APOSTILA_TOPOGRAFIA_I (1)

Prévia do material em texto

CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO
TOPOGRAFIA I
ELINOR FERNANDO DALLA LANA
Professor MSc. Eng. Civil
Dezembro/2017
Agradecimentos
Para elaboração deste material didático, contamos com a colaboração, como consultoria e ou
como fonte de pesquisa, os trabalhos dos seguintes professores:
� Profª Maria Cećılia Bonato Brandalize – PUC - PR
� Prof. Gomercindo Gaspar Martins Marques – UFSM - RS
� Profª. Adriane Brill Thum – UFSM - RS
� Prof. Dr. Attus Pereira Moreira – ULBRA – SANTA MARIA – RS
� Prof. Luis Augusto Koenig Veiga
� Profª. Maria Aparecida Zanetti
� Prof. Pedro Luis Faggion
� Prof. Carlos Eduardo Troccoli Pastana - UNIMAR - SP
Aos quais dedicamos esse trabalho e o nosso agradecimento.
1
Índice
1 TOPOGRAFIA 5
1.1 GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 CONCEITO DE TOPOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 DIFERENÇA ENTRE GEODÉSIA E TOPOGRAFIA: . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 DEFINIÇÃO DE ELEMENTOS TOPOGRAFICOS . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 DIVISÃO DA TOPOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 SISTEMAS DE COORDENADAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 REVISÃO MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.7 ESCALAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.8 MEDIDAS AGRARIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 PONTO TOPOGRÁFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 DIASTÍMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 BALIZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.4 NÍVEL DE CANTONEIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.5 FICHAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.6 NÍVEL DE MANGUEIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.7 MEDIDAS DE DISTÂNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.8 ERROS EM TOPOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.9 PROBLEMAS DE CAMPO RESOLVIDOS COM TRENA E BALIZA . . 36
1.3 MEDIDAS ANGULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.1 GRANDEZAS MEDIDAS NUM LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO . 43
1.4 UNIDADES DE MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.1 UNIDADES DE MEDIDA LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.2 UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.3 UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.4 UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUME . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.5 TRAÇADO DE PERPENDICULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.5 MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.5.1 TEODOLITO E/OU NÍVEL: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.5.2 ACESSÓRIOS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.5.3 TAQUEOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2
ÍNDICE ÍNDICE
1.5.4 ANGULOS TOPOGRAFICOS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.6 PROCESSAMENTO DOS DADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 PLANIMETRIA 68
2.1 CONCEITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2 INTERSEÇÃO OU CORDENADAS BIPOLARES . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.1 VANTAGENS DO MÉTODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.2 DESVANTAGENS DO MÉTODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.3 CÁLCULO GRÁFICO OU MECÂNICO DA ÁREA . . . . . . . . . . . . 69
2.3 IRRADIAÇÃO OU COORDENADAS POLARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.1 CALCULO DA ÁREA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4 CAMINHAMENTO PERIMÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.1 APLICAÇÃO DO MÉTODO DE CAMINHAMENTO: . . . . . . . . . . . 77
2.4.2 VANTAGENS DO MÉTODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.3 DESVANTAGENS DO MÉTODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.4 CALCULO DA ÁREA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5 CÁLCULO ANALÍTICO DAS COORDENADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5.1 EXEMPLO NUMÉRICO DO CÁLCULO ANALÍTICO DE ÁREA . . . . 81
3 ALTIMETRIA 90
3.1 DEFINIÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.1 APARELHOS NECESSÁRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 MARCO GEOGRÁFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 ALTIMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.1 ALTÍMETRO ANALÓGICO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.2 ALTÍMETRO DIGITAL: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5.1 SIMPLES: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5.2 COMPOSTO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 CONSTRUÇÃO DE PERFIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 DECLIVIDADE ENTRE PONTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 GERAÇÃO DE CURVAS DE NÍVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.9 CARACTERÍSTICAS DAS CURVAS DE NÍVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.10 DESENHO DAS CURVAS DE NÍVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.11 CURVAS E OS ACIDENTES GEOGRÁFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.11.1 DEPRESSÃO E ELEVAÇÃO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.11.2 COLINA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.11.3 MONTE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.11.4 MORRO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.11.5 ESPIGÃO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.11.6 CORREDOR: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 3
ÍNDICE ÍNDICE
3.11.7 TALVEGUE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.11.8 VALE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.11.9 DIVISOR DE ÁGUAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.11.10 DORSO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.12 OBTENÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.12.1 QUADRICULAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.12.2 IRRADIAÇÃO TAQUEOMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.12.3 SEÇÕES TRANSVERSAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.13 INTERPOLAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.13.1 INTERPOLAÇÃO GRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.13.2 INTERPOLAÇÃO NUMÉRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.14 PERFIS TRANSVERSAIS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 TERRAPLANAGEM 128
4.1 GENERALIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2 DETERMINAÇÃO DA COTA MÉDIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.1 MÉTODO DAS SEÇÕES: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.2 MÉTODO DOS PESOS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.3 PLANO QUE DIVIDE CORTE E ATERRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4 PLANO HORIZONAL COM COTA DEFINIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4.1 PLANO HORIZONAL COM COTA FINAL IGUAL A 3,60 m . . . . . . . 141
4.5 PLANO INCLINADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.6 PLANIFICAÇÃO DE TERRENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5 LOCAÇÕES DE OBRAS 151
5.1 GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2 LOCAÇÃO DE PRÉDIOS E RESIDÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.1 PROCEDIMENTO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 4
Caṕıtulo 1
TOPOGRAFIA
1.1 GENERALIDADES
1.1.1 CONCEITO DE TOPOGRAFIA
Definição: A palavra ”Topografia”deriva das palavras gregas ”topos”(lugar) e ”graphen”(descrever),
o que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar. [DOMINGUES, 1979]
Finalidade: Determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da
superf́ıcie terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura
resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia, a locação, no terreno, de projetos
elaborados de Engenharia. [DOMINGUES, 1979]
Importância: Ela é à base de qualquer projeto e de qualquer obra realizada por engenheiros ou
arquitetos. Por exemplo, os trabalhos de obras viárias, núcleos habitacionais, edif́ıcios, aeroportos,
hidrografia, usinas hidrelétricas, telecomunicações, sistemas de água e esgoto, planejamento, urba-
nismo, paisagismo, irrigação, drenagem, cultura, reflorestamento etc., se desenvolvem em função
do terreno sobre o qual se assentam. [DOMINGUES, 1979]
Portanto, é fundamental o conhecimento pormenorizado deste terreno, tanto na etapa do pro-
jeto, quanto da sua construção ou execução; e, a Topografia, fornece os métodos e os instrumentos
que permitem este conhecimento do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou
serviço.
A Topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o conhecimento das formas
e dimensões do terreno é importante. Alguns exemplos de aplicação:
� Projetos e execução de estradas;
� Grandes obras de engenharia, como pontes, portos, viadutos, túneis, etc.;
� Locação de obras;
� Trabalhos de terraplenagem;
� Monitoramento de estruturas;
� Planejamento urbano;
5
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
� Irrigação e drenagem;
� Reflorestamentos; Etc.
1.1.2 DIFERENÇA ENTRE GEODÉSIA E TOPOGRAFIA:
A Topografia é muitas vezes confundida com a Geodésia pois se utilizam dos mesmos equipa-
mentos e praticamente dos mesmos métodos para o mapeamento da superf́ıcie terrestre.
Topografia - tem por finalidade mapear uma pequena porção daquela superf́ıcie (área de raio
até 30km).
Geodésia - tem por finalidade, mapear grandes porções desta mesma superf́ıcie, levando em
consideração as deformações devido à sua esfericidade.
Portanto, pode-se afirmar que a Topografia, menos complexa e restrita, é apenas um caṕıtulo
da Geodésia, ciência muito mais abrangente.
Representação: A porção da superf́ıcie terrestre, levantada topograficamente, é representada
através de uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superf́ıcie Topográfica.
Isto equivale dizer que, não só os limites desta superf́ıcie, bem como todas as suas particulari-
dades naturais ou artificiais, serão projetadas sobre um plano considerado horizontal.
A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta ou Plano Topográfico.
[ESPARTEL, 1987]
A figura 1.1 representa exatamente a relação da superf́ıcie terrestre e de sua projeção sobre o
papel.
Figura 1.1: Relação entre a superf́ıcie terrestre e a sua projeção no papel.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 6
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
1.1.3 DEFINIÇÃO DE ELEMENTOS TOPOGRAFICOS
Modelos Terrestres:
No estudo da forma e dimensão da Terra, podemos considerar quatro tipos de superf́ıcie ou
modelo para a sua representação. São eles:
Modelo Real: Este modelo permitiria a representação da Terra tal qual ela se apresenta na
realidade, ou seja, sem as deformações que os outros modelos apresentam.
No entanto, devido à irregularidade da superf́ıcie terrestre, o modelo real não dispõe, até o
momento, de definições matemáticas adequadas à sua representação. Em função disso, outros
modelos menos complexos foram desenvolvidos.
