Polares

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e Integra II – Período: 2016.2 
 
Resumo sobre Coordenadas Polares 
 
 
Faremos agora uma pequena mudança no nosso estudo para introduzirmos um novo 
sistema de coordenadas no plano chamado Sistema de Coordenadas Polares. No sistema de 
coordenadas cartesianas, que tem sido o mais usado por nós até aqui, a localização de um ponto 
P baseia-se na sua distância a duas retas concorrentes: uma horizontal, chamada eixo 
concorrência das retas chama-se a origem do sistema de coordenadas. A distância orientada do 
ponto P até a reta vertical chama-se abscissa, em geral representada pela letra x e sua distância 
orientada até a reta horizontal chama-se ordenada, geralmente representada pela letra y. Veja a 
figura abaixo: 
 
Outro modo de localizar um ponto é baseado em duas outras entidades associadas ao 
ponto P no plano. Essas entidades são: a sua distância orientada até a origem, que será 
denotada por r e o ângulo orientado que o vetor OP forma com o semi-eixo-x positivo, que 
será denotado por θ . Assim diremos que os números r e θ são coordenadas polares para P. 
Veja a figura abaixo: 
 
Coordenadas polares do ponto P são representadas como um par ordenado ( )θ,r . O 
plano onde encaramos os pontos com suas coordenadas polares não possui o eixo-y, nem a parte 
negativa do eixo-x. Ele será chamado de plano polar. O ponto O será chamado de pólo e o eixo-
x positivo passa a se chamar eixo polar. 
 
 
Antes de passarmos aos exemplos, cumpre fazermos um ligeiro comentário acerca do 
adjetivo orientado(a) que apareceu no texto anteriormente. Para nós, ele terá um significado 
associado ao sinal. Tanto ângulos como distâncias poderão estar acrescidas de um sinal. No 
caso de ângulos o sinal será positivo se os medirmos no sentido anti-horário e negativo caso a 
medida seja efetuada no sentido horário. Para as distâncias faremos o comentário logo após os 
exemplos. 
Exemplo 1. Localize no plano polar o ponto cujas coordenadas polares são 





4
3
,2 pi . Para isso, 
efetuamos uma rotação de 
4
3pi
 radianos no sentido anti-horário e marcamos desde o pólo uma 
distância de 2 unidades. A representação está mostrada abaixo. 
 
 
Observe que esse mesmo ponto possui 





4
11
,2 pi como um par de coordenadas polares. 
Se você notou que pipipi 2
4
3
4
11
+= não terá dificuldade em perceber que se adicionarmos 
pi2 ao ângulo, encontraremos um novo par de coordenadas polares para o ponto dado. Isso quer 
dizer que um mesmo ponto tem infinitos pares de coordenadas polares! 
 
Queremos agora dar um sentido para coordenadas polares onde r possa assumir valores 
negativos. Vamos supor que queiramos marcar no plano polar o ponto 





−
6
,2 pi . A forma de 
marcá-lo e que será conveniente quando formos traçar curvas no plano polar é a seguinte: 
primeiro marcamos o ponto com 0>r , ou seja, 





6
,2 pi . Em seguida, tomamos seu simétrico 
com relação ao pólo. Esse simétrico será a representação no plano polar de 





−
6
,2 pi .Veja a 
figura a seguir: 
 
 
 
Agora temos uma grande liberdade de interpretar as coordenadas polares com vários sinais. 
Vejamos mais um exemplo: 
Exemplo 2. Determine pares de coordenadas polares para o ponto 





3
,5 pi que satisfaçam: 
a) 0>r e 0<θ 
b) 0<r e 0>θ 
c) 0<r e 0<θ 
Na letra (a), podemos tomar 





−=





−
3
5
,52
3
,5 pipipi . Para a letra (b), observamos que o 
ponto dado tem que ser o simétrico de um outro. O ângulo positivo que devemos girar para 
marcarmos o ponto pedido deve ser 
3
4
3
pipi
pi =+ , portanto, nesse caso, um par de coordenadas 
polares é 





−
3
4
,5 pi . Vejamos a letra (c). Novamente, o ponto dado tem que ser simétrico de 
um outro. Portanto, o ângulo negativo que devemos girar deve ser 
3
2
3
pi
pi
pi
−=− . Assim, um 
par de coordenadas polares nesse caso é 





−−
3
2
,5 pi . Veja a figura abaixo 
 
 
 
 Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: como relacionar um par de coordenadas 
polares de um ponto com as coordenadas cartesianas de um ponto P? Para respondê-la, vamos 
observar a figura a seguir: 
 
 
Da figura acima, temos que: 
 
r
y
sen =θ , ou seja, θrseny = . 
e que 
 
r
x
=θcos , ou seja, θcosrx = . 
 
