande quantidade de obras publicadas só é superada por Euler.
 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
23 
 ʺ 
Louis Cauchy nasceu em Paris, lodo 
após a queda da Bastilha. Estudou na Escola 
Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois 
gostava muito de ensinar e aceitou a cadeira de 
Monge da Academia, quando este foi demitido. 
u com o apoio de 
Laplace e Lagrange que se interessaram por 
Cauchy chegou a ser um dos engenheiros 
militares de Napoleão. Católico devoto e 
raciocínio convicto, defendia vigorosamente a 
Ordem dos Jesuítas e quando Carlos X, seu rei, 
exilado, também deixou Paris, recebendo 
mais tarde o título de barão como recompensa 
Produziu grandes 
quantidades de livros e memoriais, a maioria 
 
 
Sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas. Umas das suas características marcantes era que, 
obtendo um novo resultado, logo tratava de publicá-lo, ao contrário do que Gauss fazia assim, contribui 
amplamente com suas memórias para o ʺ jornal ʺ da Escola Politécnica e para os 
cias) da Academia, onde se publicou, a partir de 1814, em teorias das funções de variáveis 
complexas, da qual é um dos criadores. 
Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá
exemplo, na propagação de ondas. 
Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o carácter que tem hoje, 
definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram 
as obras de Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com ideias 
semelhantes por Bolzano, um padre Tcheco. 
Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teorias das funções, e em 
Geometria consegui generalizar a formula poliedral de Descartes-Euler. 
Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais difíceis e produto de pesquisas 
iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes. Juntamente com Navier, Cauchy foi fundador da 
de e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica Celeste.
Cauchy tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribui para quase todas as partes da Matemática e a 
sua grande quantidade de obras publicadas só é superada por Euler. 
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Umas das suas características marcantes era que, 
lo, ao contrário do que Gauss fazia assim, contribui 
 da Escola Politécnica e para os ʺ Comptes Rendus ʺ 
cias) da Academia, onde se publicou, a partir de 1814, em teorias das funções de variáveis 
Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá-los nas 
Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o carácter que tem hoje, 
definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram 
as obras de Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com ideias 
Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teorias das funções, e em 
Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais difíceis e produto de pesquisas 
iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes. Juntamente com Navier, Cauchy foi fundador da 
de e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica Celeste. 
Cauchy tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribui para quase todas as partes da Matemática e a 
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Provérbio Popular 
Quanto mais aprende, mais se surpreende com o tamanho da sua ignorânciaQuanto mais aprende, mais se surpreende com o tamanho da sua ignorânciaQuanto mais aprende, maisse surpreende com o tamanho da sua ignorânciaQuanto mais aprende, mais se surpreende com o tamanho da sua ignorância.... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
TEMA II 
DETERMINANTES 
2. Determinantes 
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVIII, quando eram estudas processos 
para resolução de sistema lineares de equações, hoje em dia, embora não sejam um instrumento muito 
prático na resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas 
expressões matemáticas complicadas. Veremos, nos próximos temas, que o determinante é um 
instrumento indispensável na investigação e na obtenção das propriedades de um operador linear. 
Na matemática ocidental o uso de determinantes começou dez anos depois num trabalho de Leibnitz, 
ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibnitz estabeleceu a condição de compatibilidade de 
um sistema de três equações a duas incógnitas em termos dos determinantes de ordem três formados 
pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até 
uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo escrevemos por ��� Leibnitz 
indicava por 12. 
A conhecida regra de Crammer para encontrar o conjunto de soluções de um sistema de n equações a n 
incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade a descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-
1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada posteriormente em 1748, no seu treatise of 
álgebra. Mas o nome do Suíço Gabriel Crammer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira 
totalmente gratuita. Crammer também chegou a regra (independentemente), mas depois, na sua 
introdução à análise das curvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os 
coeficientes da cónica geral: 
 A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0 
O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, 
sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento de sinais dos termos de um determinante. E coube 
a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da 
teoria dos determinantes independente dos estudos dos sistemas lineares, embora também os usasse na 
resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permitiu a expansão de um sistema de 
determinante através dos menores de r filas escolhidas e os seus respectivos complementos algébricos, 
foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a 
ver com o assunto: 
O termo determinante, com o sentido actual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. 
Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre os determinantes, melhorou a 
notação e deu uma demonstração do teorema de multiplicação de determinantes, meses antes J. F. M. 
Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema. 
Além de Cauchy, quem mais contribuiu para o desenvolvimento da teoria dos determinantes foi o 
alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado, as vezes, “o grande algorista”. Deve-se a ele a 
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26 
forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um 
entusiasta da notação de determinantes, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de 
jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos na sua obra. Assim 
começaremos o estudo dos determinantes com a discussão da definição dos determinantes. 
 
