Capítulo Matemática - versão 1

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Química Quântica - Matemática 1 1 
Química Quântica 
Conteúdo de 
Matemática 
PARANÁ
21/08/2013 
Química Quântica - Matemática 1 2 
M.1 Equação Diferencial Ordinária Homogênea Linear de 2a Ordem 
 A equação de Schrödinger 
21/08/2013 
 E)x(V
dx
d
m2
h
2
22



 é uma equação diferencial ordinária homogênea linear de segunda ordem. 
  0)(
2 2
22

  xVE
dx
d
m
h
 Uma equação diferencial ordinária é aquela com apenas uma variável 
independente. É uma relação envolvendo uma variável independente x, uma variável 
dependente y(x), e a primeira, segunda, ..., enésima derivada de y ( y’, y’’, ..., y(n) . 
Exemplo: 
x
eysenxyxy 3cos)'(2'''
2 
Química Quântica - Matemática 1 3 
Equação Diferencial Ordinária Homogênea Linear de 2a Ordem 
 Um tipo especial de equação diferencial é a equação diferencial linear do tipo 
21/08/2013 
 onde os A’s são funções de x somente. Na equação acima, y e suas derivadas 
aparecem na primeira potência. Se g(x) = 0, a equação diferencial linear é denominada 
homogênea. 
)()(...)()( 0
)1(
1
)( xgyxAyxAyxA nn
n
n 


 Uma equação do tipo pode ser colocada na 
forma . Supondo que as funções y1 e y2 satisfaça a equação, 
então a solução da equação diferencial homogênea linear é: 
0)(')(")( 012  yxAyxAyxA
0)(')("  yxQyxPy
2211 ycycy 
Constantes 
Química Quântica - Matemática 1 4 
Equação Diferencial Ordinária Homogênea Linear de 2a Ordem 
 Em geral, a solução de uma equação diferencial de enésima ordem tem n constantes 
arbitrárias. 
21/08/2013 
 Uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes pode ser resolvida supondo uma solução da forma y = esx . 
0'"  qypyy
0
2  sxsxsx qepsees
0
2  qpss
Chamada equação auxiliar 
a
acbb
s
2
4
2 
 2
42 qpp
s


21 ses
Raízes 
xsxs
ececy 21 21 
Química Quântica - Matemática 1 5 
Equação Diferencial Ordinária Homogênea Linear de 2a Ordem 
 Exemplo 1: Encontre a solução para a equação diferencial abaixo. 
21/08/2013 
0y2'y"y 
0e2sees
sxsxsx2 
02ss
2 
Chamada equação auxiliar 
a
acbb
s
2
4
2 
 2
811
s


2e1 
Raízes 
x2
2
x
1 ececy

0y2
dx
dy
dx
yd
2
2

sx
ey 
Química Quântica - Matemática 1 6 
Equação Diferencial Ordinária Homogênea Linear de 2a Ordem 
 Exemplo 2: Encontre a solução para a equação diferencial abaixo. 
21/08/2013 
  0)x(VE
dx
d
m2
h
2
22

    0VE
h
m2
dx
d
22
2


 
0k''
2  
sx
e
0ekes
sx2sx2 
0ks
22 
22
ks 
ikk1ks 22 
ikx
2
ikx
1 ecec

Solução geral 
2k
V)x(V 
Química Quântica - Matemática 1 7 
M.2 Operador 
 Um operador é uma regra que transforma uma dada função em outra função. Por 
exemplo, tomando como sendo o operador que diferencia uma função com relação a x. 
Desde que f(x) seja diferenciável, o resultado de operar sobre f(x) com é: 
21/08/2013 
)x('f)x(fDˆ 
Dˆ
Dˆ
 Exemplo: 
x2
e3x)x(f 
xe3x2)x(fDˆ 
 Se é o operador que multiplica uma função por 3, então: 
3ˆ
x2
e3x)x(f 
x2 e9x3)x(f3ˆ 
Química Quântica - Matemática 1 8 
Operador 
 Em geral, se o operador transforma uma função f(x) em outra função g(x), se escreve: 
21/08/2013 
)x(g)x(fAˆ 
 Algumas propriedades: 
  )x(fBˆ)x(fAˆ)x(fBˆAˆ 
  )x(fBˆ)x(fAˆ)x(fBˆAˆ 
 )x(fBˆAˆ)x(fBˆAˆ 
      5x3ˆ5xDˆ5x3ˆDˆ 333 
 Em outras palavras, primeiro opera sobre f(x) com o operador do lado direito do 
produto de operadores, e então é tomado a função resultante e aplica-se o operador sobre 
ela. 
Química Quântica - Matemática 1 9 
M.2.1 Comutador 
 O comutador dos operadores e é definido como o operador 
abaixo: 
21/08/2013 
 Bˆ,Aˆ
Aˆ Bˆ
  AˆBˆBˆAˆBˆ,Aˆ 
 Exemplos: 
  0Bˆ,AˆentãoAˆBˆBˆAˆse 
  0Bˆ,AˆentãoAˆBˆBˆAˆse 
comutam 
Não comutam 
03ˆ
dx
d
dx
d
3ˆ
dx
d
,3ˆ 





