APOSTILA ESTATISTICA - CAP. 2

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CAPÍTULO 2: MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL E DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
2.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL
São aquelas que procuram sintetizar as informações (os dados ou observações) em um único e informativo valor. Tais medidas têm a tendência de posicionar-se no centro da distribuição. Estudaremos a média, a mediana e a moda. 
OBSERVAÇÃO: Na distribuição de freqüências (T.D.F., histograma e polígono) podemos notar que os dados geralmente são mais freqüentes perto de um valor central e mais raros quando se afastam dele. Daí o nome de MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL. 
a) MÉDIA ARITMÉTICA
	É a soma de todas as observações divididas pelo número delas (amostra ou população).
Notação: 
	
	Para dados não agrupados
	Para dados agrupados
	AMOSTRA
	
	
“Xi” é o ponto médio da classe “i”
Fi: freqüência absoluta da classe “i”.
k: número de classes
	
	
	
Exemplo: (Para o nosso exemplo: o caso da produção de leite, trata-se de uma amostra)
Para os dados não agrupados:
	
	
Para os dados agrupados:
	
	
OBSERVAÇÃO: A média para os dados não agrupados foi obtida usando os verdadeiros dados. A média para dados agrupados foi obtida usando os valores representados pelo ponto médio da classe (Xi). Isto faz com que a média para dados agrupados seja às vezes, diferente da média para dados não agrupados. No cálculo com dados agrupados existe um erro devido à perda de informação, porém, tal erro é mínimo e, portanto, desprezível. 
b) MEDIANA
	É o valor central da distribuição dos dados. A mediana divide as observações, ordenadas ascendente ou descendentemente, partes iguais, isto é, 50% das observações estão acima e 50% estão abaixo dela. 
	
	Para dados não agrupados
 (os dados precisam ser ordenados)
	Para dados agrupados
	Amostra
	
; se n for par.
	
	
	
	; se n for ímpar.
	
	
: Limite inferior da classe mediana.
: Freqüência absoluta da classe mediana.
: Freqüência acumulada das classes anteriores à classe mediana.
: Amplitude da classe mediana
OBSERVAÇÃO: A classe mediana é a classe que contém a observação 
 na T.D.F.; se n for par ou 
 se n for ímpar.
Exemplo: (Para o nosso exemplo)
n é par
1) Para os dados não agrupados:
2) Para dados agrupados:
A classe mediana: 
.
c) MODA
DEFINIÇÃO: É o valor que ocorre com maior freqüência. Um conjunto de dados pode ter mais de uma moda ou também, pode não ter moda. 
	
	Para dados não agrupados 
(os dados precisam ser ordenados)
	Para dados agrupados
	Amostra
	USAR A DEFINIÇÃO
	
	
	
	
	
	
: Limite inferior da classe modal.
: Diferença entre a Freqüência absoluta da classe modal e a classe anterior.
: Diferença entre a Freqüência absoluta da classe modal e a classe posterior. 
: Amplitude da classe modal.
OBSERVAÇÃO: Classe modal é a classe com maior freqüência absoluta. 
Exemplo: (Para o nosso exemplo)
A classe modal é a 3a classe: 
.
1) Para dados não agrupados:
2) Para os dados agrupados:
2.1.1 PROPRIEDADES COMUNS DA MÉDIA, MEDIANA E MODA
Sejam 
, a média, mediana e moda, de n observações, respectivamente, e seja k uma constante qualquer:
1) Se em cada observação é acrescido (ou subtraído) um valor k, as novas média, 
, mediana, 
 e moda, 
, serão, respectivamente:
; 
; 
;
2) Se em cada observação é multiplicada por k, as novas média, 
, mediana, 
 e moda, 
, serão, respectivamente:
; 
; 
;
2.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Para que as observações de uma amostra ou de uma população sejam bem representadas, deve-se calcular para elas uma medida de posição de uma medida de variabilidade.
	As medidas de variabilidade são medidas que informam sobre a dispersão dos dados e são necessárias para, junto com a média, representar bem um conjunto de observações. Estudaremos a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
Notação:
	
	AMOSTRA (n)
	POPULAÇÃO
	
Medidas de Variabilidade
	S2
	
	
	S
	
	
	cv
	CV
a) VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO: Medem a variabilidade absoluta de um conjunto de observações. A variância e o desvio padrão permitem comparar a variabilidade entre conjuntos numéricos que possuam a mesma média e a mesma unidade.
Para dados não agrupados:
	
	
(Variância amostral)
	
	
(Desvio Padrão amostral)
	Para o nosso exemplo: (É uma amostra de 20 vacas)
	
	
	
	
Para dados agrupados:
	
	
(Variância amostral)
	
	
(Desvio Padrão amostral)
Para o nosso exemplo: (É uma amostra)
	
	
OBSERVAÇÃO: A unidade da variância refere-se ao quadrado da unidade dos dados originais. O desvio padrão é expresso na mesma unidade dos dados originais. 
Para o nosso exemplo:		Dados originais 	litros
				Variância		litros2
				Desvio Padrão		litros
b) COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: É uma medida de variabilidade relativa. Refere-se à variabilidade dos dados em relação à média. Permite comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados que possuam diferentes unidades e/ou diferentes médias. 
	
	
Para o nosso exemplo: É uma amostra de 20 vacas
	
	Para dados não Agrupados
	
	Para dados Agrupados
2.2.1 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO
1) Somando ou subtraindo uma constante “
” em cada observação, a variância e o desvio padrão não se alteram.
2) Multiplicando todos os dados por “
”, a variância ficará multiplicada por 
 e o desvio padrão por 
.
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