2.1. Noção de Determinantes 
Toda matriz quadrada � = &�" '��
 está associada de um número real chamado determinante da matriz 
A e designa-se por *+t���; |�| ou ainda *+t&�" '. 
 
2.1.1. Dispositivos práticos para determinantes de ordem n ≤ 3 
1. Se A é uma matriz de ordem n = 1, então det(A) é o único elemento da matriz A. 
 
 A = [a11] ↔ det(A) = a11 
 
2. Se A é uma matriz de ordem 2, então det(A) é o produto dos elementos da diagonal principal 
subtraído do produto dos elementos da diagonal secundária. 
 � = =��� ������ ���> logo; *+t��� = ��� ������ ��� = ����. ���� − ����. ���� 
 
2.2. Regra de Sarrus 
Se A é uma matriz de ordem n = 3, isto é, A = ^��� ��� ������ ��� ������ ��� ���_, assim definimos: 
det(A) = Ž��� ��� ������ ��� ������ ��� ���Ž = ��������� + ��������� + ��������� – ��������� – ��������� – ��������� 
 
Podemos memorizar a definição da seguinte forma: 
 
1. Repetir ao lado da matriz, as duas primeiras colunas. 
Ža�� a�� a��a�� a�� a��a�� a�� a��
⋮⋮⋮
a�� a��a�� a��a�� a��Ž 
 
Ža�� a�� a��a�� a�� a��a�� a�� a��
⋮⋮⋮
a�� a��a�� a��a�� a��Ž 
 
2. Traçar diagonais: 1ª, 2ª e 3ª diagonal passando por três elementos matriciais. Assim os termos 
precedidos pelo sinal de adição são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas 
situadas na direcção da diagonal principal. ���.���.���; ���. ���. ���; ���. ���. ��� 
 
3. Os termos precedidos pelo sinal de subtracção são obtidos multiplicando-se os elementos segundo 
as flechas situadas na direcção da diagonal secundária. ���. ���. ���; ���. ���. ���; ���. ���. ��� 
 
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27 
2.3. Propriedades dos Determinantes 
A definição dos determinantes e o teorema de Laplace nos permite o cálculo de qualquer determinante. 
Contudo é possível simplificar este cálculo empregando-se certas propriedades. Relacionamos, agora, 
propriedades básicas do determinante de uma matriz nos teoremas a seguir. 
Sejam �, N,  + f) matrizes quadradas de ordem n e k um escalar tal que  ∈ ℝ: 
 
Propriedade 1. 
Seja A = &abc' uma matriz quadrada de ordem n. Se A é uma matriz triangular superior ou inferior, 
então det(A) é produto dos elementos diagonais. Assim em particular det(In) = 1, onde: In é a matriz 
identidade de ordem n. 
Exemplo 1. 
Calcule os determinantes das matrizes: 
a) A = ^3 0 02 5 04 3 1_ b) B = `
3 20 1 3 54 70 00 0 2 20 6a 
 
a) Resolução: 
det(A) = (3 . 5 . 1) = 15 
b) Resolução: 
det(B) = (3 . 1 . 2 . 6) = 36 
 
Propriedade 2. 
Se N é a matriz nula, o determinante da matriz nula é igual a zero. 
 
Propriedade 3. 
Se A é uma matriz quadrada e uma das suas linhas ou uma das suas colunas for nulo então o 
determinante da matriz é nulo. 
Propriedade 4. 
A matriz A, e a sua transposta A‘ possuem o mesmo determinante det�A� = det�A�‘. 
 
