Modelagem Matemática de Fluxos de Caixa

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Cálculo Aplicado 
AULA 2 
Prof. Ernani João Silva 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Nesta rota iremos falar sobre a modelagem matemática pela ótica 
dos fluxos de caixa, isto é, referentes ao movimento de entrada e saída do 
capital ao longo do tempo. No encontro de hoje, nosso foco será a 
capitalização simples dos juros, em que vamos estudar cinco temas básicos 
sobre esse assunto. São eles: (i) valor presente e valor futuro – fórmulas, 
fatores de cálculo e calculadora financeira; (ii) algumas operações financeiras 
comuns; (iii) desconto racional e comercial; (iv) relação entre os descontos e a 
taxa implícita presente no desconto simples e (v) desconto médio para vários 
títulos. Com esta lista de assuntos, objetivamos que, ao término desta aula, 
você seja capaz de aplicar os instrumentos básicos de análise de um fluxo de 
caixa por capitalização simples de juros e, logicamente, explicar o significado 
dos resultados numéricos que eles geram. Agora, vamos trabalhar! 
CONTEXTUALIZANDO 
Uma empresa, uma pessoa, um governo, enfim, qualquer entidade que 
vislumbre ao longo do tempo entrada(s) e saída(s) de capital em seu bolso ou 
em sua conta bancária observa, em verdade, o comportamento de seu capital 
segundo o conceito do fluxo de caixa. Nesse sentido, essa pessoa (física ou 
jurídica) precisa analisar quanto vale seu capital hoje e no futuro. Ou seja, ela 
precisa verificar se o Valor Presente do capital (VP) é maior ou menor em 
comparação ao seu Valor Futuro (VP). Por que isso é importante? 
Simplesmente porque assim ela poderá decidir se vai aplicar o capital ou, 
ainda, conforme o caso, antecipar o pagamento de uma dívida. Decisões como 
essas são de suma importância para maximizar a riqueza e, assim, garantir no 
futuro a continuidade de um negócio lucrativo ou, ainda, uma confortável 
aposentadoria. Entendeu a importância desse conteúdo? Acreditamos que sim. 
Então vamos ao encontro da “avaliação por capitalização simples de juros”. 
TEMA 1 – VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO, CONCEITOS BÁSICOS 
Como vimos na aula 1, as operações financeiras que realizamos em 
nosso dia a dia podem ser modeladas por meio dos artefatos da matemática. 
Nesse sentido, o tempo das operações financeiras também pode ser expresso 
na forma de um modelo, chamado “diagrama do fluxo de caixa”: 
 
 
 
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Figura 1 – Diagrama do fluxo de caixa 
 
Ele é simples e elegante, pois nos fornece tudo do que precisamos 
para uma análise financeira. Temos o valor presente do capital (VP) – na aula 1 
ele era chamado de “Principal”; há também o período de tempo entre o 
momento presente (tempo = zero) e o momento futuro (tempo = n); temos a 
taxa de juro (= custo do capital); e, logicamente, há o valor futuro do capital 
(VF) – o que na aula 1 era denominado de “Montante”. Agora vamos entender 
como este modelo funciona nas operações financeiras. 
Quando entra dinheiro no caixa (isto é, no bolso, na carteira, no cofre, 
na conta do banco etc.), este valor é lançado na parte de cima da linha do 
tempo e, por isso, recebe o sinal matemático positivo. Por outro lado, quando 
esse dinheiro sai do caixa, este valor é lançado na parte de baixo da linha do 
tempo e, por isso, respeitando os ditames cartesianos, recebe o sinal negativo. 
Para um melhor entendimento, veja este exemplo: 
 
Figura 2 – Diagrama do fluxo de caixa 2 
 
Aqui temos que R$ 10 mil reais que saíram do caixa, por isso o sinal 
negativo e a localização abaixo da linha do tempo. Este valor presente de R$ 
10 mil foi capitalizado (rendeu juros) por 9 períodos (n é número total de 
períodos) em aplicação financeira com uma taxa de juros i igual a 20%. Isso, 
por sua vez, gerou um valor futuro de R$ 12 mil que entrou no caixa. Bem 
simples, não acha? Para encerrar este exemplo, observe a explicação a seguir: 
 
 
 Este “z” deitado expressa a passagem do tempo. No exemplo, o 
salto é do período 2 até o período “n – 1”, como n é 9, então n – 1 = 
 
 
4 
8. Usamos isso para não ter que escrever todos os números de 2 a 
8. 
 
Bem, agora que já sabemos como funciona o fluxo de caixa entre o 
momento do valor presente e futuro, vamos estudar como o VP torna-se VF e 
vice-versa, pelo uso de: (i) fórmula, (ii) fator de cálculo e (iii) HP 12c. 
1.1 Fórmula completa 
Aqui a lógica é a mesma vista na aula 1, ou seja: 
 
M = M + J  M = P . ( 1 + i . n ) 
 
 
O que muda? Na lógica nada. Na fórmula, vamos substituir “M” por VF 
(Valor Futuro) e “P” por Valor Presente (VP). Sendo assim, a nova fórmula fica: 
 
VF = VP + J VF = VP . ( 1 + i . n ) 
 