Assim, conhecidas coordenadas polares para um ponto P então suas coordenadas cartesianas 
ficam automaticamente conhecidas através das expressões anteriores. Agora, vamos ao 
contrário. Suponhamos dadas as coordenadas cartesianas ( )yx, de P e vamos encontrar um par 
de coordenadas polares para ele. Comecemos com o caso onde .0=x Nesse caso, o um par de 
coordenadas polares para o ponto P é 





2
,
piy . Suponhamos agora que 0≠x . Então o triângulo 
da figura anterior nos fornece: 
 
,
x
y
tg =θ ou seja, 





=
x
y
arctgθ . 
 
O mesmo triângulo, através do Teorema de Pitágoras, nos fornece: 
 
22 yxr += . 
 
Para usarmos as fórmulas acima devemos tomar apenas um cuidado: o quadrante onde o ponto 
está não é, em geral, fornecido por elas. Portanto, devemos tomar cuidado quando formos 
utilizá-las. Vejamos alguns exemplos desse tipo de situação. 
 
Exemplo 3. Suponha um par de coordenadas polares para o ponto P seja 





3
,5 pi . Vamos 
determinar as suas coordenadas cartesianas. Sabemos que: 
 
2
5
2
15
3
cos5cos =×=== piθrx 
 
.
2
35
2
35
3
5 =×=== piθ senrseny 
 
Logo as coordenadas cartesianas de P são .
2
35
,
2
5








 Veja a figura do exemplo 2. 
 
Exemplo 4. Vamos determinar um par de coordenadas polares para o ponto P cujas 
coordenadas cartesianas são ( )1,1 −− . Inicialmente notamos que ( ) ( ) 211 22 =−+−=r . 
Por outro lado, ( )
4
1
1
1 piθ ==





−
−
= artcgarctg . Como o ponto P pertence ao quarto quadrante 
este certamente não é um θ para o ponto P. Se observarmos bem, o ângulo correto é 
4
3pi
− que 
também possui tangente igual a 1, mas é “esquecido” pela função arco-tangente, já que não 
pertence ao domínio usual de inversão da função tangente. 
 
Passamos agora a uma situação que naturalmente surge nas coordenadas polares. Vamos 
introduzir algumas curvas e tentar desenhá-las. Uma curva em coordenadas polares é uma 
expressão do tipo ( )θfr = , onde f é uma função de θ . Vamos ver alguns exemplos. Você 
pode usar um software apropriado como o winplot ou o geogebra para fazer desenhos bem 
curiosos. 
 
Exemplo 5. Vamos ver o que representa no plano polar a equação 7=r . Podermos converter 
essa equação em uma equação cartesiana que é a que conhecemos melhor. Como 
22 yxr += , temos que a equação da nossa curva, agora em coordenadas cartesianas, é 
722 =+ yx , ou seja, ,4922 =+ yx ou seja, nossa curva é mesmo uma circunferência de 
centro no pólo (ou na origem) com raio 7. Uma figura dela está mostrada a seguir. Igual 
desenho representa a curva 7r = − 
 
 
Exemplo 6. Vejamos agora o que representa θcos4=r .O traçado dessa curva reveste-se de 
um caráter dinâmico. No que segue faremos θ variar de 0 até pi2 e acompanharemos o que 
sucede com r. Inicialmente note que se θ varia de 0 até 
2
pi
, r varia de 4 até 0. Portanto, 
enquanto giramos no sentido anti-horário saindo de 0 e nos aproximando de 
2
pi
, r deverá sair 
de 4 e colapsar até 0 . Veja na figura abaixo o primeiro trecho do gráfico 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
Agora faremos θvariar de 
2
pi
 até pi . Quando fizermos isso, r variará entre 0 e -4. Aqui um 
cuidado: como 0<r vamos marcar pontos simétricos. Dizendo de outra forma, enquanto θ 
fizer seu passeio no segundo quadrante, nós estaremos marcando os pontos no quarto! Assim, o 
gráfico da figura anterior fica completo: 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
Exemplo 7. Vamos fazer agora um esboço da curva ( )θsenr −= 12 . A idéia é fazer θ variar 
em intervalos onde possamos acompanhar bem o que se passa com r. Primeiro vamos fazer θ 
variar de 0 até 
2
pi
. Com isso, r varia de 2 até 0. O trecho do gráfico correspondente a essa 
variação está mostrado na figura abaixo. 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
 
Agora faremos θ variar de 
2
pi
 até pi . Fazendo isso, r variará de 0 até 2. Abaixo vemos mais 
um trecho do gráfico. 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
 
Fazendo agora θ variar de pi até 
2
3pi
, vemos que r varia de 2 até 4, conforme mostra a figura a 
seguir: 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
 
Finalmente, faremos θ variar de 
2
3pi
 até pi2 o que acarreta uma variação de r desde 0 até 2, 
completando o gráfico como nos mostra a figura a seguir. 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
 
 
Essa curva chama-se cardióide, por ter um formato de coração. 
 
