SOBRE O CENTRO DE MASSA

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Pequeno tratado sobre momento Linear e Centro de massa. 
 
Sobre centro de massa. 
Provar que se algumas partículas de um sistema estão sob a ação de uma força 
externa Fe, o centro de massa (CM) do sistema se move como se estivesse sob 
a ação de uma força resultante 𝐅𝐑
𝐞 = ∑ 𝑭𝒋
𝒆𝑵
𝒋 tendo uma massa M igual a massa 
total do sistema. 
(Para a demonstração é feito várias aproximações, como: o sistema obedece às leis de newton, 
a força é constante durante um período de tempo t, não há resistência, as velocidades iniciais 
de todas as partículas são nulas e que não estamos lhe dando com velocidade próximas a da luz 
e nem com escalas atômicas) 
 
O centro de massa Rcm é dado por: 
 
𝑅𝑐𝑚 =
1
∑ 𝑚𝑖
𝑁
𝑖=1
∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖
𝑆
𝑖=1
(𝐴. 1) → 𝑅𝑐𝑚 =
1
𝑀
∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖
𝑆
𝑖=1
 (A2) 
 
Onde M é a massa total do sistema. Supondo que o sistema tem algumas partículas em 
repouso e outras em movimento acelerado devido a uma força externa Fe, é de nosso 
interesse separar a equação (A) em duas partes. Então teremos: 
 
∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖
𝑆
𝑖=1
= ∑ 𝑚𝑗𝑟𝑗
𝐾
𝑗=1
𝑗≠𝑙
+ ∑ 𝑚𝑙𝑟𝑙
𝑁
𝑙=1
𝑙≠𝑗
(A. 3) 
 
E logo o centro de massa será dado por1 
 
𝑅𝑐𝑚 =
1
𝑀
(∑ 𝑚𝑙𝑟𝑙 + ∑ 𝑚𝑗𝑟𝑗
𝑁
𝑗=1
𝐾
𝑙=1
) (A. 4) 
 
Onde o índice l se refere as partículas que estão em repouso e o índice j se refere as 
partículas que estão em movimento uniformemente acelerado. A posição das partículas 
que estão em movimento acelerado devido a força Fe, será dada por: 
 
1 Assumiremos daqui em diante que 𝑗 ≠ 𝑖 ou 𝑖 ≠ 𝑗 e por isso não será necessário reproduzir esse aspecto nas 
demais vezes. 
 
𝑟′𝑗 = 𝑣𝑜𝑗𝑡 +
𝑎𝑗𝑡
2
2
 (B. 1) 
 
Onde 𝑟′𝑗 = 𝑟𝑗 − 𝑟𝑜𝑗 e o tempo t sendo o mesmo para todas as partículas. Considerando 
que as partículas inicialmente estão em repouso, ou seja, que a velocidade inicial seja igual 
a zero (𝑣𝑜 = 0): 
 
𝑟′𝑗 =
𝑎𝑗𝑡
2
2
 (B. 2) 
 
O 𝒓′𝒋 da equação (B.2) é o 𝒓𝒋 da equação (A.4). Então o centro de massa terá sua posição 
dada por: 
𝑅𝑐𝑚 =
1
𝑀
[∑ 𝑚𝑙𝑟𝑙 + ∑ (
𝐹𝑗
𝑒𝑡2
2
)
𝑁
𝑗=1
𝐾
𝑙=1
] (C. 1) onde 𝐹𝑗
𝑒 = 𝑚𝑗𝑎𝑗 
 
Como algumas partículas estão em movimento, o centro de massa se torna dependente do 
tempo e dessa forma possui velocidade. A velocidade 𝑉𝑐𝑚 do centro de massa passado um 
intervalo de tempo t é dada pela derivada da equação (C.1). 
𝑉𝑐𝑚 =
𝑑𝑅𝑐𝑚
𝑑𝑡
→ 𝑉𝑐𝑚 =
𝑑
𝑑𝑡
[∑ 𝑚𝑙𝑟𝑙 + ∑ (
𝐹𝑗
𝑒𝑡2
2
)
𝑁
𝑗=1
𝐾
𝑙=1
] 
𝑑
𝑑𝑡
(∑ 𝑚𝑙𝑟𝑙
𝐾
𝑙=1
) = 0; 
𝑑
𝑑𝑡
∑ (
𝐹𝑗
𝑒𝑡2
2
) = ∑ 𝐹𝑗
𝑒𝑡
𝑁
𝑗=1
𝑁
𝑗=1
 ∴ 𝑽𝒄𝒎 =
𝟏
𝑴
(∑ 𝑭𝒋
𝒆𝒕
𝑵
𝒋=𝟏
) (C. 2) 
 