Em que: 
VF: Valor Futuro (valor no término do período) 
VP: Valor Presente (valor no início do período) 
J: Juros (valor total)  J = VP . i . n 
i: Taxa de juro ajustada à condição de capitalização 
n: Período de capitalização 
(1) 
Esta fórmula nos permite, como foi visto na aula 1, encontrar qualquer 
um dos valores das quatro variáveis do modelo (VF, VP, i , n), desde que nos 
sejam apresentados no mínimo três valores. Veja esses exemplos: 
a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização 
é mensal por juros simples, qual será o valor futuro dessa aplicação? 
VF = VP . ( 1 + i . n)  VF = R$ 100 . ( 1 + 24% / 12* . 10)  
 Lembre que a taxa precisa ser coerente com a condição de 
capitalização, por isso dividimos 24% ao ano por 12 meses, para assim 
termos 2% a.m. 
VF = R$ 100 . (1+ 2% . 10 )  VF = R$ 100 . ( 1 + 0,2 )  
VF = R$ 100 . 1,2  VF = R$ 120,00 (Resposta) 
 
 
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Agora vem o “pulo do gato”! Na fórmula, não usamos os sinais de 
negativo e positivo, que foram discutidos na explicação do fluxo de 
caixa, porém no final fazemos os ajustes necessários. Sendo assim, 
nesse exemplo, temos que: VP = – R$100 (desencaixe); VF = + R$ 120 
(encaixe). 
b. Paulo quer ter R$ 120 ao término de um investimento bancário de 10 
meses que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a 
capitalização é mensal por juros simples, qual é o valor que Paulo 
precisa colocar na aplicação hoje (Valor Presente) para ter o que deseja 
no futuro? 
VF = VP . ( 1 + i . n)  R$ 120 = VP . ( 1 + 24% / 12 . 10)  
R$ 120 = VP . (1 + 2% . 10 )  R$ 120 = VP . ( 1 + 0,2 )  
VP = R$ 120 / (1 + 0,2)  VP = R$ 120 / 1,2  VP = R$ 100,00 
(Resposta) 
Sinais no fluxo: VP = – R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 120 (encaixe) 
c. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
para ao término desse tempo ter R$ 120. Sabendo que a capitalização é 
mensal por juros simples, qual é o valor de taxa de juro ao ano que essa 
aplicação precisa ter? 
VF = VP . ( 1 + i . n)  R$ 120 = R$ 100 . ( 1 + i . 10 meses)  
R$ 120 = R$ 100 . (1 + i . 10 )  120 / 100 = ( 1 + i . 10 meses)  
1,2 = 1 + i . 10  i . 10 = 1,2 – 1  i = 0,2 / 10  i = 0,02 = 2% ao mês 
Como a resposta é “ao ano” => 2% ao mês . 12 meses = 24% ao ano 
d. Paulo quer aplicar R$ 100 em um investimento bancário para que este 
capital, ao término de “n” períodos de tempo, torne-se R$ 120. Sabendo 
que a capitalização é mensal por juros simples e que a taxa de juros é 
de 24% ao ano, qual é o valor de tempo dessa aplicação em meses? 
VF = VP . ( 1 + i . n)  R$ 120 = R$ 100 . (1 + 24%/12 . n)  
R$ 120 = R$ 100 . (1 + 2% . n )  120 / 100 = ( 1 + 0,02 . n )  
1,2 = 1 + 0,02 . n  0,02 . n = 1,2 – 1  n = 0,2 / 0,02  n = 10 meses 
e. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a 
 
 
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capitalização1 é mensal por juros simples, qual será o valor dojuro 
dessa aplicação? 
VF = VP . ( 1 + i . n)  VF = VP + VP . i . n 
Sendo: VF = VP + J; Então: J = VP . i . n  
J = R$ 100 . 24% / 12 . 10  J = R$ 100 . 2% . 10  J = R$ 100 . 0,2  
J = R$ 20,00 
Ou , ainda, você pode fazer o VF e depois aplicar a seguinte conta: 
VF = VP + J  R$ 120 = R$ 100 + J  J = R$ 120 – R$ 100  J = R$ 20 
 
Muito fácil! Afinal de contas é praticamente o que foi visto na aula 1. 
Agora vamos ver como usamos o fator de cálculo. 
1.2 Fator de cálculo para capitalização simples de juros 
Muitas vezes, certo valor presente (VP) precisa ser calculado para 
diferentes valores de n, porém considerando uma mesma taxa de juro. Outras 
vezes é o valor da taxa que varia é o n é o valor constante. Nesses casos, é 
conveniente usar o fator de cálculo.... Talvez você esteja achando que é 
conversa fiada. Vamos provar que não. Sabe aquelas tabelas de números que 
quase todo vendedor tem atrás da calculadora de quatro operações que 
carrega no bolso? É essa mesma, aquela que eles usam para dizer quanto um 
produto vai custar se ele for pago em 30, 60 ou 90 dias. Pois é, aqueles 
números são os fatores de cálculos. O vendedor só precisa multiplicar o preço 
à vista (valor presente) pelo fator e já tem o preço a prazo (valor futuro). 
A ideia do fator é a seguinte. Se a fórmula financeira da capitalização 
simples de juro é “VF = VP . ( 1 + i . n)”; então podemos estabelecer que o 
valor “( 1 + i . n)” é o fator de cálculo da fórmula quando queremos o VF 
partindo do VP. Por sua vez, sendo “VP = VF / (1 + i . n)”, então podemos 
estabelecer que o fator de cálculo é “1 / (1+ i . n)” para quando queremos o VP 
partindo do VF. Então, quando esses valores são conhecidos, basta multiplicá-
los pelo VP ou VF para alcançarmos o valor desejado. Veja estes exemplos: 
a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização 
 
1 Lembre-se de que, no juro simples, sempre as taxas proporcionais irão gerar o mesmo valor futuro em 
um mesmo período de tempo (ver aula 1, tema 5). Por esse motivo, muitas vezes a condição de 
capitalização não é mencionada em exercícios de juros simples, pois qualquer igualdade obtida entre a 
unidade “i” e “n” alcançará o mesmo valor futuro. Aqui citamos sempre a condição para que você se 
acostume com ela. Isso facilita a posterior compreensão dos juros compostos. 
 
