Lista Semana 6 UnB - Gabarito. Cálculo I: derivadas de funções trigonométricas

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06
Temas abordados : Derivada de func¸o˜es trigonome´tricas
Sec¸o˜es do livro: 3.4
1) Os passos seguintes nos permitem calcular a derivada de f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x).
(veja Vı´deo 1)
(a) Use o Limite Trigonome´trico Fundamental para calcular a derivadas das duas func¸o˜es
no ponto x = 0, isto e´,
f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
, g′(0) = lim
h→0
g(h)− g(0)
h
(b) Use a identidade sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b), os limites acima e
definic¸a˜o de derivada para concluir que ( sen(x))′ = cos(x).
(c) Repita o argumento acima com a identidade cos(a+b) = cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b)
para concluir que (cos(x))′ = − sen(x).
2) Use o exerc´ıcio anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das func¸o˜es
abaixo. Em seguida, determine as ass´ıntotas verticais de cada uma delas. (veja Vı´deo 1)
(a) tan(x) =
sen(x)
cos(x)
(b) sec(x) =
1
cos(x)
(c) csc(x) =
1
sen(x)
(d) cot(x) =
cos(x)
sen(x)
3) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x) (b) f(x) =
√
x sec(x)
(c) f(x) =
sen(x)(
√
x+ 4)
cos(x)
(d) f(x) =
tan(x)
x+ cos(x)
(e) f(x) = ex sen(x)− 4
x
(f) f(x) = (3x+ 2ex)(1 + tan(x))
4) Considere as func¸o˜es f e g definidas abaixo
f(x) =
{
x2 sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
g(x) =
{
x sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0.
Usando a definic¸a˜o, verifique que f e´ deriva´vel (e portanto cont´ınua) em x = 0. Verifique
em seguida que g e´ cont´ınua em x = 0 mas na˜o e´ deriva´vel nesse mesmo ponto.
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RESPOSTAS
1)
2) (a) (tan(x))′ = sec2(x)
(b) (sec(x))′ = sec(x) tan(x)
(c) (csc(x))′ = − csc(x) cotan(x)
(d) ( cotan(x))′ = − csc2(x)
3) (a) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x)
(b)
√
x sec(x) tan(x) +
1
2
√
x
sec(x)
(c)
cos(x)
(
sen(x)
2
√
x
+ cos(x)(
√
x+ 4)
)
+ sen2(x)(
√
x+ 4)
cos2(x)
(d)
(x+ cos(x)) sec2(x)− tan(x)(1− sen(x))
(x+ cos(x))2
(e) ex( sen(x) + cos(x)) +
4
x2
(f) (3 + 2ex)(1 + tan(x)) + (3x+ 2ex) sec2(x)
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