semana 06 Exercício

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06
Temas abordados : Derivada de func¸o˜es trigonome´tricas
1) Neste exerc´ıcio vamos calcular a derivada das func¸o˜es sen(x) e cos(x). (veja Vı´deo 1)
(a) Lembrando que lim
h→0
sen(h)
h
= 1, verifique que lim
h→0
cos(h)−1
h
= 0.
Dica: Multiplique numerador e denominador por (cos(h) + 1) e use a identidade sen2(h) + cos2(h) = 1.
(b) Use a identidade sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b) para concluir que, para
todo x ∈ R,
sen(x+ h)− sen(x)
h
= sen(x)
[
cos(h)− 1
h
]
+ cos(x)
[
sen(h)
h
]
.
Em seguida, conclua que d
dx
sen(x) = cos(x).
(c) Use a identidade cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b) para concluir que, para
todo x ∈ R,
cos(x+ h)− cos(x)
h
= cos(x)
[
cos(h)− 1
h
]
− sen(x)
[
sen(h)
h
]
.
Em seguida, conclua que d
dx
cos(x)′ = − sen(x).
2) Use o exerc´ıcio anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das func¸o˜es
abaixo. Em seguida, determine as ass´ıntotas verticais de cada uma delas. (veja Vı´deo 1)
(a) tan(x) =
sen(x)
cos(x)
(b) sec(x) =
1
cos(x)
(c) csc(x) =
1
sen(x)
(d) cot(x) =
cos(x)
sen(x)
3) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x) (b) f(x) =
√
x sec(x)
(c) f(x) =
sen(x)(
√
x+ 4)
cos(x)
(d) f(x) =
tan(x)
x+ cos(x)
(e) f(x) = x sen(x)− 4
x
(f) f(x) = 3x(1 + tan(x))
4) Considere as func¸o˜es f e g definidas abaixo
f(x) =
{
x2 sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
g(x) =
{
x sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0.
Usando a definic¸a˜o, verifique que f e´ deriva´vel (e portanto cont´ınua) em x = 0. Verifique
em seguida que g e´ cont´ınua em x = 0 mas na˜o e´ deriva´vel nesse mesmo ponto.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1)
2) (a) (tan(x))′ = sec2(x)
(b) (sec(x))′ = sec(x) tan(x)
(c) (csc(x))′ = − csc(x) cotan(x)
(d) ( cotan(x))′ = − csc2(x)
3) (a) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x)
(b)
√
x sec(x) tan(x) +
1
2
√
x
sec(x)
(c)
cos(x)
(
sen(x)
2
√
x
+ cos(x)(
√
x+ 4)
)
+ sen2(x)(
√
x+ 4)
cos2(x)
(d)
(x+ cos(x)) sec2(x)− tan(x)(1− sen(x))
(x+ cos(x))2
(e) sen(x) + x cos(x) +
4
x2
(f) 3(1 + tan(x)) + 3x sec2(x)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 2 de 2