 
7 
é mensal por juros simples, qual é o fator de cálculo dessa operação e 
qual seria o valor futuro dessa aplicação? 
Sendo: VF = VP . (1 + i . n)  VF = R$ 100 . ( 1 + 24% / 12 . 10)  
Então, o fator de cálculo: (1 + i . n) = (1 + 24%/12 . 10) = 1,2 
Portanto: VF = R$ 100 . 1,2  VF = R$ 120,00 
Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 120 (encaixe). 
b. Paulo mudou de ideia sobre a quantia que vai aplicar. Agora ele quer 
aplicar R$ 300 nas mesmas condições anteriores. Isto é, 10 meses em 
um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. 
Sabendo que a capitalização é mensal por juros simples, qual será o 
valor futuro? 
c. Muitas pessoas fazem todos os cálculos de novo, porém não precisa. 
Pense conosco: se todas as condições são iguais, basta aplicar o fator 
de cálculo feito no item “a” no novo valor presente: VF = R$ 300 . 1,2 => 
VF = R$ 360. 
d. Sinais no fluxo: VP = –R$ 300 (desencaixe); VF = +R$ 360 (encaixe). 
 
A mesma ideia pode ser usada para o cálculo do valor presente com 
base no valor futuro. Veja esses exemplos: 
a. Paulo quer ter R$ 120 ao término de um investimento bancário de 10 
meses, que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a 
capitalização é mensal, por juros simples, qual é o fator de cálculo e o 
valor que Paulo precisa colocar na aplicação hoje (= Valor Presente)? 
Sendo: VF = VP . ( 1 + i . n)  VP =
VF
( 1 + i . n) 
 VP = VF . 
1
( 1 + i . n) 
 
Então, o fator de cálculo: 
1
 ( 1 + i . n) 

1
( 1 + 24%/12 .10) 

1
1,2 
 = 0,83333 
Portanto: VP = R$ 120 . 0,8333  VP = R$120 . 0,8333 VP = R$ 
100,00 
Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 1200 (encaixe). 
b. Caso o Paulo queira ter R$ 360 ao término de um investimento bancário 
nas mesmas condições vistas acima, qual é o valor que ele precisa 
colocar na aplicação hoje (= Valor Presente)? 
Usando o fator de cálculo, temos que: VP = R$ 360 . 0,8333  VP = R$ 
300. 
 
 
8 
Sinais no fluxo: VP = –R$ 300 (desencaixe); VF = +R$ 360 (encaixe). 
 
Viu? É muito fácil. Então vamos ver duas tabelas para encerrarmos 
este tópico sobre fatores, em que n é o número de dias e taxa é o valor efetivo: 
 
Tabela A: VP para VF Tabela B: VF para VP 
 
 
a. Investindo R$ 10, qual é o valor futuro para 90 dias de aplicação com 
taxa 0,5%? Resposta: R$ 10 . 1,45 = $14,50. 
b. Para ter R$ 14,50 em 90 dias em uma aplicação com taxa efetiva de 
0,5%, qual é o valor de aplicação? Resposta: R$ 14,50 . 0,69 = R$ 10. 
 
Para utilizar as tabelas de fatores de cálculo, basta encontrar o valor de 
intersecção entre a taxa efetiva do juro simples e o valor desejado de n. 
Depois, deve-se multiplicar esse valor (= fator de cálculo) com valor futuro ou 
valor presente. Esta é a lógica das tabelas dos vendedores. 
Agora que você já sabe deduzir e usar o fator de cálculo, então só falta 
estudar como resolvemos a capitalização por juros simples em uma 
calculadora financeira. Nesse caso, vamos ver a resolução na HP 12c. 
1.3 Capitalização simples de juros na calculadora financeira 
Na HP 12c, vamos precisar dos comandos que estão na primeira linha 
de cima da máquina. Lá usaremos os comandos brancos “n , i , PV” e, também, 
o comando laranja “INT”. Além da 1º linha de cima, vamos usar o sinal de 
adição (+) e o comando F (para acimar o comando laranja). O melhor jeito de 
explicar é demonstrar um exemplo. Mas, antes, um aviso: a Hp 12c, no juro 
simples somente calcula o VF, ela não encontra os valores de “i, n, VP”. 
Concordamos com você, é uma pena, mas, se serve de consolação, lá nos 
juros compostos ela faz tudo. Dito isso, vamos ao exemplo do juro simples na 
Hp 12c: 
 
 
9 
Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é 
mensal por juros simples, qual o juro e o valor futuro da aplicação? 
1º passo: ajustar os dados para uso na HP 12c: 
 n = 10 meses = 10 meses x 30 dias = 300 dias (a HP 12c no juro simples 
sempre tem lançamentos em número de dias); 
 i = 24% ao ano (por mais que a capitalização seja mensal, no juro 
simples a HP 12c sempre recebe a taxa na condição anual). 
 
2º passo: lançar os dados: 
 F CLx (limpa a máquina); 
 300 n (lançamento dos dias); 
 24 i (a taxa é lançada ao ano, como se tivesse %, ou seja, não pode 
0,24); 
 100 CHS PV (CHS para trocar o sinal para negativo, pois é desencaixe); 
 F INT (F é para acessar o INT, que é na cor laranja; INT = juros 
simples); 
 Na tela aparece o valor do juro = R$ 20,00 (juros); 
 + (para somar o valor do juro ao valor principal); 
 Na tela aparece o valor futuro = +R$ 120,00 (VF, na HP os sinais 
atendem a lógica do fluxo de caixa: se R$ 100 era desencaixe, então R$ 
120 é encaixe, por isso, sinal positivo). 
 