Exemplo 2. 
Seja A = =1 42 5> , calcule o det(A) e o det(At) 
Resolução: det(A) = 1 42 5 = [(1 . 5) – (2 . 4)] = - 3 e det(At) = 1 24 5 = [(1 . 5) – (4 . 2)] = - 3 
Verificamos que, que através desta, qualquer outra propriedade envolvendo o determinante de uma 
matriz A e suas linhas, a mesma também é valida para o det(A) e suas colunas. 
Propriedade 5. 
Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz Apor um escalar ’ ∈ ℝ, 
então o *+t�N� = q. *+t���. 
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Exemplo 3. 
Qual é a relação existente entre os determinantes das matrizes A = ^7 14 493 5 20 2 7 _ e B = ^
1 2 73 5 20 2 7_? 
Resolução: 
Ž7 14 493 5 20 2 7 Ž = Ž
1.7 2.7 7.73 5 20 2 7 Ž = 7 Ž
1 2 73 5 20 2 7Ž, Portanto det(A) = 7 . det(B) 
 
Propriedade 6 
Se B é uma matriz obtida pela troca de duas linhas ou duas colunas da matriz A, então: 
*+t�N� = −*+t���. Sendo exemplificado por: 3 47 2 = −22 e 7 23 4 = 22 
Propriedade 7. 
Seja A é uma matriz quadrada, se A tem duas linhas ou duas colunas iguais então: *+t��� = 0 
 
Propriedade 8. 
Se uma linha ou coluna duma matriz quadrada A, for múltiplo de uma outra linha ou coluna da matriz A, 
então: *+t��� = 0. Ou ainda se uma matriz quadrada � = &�" ', de ordem n, tem uma linha (ou coluna) 
que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det(A) = 0. 
Exemplo 4. 
Calcule o determinante da matriz A = ^25 7 144 8 527 1 6_. 
Resolução: 
Pode-se verificar, facilmente, a primeira coluna é combinação linear da segunda e terceira colunas da 
matriz A. De facto usando os multiplicadores 3 e 4, respectivamente teremos: 
3 . 7 + 4 . 1 = 25 
3 . 8 + 4 . 5 = 44 
3 . 1 + 4 . 6 = 27 Assim det(A) = 0 
Propriedade 9. 
Adicionando a uma linha ou coluna de uma matriz A, de ordem n, uma outra linha ou coluna paralela, 
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz B tal que: det(B) = det(A). 
 
Se |�|= Ž1 3 54 2 74 1 −6Ž; adicionando, a primeira coluna a (-3) vezes a segunda coluna, obteremos um novo 
determinante. |N| = Ž1 0 54 −10 74 −11 −6Ž tal que; |�| = Ž
1 3 54 2 74 1 −6Ž = Ž
1 0 54 −10 74 −11 −6Ž = |N| 
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29 
 A importância desta propriedade reside no facto de que podemos “introduzir zeros” numa fila de uma 
matriz, sem alterar o seu determinante: com isso, podemos facilitar bastante o seu cálculo através do 
teorema de Laplace. 
 
Propriedade 10. 
Ao multiplicar ou dividir uma linha ou coluna de uma matriz, por uma constante q ≠ 0 o determinante 
será multiplicado ou dividido por essa constante q ≠ 0 
Propriedade 11. 
Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas de ordem n, det(A . B) = det(A) . det(B) 
 
Exemplo 5. 
Verifique que det(A . B) = det(A) . det(B), sabendo que; � = =1 23 4> e N = =2 30 5>; 
Resolução: det(A) = 1 23 4 = 1 . 4 – 2 . 3 = – 2; det(B) = 2 30 5 = 2 . 5 – 3 . 0 = 10; 
det(A . B) = 2 136 29 = 2 . 29 – 6 . 13 = 58 – 78 = - 20; det(A) . det(B) = det(A . B) = - 20 
como consequência do Teorema de Binet pode-se concluir que: det(�“�) = �”•o�–� ; de facto se �“� 
existe, então: �“�. � = � . �“� = f) ⇔ det(�“�. �) = det(f)� ⇔ det(�“�) . det(A) = 1 ⇔ det(A) ≠ 0 
 