Modelo Geoidal: Permite que a superf́ıcie terrestre seja representada por uma superf́ıcie fict́ıcia
definida pelo prolongamento do ńıvel médio dos mares (NMM) por sobre os continentes. Este
modelo, evidentemente, irá apresentar a superf́ıcie do terreno deformada em relação à sua forma
e posição reais.
O modelo geoidal é determinado, matematicamente, através de medidas gravimétricas (força
da gravidade) realizadas sobre a superf́ıcie terrestre. Os levantamentos gravimétricos, por sua vez,
são espećıficos da Geodésia e, portanto, não serão abordados por esta disciplina.
Modelo Elipsoidal: É o mais usual de todos os modelos que serão apresentados. Nele, a Terra é
representada por uma superf́ıcie gerada a partir de um elipsóide de revolução, com deformações
relativamente maiores que o modelo geoidal.
A figura 1.2 mostra a relação existente entre a superf́ıcie topográfica ou real, o elipsóide e o
geóide para uma mesma porção da superf́ıcie terrestre.
Figura 1.2: Modelos terrestres
Modelo Esférico: Este é um modelo bastante simples, onde a Terra é representada como se fosse
uma esfera. O produto desta representação, no entanto, é o mais distante da realidade, ou seja, o
terreno representado segundo este modelo apresenta-se bastante deformado no que diz respeito à
forma das suas feições e à posição relativa das mesmas. Um exemplo deste tipo de representação
são os globos encontrados em livrarias e papelarias.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 7
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Figura 1.3: Modelo Esférico
Uma vez analisados os modelos utilizados para representação da superf́ıcie terrestre e tendo
como prinćıpio que o Elipsóide de Revolução é o modelo que mais se assemelha à figura da Terra,
é importante conhecer os seus elementos básicos.
Linha dos Pólos ou Eixo da Terra:
É a reta que une o pólo Norte ao pólo Sul e em torno do qual a Terra gira. (Movimento de
Rotação)
Equador: É o ćırculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos.
Paralelos: São os ćırculos cujos planos são paralelos ao plano do equador. Os Paralelos mais
importantes são: Trópico de Capricórnio (f=23026′16′′S) e Trópico de Câncer (f=23026′16′′N).
Meridianos: São as seções eĺıpticas cujos planos contém a linha dos pólos e que são normais aos
paralelos.
Figura 1.4: Paralelos e meridianos.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 8
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Pontos da Vertical do Lugar:
O ponto (Z=ZÊNITE) se encontra no infinito superior, e o ponto (Z’=NADIR) no infinito
inferior da vertical do lugar. Estes pontos são importantes na definição de alguns equipamentos
topográficos (teodolitos) que têm a medida dos ângulos verticais com origem em Z ou em Z’.
Latitude(f):
É o ângulo formado entre o paralelo de um ponto e o plano do equador. Sua contagem é feita
com origem no equador e varia de 00 a 900, positivamente para o norte (N) e negativamente para
o sul (S).
Figura 1.5: Latitude Norte ou Sul
Longitude(l):
É o ângulo formado entre o meridiano de origem, conhecido por Meridiano de Greenwich (na
Inglaterra), e o meridiano do lugar (aquele que passa pelo ponto em questão). Sua contagem é
feita de 00 a 1800, positivamente para oeste (W ou O) e negativamente para leste (E ou L).Figura 1.6: Longitude Leste ou Oeste.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 9
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Coordenadas Geográficas (f,l):
É o nome dado aos valores de latitude e longitude que definem a posição de um ponto na
superf́ıcie terrestre.
Coordenadas UTM (E,N):
UTM – Universal Transversa de Mercator - É o nome dado aos valores de abcissa (E) e ordenada
(N) de um ponto sobre a superf́ıcie da Terra.
1.1.4 DIVISÃO DA TOPOGRAFIA
O levantamento topográfico pode ser dividido em:
Planimétrico:
Compreendendo o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do
terreno que serão projetados sobre um plano horizontal de referência através de suas coordenadas
X e Y (representação bidimensional).
Altimétrico:
Compreendendo o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições
do terreno que, além de serem projetados sobre um plano horizontal de referência, terão sua
representação em relação a um plano de referência vertical ou de ńıvel através de suas coordenadas
X, Y e Z (representação tridimensional).
Ao conjunto de métodos abrangidos pela planimetria e pela altimetria dá-se o nome de TO-
POMETRIA (mais conhecida como Planialtimetria).
Topologia:
Por sua vez, utilizando-se dos dados obtidos através da topometria, tem por objetivo o estudo
das formas da superf́ıcie terrestre e das leis que regem o seu modelado.
É conveniente ressaltar que os levantamentos planimétricos e/ou altimétricos são definidos e
executados em função das especificações dos projetos. Assim, um projeto poderá exigir somente
levantamentos planimétricos, ou, somente levantamentos altimétricos, ou ainda, ambos os levan-
tamentos.
1.1.5 SISTEMAS DE COORDENADAS:
Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos.
Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. São utilizados
basicamente dois tipos de sistemas para definição uńıvoca da posição tridimensional de pontos:
sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas esféricas.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 10
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Sistemas de coordenadas cartesianas:
Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao
mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas.
Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em disciplinas como
geometria e trigonometria, por exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no
espaço bidimensional ou tridimensional.
No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangu-
lares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constitúıdo de duas retas
orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X e
Y.
Figura 1.7: Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 11
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
1.1.6 REVISÃO MATEMÁTICA
Unidades de Medida
Medida de comprimento (metro): A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de
Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada
por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra.
Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do “metro”
como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s. O
metro é uma unidade para a representação de medidas de comprimento no sistema internacional
(SI).
Figura 1.8: Tabela de prefixos
MEDIDA ANGULAR:
Radiano: Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de com-
primento igual ao raio da mesma.
2πR = 360 ◦ R = Arco = Raio
θ
Ra
io Arco
Figura 1.9: Medida de grau em radianos
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 12
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Unidade sexagesimal - GRAU: é um sistema de numeração de base 60.
1 grau = 1/360 da circunferência
Graus - 1 ◦ = (π/180)rad
Minutos− 1′ = 1 ◦/60 = (π/10800)rad
Segundos− 1′′ = 1 ◦/3600 = (π/648000)rad
Unidade centesimal - GRADO: é uma unidade de medida de ângulos na base 100.
1 grado =1/400 da circunferência.
Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”.
Representação: As unidades angulares devem ser trabalhadas sempre com seis (6) casas de-
cimais. As demais unidades, com duas (2) casas decimais.
Divisão em Quadrantes: Divisão da circunferência em 4 quadrantes.
Grau sexagesimal = Definidos por 4 quadrantes de 90 graus, fazendo com a circunferência
completa apresente 360 graus.
O grau dividido em 60 partes iguais denominadas minutos (60’).
O minuto, por sua vez, também dividido em 60 partes denominadas segundos (60”).
Grau centesimal = Definidos por 4 quadrantes de 100 grados, fazendo com a circunferência
completa apresente 400 grados.
O grado dividido em 100 partes iguais denominadas minutos (100’).
O minuto, por sua vez, também dividido em 100 partes denominadas segundos (60”).
Figura 1.10: Relação entre Graus, Grados e Radianos
Exemplos:
Conversão de grau, minuto e segundo para grau sexagesimal.
125 ◦37′42, 5′′ = 125 + 37/60 + 42, 5/3600 = 125, 6284722 ◦
Conversão de grau sexagesimal para grau, minuto e segundo.
78, 378611 ◦ =
O valor inteiro são os graus = 78 ◦
78,378611 ◦ − 78 ◦ = 0, 378611 ◦
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 13
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
0, 378611 ◦ ∗ 60 = 22, 71666′
O valor inteiro são os minutos = 22’
22, 71666′ − 22′ = 0, 71666′
0, 71666′ × 60 = 42, 9996′′
Podemos arredondar para 43”
78 ◦22′43′′
Conversão de radianos em graus:
1rd =
180 ◦
3, 14159
= 57, 29577951 ◦ = 57 ◦17′44, 81′′
EXERCÍCIOS:
Transforme os seguintes ângulos de graus, minutos e segundos para grau sexagesimal:
32 ◦28′59′′ =
17 ◦34′18, 3′′ =
125 ◦59′57′′ =
Transformação de graus sexagesimal em graus, minutos e segundos.
27, 5648935245 ◦ =
125, 3256489365 ◦ =
256, 4589487544 ◦ =
Soma e subtração de ângulos:
30 ◦20′ + 20 ◦52′ =
28 ◦41′ + 39 ◦39′ =
112 ◦11′22′′ + 19 ◦29′15′′ =
132 ◦41′27′′ + 39 ◦39′55′′ =
42 ◦30′ − 20 ◦40′ =
248 ◦36′47′′ − 20 ◦40′51′′ =
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 14
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Revisão de Trigonometria Plana:
A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos das relações métricas entre
os lados e os ângulos de um triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de
navegação, Agrimensura e Astronomia.
Relações trigonométricas no triângulo retângulo: A soma dos ângulos internos de um triângulo
é igual a 1800.