E, assim, encerramos esse tema de conceitos básicos e podemos nos 
aprofundar em operações mais específicas no uso do juro simples. Então, 
vamos lá! 
TEMA 2 – ALGUMAS OPERAÇÕES IMPORTANTES COM JUROS SIMPLES 
Tendo como base os conceitos vistos no tema 1 desta aula e todo o 
conteúdo visto na aula 1, vamos explorar algumas possibilidadesde aplicação 
da capitalização simples dos juros. 
 
 
10 
2.1 Período de capitalização e taxa efetiva em condição exata 
A condição exata significa que temos tanto o n como o i ajustados à 
condição de capitalização segundo a contagem exata do tempo. Portanto, para 
o ajuste para a condição de capitalização, os anos terão ou 365 dias ou 366 
dias (ano bissexto) e os meses 28 ou 29 (para fevereiro) ou 30 ou 31 dias (para 
os demais meses). 
Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um 
investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão 
aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. 
Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples na condição 
temporal exata, qual será o valor futuro dessa aplicação? 
Como a condição temporal exata foi genérica, vamos tratar o n e o i 
assim: 
I = 32,85% a.a / 365 dias = 0,09% a.d.; n = 30 dias + 31 dias + 31 dias = 
92 dias. 
Sendo assim: VF = VP . ( 1 + i . n)  VF = R$100 . ( 1 + 0,09% . 92)  
 VF = R$ 100 . 1,08280 VF = R$ 108,28 
Sinais no fluxo: VP = – R$ 100 (desencaixe); VF = + R$108,28 (encaixe) 
Na Hp 12 c, fica: 
F CLx (limpa a máquina) 
g.DMY (ajusta a HP 12c para dia/mês/ano. “G” aciona o comando azul) 
01.062017 (ano de início da aplicação) ENTER 
01.092017 (ano de término da aplicação) 
g ∆ DYS (comando para calcular a diferença entre as datas) 
Na tela aparece o valor de dias entre as datas = 92 dias 
92 n (lançamento dos dias) 
32,85 i (a taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 
100 CHS PV (CHS é para trocar o sinal para negativo) 
F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) 
Na tela aparece o valor do juro = R$ 8,39 (juro comercial) 
R  (rola a pilha de registro da HP 12c) 
Na tela aparece o VP = R$ 100 
+ (para somar o juro exato, que está na pilha de registro, ao VP) 
Na tela aparece o valor futuro = +R$ 108,28 (VF) 
 
 
11 
2.2 Período de capitalização e taxas efetivas em condição comercial 
Quando é dito que a condição é comercial ou ordinária, o que temos é 
que tanto o n como o i serão ajustados à condição de capitalização segundo a 
contagem aproximada do tempo. Portanto, os anos terão sempre 360 dias e os 
meses terão 30 dias (todos eles). 
Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um 
investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão 
aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. 
Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples na condição 
temporal comercial, qual é o valor futuro dessa aplicação? 
Como a condição temporal comercial foi genérica, vamos tratar o n e o i. 
Assim: i = 32,85% a.a. / 360 dias = 0,09125% a.d.; n = 30 dias . 3 meses = 90 
dias. 
Sendo assim: 
VF = VP . ( 1 + i . n)  VF = R$ 100 . (1 + 0,09125% . 90)  
VF = R$ 100 . 1,082125  VF = R$ 108,21 
Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 108,21 (encaixe) 
Na Hp 12 c fica: 
F CLx (limpa a máquina) 
90 n (lançamento dos dias) 
32,85 i (taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 
100 CHS PV (o CHS é para trocar o sinal para negativo) 
F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) 
Na tela aparece o valor do juro com “i” comercial = R$ 8,21 (juros) 
+ (para somar o juro que está na tela ao valor presente) 
Na tela aparece o valor futuro = +R$ 108,21 (VF) 
2.3 Período de capitalização e taxas efetivas pela regra do banqueiro 
Na regra do banqueiro, temos que o n será ajustado à condição de 
capitalização segundo a contagem exata do tempo e o i será ajustado segundo 
a contagem aproximada do tempo (forma comercial/ordinária). Portanto, temos 
aqui uma forma híbrida das duas condições anteriores. 
Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um 
investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão 
aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. 
 
 
12 
Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples segundo a 
regra do banqueiro, qual é o valor futuro dessa aplicação? 
Vamos tratar o n e o i. Assim: 
Forma comercial para o “i”  i = 32,85% / 360 dias = 0,09125%; 
Forma exata para o n  n = 30 + 31 + 31 = 92 dias. 
Sendo assim: VF = VP . (1 + i . n)  VF = R$ 100 . (1 + 0,09125% . 92) 
 
VF = R$ 100 . 1,0839  VF = R$ 108,39 
Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 108,39 (encaixe). 
Na Hp 12 c, fica: 
F CLx (limpa a máquina) 
g.DMY (ajusta a HP 12c para dia/mês/ano, “G” aciona o comando azul) 
01.062017 (ano de início da aplicação) 
01.092017 (ano de término da aplicação) 
g ∆ DYS (comando para calcular a diferença entre as datas) 
Na tela aparece o valor de dias entre as datas = 92 dias 
92 n (lançamento dos dias) 
32,85 i (a taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 
100 CHS PV (o CHS é para trocar o sinal para negativo) 
F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) 
Na tela aparece o valor do juro com “i” comercial = R$ 8,39 (juros) 
+ 
Na tela aparece o valor futuro = +R$ 108,39 (VF) 
2.4 Período de capitalização comercial e taxa efetiva exata 
Aqui temos que o n será ajustado à condição de capitalização segundo 
a contagem comercial do tempo e o i será ajustado segundo a contagem exata 
do tempo. Portanto, temos aqui, também, uma forma híbrida das duas 
condições anteriores. 
Exemplo: no ano de 2017, Paulo quer aplicar seu capital em um 
investimento bancário que paga uma taxa de juro de 32,85% ao ano. Serão 
aplicados R$ 100, durante o período entre o dia 1º de junho e 1º de setembro. 
Sabendo que a capitalização é diária, por regime de juros simples com período 
de capitalização ordinal e taxa de juro com contagem exata, qual é o valor 
futuro dessa aplicação? 
 
