Prova 1.2 Resolvida de Cálculo 1 UnB 2018

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PROVA 1 
2018 - UNB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 1 
Calcule o que se pede em cada um dos itens abaixo: 
 
a) ​a equação da reta que passa por (2, -3) e tem inclinação igual a 4; 
b) ​o limite​ ;lim
x→3 9−x²
2x−6  
c) ​a derivada da função (x)f = x²+4
5x+6  
Resolução 
a) 
A equação de uma reta de inclinação ​m ​e que passa pelo ponto ​(x​0​,y​0​)​ é dada por: 
 
 
 
Substituindo os valores que são conhecidos, temos: 
 
 
 
 
b) 
Se você simplesmente substituir ​x = 3​ na expressão, chegará em uma 
indeterminação do tipo ​0/0​. Para fugir desse problema, vamos manipular a 
expressão. 
 
 
 
Começamos escrevendo o polinômio do denominador em sua forma fatorada. No 
numerador, vamos colocar o 2 como um fator comum. 
 
 
 
Agora basta substituir ​x = 3​ na expressão: 
 
 
 
c) 
Para calcular essa derivada, vamos ter que aplicar a regra do quociente. 
 
 
 
Calculando as duas derivadas que foram circuladas em amarelo acima, ficamos 
com o seguinte: 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
Uma concessionária de veículos usados cobra o valor da comissão da seguinte 
maneira: para carros de até R$ 10.000,00 cobra-se uma taxa fixa de R$1.000,00; 
para carros com valor maior que R$10.000,00 e menor que R$50.000,00, cobra-se 
um valor fixo de R$ (700+c). Indicando T(x) o valor da taxa cobrada, em reais, para 
um investimento de R$x, temos  que: 
 
 
 
 
a) ​Calcule os limites laterais e .(x)lim
x→10000−
T (x)lim
x→10000+
T  
b) ​Decida se T é contínua em x = 1000, justificando sua resposta. 
 
c) ​Calcule o valor de ​c​ de modo que T seja contínua em x = 50000. 
 
Resolução 
a) 
Quando ​x​ tende a ​10000​ pela esquerda, temos que usar a função que está 
definida para valores menores ou iguais a ​10000​. Veja: 
 
 
 
Quando ​x​ tende a ​10000​ pela direita, temos que usar a função que está definida 
para valores maiores que ​10000​. Veja: 
 
 
 
 
 
b) 
Aqui precisamos decidir se ​T(x)​ é contínua em ​x = 10000​. Para que uma função 
f(x)​ seja contínua em ponto ​x​0​, deve valer a seguinte igualdade: 
 
 
Isto é, o limite deve ser o mesmo, independente se ​x​ tende a ​x​0​ pela esquerda ou 
pela direita. 
 
Como vimos na letra (a), isso não acontece no nosso caso e isso significa que a 
função é descontínua em ​x = 10000​. 
 
c) 
Para que ​T​ seja contínua em ​x = 50000​, a seguinte igualdade deve ser satisfeita: 
 
Calculando o limite que está à esquerda da igualdade: 
 
Para que a função seja contínua em ​x = 50000​, devemos ter: 
 
   
 
 
QUESTÃO 3 
Em relação ao sistema de coordenadas indicado na figura abaixo, em que o eixo 
Ox ​representa o nível do ar, suponha que a trajetória de um caça seja 
representada pelo gráfico da função . O avião percorre a sua trajetória da(x) f = √x  
direita para a esquerda e realiza disparos na direção tangente, conforme figura 
abaixo. 
 
 
a) ​Determine a derivada f’(x); 
b) ​Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de ​f​ no ponto (9, ​f​(9)); 
c) ​Se u disparo é efetuado da posição (9,3), determine a abscissa do ponto no eixo 
Ox​ atingido. 
 
Resolução 
a) 
Vamos calcular a derivada da função ​f(x) = √x​. Essa derivada segue a seguinte 
regra geral: 
 
Então, a derivada de ​f(x)​ será: 
 
 
 
 
 
b) 
A equação da reta tangente a uma função​ f(x)​ em um dado ponto​ (a, f(a))​ é dada 
pela seguinte expressão: 
 
O ponto dado pelo exercício é ​(9, f(9))​, ou seja, precisamos aplicar a expressão 
acima para ​a = 9​. Vamos começar calculando ​f(9)​ e ​f’(9)​. 
 
 
Substituindo na expressão da reta tangente: 
 
 
c) 
Quando o avião está na posição ​(9,3)​, isto é, ​x = 9 ​e ​y = 3​, o disparo é feito. A bala 
segue a trajetória da reta tangente a esse ponto. A equação dessa reta tangente 
nós já conhecemos, foi exatamente o que calculamos na letra (b). Então, o que 
desejamos conhecer é o valor de ​x*​, que está mostrado no desenho abaixo. 
 
 
 
Certo, para sabermos quanto vale ​x*​, basta nos darmos conta que esse ponto está 
exatamente sobre o eixo dos x, o que significa que ​y = 0​. Substituindo ​y = 0 ​na 
equação da reta tangente, descobrimos quanto vale ​x*​, veja: 
 
 
 
 
 
 
Universidade de Brasília 
Departamento de Matemática 
Cálculo 1 
1ª Prova 1.°/2018 14/04/2018 
Nome: Mat.: / 
 
 
1.​ [4,0 pontos] Calcule o que se pede em cada um dos itens abaixo: 
 
a) ​ a equação da reta que passa por (2, -3) e tem inclinação igual a 4; 
b) ​o limite​ ;lim
x→3 9−x²
2x−6 
c) ​ a derivada da função ;(x)f = x²+45x+6 
 
2.​ [3,0 pontos] Uma concessionária de veículos usados cobra o valor da comissão da 
seguinte maneira: para carros de até R$ 10.000,00 cobra-se uma taxa fixa de R$1.000,00; 
para carros com valor maior que R$10.000,00 e menor que R$50.000,00, cobra-se um 
valor fixo de R$ (700+c). Indicando T(x) o valor da taxa cobrada, em reais, para um 
investimento de R$x, temos que: 
 
 
 
a) Calcule os limites laterais ​e​ .(x)lim
x→10000−
T (x)lim
x→10000+
T 
b) Decida se T é contínua em x = 1000, justificando sua resposta. 
 
c) Calcule o valor de c de modo que T seja contínua em x = 50000. 
 
 
 
 
Universidade de Brasília 
Departamento de Matemática 
Cálculo 1 
1ª Prova 1.°/2018 14/04/2018 
Nome: Mat.: / 
 
3.​ [3,0 pontos] Em relação ao sistema de coordenadas indicado na figura abaixo, em que 
o eixo Ox representa o nível do ar, suponha que a trajetória de um caça seja representada 
pelo gráfico da função f(x)=x. O avião percorre a sua trajetória da direita para a esquerda 
e realiza disparos na direção tangente, conforme figura abaixo. 
 
a) Determine a derivada f’(x); 
b) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (9, f(9)); 
c) Se u disparo é efetuado da posição (9,3), determine a abscissa do ponto no eixo 
Ox atingido.