 
Nosso intuito agora é calcular a área de uma região no plano polar limitada por duas retas, 
αθ = e βθ = e pela curva ( )θfr = , conforme a figura ao lado. Podemos provar que a área 
pedida é dada por: 
 
( ) θθ
β
α
dfA ∫= 22
1
. 
 
 
 
 
Exemplo 8. Vamos calcular a área de um círculo de raio 0>a . A equação de uma 
circunferência de raio a e, digamos, com centro no pólo é dada por ar = . A área limitada por 
esta circunferência é justamente a área pedida. Lembrando que, para cobrirmos a circunferência 
precisamos variar θ de 0 até pi2 , a fórmula acima nos diz que: 
 
( ) ∫∫ ====
piβ
α
pipiθθθ
2
0
2222 2
2
1
2
1
2
1
aadadfA , 
 
que é a fórmula conhecida por todos nós. 
 
Exemplo 9. Vamos calcular a área limitada pela cardióide θcos1−=r . A curva tem o 
seguinte aspecto: 
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
 
 
Pela fórmula que vimos acima, a área é dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫ =+=+−=−==
pipipiβ
α
θθpiθθθθθθθ
2
0
2
2
0
2
2
0
22 cos
2
1
coscos21
2
1
cos1
2
1
2
1 ddddfA 
2
32cos
2
1
2
1
2
1 2
0
piθθpi
pi
=



++= ∫ d . 
 
Em algumas situações, é necessário calcular a área entre duas curvas, isto é, queremos calcular a 
área de uma região no plano polar limitada por duas retas, αθ = e βθ = e pelas curvas 
( )1r h θ= e ( )2r h θ= conforme a figura a seguir: 
 
 
 
Nesse caso, pode-se demonstrar que: 
 
( ) ( )2 22 112A h h d
β
α
θ θ θ= −      ∫ . 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 10. Calcule a área exterior ao círculo 1r = e interior ao círculo 2cosr θ= . Na 
figura a seguir estão mostrados os círculos. Determinando os pontos de interseção, encontramos 
3
piθ = e 
3
piθ = − (ou, se você preferir, 2
3
piθ = ). A seguir, um esboço da situação: 
 
 
A área da região será dada então por: 
[ ] [ ]
3
2 2
3
1 32cos 1
2 2 3
A d
pi
pi
piθ θ
−
= − = +∫ 
Exemplo 11. Vamos determinar a área interior à Limaçon 3 2cosr θ= + e exterior ao 
círculo 2r = . Primeiro observe a figura a seguir que mostra a situação: 
 
 
Determinando os pontos de interseção, encontraremos 
2
3
piθ = e 4
3
piθ = (ou 2
3
piθ = − . 
Se você preferir). Podemos calcular a área pedida de algumas formas. A primeira é calcular 
uma integral entre 0 e 2
3
pi
 e multiplicar por 2 . Outro jeito é calcular a mesma integral entre 
2
3
pi
− e 
2
3
pi
. Usando o segundo modo, temos que a área será dada por: 
[ ] [ ]
2
3
2 2
2
3
1 14 11 33 2cos 2
2 3 2
A d
pi
pi
piθ θ
−
= + − = +∫ 
Para mais exemplos, consulte: 
 
James Stewart, Cálculo, Volume 2, 5ª. Edição (ou alguma mais recente), no capítulo 10, Curvas 
Paramétricas e Coordenadas Polares, na seção de coordenadas polares. 
 
Guidorizzi, volume 2, página 39, Seção 3.5, Áreas em Coordenadas Polares, tem bons 
exemplos. 
 
Exercícios 
 
1. Esboce a curva e calcule a área limitada por ela: 
a. 5r senθ= , 
b. ( )2 4cos 2r θ= , 
c. 4r senθ= − . 
 
2. Encontre a área da região dentro de um laço da curva: 
a. ( )2r sen θ= 
b. ( )3cos 5r θ= 
c. ( )1 2r sen θ= + , laço interno 
 
3. Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda: 
a. 1 cosr θ= − e 3
2
r = , 
b. 4r senθ= e 2r = , 
c. 3cosr θ= e 1 cosr θ= + . 
 
4. Encontre a área que está dentro de ambas as curvas: 
a. , cosr sen rθ θ= = , 
b. ( ) ( )2 , cos 2r sen rθ θ= = , 
c. 3 2 , 2r sen rθ= + = . 
 
Respostas 
 
1. a. 25
4
pi
 -o- b. 4 -o- c. 33
2
pi
 
2. a. 
8
pi
 -o- b. 9
20
pi
 -o- c. 
3 3
2
pi − 
3. a. 9 3
8 4
pi
− -o- b. 4 2 3
3
pi
+ -o- c. pi 
4. a. 2
8
pi −
 -o- b. 1
2
pi
− -o- c. 
19 11 3
3 2
pi
−