A partir da figura podem ser estabelecidas as seguintes relações:
Figura 1.11: Triangulo retângulo
senα =
CatetoOposto(c)
Hipotenusa(a)
cosα =
CatetoAdjacente(b)
Hipotenusa(a)
tgα =
CatetoOposto(c)
CatetoAdjacente(b)
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 15
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Teorema de Pitágoras: “O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados
dos comprimentos dos catetos.”
a2 = b2 + c2
Figura 1.12: Teorema de Pitágoras
EXERCÍCIOS:
1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas.
senα = cosβ =
cosα = senβ =
tgα = tgβ =
Obs.: É importante lembrar que as funções trigonométricas são adimensionais, ou seja, para
qualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificarão, como pode ser visto no
exemplo acima.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 16
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um
ângulo de 56º 00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo
um ângulo de 35º00’00”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984). (R = 17,90 m)
3) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m
de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h. (R = 24,44 m)
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 17
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Triângulo Qualquer:
Lei dos senos: “Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é
constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.
a
senA
=
b
senB
=
c
senC
Lei dos cossenos: “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma
dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados
pelo cosseno do ângulo que eles formam”.
a2 = b2 + c2 − 2× b× c× cosA
b2 = a2 + c2 − 2× a× c× cosB
c2 = a2 + b2 − 2× a× b× cosC
Ainda com a utilização da Lei dos Cossenos é posśıvel encontrar os ângulos dos vértices.
cosA =
b2 + c2 − a2
2× b× c
cosB =
a2 + c2 − b2
2× a× c
cosC =
a2 + b2 − c2
2× a× b
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 18
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Fórmula de Heron para o cálculo de área: Heron de Alexandria é o responsável por elaborar
uma fórmula matemática que calcula a área de um triângulo em função das medidas dos seus três
lados. A fórmula de Heron é muito útil nos casos em que não sabemos a altura do triângulo, mas
temos a medida dos lados. Onde p é o semi-peŕımetro.
p =
a + b + c
2
Area =
√
p(p− a)(p− b)(p− c)
Exerćıcios:
1) Calcule os ângulos e a área do triângulo apresentado:
2) Um topógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medição dos ângulos
horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o aux́ılio de um teodolito. Calcule a distância
entre as balizas (CEFET, 1984). (R = 38,08 m)
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 19
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Áreas: Medida de áreas das principais figuras geométricas.
RETANGULO: A = b× h
h
b
QUADRADO: A = l × l A = l2
l
l
TRAPEZIO: A =
(B + b)
2
× h
h
B
b
TRIANGULO: A =
(b× h)
2
h
b
CIRCUNFERÊNCIA: A = π ×R2 A = π ×D
2
4
R D
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 20
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Volume: Medida de volume das principais figuras geométricas.
PRISMA: V = L× c× h
CILINDRO: V =
π ×D2
4
× h
PIRAMIDE: V =
L× c× h
3
CONE: V =
π ×R2 × h
3
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 21
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
PRISMA VARIÁVEL: V = (L× c)×
(
h1 + h2 + h3 + h4
4
)
SEÇÃO VARIÁVEL: V =
(
S1 + S2
2
)
× L
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 22
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
1.1.7 ESCALAS
Segundo [ESPARTEL, 1987] o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de todas as
medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel.
Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as distâncias são
reduzidas segundo uma razão constante.
A esta razão constante denomina-se ESCALA.
A escala de uma planta ou desenho é definida pela seguinte relação:
E =
d
D
Onde:
E = é a escala do desenho.
d = é a dimensão gráfica.
D = é a dimensão real no terreno
Exemplo:
1. Deseja-se saber a distancia no terreno (real) que no gráfico mede 72,3 mm e o referido desenho
esta na escala 1:10.000.
2. Qual a escala de uma planta onde uma distancia no terreno mede 620,00 metros e está repre-
sentada no desenho por 124 mm.
A escala pode ser apresentada sob a forma de:
� fração: 1/100, 1/2000 etc.
� proporção: 1:100, 1:2000 etc.
Podemos dizer ainda que a escala é:
� de ampliação: quando l > L (Ex.: 2:1)
� natural: quando l = L (Ex.: 1:1)
� de redução: quando l < L (Ex.: 1:50)
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 23
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Escala Gráfica
Segundo [DOMINGUES, 1979], a escala gráfica é a representação gráfica de uma escala nominal
ou numérica.
Esta forma de representação da escala é utilizada, principalmente, para fins de acompanhamento
de ampliações ou reduções de plantas ou cartas topográficas, em processos fotográficos comuns ou
fotocopias, cujos produtos finais não correspondem à escala nominal neles registrada.
A escala gráfica é também utilizada no acompanhamento da dilatação ou retração do papel no
qual o desenho da planta ou carta foi realizado. Esta dilatação ou retração se deve, normalmente,
a alterações ambientais ou climáticas do tipo: variações de temperatura, variações de umidade,
manuseio, armazenamento, etc..
Ainda segundo [DOMINGUES, 1979] a escala gráfica fornece, rapidamente e sem cálculos, o valor
real das medidas executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a redução ou ampliação
sofrida por este.
A aferição através de uma escala gráfica é feita da seguinte maneira:
1. Com um pedaço de papel marca-se a distancia que se deseja saber, pontos AB.
2. Confronta-se essa distancia com a escala gráfica e determina-se a distancia real.
Figura 1.13: Marcação da distancia no mapa
Figura 1.14: Confrontação com a Escala Gráfica
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 24
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
Exemplo: supondo que a escala de uma planta seja 1:100 e que o intervalo de representação
seja de 1m, a escala gráfica correspondente terá o seguinte aspecto:
A figura a seguir mostra outros tipos de representação da escala gráfica.
Exerćıcios:
1. Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de 1:18000 e o rio foi repre-
sentado por uma linha com 17,5 cm de comprimento. (R = 3150 m)
2. Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distâncias homólogas na carta e no
terreno são, respectivamente, 225 mm e 4,5 km. (R = 1/20.000)
3. Com qual comprimento uma estrada de 2500 m será representada na escala 1:10000? (R
= 0,25 m)
4. Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m de comprimento nas escalas abaixo.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 25
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
ESCALA COMPRIMENTO
1:100
1:200
1:250
1:500
1:1 000
5. Um lote urbano tem a forma de um retângulo, sendo que o seu comprimento é duas vezes maior
que a sua altura e sua área é de 16.722,54 m2. Calcular os comprimentos dos lados se esta área
fosse representada na escala 1:10560. (R = 182,88 m)
6. As dimensões de um terreno foram medidas em uma carta e os valores obtidos foram: 250
mm de comprimento por 175 mm de largura. Sabendo-se que a escala do desenho é de 1:2000,
qual é a área do terreno em m2? (R = 175.000 m2)
7. Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm2 para uma escala de 1:500, a quantos metros
quadrados corresponderá a área no terreno? (R = 64.363 m2)
Principais escalas e suas aplicações
A seguir as principais escalas utilizadas por engenheiros e arquitetos e as suas respectivas
aplicações.
É importante perceber que, dependendo da escala, a denominação da representação muda para
planta, carta ou mapa.
APLICAÇÃO ESCALA
Detalhes de terrenos urbanos 1:50
Planta de pequenos lotes e edif́ıcios 1:100 e 1:200
Planta de arruamentos e lotes urbanos 1:500 e 1:1 000
Planta de propriedades rurais 1:1 000 e 1:5 000
Planta cadastral de cidade e grandes propriedades 1:5 000 e 1:10 000
Cartas de munićıpios 1:50 000 e 1:100 000
Mapas de estados, páıses e continentes 1:200 000 a 1:10 000 000
Tabela 1.1: Principais escalas utilizadas.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 26
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.1. GENERALIDADES
1.1.8 MEDIDAS AGRARIAS
No Brasil as unidades de superf́ıcies são baseadas na unidade linear Metro. Embora ainda
hoje se encontre t́ıtulos de propriedades que usam o Hectare como unidade de área.
1ha = 100× 100m = 10.000m2
EXERCÍCIOS
1. Para representar, no papel, uma linha reta que no terrenomede 45m, utilizando-se a escala
1:450, pergunta-se: qual será o valor desta linha em cm? (R=10cm)
2. A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 520mm. Sabendo-se
que, no terreno, estes pontos estão distantes 215,5m, determine qual seria a escala da planta.
3. A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 55cm. Para uma
escala igual a 1:250, qual será o valor real desta distância?
4. Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm2 na escala 1:500, a quantos m2 corresponderá
esta mesma área, no terreno?
5. A área limite de um projeto de Engenharia corresponde a 25 km2. Determine a escala do
projeto em questão, se a área representada equivale a 5000 cm2.
6. Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:600.
7. Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:25.000.
8. Construa uma escala gráfica para a escala numérica 1:1.000.000.
9. Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma superf́ıcie de
350m x 280m, na escala 1:500?
10. Quantas folhas seriam necessárias se, para o exerćıcio anterior, fossem descontadas mar-
gens de 20 mm para cada lado da folha?
11. Quantas folhas seriam necessárias se, para o exerćıcio anterior, a folha utilizada fosse a
A4 deitada?