Exemplo 6. 
Use as propriedades dos determinantes para calcular o valor de x que torna nulo o determinante da 
matriz � = ^� 2 43 1 20 −1 �_. 
Resolução: 
Como para o det�A� = 0 formaremos o determinante Ž� 2 43 1 20 −1 �Ž = 0 Assim, para anularmos a 3ª 
coluna, adicionaremos a 3ªcoluna com 2ªcoluna por �−2�: Ž� 2 03 1 00 −1 � + 2Ž = 0 
Desde já, � + 2 = 0 ⇔ x = −2 logo det�A� = 0 
 
2.4. Desenvolvimento de Laplace 
Como se vê, se a expressão do determinante de uma matriz de ordem 3 envolve 6 parcelas, então a do 
determinante de uma matriz de ordem 4 terá 24 parcelas, o que torna o processo muitas vezes 
complicado e moroso. Vejamos, então, outros processos para calcular o determinante. 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
30 
Vamos agora estudar uma fórmula que nos permite reduzir o cálculo de um determinante de ordem n ao 
cálculo de n determinantes de ordem n - 1. Esta fórmula pode ser particularmente útil se uma das linhas 
ou das colunas da matriz tiver muitos zeros. 
Seja dada uma matriz A quadrada de ordem 3 então � = ^��� ��� ������ ��� ������ ��� ���_. Usando a regra de Sarrus 
teremos: *+t��� = Ž��� ��� ������ ��� ������ ��� ���
⋮⋮⋮
��� ������ ������ ���Ž; assim, 
det(A) =z�˜™™. ˜xx. ˜šš� + �˜™x. ˜xš. ˜š™� + �˜™š. ˜x™. ˜šx�{ − z�˜š™. ˜xx. ˜™š� + �˜šx. ˜xš. ˜™™� + �˜šš. ˜x™. ˜™x�{ 
 
Segundo Laplace 
Agrupando as parcelas que contêm a11, as que contêm a12, e as contêm a13 teremos: 
det(A) = a11(a22 a33 – a23 a32) – a12(a21 a33 – a23 a31) + a13(a21 a32 – a22 a31) 
ou seja det�A� = ���. ��� ������ ��� + ����−1� ��� ������ ��� + ��� ��� ������ ��� logo teremos: 
det (A) = ����−1��›� ��� ������ ��� + ����−1��›� ��� ������ ��� + ����−1��›� ��� ������ ��� 
Nota bem: O determinante de ordem três, em função dos determinantes das sub-matrizes é de ordem 
dois. 
*+t������ = ����−1��›�|���| + ����−1��›�|���| + ����−1��›�|���| 
Onde: ˜œ é a sub-matriz da matriz inicial de onde a iésima linha e a jotaésima coluna foram retirados. 
 ∆" = �−1�"› Ÿ�" Ÿ então tem-se *+t������ = ���. ∆�� − ���. ∆�� + ���. ∆�� Esta também é válida para 
o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n, assim: 
*+t��)� = �"�. ∆"� + �"�. ∆"� + �"�. ∆"�+. … + �"
. ∆"
=   �" . ∆" =   �" . �−1�"› Ÿ�" Ÿ
 ¡�
 ¡� 
Desenvolvimento de Laplace: 
Seja A = (aij)mxn: Chama-se complemento algébrico de um elemento aij da matriz A a �−1�"› det&�" ' 
onde: �" designa a submatriz de A obtida por supressão da linha i e da coluna j e det&�" ' é co-factor �" 
Esta fórmula pode ser generalizada para matrizes n£n obtendo-se o seguinte teorema, cuja demonstração 
omitimos. 
 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
31 
2.4.1. Teorema de Laplace 
 O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha pelos 
respectivos complementos algébricos, isto é, sendo A = (aij)mxn, tem-se: 
 *+t��� = ∑ �" . �−1�"› Ÿ�" Ÿ
 ¡� para qualquer - ∈ 31,2,3, … , )6 
 
O mesmo vale para as colunas da matriz, ou seja, *+t��� = ∑ �" . �−1�"› Ÿ�" Ÿ
"¡� para qualquer / ∈ 31,2,3, … , )6 
 
