Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Unidades, Revisão Matemática, Erros e Escalas Prof. Me. José Daniel Jales Silva <daniel.jales@ufersa.edu.br> UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CÂMPUS PAU DOS FERROS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TOPOGRAFIA – PAM0031 Pau dos Ferros - 2017 Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Topometria Planimetria – é a parte da Topometria que estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias, considerando um plano horizontal. Grandezas Lineares Grandezas Angulares Gramometria Goniologia Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel O que é Medir ? Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada padrão, e verificar quantas vezes ela é maior ou menor do que aquela tomada como padrão. Ex. Um corredor de 10m. Seu comprimento é 10 x 1 m. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Sistema de Unidade de Medidas Embora alguns sistemas antigos ainda sejam utilizados com certa frequência a utilização do Sistema Internacional de Unidades (SI) já está bem difundida. Unidade de Medida Linear Unidade de Medida Angular Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Unidade de Medida Linear O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de comprimento no sistema internacional (SI). O que é um metro ? Corresponde à décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. No entanto, a terra não é perfeitamente esférica ! Corresponde à distância percorrida pela luz, no vácuo, durante um intervalo de 1/299.792.458 segundos. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Unidades de Medida Linear Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Unidades de Medida Linear OUTROS SISTEMAS LINEARES Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Unidades de Medida de Superfície e Volume A unidade padrão é o metro quadrado (m²), porém, em Topografia, em razão da avaliação de grandes extensões da superfície, utiliza-se com mais frequência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000 m². A unidade padrão para medida de volume é o metro cúbico (m³), que corresponde a um cubo de 1 m x 1 m x 1 m. Medidas agráriasMedidas de superfície Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Unidades de Medida Angular As unidades de medidas dos ângulos e arcos utilizados em Topografia podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e o radiano. SEXAGESIMAL No Brasil, o sistema adotado é o sexagesimal, no qual a circunferência está dividida em 360 partes iguais, sendo cada parte de 1° (um grau, que constitui a unidade do sistema sexagesimal). Cada grau está dividido em 60 partes iguais, onde cada parte corresponde a um ângulo de 1’ (um minuto). Cada minuto está dividido em 60 partes iguais, sendo que cada parte corresponde a um ângulo de 1” (um segundo). Grau (°) Minuto (‘) Segundo (“) 1° = 60’ 1’ = 60” Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Unidades de Medida Angular RADIANO É o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos Representação de um arco de ângulo rad 1 raioarco /180)rad(1 grau /10800)rad(/6011' minuto' rad /648000)(/360011" segundos" Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Unidades de Medida Angular SISTEMA CENTESIMAL (GRADO) Para tornar o sistema de medida de ângulos coerente com outras medidas métricas, decidiu-se dividir o ângulo reto em 100 partes iguais e, consequentemente, o círculo inteiro em 400 partes. g 004 360 rad 2π Relações entre as unidades Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Exercícios Exercício 2.1 - Transformação de ângulos: Transforme os seguintes ângulos de graus, minutos e segundos para graus e frações decimais de grau. a) 32° 28’ 59” b) 17° 34’ 18,3” c) 125° 59’ 57” Transforme os seguintes ângulos decimais em grau, minutos e segundos. a) 32, 48305556° b) 17,57175° c) 125,9991667° Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Exercícios Exercício 2.2 - Transformação de ângulos: Soma e subtração de ângulos: a) 30°20’ + 20° 52’ b) 28°41’ + 39°39’ c) 42°30’ – 20°40’ Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Exercícios Exercício 2.3 - Transformação de unidades: SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA DECIMAL (GRADO) RADIANO 12° 15’ 32” 230° 45’ 59” 289,1253 89,1477 π/5 5π/3 Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Trigonometria • Triângulo retângulo a = hipotenusa b,c = catetos -Relações trigonométricas: SENO, COSSENO, TANGENTE -Teorema de Pitágoras -Soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180° -Triângulo retângulo perfeito: 3, 4, 5 Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Trigonometria • Triângulo qualquer -Lei dos Senos: Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita. -Lei dos Cossenos: Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Exercícios Exercício 2.4 - Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56°00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º 00’00”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984). Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Exercícios Exercício 2.5 - Um topógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxílio de um teodolito. Calcule a distância entre as balizas (CEFET, 1984). Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Erros na Topografia Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. As fontes de erro poderão ser: Condições Ambientais: causadas pelas variações das condições ambientais, como vento e temperatura. Ex. variação do comprimento de uma trena. Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte pode ser reduzida adotando-se técnicas de verificação. Pessoais: causados por falhas humanas. De modo geral os erros são classificados em grosseiros, sistemáticos e aleatórios. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Erros Grosseiros Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros. EXEMPLOS: Anotar 196 ao invés de 169. Engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Erros Sistemáticos São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longodo trabalho. EXEMPLOS: Efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de distância; Correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Erros Acidentais ou Aleatórios São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande. EXEMPLOS: Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Precisão e Acurácia A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios. A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Escalas Qual o objetivo do levantamento topográfico ? Representação gráfica suficientemente fiel. Faz sentido uma representação gráfica de um terreno em tamanho real? Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Escalas No desenho topográfico, os ângulos são representados em verdadeira grandeza e as distâncias são reduzidas segundo uma razão constante, denominada Escala. Ela representa a relação entre o valor de uma distância medida no desenho e sua correspondente no terreno, tal que: onde: M - denominador de escala l - distância no desenho L - distância no terreno Exemplo: Escala 1 : 10.000. Significa que 1 cm no desenho equivale a 10.000 cm (ou 100m) na realidade. L l M 1 E Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Exercícios Exercício 2.7. Em um desenho na escala 1:10.000, o comprimento de 2km no terreno corresponde a quantos centímetros no papel? Exercício 2.8. Na escala de 1:1000, um trecho de 150 mm medido na planta, corresponde a quantos metros no terreno? Exercício 2.9. Um alinhamento de 5 km no terreno corresponde a 20 cm na planta. Qual a escala da planta? Exercício 2.10. Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de 1:18000 e o rio foi representado por uma linha com 17,5 cm de comprimento. Exercício 2.11. Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm² na escala 1:500, a quantos hectares corresponderá esta mesma área, no terreno? Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Escalas - A escala é adimensional e pode ser apresentada como: • fração: 1/100, 1/2000 • proporção: 1:100, 1:2000 - As escalas podem ser: • de redução (ex. 1:200) • de ampliação (ex. 10:1) • naturais (ex. 1:1) - Escalas usuais em Topografia são 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000 - Escala Grande denominador pequeno (1:100, 1:200, 1:50, etc.) - Escala Pequena denominador grande (1:10.000,1:500.000, etc.) Ll Ll Ll Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Principais Escalas Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Escolha da Escala Finalidade do levantamento. Detalhe D precisa ser representado no mínimo com tamanho d, basta escolher M tal que: M ≤ D/d Exemplo: Deseja-se que um detalhe de 20cm seja representado com um tamanho mínimo de 2mm. M ≤ D/d M ≤ 0,20/0,02 = 100 Portanto: E = 1:100..... ou..... 1:50 ...... ou 1:20..... Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Dimensões do Papel Papel: deve ter tamanho para que a figura possa ser desenhada na escala escolhida. A e B: dimensões no terreno 𝒙 ≥ 𝒂 = 𝑨 𝑴 𝒚 ≥ 𝒃 = 𝑩 𝑴 Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Exercícios Exercício 2.12. Escolher o formato do papel para o desenho de uma área de 50 m x 80 m, na escala 1:200. Exercício 2.13. Supondo o papel de formato A4 (21,0 cm x 29,7 cm) e a área de 50 m x 80 m, qual a escala adequada? Exercício 2.14. Qual a melhor escala para a representação de um terreno de 600m x 1000m nas folhas A1 e A2? Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Erro de Graficismo Erro que o desenhista comete ao marcar pontos no desenho. Acuidade visual Habilidade média Qualidade dos instrumentos De acordo com a NBR 13133, o erro de graficismo (eg) admissível na elaboração do desenho topográfico para lançamento de pontos e traçados de linhas é de 0,2 mm e equivale a duas vezes a acuidade visual. Em função deste valor é possível definir o valor da precisão da escala (pe), ou seja, o menor valor representável em verdadeira grandeza, em uma escala. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Precisão da Escala Corresponde ao erro de graficismo aceitável Conversão do erro para as dimensões reais Exemplo: erro de graficismo 0,2 mm, em uma escala 1 : 10.000 resulta em um erro de 2 m. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Precisão da Escala Em casos onde é necessário representar elementos com dimensões menores que as estabelecidas pela precisão da escala, podem ser utilizados símbolos. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Precisão das Medidas em Campo Com que precisão devemos medir em campo? Mais precisão → Maior custo A menor precisão que atenda aos critérios! Qual é essa? A precisão tal que os erros do campo sejam inferiores a Eg . M Exemplo: numa escala 1 : 10.000 em que o Eg.M = 2 m, não faz sentido medir, em campo, com precisão maior que 1m. Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel Escala Gráfica É a representação gráfica de uma escala numérica. Ela fornece, rapidamente e sem cálculos, o valor real das medidas executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a redução ou ampliação. Supondo que a escala de uma planta seja de 1:100 e que o intervalo de representação seja de 1,0m, a escala gráfica correspondente terá o seguinte aspecto:
Compartilhar