12. Pesquise em plantas, cartas e mapas de várias escalas, as caracteŕısticas de construção e
representação das escalas gráficas utilizadas (intervalo, unidade, comprimento).
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 27
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
1.2 MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Como já visto, a distância horizontal (DH) entre dois pontos, em Topografia, é o comprimento
do segmento de reta entre estes pontos, projetado sobre um plano horizontal.
Segundo [ESPARTEL, 1987] os principais dispositivos utilizados na medida direta de distân-
cias, também conhecidos por DIASTÍMETROS, são os seguintes:
1.2.1 PONTO TOPOGRÁFICO
Piquetes
� São necessários para marcar, convenientemente, os extremos do alinhamento a ser medido;
� São assinalados (marcados) por tachinhas de cobre;
� Seu comprimento varia de 15 a 30 cm;
� Seu diâmetro varia de 3 a 5 cm;
� É cravado no solo, porém, parte dele (cerca de 3 a 5 cm) deve permanecer viśıvel;
� Sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no terreno.
Estacas
� Conforme figura 1.15 [PINTO, 1988], são utilizadas como testemunhas da posição do piquete;
� São cravadas próximas ao piquete cerca de 30 a 50 cm;
� Seu comprimento varia de 15 a 40 cm;
� Seu diâmetro varia de 3 a 5 cm.
Figura 1.15: Piquete e Estaca testemunha.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 28
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
1.2.2 DIASTÍMETROS
Fita e trena de aço
� São feitas de uma lâmina de aço inoxidável;
� A trena é graduada em metros, cent́ımetros e miĺımetros só de um lado;
� A largura destas fitas ou trenas varia de 10 a 12 mm;
� O comprimento das utilizadas em levantamentos topográficos é de 30, 60, 100 e 150 metros;
� O comprimento das de bolso varia de 1 a 7,50 metros (as de 5 metros são as mais utilizadas);
� Normalmente apresentam-se enroladas em um tambor, com cabos distensores nas extremi-
dades;
� Por serem leves e praticamente indeformáveis, os levantamentos realizados com este tipo de
dispositivo nos fornecem uma maior precisão nas medidas, ou seja, estas medidas são mais
confiáveis;
� Desvantagens: as de fabricação mais antiga, enferrujam com facilidade e, quando esticadas
com nós, se rompem facilmente. Além disso, em caso de contato com a rede elétrica, podem
causar choques;
� As mais modernas, no entanto, são revestidas de nylon ou epoxy e, portanto, são resistentes à
umidade, à produtos qúımicos, à produtos oleosos e à temperaturas extremas. São duráveis
e inquebráveis.
(a) Trena de aço (b) Fita de aço
Figura 1.16: Trena e Fita Métrica de aço.
Trena de fibra de vidro
� É feita de material bastante resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro por
processos especiais);
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 29
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
� Pode ser encontrada com ou sem envólucro e, este, se presente, tem o formato de uma
cruzeta; sempre apresentam distensores (manoplas) nas suas extremidades;
� Seu comprimento varia de 20 a 50m (com envólucro) e de 20 a 100m (sem envólucro);
� Deforma pouco com a temperatura e a tensão;
� Não se deteriora facilmente;
� É resistente à umidade e à produtos qúımicos;
� É bastante prática e segura.
(a) Com envólucro (b) Sem envólucro
Figura 1.17: Trena de Fibra de Vidro.
1.2.3 BALIZA
� São utilizadas para manter o alinhamento, na medição entre pontos;
� Conforme figura 1.18, feitas de madeira ou ferro; arredondado, sextavado ou oitavado;
� São terminadas em ponta de ferro;
� Seu comprimento é de 2 metros;
� Seu diâmetro varia de 16 a 20 mm;
� São pintadas em cores contrastantes (branco e vermelho) para facilitar a visualização.
� Devem ser mantidas na posição vertical, sobre a tachinha do piquete.
Figura 1.18: Baliza metálica
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 30
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
1.2.4 NÍVEL DE CANTONEIRA
� Aparelho em forma de cantoneira e dotado de bolha circular que permite à pessoa que segura
a baliza posicioná-la corretamente (verticalmente) sobre o piquete ou sobre o alinhamento a
medir.
Figura 1.19: Nı́vel de Cantoneira.
1.2.5 FICHAS
� São utilizadas na marcação dos lances efetuados com o diast́ımetro quando a distância a ser
medida é superior ao comprimento deste;
� São hastes de ferro ou aço;
� Seu comprimento é de 35 ou 55 cm;
� Seu diâmetro é de 6 mm;
� Conforme figura 1.20, uma das extremidades é pontiaguda e a outra tem uma argola.
(a) Fichas (b) Argola
Figura 1.20: Fichas Topográficas.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 31
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
1.2.6 NÍVEL DE MANGUEIRA
� É uma mangueira d’água transparente que permite, em função do ńıvel de água das extre-
midades, proceder a medida da diferença de ńıvel entre dois pontos. Este tipo de mangueira
é também muito utilizado na construção civil em serviços de nivelamento (piso, teto, etc.).
Figura 1.21: Nivelamento com mangueira.
1.2.7 MEDIDAS DE DISTÂNCIA
Grandezas Lineares
Distância Horizontal (DH): É a distância medida entre dois pontos, no plano horizontal. Este
plano pode, conforme indicado na figura a seguir [GARCIA, 1984], passar tanto pelo ponto A,
quanto pelo ponto B em questão.
Distância Vertical ou Diferença de Nı́vel (DV ou DN): É a distância medida entre dois pontos,
num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal. Este plano vertical pode passar por
qualquer um dos pontos A/A’ ou B/B’ já mencionados.
Distância Inclinada (DI): É a distância medida entre dois pontos, em planos que seguem a
inclinação da superf́ıcie do terreno.
É importante relembrar que as grandezas representadas pela planimetria são: distância e ângulo
horizontais (planta); enquanto as grandezas representadas pela altimetria são: distância e ângulo
verticais, representados em planta através das curvas de ńıvel, ou, através de um perfil.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 32
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Figura 1.22: Distancias horizontal, vertical e inclinada.
Vários lances - pontos viśıveis Quando não é posśıvel medir a distância entre dois pontos utili-
zando somente uma medição com a trena (quando a distância entre os dois pontos é maior que o
comprimento da trena), costuma-se dividir a distância a ser medida em partes, chamada de lances.
Analisando a figura abaixo, o balizeiro de ré (posicionado em A) orienta o balizeiro intermediário,cuja posição coincide com o final da trena, para que este se mantenha no alinhamento AB.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 33
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
1.2.8 ERROS EM TOPOGRAFIA
Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao proceder um
levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros. Assim, os erros
pertinentes às medições topográficas podem ser classificados como:
a) Naturais:
são aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento, refração e pressão
atmosféricas, ação da gravidade, etc..
b) Instrumentais:
são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos utilizados nas
medições.
c) Pessoais:
são aqueles ocasionados pela falta de cuidado do operador. Os mais comuns são: erro na leitura
dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na contagem do número de trenadas, ponto visado
errado, aparelho fora de prumo, aparelho fora de ńıvel, etc..
Catenaria:
É o erro que aparece devido ao peso do diast́ımetro. Pode ser evitada tensionando-se correta-
mente o diast́ımetro.
Figura 1.23: Erro de Catenaria.
Inclinação da baliza:
A baliza inclinada para traz ou para frente é uma causa de erro. Pode ser evitada colocando
as balizas no prumo.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 34
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Figura 1.24: Erro de Inclinação da Baliza.
Erro de alinhamento:
É o desvio lateral devido ao erro do balizamento.
Figura 1.25: Erro de Alinhamento.
Desvio vertical:
Pode ser evitado colocando-se a trena perfeitamente na horizontal.
Figura 1.26: Erro de Desvio Vertical.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 35
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
1.2.9 PROBLEMAS DE CAMPO RESOLVIDOS COM TRENA E BALIZA
Alinhamentos
Balizar um alinhamento entre dois pontos viśıveis: Para encontrar um ponto C contido no
prolongamento de AB, são necessários no mı́nimo dois operadores e três balizas.
1. Coloca-se uma baliza em A e outra em B.
2. Um operador (observador) fica em A.
3. Outro operador fica em C com outra baliza (móvel).
4. A ordem é dada pelo observador (A) que orienta a posição da baliza C, deslocando-a a direita
e a esquerda até que esteja completamente inserida no alinhamento.
Figura 1.27: Alinhamento entre pontos viśıveis.
Prolongar um alinhamento através de um conhecido: Para prolongar um alinhamento é neces-
sário que se conheça no mı́nimo dois pontos A e B que definem uma reta. Após procede-se a
determinação do ponto C, a seguir o D através de BC e assim sucessivamente.
Figura 1.28: Prolongamento de alinhamento.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 36
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Alinhamento entre dois pontos não viśıveis um do outro: Sejam os pontos A e B extremos
de uma linha, porém, separados por uma elevação, inviśıveis um do outro. Para demarcar o
alinhamento entre eles faz-se necessário 4 balizas. Os alinhamentos são feitos sucessivamente para
as balizas ACD e BDC.