Exemplo 7. 
Aplicando o teorema de Laplace calcule o valor do determinante da matriz � = ^6 0 45 3 26 0 5_ 
 Resolução: através da matriz dada temos: 
 Ž6 0 45 3 26 0 5Ž ⇔ 3�−1��›� 6 46 5 = 3�−1�[ 6 46 5 = 3. �30 − 24� = 3.6 = 18 
 
2.5. Matriz Adjunta e Matriz Inversa 
Seja uma matriz A = (aij) quadrada de ordem n, �" = �−1�"› ∆" o co-factor dos elementos �" da 
matriz A e A1 a matriz dos co-factores de A. Chamaremos de matriz adjunta de A e indicamos por �̅ a 
matriz transposta da matriz dos co-factores A1 
isto é, �̅ = ��� �o onde: �*/� = ��� �o 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, det(A) ≠ 0. Chama-se inversa da matriz A, a uma matriz B 
da mesma ordem, tal que �. N = N. � = f). 
Onde: In éa matriz identidade e a matriz inversa de uma matriz A e designa-se por �“� 
2.5.1. Teorema da Matriz Inversa ¤“™ 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, isto é �. �̅o = *+t���. f) 
1. Condição Necessária para a Existência da Matriz Inversa 
Seja A uma matriz de ordem n, �. �“� = f = *+t��. �“�� = *+t�f� e *+t���.=1 onde: 
2. ¥¦§�¤� ≠ ¨ → condição necessária para a existência da matriz inversa de uma matriz 
quadrada de ordem n 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
32 
3. ¥¦§�¤“™� = ™¥¦§�¤� → Condição suficiente para a existência da matriz inversa de uma matriz 
quadrada de ordem n 
Seja uma matriz quadrada de ordem n com ¥+t��� ≠ 0 
�. �̅o = *+t��. f� 
 
�“�. �. �̅o = *+t��. �“�. f� �“� = �̅o*+t��� 
Exemplo 8. 
 Determine a matriz inversa das seguintes matrizes. a� A = =1 20 1> 
Resolução: *+t� = |�| = 1 20 1 = �1 .1� − �0 .2� d determinante esta forma ∆��= 1; ∆��= 0; ∆��= −2 + ∆��= 1 
Logo �̅ = = 1 0−2 1> = �̅o = �*/A==1 −20 1>⇔ �“� = �|–| �̅o ⇔ �“� = =1 −20 1> 
r� N = ^ 1 2 −1 2 4 1−2 0 3_ 
 Resolução: para anularmos alguns termos da 2ª linha vamos multiplicar a 1ª por (-2) e somarmos com a 
2ª linha e mantermos o resto, e teremos: 
 ^ 1 2 – 1 0 0 −3−2 0 3_ ⇔ *+tN = 2�−1��›�. |6| = −2.6 = −12 logo: ∆��= 4 10 3 = 12; 
∆��= −  2 1−2 3 = −8; ∆��=  2 4−2 0 = 8; ∆��= − 2 −10 3 = −6; ∆��=  1 −1−2 3=1 
∆��= −  1 2−2 0 = −4; ∆��= 2 −14 1 = 6; ∆��= − 1 −12 1 = −3; ∆��= 1 22 4 = 0 
N©o = ^ 12 −6 6−8 1 −3 8 −4 0_⇔ − ��� ^
 12 −6 6−8 1 −3 8 −4 0_ ⇔ N“� = �
� −1 1 2ª −1 2ª2 3ª −1 2ª 1 4ª−2 3ª 1 3ª 0 #
% 
 
2.5.2. Método de Jordan para o cálculo da Matriz Inversa 
Se uma matriz de ordem n pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operações 
elementares por linhas, então a matriz A é invertível e a matriz inversa da matriz A é obtida a partir de 
matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações. 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
33 
Na prática operamos simultaneamente com a matriz A dada e a matriz identidade In, através de 
operações elementares até chegarmos a matriz identidade na posição correspondente à matriz A, e a 
matriz obtida no lugar correspondente à matriz identidade In, será a matriz inversa de � = �“� 
 