Como a posição das partículas em repouso não varia (obviamente) a derivada 
𝑑
𝑑𝑡
(∑ 𝑚𝑙𝑟𝑙
𝑁
𝑙=1 ) é nula. Sabemos que somatório de todas as forças externas 𝐹𝑗
𝑒 é 
simplesmente a força resultante externa 𝑭𝑹
𝒆 que age sobre o sistema como um todo. Desta 
forma a velocidade do centro de massa será dada apenas por: 
 
𝑽𝒄𝒎 =
𝟏
𝑴
𝑭𝑹
𝒆 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑭𝑹
𝒆 = ∑ 𝐹𝑗
𝑒
𝑁
𝑗
 (C. 3) 
 
Onde o tempo t é aquele em que a força 𝑭𝒋
𝒆 está agindo (ou agiu) em cada partícula j. 
Agora vamos supor que o centro de massa é uma partícula de massa M (𝑀 = ∑ 𝑚𝑖
𝑁
𝑖=1 ) e é 
o CM que está sob uma força constante 𝐹𝑅
𝑒. A equação horaria da localização do CM é 
dada por: 
 
𝑋′𝑐𝑚 = 𝑣𝑜𝑡 +
𝑎𝐶𝑀𝑡
2
2
 (D. 1) 
 
Onde 𝑋′𝑐𝑚 = 𝑋 − 𝑋𝑜. Tomando 𝑣𝑜 = 0 e derivando a equação (D.1) 
 
𝑉𝐶𝑀 =
𝑑𝑋𝐶𝑀
𝑑𝑡
→ 𝑉𝐶𝑀 =
𝑑
𝑑𝑡
(
𝐹𝑅
𝑒𝑡2
2𝑀
) ∴ 𝑉𝐶𝑀 =
𝐹𝑅
𝑒
𝑀
𝑡 (𝐷. 2) 
 
encontramos a velocidade para o centro de massa. Onde foi tomado 𝑎𝐶𝑀 =
𝐹𝑅
𝑒
𝑀
 . 
Se a equação (C.3) for igual a (D.2), então o enunciado foi provado. A aceleração do CM 
é igual a força resultante externa ao sistema divido pela massa total M, logo 𝑎𝐶𝑀 =
𝐹𝑅
𝑒
𝑀
 é 
justificada. O tempo por outro lado, é aquele em que a força age sobre as partículas. E é 
claro que esse tempo é o mesmo que a força resultante externa 𝐹𝑅
𝑒 = ∑ 𝑭𝒋
𝒆𝒏
𝒋=𝟏 agi sobre o 
sistema, causando uma aceleração 𝑎𝐶𝑀. Deste modo as equações (C.3) e (D.2) são 
equivalentes e prova-se o enunciado. 
 
Isso quer dizer que em um sistema de S partículas onde uma força externa 𝑭𝒋
𝒆 age 
constantemente durante um tempo t em uma parte N de partículas, o CM se move como 
se a força resultante 𝑭𝑹
𝒆 = ∑ 𝐹𝑗
𝑒𝑁
𝑗 se concentrasse nele e tivesse massa igual a massa total 
do sistema (𝑀 = ∑ 𝑚𝑗
𝑁
𝑗 ). 
Se todas as partículas estiverem sobe uma força externa, seguindo o raciocínio anterior, 
fica fácil mostrar que: 
𝑑𝑅𝑐𝑚
𝑑𝑡
=
𝑑𝑋𝑐𝑚
𝑑𝑡
∴
𝑑
𝑑𝑡
[∑ (
𝐹𝑗
𝑒𝑡2
2
)
𝑁
𝑗=1
] =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝐹𝑅
𝑒𝑡2
2𝑀
) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚𝑗𝑟𝑗 =
𝐹𝑗
𝑒𝑡2
2