Figura 1.29: Alinhamento entre dois pontos não viśıveis.
Determinação de um alinhamento paralelo a outro: Para fazer um alinhamento paralelo a outro
existente, usando somente trena e baliza. Basta fazer dois alinhamentos perpendiculares ao ali-
nhamento conhecido e demarca-se nestes alinhamentos duas distancia iguais, estes vértices assim
determinados serão paralelos ao alinhamento anteriormente conhecido.
Figura 1.30: Alinhamento paralelo a outro alinhamento.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 37
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Alinhamentos Perpendiculares: Segundo [ESPARTEL, 1987] é posśıvel levantar uma perpendi-
cular a um alinhamento, utilizando-se um diast́ımetro, através dos seguintes métodos:
Triângulo Retângulo: Este método consiste em passar por um ponto A, de um alinhamento
AB conhecido, uma perpendicular.
Utilizando-se o teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2
Exemplo:
a = 5; b = 3 e c = 4
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
25 = 25
Utilizando-se os doze (12) primeiros metros de uma trena, dispõe-se, respectivamente, dos lados
3, 4 e 5 metros de um triângulo retângulo.
Como indicado na figura 1.31, [GARCIA, 1984], o 0 e 12º metros estariam coincidentes em C,
situado a 3 metros do ponto A. O 7º metro (soma dos lados 3 e 4) e representado pelo ponto D,
se ajusta facilmente em função dos pontos A e C já marcados.
Figura 1.31: Determinação de segmento perpendicular com triangulo retângulo.
Triângulo Equilátero: Diferentemente do anterior, este método consiste em passar uma per-
pendicular a um alinhamento AB conhecido, por um ponto C qualquer deste alinhamento. Deste
modo, marca-se, no campo, um triângulo equilátero ao invés de um triângulo retângulo.
Assim, utilizando-se os doze (12) primeiros metros de uma trena, dispõe-se, para o triângulo eqüi-
látero, de três lados de 4 metros cada.
Como indicado na figura 1.32, [GARCIA, 1984], o 0 e 12º metros estariam coincidentes em C.
O 2º metro estaria sobre o alinhamento AB à esquerda de C, definindo o ponto D. O 10º metro
estaria sobre o alinhamento AB à direita de C, definindo o ponto E. O ponto F, definido pelo 6º
metro, se ajusta facilmente em função dos pontos D e E já marcados.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 38
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Figura 1.32: Determinação de segmento perpendicular com triangulo equilátero.
Medida de um ângulo pelo método da bissetriz: Toma-se o alinhamento AB e BC e se quer
saber o ângulo formado entre os segmentos. Marca-se nesses alinhamentos uma distancia conhe-
cida de 10 m onde determina-se os pontos C’ e C”, mede-se a distancia entre esses pontos 10,30
m. Para calcular o ângulo ABC determina-se a bissetriz que dividira C’ e C” em segmentos iguais.
B 10, 00m A
C
D
C ′
C ′′
B
α
2
α
2
10
, 0
0m
10, 30m
C ′D = 5,15m
DC ′′ = 5,15m
C ′′BD =
(α
2
)
sin
(α
2
)
=
C.O.
Hip.
=
sin
(α
2
)
=
(
DC ′′
BC ′′
)
sin
(α
2
)
=
(
5, 15
10, 00
)
sin
(α
2
)
= 0,515(α
2
)
= arcsin 0, 515(α
2
)
= 30,997450
α = 2×30, 997450
α = 61059′41, 68′′
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 39
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Transposição de obstáculos:
Determinação de um alinhamento paralelo a outro: Prolongar um alinhamento através de um
obstáculo intervisivel. Seja um alinhamento AB o qual deve-se prolongar através de um prédio,
basta determinar um alinhamento paralelo ao conhecido, ou seja, determinar C e D e prolongar
até que se tenha dois vértices após o obstáculo, ai procede-se a determinação de outra paralela
guardando a mesma distancia da que lhe originou.
Figura 1.33: Alinhamento paralelo
Distância entre dois pontos inviśıveis entre si: Escolhemos o ponto C, do qual possamos enxergar
os pontos dados A e B. Medimos a distancia CA e CB e os elementos que forem necessários para
calcular o ângulo em C.
Conhecendo dois lados e um ângulo do triangulo ACB, calcula-se o terceiro lado através do teorema
do cosseno.
Primeiro determina-se o ângulo pelo processo de determinação de um ângulo qualquer. São
necessárias cinco medições x, y, a, a, z.
d =
√
x2 + y2 − 2× x× y × cosα
Figura 1.34: Distância entre dois pontos inviśıveis.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 40
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Medida de uma distância entre pontos viśıveis, porem de dif́ıcil acesso
Semelhante de Triângulos: Considera-se um alinhamento ABC sendo o intervalo BC inter-
rompido por uma região pantanosa.
Toma-se um alinhamento AB e levanta-se uma perpendicular D e intercepta-se um ponto E entre
o alinhamento BD.
A seguir determina-se outra perpendicular agora ao segmentoBD.
Neste segmento localiza o ponto G alinhado em relação aos pontos EC.
Por semelhança de triângulos determina-se a distancia BC.
BC
BE
=
DG
DE
BC =
DG
DE
×BE
Figura 1.35: Semelhança de triângulos.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 41
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.2. MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIA
Método do Triângulo Retângulo: Na extremidade acesśıvel do segmento AB traçamos uma
perpendicular ao plano. Onde localizamos o ponto C.
Medimos a distancia CA e os elementos angulares em C.
No triangulo CAB, calcula-se o cateto através da relação da tangente.
tanα =
C.oposto
C.adjacente
=
d
x
d = x× tanα
Figura 1.36: Método do triângulo retângulo.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 42
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.3. MEDIDAS ANGULARES
1.3 MEDIDAS ANGULARES
1.3.1 GRANDEZAS MEDIDAS NUM LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO
Segundo [GARCIA e PIEDADE, 1984] as grandezas medidas em um levantamento topográfico
podem ser de dois tipos: angulares e lineares.
Grandezas Angulares:
Ângulo Horizontal (Hz): É medido entre as projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano
horizontal. A figura a seguir exemplifica um ângulo horizontal medido entre as arestas (1 e 2) de
duas paredes de uma edificação. O ângulo horizontal é o mesmo para os três planos horizontais
mostrados.
Figura 1.37: Ângulo Horizontal
Ângulo Vertical (α) : É medido entre um alinhamento do terreno e o plano do horizonte. Pode
ser ascendente (+) ou descendente (-), conforme se encontre acima (aclive) ou abaixo (declive)
deste plano.
A figura a seguir exemplifica ângulos verticais medidos entre a linha do horizonte e o topo do
prédio.
Figura 1.38: Ângulo Vertical
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 43
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.3. MEDIDAS ANGULARES
O ângulo vertical, nos equipamentos topográficos (teodolito e estação total), pode também ser
medido a partir da vertical do lugar (com origem no Zênite ou Nadir), dáı o ângulo denominar-se
Ângulo Zenital ou Nadiral.
Figura 1.39: Ângulo Zenital
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 44
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
1.4 UNIDADES DE MEDIDA
Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas, as lineares e as angulares, mas, na
verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas, as de superf́ıcie e as de
volume.
1.4.1 UNIDADES DE MEDIDA LINEAR
A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa
unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por
outro lado, se queremos medir extensões muito ”pequenas”, a unidade metro é muito ”grande”.
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de comprimento.
No Sistema Internacional de Medidas (SI) são usados múltiplos e divisões do metro:
Nanômetro nm 10−9
Micrometro µm 10−6
Milimetro mm 10−3
Cent́ımetro cm 10−2
Dećımetro dm 10−1
Metro m 100
Decâmetro dam 101
Hectometro hm 102
Quilometro km 103
Megametro Mm 106
Gigâmetro Gm 109
Terâmetro Tm 1012
Tabela 1.2: Tabela de Múltiplos do Metro
Equivalências do metro em outras unidades: Podemos expressar o metro em outras unidades
alternativas, dependendo de cada região.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 45
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
Polegada 2,75 cm
Polegada inglesa 2,54 cm
Pé 30,48 cm
Jarda 91,44 cm
Milha brasileira 2 200,00 m
Milha terrestre 1 609,31 m
Milha inglesa 1 609,31 m
Milha Maŕıtima 1 852,00 m
Braça 2,20 m
Légua 6 600,00 m
Tabela 1.3: Tabela de Conversão de Unidades.
EXERCÍCIOS:
1. Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 53.149,61 polegadas
inglesas. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros? (R=1,35 km)
2. O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em jardas?
(R=28,98 jardas)
3. Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância horizontal entre dois pontos de
74,9 milhas brasileiras. (R=102,39 milhas inglesas)
1.4.2 UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR
Para as medidas angulares têm-se a seguinte relação:
3600 = 400g = 2π
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 46
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
EXERCÍCIOS:
1. Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos
para o ângulo de 157º17’30,65”. (R= 174.7687191g = 2, 745260621rd)
2. Para um ângulo de 1,145678 radianos, determine qual seria o valor correspondente em graus
sexagesimais. (R=65038′33, 05′′)
3. Para um ângulo de 203, 456789g grados decimais, determine qual seria o valor correspon-
dente em graus sexagesimais. (R=18306′40′′)
1.4.3 UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE
A medida de superf́ıcie é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado (m2).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é
cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada
deslocamento de uma unidade até a desejada.