Exemplo 9. 
Usando o Jordiano calcule a matriz inversa das seguintes matrizes: � = =1 20 1>. 
Resolução: aplicando o método de Jordan teremos: 
=1 20 1 ⋮⋮ 1 00 1> ƒ�→ƒ� − 2ƒ� ⇔ =1 00 1 ⋮⋮ 1 −20 1 > ⇔ �“� = =1 −20 1>. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Biografia 
Laplace ʺ O Ministro do Interior 
Pierre-simon de Laplace francês, de 
descendência humilde, estudou na Academia 
Militar por influência de amigos. 
Sem grandes convicções políticas, pouco 
participou das actividades revolucionárias 
embora tenha sido nomeado por Napoleão para o 
cardo de ministro do interior do qual foi 
despojado logo mais pois, como dizia o próprio 
Napoleão, ʺ ele transportava o espírito do 
infinitamente pequeno à direcção dos negócios 
da sua pasta ʺ. Mesmo assim, acabada a 
Revolução Francesa, recebeu o título de marquês 
e em suas obras procurava sempre incluir elogios 
ao grupo que estivesse no poder, procurando 
assim fazer as pazes com cada regime que 
aparecesse. 
Laplace foi professor na Escola do Ensino Geral 
e na Escola Politécnica, participando também do 
comité de Pesos e Medidas. 
Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando uma obra admirável que é a 
ʺ Teoria Analítica das Probabilidades 
Em ʺ Ensaio Filosófico das Probabilidades 
apenas o senso comum expresso em números 
Em ʺ Exposição do Sistema do Mundo 
hipótese que o sistema solar se originou de um gás incandescente girando
arrefecer se contraiu causando uma rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se 
desprenda sucessivos anéis que formam os planetas. O centro restante da massa de gás, em rotação, 
constitui o sol. Esta publicação mar
sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é secular, não lhe parecendo mais necessário a 
intervenção de divina em certas ocasiões.
Para Laplace a natureza era a essência e a mate
manusear com muita habilidade sempre mantendo um sentimento de honestidade intelectual com as 
Ciências. 
 
 
 
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UxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄxUxÜÇtÜw|ÇÉ wt VÉÇvx|†ûÉ `âvtäxÄx 
34 
O Ministro do Interior ʺ 
simon de Laplace francês, de 
descendência humilde, estudou na Academia 
 
Sem grandes convicções políticas, pouco 
participou das actividades revolucionárias 
embora tenha sido nomeado por Napoleão para o 
cardo de ministro do interior do qual foi 
despojado logo mais pois, como dizia o próprio 
transportava o espírito do 
infinitamente pequeno à direcção dos negócios 
. Mesmo assim, acabada a 
Revolução Francesa, recebeu o título de marquês 
e em suas obras procurava sempre incluir elogios 
ao grupo que estivesse no poder, procurando 
im fazer as pazes com cada regime que 
Laplace foi professor na Escola do Ensino Geral 
e na Escola Politécnica, participando também do 
Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando uma obra admirável que é a 
Teoria Analítica das Probabilidades ʺ em 1812, onde mostra ter conhecimentos avançados de análise. 
 Ensaio Filosófico das Probabilidades ʺ escreveu que ʺ no fundo a Teoria das Probabilidades é 
apenas o senso comum expresso em números ʺ. 
ão do Sistema do Mundo ʺ, de 1796, em ʺ Mecânica Celeste ʺ, de 1799, apresentou sua 
hipótese que o sistema solar se originou de um gás incandescente girando em torno de um eixo que, ao 
arrefecer se contraiu causando uma rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se 
desprenda sucessivos anéis que formam os planetas. O centro restante da massa de gás, em rotação, 
constitui o sol. Esta publicação marcou o auge da teoria de Newton, explicando todas as perturbações do 
sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é secular, não lhe parecendo mais necessário a 
intervenção de divina em certas ocasiões. 
Para Laplace a natureza era a essência e a matemática a colecção dos instrumentos, que ele sabia 
manusear com muita habilidade sempre mantendo um sentimento de honestidade intelectual com as 
Lições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria AnalíticaLições de Álgebra Linear e Geometria Analítica 
Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando uma obra admirável que é a 
 em 1812, onde mostra ter conhecimentos avançados de análise. 
 no fundo a Teoria das Probabilidades é 
 Mecânica Celeste ʺ, de 1799, apresentou sua 
em torno de um eixo que, ao 
arrefecer se contraiu causando uma rotação cada vez mais rápida até que da camada