 
13 
Como a condição temporal comercial foi genérica, vamos tratar o n e o i. 
Assim: i = 32,85% / 365 dias = 0,09%; n = 90 dias. 
Sendo: VF = VP . ( 1 + i . n)  VF = R$100 . ( 1 + 0,09% . 90)  
Então: VF = R$ 100 . 1,081  VF = R$ 108,10. 
Sinais no fluxo: VP = –R$ 100 (desencaixe); VF = +R$ 108,10 (encaixe). 
Na Hp 12c, fica: 
F CLx (limpa a máquina) 
90 n (lançamento dos dias) 
32,85 i (a taxa é lançada ao ano como se tivesse o %) 
100 CHS PV (o CHS é para trocar o sinal para negativo) 
F INT (o F é para acessar o INT, que é na cor laranja) 
Na tela aparece o valor do juro com “i” comercial = R$ 8,21 (juros) 
R  (rola a pilha de registro da HP 12c) 
Na tela aparece o VP = R$ 100 
+ (para somar o juro exato, que está na pilha de registro, ao VP) 
Na tela aparece o valor futuro = –R$ 108,10 (VF) 
 
Bem, assim encerramos as quatro formas em que podemos aplicar a 
fórmula básica dos juros simples, ou seja: 
 
 n i 
1º. Exato Exato 
2º. Ordinal Ordinal 
3º. Exato Ordinal 
4º. Ordinal Exato 
 
TEMA 3 – DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL 
Uma operação de desconto é uma operação inversa ao processo de 
capitalização. Nela, retiramos o juro que está incorporado no valor futuro (aqui 
chamado de valor nominal) até o momento em que estamos antecipando o 
pagamento: 
VA = VN – D 
Em que: 
VA: valor atual no momento do efetivo pagamento; 
 
 
14 
VN: valor nominal = valor na data original de vencimento da dívida; 
D: Desconto até o momento do efetivo pagamento. 
 
A questão-chave aqui é que este cálculo – isto é, o procedimento de 
desconto – pode ser por feito tanto por dentro (desconto racional) como por 
fora (desconto comercial); tudo depende do contrato firmado entre o que cede 
e o que recebe o capital. Vamos ver o que isso significa. 
3.1 Desconto racional 
O desconto racional é assim chamadopor seu cálculo ser feito por meio 
do uso de uma razão, dado o fato de partimos do uso da fórmula de 
capitalização para definir o “valor atual” e o “valor do desconto”: 
 
a. Valor atual: 
 
VF = VP . (1 + i . n ), em que VP = VF / (1 + i . n) 
Substituindo o VP (valor presente) por VA (valor atual) e o VF (valor futuro) 
por VN (valor nominal), temos: 
VAr = VN / (1 + i . n) 
Em que: 
VAr = Valor atual no momento do pagamento pelo método racional 
VN = Valor nominal = valor da dívida na data original de vencimento 
 
b. Desconto racional: 
D r = VN - VA  
D r = VA . (1 + i . n) – VA  
D r = VA + VA . i . n – VA  
 Dr = VA . i . n (fórmula base do desconto racional) 
Obs.: Pelo fato de o desconto racional ser calculado em relação ao valor 
atual, ele é denominado pelo mercado como um desconto por dentro. 
 
Vamos exercitar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata 
de um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está 
precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. 
 
 
15 
Sendo assim, ele vai até um amigo e pede para ele descontar a duplicada (isto 
é, o amigo fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um desconto). O 
amigo aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao dia, 
por meio do cálculo do desconto racional. Qual é o valor do desconto e qual é o 
valor que o dono da loja vai receber? 
Resposta: 
No desconto racional, a primeira coisa é achar o valor atual: 
VAr = VN / (1 + i . n) VAr = 1000 / (1 + 1,5% . 20)  VAr = 1000 /1,3 
VAr = R$ 769,23 (valor que o dono da loja vai receber) 
 
Após determinar o valor atual, encontramos o valor do desconto: 
Dr = VA . i . n  Dr = 769,23 . 1,5% . 20  Dr = 769,23 .0,3  
Dr = 230,77 (desconto cobrado pelo amigo para ficar com a duplicata) 
3.2 Desconto comercial 
O desconto comercial é assim chamado por seu cálculo ser 
amplamente utilizado nas operações comerciais de desconto de títulos para 
antecipação de recebíveis (por exemplo, se uma loja quer antecipar o valor de 
uma duplicata que iria receber daqui a 20 dias, o banco antecipa o dinheiro por 
meio deste desconto). Seu cálculo é feito em relação ao valor nominal (o valor 
de face da dívida) e, na mesma forma que o racional, tem duas fórmulas: “valor 
atual a pagar” e o “valor do desconto”: 
a. Desconto comercial (Dc): 
Dc = VN . i . n. Esta é a fórmula-base do desconto comercial. 
Obs.: Pelo fato de o desconto comercial ser calculado em relação ao valor 
nominal (ou seja, o valor futuro da dívida), ele é denominado pelo mercado 
como um desconto por fora. 
b. Valor atual a pagar comercial (VAc): 
VAc= VN – Dc 
VAc= VN – VN . i . n  
VAc = VN . ( 1 – i . n ). Esta é a fórmula-base (mas recomendamos: VN – 
Dc). 
 
