Listas de Cálculo 1- 3 Estágio

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I Per´ıodo 2014.1
Professora: Itailma Rocha
4a Lista de Exerc´ıcios - Complemento
1 - Encontre o ponto sobre a para´bola y2 = 2x mais pro´ximo de (1, 4).
2 - Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito em um semic´ırculo de raio
r.
3 - Se 1.200 cm2 de um material estiver dispon´ıvel para fazer uma caixa com uma base
quadrada e sem tampa. Encontre o maior volume poss´ıvel para a caixa.
4 - Encontre o ponto sobre a reta y = 2x+ 3 que esta´ mais pro´ximo da origem.
5 - Encontre os pontos da elipse 4x2 + y2 = 4 que esta˜o mais distantes do ponto (1, 0).
6 - Um fazendeiro quer cercar uma a´rea de 15.000 m2 em um campo retangular e enta˜o
dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retaˆngulo. Como fazer
isso de forma que minimize os custos da cerca?
7 - Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo com a maior a´rea que pode ser inscrito em um
c´ırculo de raio r.
8 - Dois lados de um triaˆngulo teˆm 4m e 5m, e o aˆngulo entre eles esta´ crescendo a uma
taxa de 0, 06rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a a´rea esta´ crescendo quando o
aˆngulo entre os lados de comprimento fixo for pi/3.
1
9 - Um velocista corre numa pista circular com raio 100m numa velocidade constante
7m/s. O amigo do corredor esta´ parado a uma distaˆncia de 200m do centro da pista.
Qua˜o ra´pido a distaˆncia entre os amigos esta´ variando quando a uma distaˆncia entre
eles e´ de 200m?
10 - O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxade 0, 15m/s. No
momento em que a base da escada esta´ a 3m da parede, ela afasta-se da parede a`
velocidade de 0, 2m/s. Qual o comprimento da escada?
11 - A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de ga´s esta´ sendo comprimida a uma
temperatura constante, a pressa˜o P e o volume V satisfazem a equac¸a˜o PV = C,
onde C e´ uma constante. Suponha que, em certo momento, o volume seja 600cm3,
a pressa˜o de 150kPa, e a pressa˜o cresc¸a a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa esta´
crescendo o volume nesse instante?
12 - Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1, 5m/s. Um
holofote localizado no cha˜o a 6m do caminho e´ mantido focalizado no homem. A
que taxa o holofote esta´ girando quando o homem esta´ a 8m do ponto do caminho
mais pro´ximo da luz?
13 - Um homem comec¸a a andar para o norte a 1, 2m/s a partir de um ponto P . Cinco
minutos depois uma mulher comec¸a a andar para o sul a 1, 6m/s de um ponto 200m
ao leste de P . A que taxa as pessoas esta˜o se distanciando 15 minutos apo´s a mulher
comec¸ar a andar?
14 - Esta´ vazando a´gua de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de
10.000cm3/min. Ao mesmo tempo, a a´gua esta´ sendo bombeada para dentro do
tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6m de altura e diaˆmetro no topo de
4m. Se o n´ıvel da a´gua estiver subindo a uma taxa de 20cm3/min quando a altura
da a´gua for 2m, encontre a taxa segundo a qual a a´gua esta´ sendo bombeada para
dentro do tanque.
2
15 - Use a regra de L’Hospital para calcular os limites:
(a) lim
x→0
ex − x− 1
x2
(b) lim
x→0
arcsen(x)
x
(c) lim
x→0
cotg(2x)sen(6x)
(d) lim
x→+∞
xtg
(
1
x
)
(e) lim
x→0
(cosecx− cotgx)
(f) lim
x→0
(
cotgx− 1
x
)
(g) lim
x→0+
(
1
x
− 1
ex − 1
)
(h) lim
x→+∞
(x− lnx)
(i) lim
x→0
x
√
x (j) lim
x→+∞
x1/x
(k) lim
x→1+
x1/(1−x) (l) lim
x→0
(1− 2x)1/x
(m) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)3x (n) lim
x→0+
(tg(2x))x
(o) lim
x→+∞
lnx
3
√
x
(p) lim
x→0+
(1 + sen(4x))cotgx
(q) lim
x→+0
(
1
x2
− 1
senx
)
(r) lim
x→0+
xr lnx, com r > 0
(s) lim
x→pi/2−
(cosx)cosx (t) lim
x→+∞
(ex + x)1/x
3
Gabarito
1 - (2, 2) 2 - r2 3−4.000cm3 4 -
(
−6
5
,
3
5
)
5 -
(
−1
3
,
4
3
√
2
)
e
(
−1
3
,−4
3
√
2
)
6 - 150m e 100m
7 - Um quadrado de lado r
√
2. 8 - 0, 3m2/s 9 -
7
4
√
15 ≈ 6, 78m/s
10 - 5m 11 - 80cm3/min 12 - 0, 09 rad/min
13 -
8064√
8334400
≈ 2, 79m/s 14 - 800.000
9
pi + 10.000 cm3/min
15- (a) 1/2 (b) 1 (c) 3 (d) 1 (e) 0 (f) 0
(g) 1/2 (h) ∞ (i) 1 (j) 1 (k) 1/e
(l) e−2 (m) e6 (n) 1 (o) 0 (p) e4
(q) ∞ (r) 0 (s) 1 (t) e
4