Já para transformar de uma unidade para outra superior, devemos observar que cada unidade
é cem vezes menor que a unidade imediatamente superior. Assim, dividimos por cem para cada
deslocamento de uma unidade até a desejada.
Podemos relacionar as medidas de superficie com medidas utilizadas regionalmente.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 47
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
Metro quadrado 10.000 cm2
Metro quadrado 1× 10−6 km2
Are 100,00 m2
Hectare (ha) 10.000 m2
Acre 4.046,86 m2
Alqueire Paulista 24.200,00 m2
Alqueire Mineiro 48.400,00 m2
Tabela 1.4: Tabela de Conversão de unidades superficiais.
EXERCÍCIOS:
1. Determine o valor em alqueires paulista, para um terreno de área igual a 1224,567 metros
quadrados. (R=0,05 alqueire paulista)
2. Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678 metros quadra-
dos. (R=5,87 ha)
3. Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista.
(R=108,54 acres)
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 48
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
1.4.4 UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUME
O volume é uma magnitude definida como o espaço ocupado por um corpo. É uma função
derivada, pois se acha multiplicando as três dimensões.
A unidade de medida de volume no Sistema Internacional de Unidades é o metro cúbico(m3),
embora temporalmente também se aceita o litro, que se utiliza com frequência na vida prática.
Litro = 0,001 m3
1 m3 = 1000 Litros
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é
mil vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por mil para cada
deslocamento de uma unidade até a desejada.
Já para transformar de uma unidade para outra superior, devemos observar que cada unidade
é mil vezes menor que a unidade imediatamente superior. Assim, dividimos por mil para cada
deslocamento de uma unidade até a desejada.
Figura 1.40: Conversão entre múltiplos relacionados ao volume.
Exerćıcios:
1. Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m3. (R=12.340,00 litros)
2. Determine o valor em m3, para um volume de 15.362,56 litros. (R=15,36m3)
Exerćıcios Propostos:
1. Dado o ângulo de 1,573498 radianos, determine o valor correspondente em graus, minutos e
segundos. (R=9009′17, 26′′)
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 49
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
2. Sabendo-se que um alqueire geométrico equivale a um terreno de 220 m x 220 m; que um
acre equivale a 4046,86 m2; e que uma porção da superf́ıcie do terreno medida possui 3,8 alqueires
geométrico de área, determine a área desta mesma porção, em acres. (R=45,45 acres)
3. Dado o ângulo de 120, 35480, determine o valor correspondente em graus sexagesimais.
(R=120021′17, 2′′)
Prof. Eng.Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 50
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
1.4.5 TRAÇADO DE PERPENDICULARES
Amarração: Processo empregado para preservação e localização de serviços topográficos ou
pontos deles oriundos.
Segundo [GARCIA, 1984] o traçado de perpendiculares é necessário:
1. À amarração de detalhes em qualquer levantamento topográfico, e
2. Na determinação de um alinhamento perpendicular em função de um outro já existente.
Ex.: locação de uma obra.
Amarração de detalhes:
A amarração de detalhes (feições naturais e artificiais do terreno) é realizada utilizando-se
diast́ımetros. Para tanto, é necessário a montagem, no campo, de algumas medidas do objeto a
ser amarrado a pontos conhecidos.
Figura 1.41: Amarração de uma edificação ao terreno.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 51
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.4. UNIDADES DE MEDIDA
Por amarração a uma perpendicular:
É o caso da figura 1.42, onde se amarra o eixo da estrada ao segmento de reta AB, por meio
de perpendiculares. Alem das distancias do segmento ao eixo, precisamos anotar a distncia entre
as linhas perpendiculares.
Figura 1.42: Amarração de uma estrada a um segmento de reta auxiliar.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 52
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
1.5 MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
Segundo [DOMINGUES, 1979] diz-se que o processo de medida de distâncias é indireto quando
estas distâncias são calculadas em função da medida de outras grandezas, não havendo, portanto,
necessidade de percorrê-las para compará-las com a grandeza padrão.
Os equipamentos utilizados na medida indireta de distâncias são, principalmente:
1.5.1 TEODOLITO E/OU NÍVEL:
O teodolito é utilizado na leitura de ângulos horizontais e verticais e da régua graduada; o
ńıvel é utilizado somente para a leitura da régua.
A figura a seguir ilustra três gerações de teodolitos: o trânsito (mecânico e de leitura externa); o
ótico (prismático e com leitura interna); e o eletrônico (leitura digital).
(a) Teodolito Analógico (b) Teodolito Digital (c) Estação Total
Figura 1.43: Equipamentos para levantamento de ângulos.
1.5.2 ACESSÓRIOS:
Entre os acessórios mais comuns de um teodolito ou ńıvel estão:
Tripé: serve para estacionar o aparelho;
Fio prumo: serve para posicionar o aparelho exatamente sobre o ponto no terreno;
Lupa: para leitura dos ângulos.
Tripé: utilizado com teodolitos óticos ou eletrônicos.
É interessante salientar que para cada equipamento de medição existe um tripé apropriado.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 53
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
(a) Tripé alumı́nio (b) Base de fixação
Figura 1.44: Tripé para fixação de Nı́vel e Teodolito.
Mira ou Régua graduada: É uma régua de madeira, alumı́nio ou PVC, graduada em m, dm, cm
e mm; utilizada na determinação de distâncias horizontais e verticais entre pontos.
A figura a seguir, ilustra parte de uma régua de quatro metros de comprimento e as respectivas
divisões do metro: dm, cm e mm.
(a) Mira (b) Escala de uma mira
Figura 1.45: Mira ou Régua Graduada.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 54
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
A leitura na mira é feita da seguinte maneira:
1. Metro - o primeiro valor e é determinado pelo numero de pontos vermelhos.
2. Dećımetro - o segundo valor é a leitura do algarismo que se encontra na escala da mira.
3. Cent́ımetro - é lido a partir da posição conforme escala abaixo.
4. Miĺımetro - é um valor arbitrado proporcionalmente na escala de centimetros.
Figura 1.46: Leitura da Mira.
Baliza: Já mencionada na medida direta de distâncias, é utilizada com o teodolito para a locali-
zação dos pontos no terreno e a medida de ângulos horizontais.
Ao processo de medida indireta denomina-se ESTADIMETRIA ou TAQUEOMETRIA, pois é
através do ret́ıculo ou estádia do teodolito que são obtidas as leituras dos ângulos verticais e hori-
zontais e da régua graduada, para o posterior cálculo das distâncias horizontais e verticais. Como
indicado na figura 1.47, [BORGES, 2002], a estádia do teodolito é composta de:
� 3 fios estadimétricos horizontais (FS, FM e FI)
� 1 fio estadimétrico vertical
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 55
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
I
Fio Estadimétrico Superior
Fio Estadimétrico Médio
Fio Estadimétrico Inferior
Fio Estadimétrico Vertical
Figura 1.47: Fios estadimétricos.
1.5.3 TAQUEOMETRIA
É a parte da topografia que se ocupa em obter a medida indireta das distâncias horizontais e
das diferenças de ńıvel.
As distâncias horizontais e verticais são dadas por:
H = 100× I × cos2 α
V = 100× I × sinα× cosα
Onde:
H = distância horizontal entre os pontos A e B.
V = Distância vertical entre os pontos A e B.
AA = Altura do aparelho.
FM = Fio médio medido na mira.
α = Ângulo vertical de inclinação da linha de visada.
I = FS-FI
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 56
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
Cota B = Cota A + AA + V – FM
Exemplo: Calcule a distância horizontal, vertical entre os pontos A e B e a cota de B.
1.5.4 ANGULOS TOPOGRAFICOS:
Ângulos Horizontais:
Os ângulos horizontais medidos em Topografia podem ser:
Internos: Para a medida de um ângulo horizontal interno a dois alinhamentos consecutivos de
uma poligonal fechada, o aparelho deve ser estacionado, nivelado e centrado com perfeição, sobre
um dos pontos que a definem (o prolongamento do eixo principal do aparelho deve coincidir com
a tachinha sobre o piquete).
Assim, o método de leitura do referido ângulo, utilizando um teodolito eletrônico ou uma estação
total, consiste em:
� Executar a pontaria (fina) sobre o ponto a vante (primeiro alinhamento);
� Zerar o ćırculo horizontal do aparelho nesta posição (procedimento padrão Hz = 00000′00′′);
� Liberar e girar o aparelho (sentido horário ou anti-horário), executando a pontaria (fina)
sobre o ponto a ré (segundo alinhamento);
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 57
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
� Anotar ou registrar o ângulo (Hz) marcado no visor LCD que corresponde ao ângulo hori-
zontal interno medido.
A figura a seguir ilustra os ângulos horizontais internos medidos em todos os pontos de uma
poligonal fechada.
