Teorema de pappus-Guldin

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Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Danilo Sande
October 16, 2013
Danilo Sande Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Teorema
Se uma regia˜o plana gira em torno de uma reta de seu plano que
na˜o a intercepta, o volume do so´lido gerado e´ igual ao produto da
a´rea da regia˜o pelo comprimento da circunfereˆncia percorrida pelo
centro´ide.
Danilo Sande Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Demonstrac¸a˜o
Vamos considerar o eixo y como eixo de rotac¸a˜o e x como a
coordenada do centro´ide da regia˜o plana delimitada pelas curvas
f (x), g(x) com f (x) > g(x) e pelas retas x=a e x=b.
Queremos demonstrar que V = 2pixA.
Danilo Sande Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Segundo Teorema de Pappus-Guldin
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Demonstrac¸a˜o
Pelo me´todo dos invo´lucros cil´ındricos, temos:
V = 2pi
∫ b
a
x(f (x)− g(x))dx , ale´m disso, a coordenada x do
centro´ide da regia˜o dada na figura e´:
x = 1A
∫ b
a
x(f (x)− g(x))dx , assim:
V = 2pixA.
De modo ana´logo para rotac¸a˜o em torno de x, temos:
V = 2piyA.
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Demonstrac¸a˜o
Generalizando, o segundo teorema de Pappus-Guldin nos diz que o
volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o de uma regia˜o plana em
torno de um eixo e´ dada por V = 2pidA, onde d e´ a distaˆncia do
centro´ide da regia˜o ao eixo de rotac¸a˜o e A e´ a a´rea da regia˜o.
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Exemplo 1
Determine o volume de um toro gerado pela rotac¸a˜o de um c´ırculo
de raio R em torno de um eixo de seu plano a` distaˆncia K > R do
seu centro.
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Exemplo 2
Encontre o volume gerado pela rotac¸a˜o do triaˆngulo de ve´rtices
(1,1), (3,1) e (2,7) em torno da reta y = −2x , conforme a figura:
Lembre que distaˆncia de um ponto P(x0, y0) a` reta
ax + by + c = 0 e´ dada por d = |ax0+by0+c|√
a2+b2
.
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Exemplo 3
Usando o teorema de Pappus-Guldin, determine a ordenada do
centro´ide do semi-c´ırculo de raio R (centrado na origem).
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