 
 
16 
Vamos exercitar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata 
de um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está 
precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. 
Sendo assim, ele vai até um amigo é pede para ele descontar a duplicada (isto 
é, o amigo fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um desconto). O 
amigo aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao dia, 
por meio do cálculo do desconto comercial. Qual é o valor do desconto e qual é 
o valor que o dono da loja vai receber? 
Resposta: 
No desconto comercial, a primeira coisa é achar o valor do desconto: 
Dc = VN . i . n  Dc = 1000 . 1,5% . 20  Dc = 1000 . 0,3  
Dc = R$ 300 (desconto cobrado pelo amigo para ficar com a duplicata) 
 
Após determinar o valor do desconto, encontramos o valor atual: 
VAc = VN – Dc  VAc = 1000 – 300  VAc = 700  
VAc = R$ 700 (valor que o dono da loja vai receber) 
 
Antes de encerrarmos o desconto comercial, convém apresentar que 
existe um tipo desconto que deriva dele. Estamos falando do desconto 
bancário. Neste caso, temos que: 
Db = Dc + VN . h 
Em que: Db = Desconto bancário; Dc = Desconto comercial 
 VN = Valor nominal; h = taxa administrativa bancária 
 
Vamos exercitar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata 
de um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está 
precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. 
Sendo assim, ele vai até um banco e pede para este descontar a duplicada 
(isto é, o banco fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um 
desconto). O gerente do banco apresenta que a taxa de desconto é de 1,5% ao 
dia, por meio do cálculo do desconto comercial, e mais uma taxa de 
administração de 10% sobre o valor de face do título. Qual é o valor do 
desconto e qual é o valor que o dono da loja vai receber? 
Resposta: 
 
 
17 
No desconto bancário, a primeira coisa é achar o valor do desconto 
comercial: 
Dc = VN . i . n  Dc = 1000 . 1,5% . 20  Dc = 1000 . 0,3  
Dc = R$ 300 (desconto cobrado pelo amigo para ficar com a duplicata) 
 
Após determinar o valor do desconto comercial, temos que encontramos 
o valor do desconto bancário: 
Db = Dc + VN . h  Db = 300 + 1000 . 10%; Db = 300 + 100  
Db = R$ 400 (desconto efetivo cobrado pelo banco para ficar com a 
duplicata). 
 
Por fim, calculamos o valor atual: 
VAb = VN – Db  VAb = 1000 – 400  VAb = 600  
VAb = R$ 600 (valor que o dono da loja vai receber). 
TEMA 4 – RELAÇÕES IMPORTANTES SOBRE OS DESCONTOS 
No tema anterior, vimos duas formas desconto (ou três, se 
considerarmos o desconto bancário um caso à parte). Agora vamos ver quais 
as relações que esses descontos apresentam entre si. 
4.1 A relação entre desconto simples comercial e racional 
Considerando um cenário com igualdade de valores no “i, n, VN”, 
temos que: 
Dc – Dr = VN . i . n – VAr . i . n  
Dc – Dr = (VN – VAr) . i . n  
Dc – Dr = Dr . i . n  
Dc = Dr + Dr . i . n  
Dc = Dr . (1 + i . n ). Fórmula-base da relação entre Dc e Dr ! 
Ou seja, em um cenário de igualdade de taxa, período e valor nominal, 
sempre o Dc será maior que o Dr. Sendo essa variação igual a “Dr . i . n”. 
Vamos testar: a loja “Roupas SónoisÉketemLtda” tem uma duplicata de 
um bom cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está 
precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui a 20 dias. 
Sendo assim, ele vai até um amigo é pede para ele descontar a duplicada (isto 
 
 
18 
é, ele fica com a duplicata e antecipa o dinheiro mediante um desconto). O 
amigo apresenta que a taxa de desconto é de 1,5% ao dia, por meio do cálculo 
do desconto comercial ou racional. Qual é o melhor desconto para o dono da 
loja? (Informe os descontos) 
Resposta: 
Dc = Dr . (1 + i . n )  M . i . n = Dr . (1 + i . n )  
1000 . 1,5% . 20 = Dr . (1 + 1,5% . 20 )  300 = Dr . (1 + 30%)  
Dc = R$ 300,00 e a diferença do Dr para o Dc é de +30%, sendo assim: 
300 = Dr . (1 + 30% )  Dr = 300 / 1,3  Dr = R$ 230,77. 
 
A melhor opção para o dono da loja é aquela que apresenta menor valor 
de desconto, pois assim ele recebe mais dinheiro na antecipação da duplicata. 
Nesse sentido, o desconto racional no valor de R$ 230,77 é a melhor opção, 
pois o desconto comercial é 30% maior que esse valor. 
Resumindo, temos que, graças a esse modelo de relação entre 
descontos, podemos obter em apenas três linhas os dois valores de desconto 
(racional e comercial) e, além disso, a diferença percentual entre eles. 
4.2 Taxa implícita de juros no desconto comercial 
Segundo Assaf Neto (1998, p. 43-46)2, nas operações de descontos 
simples, é possível obter da taxa de desconto utilizada a taxas efetiva do juros 
compostos que estáimplícita (que está escondida) no cálculo. Vejamos, por 
meio de alguns exemplos, a lógica de seu argumento. 
 
a. A taxa do desconto simples racional e a taxa efetiva composta 
implícita: 
 
Se um título de R$ 100 for antecipado em 2 meses por desconto simples 
racional, por meio de uma taxa de desconto de 10% ao mês, teremos que: 
 
VAr = VN / (1 + i . n)  VAr = 100 / (1 + 10% . 2)  VAr = 100 / 1,2  
VAr = 83,33 
 
 
2ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 4 ed. São Paulo: Atlas, 1998. 
 