Figura 1.48: Ângulos internos de uma poligonal.
A relação entre os ângulos horizontais internos de uma poligonal fechada é dada por:∑
Hzi = 180
0 × (n− 2)
Onde n representa o número de pontos ou estações da poligonal.
Externos: Para a medida de um ângulo horizontal externo a dois alinhamentos consecutivos de
uma poligonal fechada, o aparelho deve ser estacionado, nivelado e centrado com perfeição, sobre
um dos pontos que a definem (o prolongamento do eixo principal do aparelho deve coincidir com
a tachinha sobre o piquete).
Assim, o método de leitura do referido ângulo, utilizando um teodolito eletrônico ou uma estação
total, consiste em:
� Executar a pontaria (fina) sobre o ponto a ré (primeiro alinhamento);
� Zerar o ćırculo horizontal do aparelho nesta posição (procedimento padrão Hz = 00000′00′′);
� Liberar e girar o aparelho (sentido horário ou anti-horário), executando a pontaria (fina)
sobre o ponto a vante (segundo alinhamento);
� Anotar ou registrar o ângulo (Hz) marcado no visor LCD que corresponde ao ângulo hori-
zontal externo medido.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 58
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
A figura a seguir ilustra os ângulos horizontais externos medidos em todos os pontos de uma
poligonal fechada.
Figura 1.49: Ângulos externos de uma poligonal.
A relação entre os ângulos horizontaisexternos de uma poligonal fechada é dada por:∑
Hze = 180
0 × (n + 2)
Ângulos Verticais:
A medida dos ângulos verticais, em alguns aparelhos, poderá ser feita da seguinte maneira:
Com Origem no Horizonte: Quando recebe o nome de ângulo vertical ou inclinação, variando
de 00 a 900 em direção ascendente (acima do horizonte) ou (abaixo do horizonte).
Com Origem no Zênite ou no Nadir: Quando recebe o nome de ângulo zenital ou nadiral,
variando de 00 a 3600.
Figura 1.50: Angulo vertical com orientação zenital
As relações entre o ângulo zenital e o vertical são as seguintes:
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 59
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
Ângulo Zenital Inclinação Direção
00 < V ≤ 900 α = 900 − V Ascendente
900 < V ≤ 1800 α = V − 900 Descendente
1800 < V ≤ 2700 α = 2700 − V Descendente
2700 < V ≤ 3600 α = V − 2700 Ascendente
Tabela 1.5: Tabela de declividades com orientação zenital.
Ângulos de Orientação: Como já explicitado anteriormente, a linha que une o pólo Norte ao pólo
Sul da Terra (aqueles representados nos mapas) é denominada linha dos pólos ou eixo de rotação.
Estes pólos são denominados geográficos ou verdadeiros e, em função disso, a linha que os une,
também é tida como verdadeira.
No entanto, sabe-se que a Terra, devido ao seu movimento de rotação, gera um campo mag-
nético fazendo com que se comporte como um grande imã. Assim, uma bússola estacionada sobre
a superf́ıcie terrestre, tem sua agulha atráıda pelos pólos deste imã. Neste caso, porém, os pólos
que atraem a agulha da bússola são denominados magnéticos.
O grande problema da Topografia no que diz respeito aos ângulos de orientação, está justamente
na não coincidência dos pólos magnéticos com os geográficos e na variação da distância que os
separa com o passar tempo.
Em função destas caracteŕısticas, é necessário que se compreenda bem que, ao se orientar
um alinhamento no campo em relação à direção Norte ou Sul, deve-se saber qual dos sistemas
(verdadeiro ou magnético) está sendo utilizado como referência.
Figura 1.51: Polos Geométrico e Geográfico
Para tanto, é importante saber que:
Meridiano Geográfico ou Verdadeiro: é a seção eĺıptica contida no plano definido pela linha dos
pólos verdadeira e a vertical do lugar (observador).
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 60
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
Meridiano Magnético: é a seção eĺıptica contida no plano definido pela linha dos pólos magnética
e a vertical do lugar (observador).
Declinação Magnética: é o ângulo formado entre o meridiano verdadeiro (norte/sul verdadeiro)
e o meridiano magnético (norte/sul magnético) de um lugar. Este ângulo varia de lugar para
lugar e também varia num mesmo lugar com o passar do tempo. Estas variações denominam-
se seculares. Atualmente, para a determinação das variações seculares e da própria declinação
magnética, utilizam-se fórmulas espećıficas (dispońıveis em programas de computador espećıficos
para Cartografia).
Segundo normas cartográficas, as cartas e mapas comercializados no páıs apresentam, em suas
legendas, os valores da declinação magnética e da variação secular para o centro da região neles
representada.
Os ângulos de orientação utilizados em Topografia são:
Azimute Geográfico ou Verdadeiro: definido como o ângulo horizontal que a direção de um
alinhamento faz com o meridiano geográfico. Este ângulo pode ser determinado através de métodos
astronômicos (observação ao sol, observação a estrelas, etc.) e, atualmente, através do uso de
receptores GPS de precisão.
Azimute Magnético: definido como o ângulo horizontal que a direção de um alinhamento faz
com o meridiano magnético. Este ângulo é obtido através de uma bússola, como mostra a figura
a seguir.
Figura 1.52: Bússula
Os azimutes (verdadeiros ou magnéticos) são contados a partir da direção norte (N) ou sul
(S) do meridiano, no sentido horário - azimutes à direita, ou, no sentido anti-horário - azimutes à
esquerda, variando sempre de 00 a 3600.
Rumo Verdadeiro: é obtido em função do azimute verdadeiro através de relações matemáticas
simples.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 61
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
Rumo Magnético: é o menor ângulo horizontal que um alinhamento forma com a direção norte/sul
definida pela agulha de uma bússola (meridiano magnético).
Os rumos (verdadeiros ou magnéticos) são contados a partir da direção norte (N) ou sul (S)
do meridiano, no sentido horário ou anti-horário, variando de 00a900 e sempre acompanhados da
direção ou quadrante em que se encontram (NE, SE, SO, NO).
A figura a seguir ilustra as orientações de quatro alinhamentos definidos sobre o terreno através
de Azimutes à Direita, ou seja, dos ângulos contados a partir da direção norte do meridiano no
sentido horário.
A figura a seguir ilustra as orientações de quatro alinhamentos definidos sobre o terreno através
de Rumos, ou seja, dos ângulos contados a partir da direção norte ou sul do meridiano (aquele
que for menor), no sentido horário ou anti-horário.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 62
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
Observando as figuras acima, pode-se deduzir as relações entre Azimutes à Direita e Rumos:
Quadrante Azimute → Rumo Rumo → Azimute
10 R = Az(NE) Az = R
20 R = 1800 − Az(SE) Az = 1800 −R
30 R = Az − 1800(SW ) Az = R + 1800
40 R = 3600 − Az(NW ) Az = 3600 −R
Tabela 1.6: Relação Azimute / Rumo.
Exerćıcios:
1. Determine o azimute correspondente ao rumo de 27038′40′′ (SW)? (R = 207038′40′′)
2. Determine o rumo correspondente ao azimute de 156010′37′′? (R = 23049′23′′)
3. Supondo que as leituras do limbo horizontal de um teodolito, no sentido horário, de vante
para ré, tenham sido: Hz1 = 34
045′20′′ e Hz2 = 78
023′00′′
Determine o ângulo horizontal entre os alinhamentos medidos. (R = 43037′40′′)
4. O valor do rumo de uma linha é de 31045′ (NW). Encontre os azimutes da linha em
questão.(R = 328015′)
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 63
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.5. MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIAS
Exerćıcios Propostos:
1. Determine o azimute para o rumo de 89039′45′′(NW). (R = 270020′15′′)
2. Determine o azimute para o rumo de 39035′36′′(SE). (R = 140024′24′′)
3. Determine o rumo para o azimute de 197035′43′′. (R = 17035′43′′(SW))
4. Determine o rumo para o azimute de 277045′01′′. (R = 82014′59′′(NW))
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 64
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.6. PROCESSAMENTO DOS DADOS
1.6 PROCESSAMENTO DOS DADOS
O processamento dos dados inclui o fechamento dos ângulos horizontais, o transporte dos azi-
mutes, o fechamento das distâncias horizontais, o transporte das coordenadas e o cálculo da área.
A seguir apresenta-se a sequência dos cálculos:
1. Transformação dos ângulos horizontais externos em internos
Hzi = 360
0 −Hze
2. Erro de fechamento angular
∑
Hzi = 180
0 × (n− 2)
Se o somatório dos ângulos horizontais internos medidos não resultar no valor estipulado pela
relação acima, haverá um erro de fechamento (e).
O erro encontrado não pode ser maior que a tolerância angular (x).
A tolerância angular, por sua vez, depende do aparelho utilizado.
Para o Teodolito CST/Berger BDT, a precisão é de 60′′, portanto a tolerância angular é dada
por:
ε = 60′′
√
n
Onde n representa o número de vértices da poligonal medida.
