aula 3 - Volume de sólido por seções planas

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Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
Danilo Sande
October 9, 2013
Danilo Sande Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
I´ndice
1 Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Danilo Sande Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
O me´todo consiste em calcular as integrais do tipo:
V =
∫ b
a A(x)dx , onde A(x) e´ a a´rea da sec¸a˜o plana.
Dado um so´lido qualquer como na figura abaixo:
Danilo Sande Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Tomemos o volume pro´ximo de x por A(x)∆x , fazemos isso para
todo o intervalo de x:
A(x1)∆x1 + A(x2)∆x2 + ... =
∑n
i=1 A(xi )∆xi
lim
∆xi→0 ou n→∞
n∑
i=1
A(xi )∆xi =
∫ b
a
A(x)dx = V
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 1
Calcular o volume de uma piraˆmide cuja base e´ um quadrado de
lado 2 e altura 3.
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 2
Calcular o volume da esfera de raio r=2:
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Volume de so´lido por sec¸o˜es planas
Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 2
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 2
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 3
Calcular o volume do so´lido cuja base e´ um c´ırculo de raio 3 e
cujas sec¸o˜es transversais sa˜o quadrados (contidos nesse mesmo
semi-espac¸o).
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 3
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 3
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 4
Calcular o volume do so´lido cuja base e´ uma elipse de semi-eixos
iguais a 2 e 3 e cujas sec¸o˜es transversais ao eixo maior sa˜o
triaˆngulos equila´teros.
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Ca´lculo de volume por sec¸o˜es planas
Exemplos
Exemplos
Exemplo 4
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Exemplos
Exemplos
Exemplo 4
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Exemplos
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Exemplo 5
Calcular o volume do so´lido cuja base e´ um triaˆngulo retaˆngulo
ABC de catetos AB e AC com comprimentos 3 e 4 e cujas sec¸o˜es
transversais a` AC sa˜o semi-c´ırculos com diaˆmetros sobre a base do
so´lido.
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Exemplos
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Exemplo 6
Calcular o volume do so´lido cuja base e´ a regia˜o do plano limitada
pela para´bola x = y2 − 1 e a reta x = y + 1 e cujas sec¸o˜es
transversais a` OY sa˜o triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles, tais que a
hipotenusa se encontra sobre a base do so´lido.
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