1
dx
d
xˆxˆ
dx
d
xˆ,
dx
d






comutam 
Não comutam 
Química Quântica - Matemática 1 10 
M.2.2 Operador Linear 
 Operadores da mecânica quântica que representam quantidades físicas são lineares. 
Um operador linear é aquele que segue as duas propriedades: 
21/08/2013 
  )x(gAˆ)x(fAˆ)x(g)x(fAˆ       x2
dx
d
x
dx
d
x2x
dx
d 22 
  )x(fAˆc)x(cfAˆ       222 x
dx
d
ccx
dx
d
cx
dx
d

  )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f 
    )x(gcos)x(fcos)x(g)x(fcos)x(g)x(fcos 
         2222 )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f 
Não são operadores 
lineares 
São operadores 
lineares 
2xˆ
2
2
dx
d
Química Quântica - Matemática 1 11 
M.2.3 Valor Médio 
 Considerando o operador , linear, representando a propriedade física A. O valor 
médio de A é dado por: 
21/08/2013 
Aˆ
  dAˆA
*
 Na equação acima, primeiro opera sobre  para produzir uma nova função , no 
qual é multiplicada por * . Em seguida ocorre a integração sobre todo o espaço para 
produzir um número , que é . O valor médio de uma quantidade física precisa ser um 
número real, assim: 
Aˆ
Aˆ
A
Função de estado do sistema 
*
AA 
    dAˆdAˆ
**
 Consequentemente... 
Química Quântica - Matemática 1 12 
M.2.4 Operador Hermitiano 
21/08/2013 
    dAˆdAˆ
**
 Como consequência da conclusão anterior, slide 11: 
 A equação acima precisa ser válida para qualquer função  que representa um estado 
possível do sistema, isto é, precisa ser válida para todas as funções bem comportadas 
(contínua e finita)  (único valor em qualquer ponto do espaço, bem definida, contínua, 
diferenciável). Um operador linear que satisfaz a equação acima é chamado operador 
hermitiano. 
    dfAˆggdAˆf
**
 No lado esquerdo da equação acima, o operador opera sobre g, mas do lado direito o 
operador opera sobre f. Para f=g, a equação acima se reduz a primeira (slide 12). 
Química Quântica - Matemática 1 13 
Operador Hermitiano 
21/08/2013 
    dAˆdAˆ
**
 Para provar que um operador é hermitiano, basta satisfazer a equação abaixo para 
funções bem comportadas. 
 Para o operador da energia potencial, V, V*=V (a energia potencial é uma função 
real). 
    dfAˆfdfAˆf
*
iji
*
i
      dVffdfAˆf *ij
*
ij
     dVffdfVfdVff j*i*i*j*ij
 que prova que V é hermitiano. 
Química Quântica - Matemática 1 14 
Operador Hermitiano 
21/08/2013 
 Os autovalores de um operador correspondente a uma quantidade física A, ou 
seja, são os possíveis resultados de uma medida de A. Esses autovalores deverão ser todos 
números reais. 
 Considerando que todos os operadores na mecânica quântica são hermitianos, 3 
propriedades importantes são: 
 Os operadores hermitianos possuem autovalores reais; 
 As autofunções de um operador hermitiano são, ou podem ser escolhidas de tal forma 
que sejam ortogonais; 
 As autofunções de um operador linear hermitiano formam um conjunto completo e 
ortogonal de funções. 
Aˆ
Química Quântica - Matemática 1 15 
M.3 Funções trigonométricas 
21/08/2013 
ysen 
xcos 