3. Distribuição do erro angular.
A correção devido ao erro de fechamento angular é proporcional ao ângulo medido na estação
e é dada pela seguinte relação:
Cn =
e
n
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 65
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.6. PROCESSAMENTO DOS DADOS
Os valores de correçãoencontrados para cada ângulo devem ser somados ou subtráıdos aos
mesmos conforme o erro seja para menos ou para mais.
4. Transporte do azimute
De posse do azimute do primeiro alinhamento da poligonal (medido ou calculado), faz-se o
transporte para os demais alinhamentos através da relação:
Az(n−1)
Az(n−1)
Az
(180− α)
α
AZ(n) = AZ(n−1) − (1800 − α)
AZ(n) = AZ(n−1) + α± 1800
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 66
CAPÍTULO 1. TOPOGRAFIA 1.6. PROCESSAMENTO DOS DADOS
Exercicio:
Determine os Azimutes para os vértices da figura abaixo.
N
1
2
3
4
5
6
131.88◦
128.07◦
44.69◦
83.66◦
104.04◦
227.66◦128.66
◦
Az1 = 128, 66
0
Az2 =
Az3 =
Az4 =
Az5 =
Az6 =
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 67
Caṕıtulo 2
PLANIMETRIA
2.1 CONCEITO
Planimetria: É a parte da topografia que estuda a posição dos pontos no plano horizontal.
O levantamento planimétrico fundamenta-se na medida dos ângulos e distancia horizontais,
que permitam o traçado de uma planta planimétrica ou o calculo das coordenadas dos vértices,
ou a representação dos detalhes (naturais ou artificiais) de uma superf́ıcie limitada da terra.
Vários são os métodos usados nos levantamentos planimétricos, separadamente ou associados,
dependendo das dificuldades oferecidas pelo terreno e a capacidade do topógrafo.
� Intersecção ou coordenadas bi-polares;
� Irradiação ou coordenadas polares;
� Caminhamento periférico;
� Métodos combinados.
2.2 INTERSEÇÃO OU CORDENADAS BIPOLARES
É empregado na avaliação de pequenas superf́ıcies de relevo acidentado.
Uma vez demarcado o contorno da superf́ıcie a ser levantada, o método consiste em localizar, es-
trategicamente, dois pontos (P) e (Q), dentro ou fora da superf́ıcie demarcada, e de onde possam
ser avistados todos os demais pontos que a definem.
Assim, mede-se a distância horizontal entre os pontos (P) e (Q), que constituirão uma base de
referência, bem como, todos os ângulos horizontais formados entre a base e os demais pontos
demarcados. A medida da distância poderá ser realizada através de método direto, indireto ou
eletrônico e a medida dos ângulos poderá ser realizada através do emprego de teodolitos óticos ou
eletrônicos.
A figura 2.1 ilustra uma superf́ıcie demarcada por sete pontos com os pontos (P) e (Q) estrategi-
camente localizados no interior da mesma. De (P) e (Q) são medidos os ângulos horizontais entre
a base e os pontos (1 a 7).
68
CAPÍTULO 2. PLANIMETRIA 2.2. INTERSEÇÃO OU CORDENADAS BIPOLARES
1
2
3
4
5
6
7
P
Q
Hz1
Hz2
Figura 2.1: Coordenadas Bipolares
De cada triângulo são conhecidos dois ângulos e um lado (base definida por PQ). As demais
distâncias e ângulos necessários à determinação da superf́ıcie em questão são determinados por
relações trigonométricas.
2.2.1 VANTAGENS DO MÉTODO
� Não há necessidade de se percorrer o terreno, carregando instrumentos topográficos. É
suficiente que exista apenas uma sinalização em cada vértice.
� Rapidez nas operações de campo.
� Método facilmente aplicado em regiões alagadiças ou pantanosas, mas com vegetação ras-
teira.
2.2.2 DESVANTAGENS DO MÉTODO
� É um método expedito, pois determina-se a área por métodos gráficos ou mecânicos, ambos
oferecem pouca precisão.
� Aplica-se somente em áreas pequenas e descobertas de vegetação, de médio e pequeno porte.
� Qualquer erro de campo ou escritório, proporciona erros de grande monta.
2.2.3 CÁLCULO GRÁFICO OU MECÂNICO DA ÁREA
Após o desenho do poĺıgono, efetua-se o calculo da área.
Método gráfico:
Esse método é simples e rápido, porem a precisão deixa muito a desejar, uma vez que o poĺı-
gono já pode oferecer erros devido a imprecisões do desenho.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 69
CAPÍTULO 2. PLANIMETRIA 2.2. INTERSEÇÃO OU CORDENADAS BIPOLARES
Consiste em dividir o poĺıgono em figuras geométricas conhecidas, geralmente triângulos. Através
da escala obtêm-se as distâncias necessárias ao calculo de cada figura individualizada, que somadas
fornecem a área total do poĺıgono em estudo.
Figura 2.2: Método gráfico para o cálculo de área.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 70
CAPÍTULO 2. PLANIMETRIA 2.2. INTERSEÇÃO OU CORDENADAS BIPOLARES
Métodos mecânicos:
O método mecânico é efetuado usando:
� Plańımetro;
� Balança de precisão;
� Mesa digitalizadora.
(a) Plańımetro polar. (b) Balança de Pre-
cisão.
(c) Mesa digitaliza-
dora.
Figura 2.3: Métodos mecânicos de calculo de área.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 71
CAPÍTULO 2. PLANIMETRIA 2.3. IRRADIAÇÃO OU COORDENADAS POLARES
2.3 IRRADIAÇÃO OU COORDENADAS POLARES
Segundo [ESPARTEL, 1975], o Método da Irradiação também é conhecido como método da
Decomposição em Triângulos ou das Coordenadas Polares.
É empregado na avaliação de pequenas superf́ıcies relativamente planas.
Uma vez demarcado o contorno da superf́ıcie a ser levantada, o método consiste em localizar,
estrategicamente, um ponto (P), dentro ou fora da superf́ıcie demarcada, e de onde possam ser
avistados todos os demais pontos que a definem.
Assim, deste ponto (P) são medidas as distâncias aos pontos definidores da referida superf́ıcie,
bem como, os ângulos horizontais entre os alinhamentos que possuem (P) como vértice.
A medida das distâncias poderá ser realizada através de método direto, indireto ou eletrônico e a
medida dos ângulos poderá ser realizada através do emprego de teodolitos óticos ou eletrônicos.
A precisão resultante do levantamento dependerá, evidentemente, do tipo de dispositivo ou equi-
pamento utilizado.
A figura ?? ilustra uma superf́ıcie demarcada por sete pontos com o ponto (P) estrategicamente
localizado no interior da mesma. De (P) são medidos os ângulos horizontais (Hz1 a Hz7) e as
distâncias horizontais (DH1 a DH7).
Figura 2.4: Método da Irradiação.
De cada triângulo (cujo vértice principal é P) são conhecidos dois lados e um ângulo. As
demais distâncias e ângulos necessários à determinação da superf́ıcie em questão são determinados
por relações trigonométricas.
Este método é muito empregado em projetos que envolvem amarração de detalhes e na densificação
do apoio terrestre para trabalhos topográficos e fotogramétricos.
2.3.1 CALCULO DA ÁREA
Para o cálculo da área de poĺıgonos levantados por irradiação os métodos mais usados são:
� Gráfico ou mecânico;
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 72
CAPÍTULO 2. PLANIMETRIA 2.3. IRRADIAÇÃO OU COORDENADAS POLARES
� Trigonométrico;
� Anaĺıtico.
Método gráfico ou mecânico:
O método mecânico é efetuado usando:
� Plańımetro;
� Balança de precisão;
� Mesa digitalizadora.
Método trigonométrico:
É um método preciso, pois independe do desenho da área, calcula-se cada triangulo indepen-
dentemente, pois no levantamento por irradiação, mede-se dois lados do triangulo formado pelos
dois alinhamentos.
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 73
CAPÍTULO 2. PLANIMETRIA 2.3. IRRADIAÇÃO OU COORDENADAS POLARES
Método de Gauss
Baseia-se na soma e subtração da área de trapézios formados pelos vértices e projeções sobre
os eixos X e Y.
Essa operação pode ser expressa por diferentes equações, como a equação a seguir, que utiliza a
propriedade distributiva.
Figura 2.5: Cálculo de área pelo Método de Gauss
Figura 2.6: Projeção das arestas no eixo dos X
A =
∣∣∣∣(YA + YB)2 × (XB −XA) + (YB + YC)2 × (XC −XA)− (YA + YC)2 × (XC −XA)
∣∣∣∣
2A = |(YA + YB) (XB −XA) + (YB + YC) (XC −XB)− (YA + YC) (XC −XA)|
Prof. Eng. Civil M.Sc. Elinor Fernando Dalla Lana 74
CAPÍTULO 2. PLANIMETRIA 2.3. IRRADIAÇÃO OU COORDENADAS POLARES
2A = |YAXB − YAXA + YBXB − YBXA + YBXC − YBXB + YCXC
−YCXB − YAXC + YAXA − YCXC + YCXA|
2A = |YAXB − YBXA + YBXC − YCXB − YAXC + YCXA|