 
19 
Dr = VA . i . n Dr = 83,33 . 10% . 2  Dr = 16,67 (desconto) 
 
Sobre esse cenário, podemos obter a taxa implícita efetiva, pela ótica do 
juro composto, por meio de dois passos bem simples: 
 
1º. passo: achar a taxa de juro do período. 
 
Como a lógica do desconto do período é “Dr = VAr . i . n”, em que n = 1, 
Então podemos dizer que “i = Dr / VAr”. Sendo assim: 
i = 16,67 / 83,33  i = 0,2 = 20% ao bimestre (em dois meses) 
 
2º. passo: achar a taxa equivalente de juro composto (tema 5, aula 1) 
 
iq = ( 1 + i t) 
nq/nt-1 i q = ( 1 + 20%) 
1 mês / 2 meses – 1  
 
iq = 1,095445 – 1  i q = 0,095445 = 9,5445% ao mês (taxas efetiva 
implícita). 
Estes dados nos permitem observar que a taxa do desconto simples 
racional tende a ser maior que a taxa efetiva da operação por juro simples, 
apesar de ambas resultarem em um mesmo valor nominal. 
 
b. A taxa do desconto simples comercial e a taxa efetiva composta 
implícita 
 
Se um título de R$ 100 for antecipado em dois meses por desconto 
simples comercial, por meio de uma taxa de desconto de 10% ao mês, teremos 
que: 
 
Dc = VN . i . n  Dc = 100 . 10% . 2  Dc = 20 (desconto) 
 
VA c = VN – Dc  VAc = 100 – 20  VAc = 80 (valor atual) 
Sobre esse cenário, poderíamos obter a taxa implícita efetiva, pela ótica 
do juro composto, por meio de dois passos bem simples: 
 
 
 
20 
1º. passo: achar a taxa de juro do período 
 
Como a lógica do desconto do período é “Dc = VN . i . n”, em que n = 1, 
então podemos dizer que “ i = Dr / VAr”. Sendo assim: 
 
i = Dc / VN ─ 1  i = 20 / 80  i = 0,25 – 1 = 25% ao bimestre 
 
Ou que nos permite extrair o seguinte modelo para achar a taxa no 
período: 
i = 
𝑖𝑐 . 𝑛
1− 𝑖𝑐 . 𝑛
i =
10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 . 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
1 − 10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 . 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
i = 
20%
80%
 = 25% 
 
2º. passo: achar a taxa equivalente de juro composto (tema 5, aula 1) 
 
iq = (1 + i t) 
nq/nt-1 i q = (1 + 25%) 
1 mês / 2 meses – 1  
 
i q = 1,118034 – 1  i q = 0,118034 = 11,8034% ao mês (taxa efetiva 
implícita) 
 
Estes dados nos permitem observar que a taxa do desconto simples 
comercial tende a ser menor que a taxa efetiva da operação por juro simples, 
apesar de ambas resultarem em um mesmo valor nominal. Isso ocorre porque, 
em verdade, se a taxa de desconto comercial for transformada em taxa de 
desconto racional, veremos que ela é bem superior aos 10% ao mês. Vejamos. 
Se usarmos o valor do desconto comercial e o valor atual comercial na 
fórmula racional, teremos que: 
 
Dr = VA . i . n  20 = 80 . i . 2 n  i = 20 / 160 = 0,125  i = 12,5% ao 
mês 
 
Ou seja, para termos o mesmo valor de desconto na fórmula de 
desconto racional, teríamos que usar uma taxa de 12,5% de juro. É, por isso, 
que a taxa efetiva encontrada acima foi de 11,8034%. 
 
 
21 
Antes de encerrarmos esse tema, vamos lembrar que: Dr < Dc < Db. 
Ou seja, em um cenário de igualdade de taxa, de período e de valor nominal, 
sempre teremos que o desconto racional será menor que o desconto comercial 
e o desconto comercial sempre será menor que o desconto bancário (desde 
que a taxa de administração não seja zero). Por isso, temos que: VAb < VAc < 
VAr. 
TEMA 5 – DESCONTO MÉDIO PARA VÁRIOS TÍTULOS 
No mercado, normalmente não se desconta apenas 1 título. As 
operações são feitas em lotes com vários títulos. Sendo assim, faz-se 
necessário estabelecer algum artefato matemático que nos auxilie a 
compreender qual foi a taxa média dessa operação em lote. Dentre as 
possibilidades existentes, costuma-se utilizar, segundo Assaf Neto (1998), o 
valor do prazo médio ponderado na fórmula de taxa de juro. Vamos ver como 
isso é feito por meio de um exemplo. 
Uma empresa levou um lote com quatro títulos para antecipação de 
recebíveis conforme os valores e prazos apresentados na tabela que segue. 
Sabendo que o valor recebido pela empresa foi de R$ 15,5 mil pela operação 
de desconto comercial por esse lote, responda: qual foi a taxa de desconto da 
operação? 
 
Tabela 1 – Lote com quatro títulos para antecipação de recebíveis 
Títulos VN 
n 
(dias de antecipação) 
1 R$ 8.000,00 7 
2 R$ 3.000,00 8 
3 R$ 7.000,00 10 
4 R$ 2.000,00 15 
 
Primeiro passo: 
Vamos estabelecer o valor do lote. 
 
8 mil + 3 mil + 7 mil + 2 mil = R$ 20 mil 
 
Segundo passo: 
 
 
22 
Vamos obter o prazo médio do lote por ponderação pelos valores dos 
títulos 
 
n̅ = 
(8 mil . 7 dias) + (3 mil . 8 dias) + ( 7 mil . 10 dias) + ( 2 mil . 15 dias) 
8 mil + 3 mil + 7 mil + 2 mil 
 
 
n̅ = 
180 mil 
20 mil 
 = 9 dias (este é o prazo médio do lote de títulos) 
 
Terceiro passo: 
Vamos encontrar o valor do desconto dado para este lote: 
 
D c = VN – VA  Dc = 20 mil – 15,5 mil  Dc = 4,5 mil 
 
Quarto passo: 
Vamos encontrar o valor da taxa aplicado no desconto comercial 
simples: 
Dc = VN . i . n  4,5 mil = 20 mil . i . 9 dias (valor médio)  
 
i = 4,5 mil / (20 mil . 9 dias)  i = 4,5 mil / 180 mil  i = 2,5% ao dia 
 
Seguindo sempre os quatro passos, não há erro. Logicamente é 
necessário prestar atenção, além de outros itens, se 
a. o problema está fornecendo o desconto ou valor atual; 
b. o cenário é de desconto racional ou comercial; 
c. a taxa e o período estão na unidade correta. 
 
Você está um pouco inseguro? Então vamos refazer este exemplo com 
algumas alterações. 
Uma empresa levou para um lote com quatro títulos para antecipação de 
recebíveis conforme os valores e prazos apresentados na tabela que segue. 
Sabendo que o valor do desconto foi de R$ 3.166,40 pela operação de 
desconto racional por esse lote, responda: qual foi a taxa de desconto da 
operação? 
 
 
23 
 
Tabela 2 – Lote com quatro títulos para antecipação de recebíveis 
Títulos VN 
n 
(Dias de antecipação) 
1 R$ 8.000,00 7 
2 R$ 3.000,00 8 
3 R$ 7.000,00 10 
4 R$ 2.000,00 15 
 
Primeiro passo: 
Vamos estabelecer o valor do lote: R$ 20 mil (igual ao exemplo anterior). 
 
Segundo passo: 
Vamos obter o prazo médio do lote por ponderação pelos valores dos 
títulos 
n̅ = 
180 mil 
20 mil 
 = 9 dias (prazo médio do lote = idem ao exemplo anterior). 
 
Terceiro passo: 
Agora o valor do desconto nós já temos: Dr = R$ 3.166,40 
Então vamos encontrar o valo atual: 
VA r = VN – Dr  VAr = 20 mil – 3 166,40  VAr = 16 833,60 
 
Quarto passo: 
Vamos encontrar o valor da taxa aplicado no desconto comercial 
simples: 
Dr = VA r . i . n3 166,40 = 16 833,60 . i . 9 dias (valor médio)  
 
i = 3 166,40 / (16 833,60 . 9 dias)  i = 3 166,40 / 151 502,40  
i = 2,09% ao dia 
 
Bem, assim encerramos o conteúdo desta aula. Esperamos que você 
tenha gostado! 
 
 
 
24 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos as 
aplicações do juro simples e vimos sinteticamente como os descontos podem 
ser feitos de maneirabem diferente. Agora, entre no fórum da disciplina e, 
usando este conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares qual dessas 
formas de descontos é a mais justa para as operações comerciais para uma 
empresa de pequeno porte. 
NA PRÁTICA 
a. Leitura do caso 
 
O Sr. Kenenóis tem uma dívida no valor de R$ 2,5 mil que vai vencer em 
10 dias, porém ele deseja quitá-la hoje. Sabendo que o desconto contratual é 
por desconto simples comercial e que a taxa de juro é de 15% ao mês, 
responda: qual seria o valor do desconto do Sr. Kenenóis se o contrato fosse 
de desconto racional, em vez de comercial? 
 
b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
 
Para resolver esse problema, precisamos encontrar o valor do desconto 
comercial (tema 3) e depois aplicar na fórmula de relação entre descontos 
(tema 4). 
 
c. Apresentação da solução do problema 
 
1º passo: encontrar o desconto comercial 
Dc = VN . i . n  Dc = 2,5 mil . (15% /30 dias) . 10 dias  
Dc = 2,5 mil . 0,5%; 10  Dc = 2,5 mil . 5%  Dc = R$ 125,00 
 
2º passo: encontrar o desconto racional 
Dc = Dr . (1 + i . n )  125 = Dr . (1 + 0,5% . 10)  
Dr = 125 / (1 +5%)  Dr = 125 / 1,05 Dr = 119,05 
 
 
 
25 
FINALIZANDO 
Nesta rota estudamos os juros simples. Vimos as diferentes formas de 
obtermos o valor presente e o valor futuro (fórmulas, fator de cálculo e HP 12c). 
Também estudamos as três formas possíveis de desconto (racional, comercial 
e do banqueiro), em que exploramos as relações que elas têm entre si e, 
também, com a taxa efetiva nos juros compostos. E, por fim, vimos como é 
possível encontrar o valor médio de prazos e taxas de juros em operações de 
desconto de lotes de títulos. Tudo isso foi visto utilizando exemplos numéricos 
em que os cenários foram sendo alterados didaticamente para facilitar sua 
aprendizagem. 
 
 
 
 
26 
REFERÊNCIAS 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: Intersaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da engenharia econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011.