cos
sen
tan


cos
1
sec 



sen
cos
cot 


sen
1
csc 
 sen cos tan cot sec csc 
30 
60 
45 
Química Quântica - Matemática 1 16 
M.3 Funções trigonométricas 
21/08/2013 
2
1
2
3
3
3
3
3
32 2
2
3
2
1
3
3
3
2
3
32
2
2
2
2
1 1 2
2
 Valores para as funções trigonométricas quando o ângulo possui os valores abaixo. 
Química Quântica - Matemática 1 17 
Funções trigonométricas 
21/08/2013 
 As seguintes propriedades trigonométricas são estabelecidas através do circulo 
unitário 
Ângulos replementares Ângulos complementares Ângulos suplementares 
sen(-) = - sen sen(p/2 - ) = + cos sen(p - ) = + sen 
cos(-) = + cos cos(p/2 - ) = + sen cos(p - ) = - cos 
tan(-) = - tan tan(p/2 - ) = + cot tan(p - ) = - tan 
sec(-) = + sec sec(p/2 - ) = + csc sec(p - ) = - sec 
csc(-) = - csc csc(p/2 - ) = + sec csc(p - ) = + csc 
cot(-) = - cot cot(p/2 - ) = + tan cot(p - ) = - cot 
Química Quântica - Matemática 1 18 
Funções trigonométricas 
21/08/2013 
senb.senabcos.acos)bacos( 
senb.senabcos.acos)bacos( 
senb.acosbcos.sena)ba(sen 
senb.acosbcos.sena)ba(sen 
btanatan1
btanatan
)batan(



btanatan1
btanatan
)batan(



2
x2cos1
xsen2


asenacossena.senaacos.acosa2cos)aacos(
22 
1acosasen
22  asen1acos 22 asenacosa2cos 22 
Química Quântica - Matemática 1 19 
Funções trigonométricas 
21/08/2013 
senb.senabcos.acos)bacos( 
senb.senabcos.acos)bacos(  bcos.acossenb.sena)bacos( 
senb.senasenb.sena)bacos()bacos( 
senb.sena
2
)bacos()bacos(


senb.senabcos.acos)bacos( 
senb.acosbcos.sena)ba(sen 
senb.acosbcos.sena)ba(sen 
Química Quântica - Matemática 1 20 
Funções trigonométricas - integral 
21/08/2013 
cscos
c
1
sencxdx 
 0ncxdxsen
n
1n
nc
cxcoscxsen
cxdxsen
2n
1n
n 

 


  cx2sen
4
1
x
2
1
xdx2cosdx
2
1
dx
2
x2cos1
xdxsen2 

  
x
L
n
Csenn
p 
  xdxL
n
senCxdx
L
n
xCsen
L
n
Csen 22
ppp
  cu2sen
2
1
u
2
1
n
L
Cudu2cosdu
2
1
n
L
C 22 





   pp
duusen
n
L
Cdu
n
L
usenC 2222   pp
du
n
L
dx
dx
L
n
du
x
L
n
u
p
p
p



Química Quântica - Matemática 1 21 
Funções trigonométricas 
21/08/2013 
constante
)ba(2
x)ba(sen
)ba(2
x)ba(sen
dxsenbxsenax 




































LL
x
LL
sen
LL
x
LL
sen
dxx
L
senx
L
sen
LL
L
pp
pp
pp
pp
pp
3
2
3
3
2
3
3
00
0
p
p
p
p
p
p
p
p
4
4
2
1
2
2
2
1
4
4
2
1
2
2
2
1
0000
LLLL
x
L
Lsenx
L
Lsen
L
x
L
sen
L
x
L
sen 










































LL x
L
sen
L
x
L
sen
L
x
L
Lsenx
L
Lsen
00
4
42
12
22
1
4
4
2
1
2
2
2
1




























p
p
p
pp
p
p
p
Química Quântica - Matemática 1 22 
Funções trigonométricas 
21/08/2013 
LL x
L
sen
L
x
L
sen
L
00
4
42
12
22
1













p
p
p
p




































 0
44
2
1
4
0
22
2
1
2 L
senL
L
sen
L
L
senL
L
sen
L pppppp
    04
42
1
02
2
1
2
 pppp sen
L
sen
L
    000
42
1
00
2
1
2
 pp
LL
Química Quântica - Matemática 1 23 
M.4 Integração Diversa 
21/08/2013 
 
2
1
10
2
1
|e
2
1
dye
2
1
dxxe 0
y
0
y
0
x
2
 





dyxdx
xdx2dy
xy
2
1
2




























 dxxe
a2
i
h
a2dxe
a2
dx
d
i
h
e
a2
p
2
2
1
2
4
1
2
4
1
ax2axax ppp








 





 
uuax2
Dedue
a4
C
dxxe
a2
i
h
a2p
2
2
1
p
xdxdu
axdx4du
ax2u
a4
1
2



  0eeDDep u  
Química Quântica - Matemática 1 24 
Integração Diversa 
21/08/2013 






















 dxe
a2
dx
d
i
h
e
a2
p
2
4
1
2
4
1
ax
2
ax2
pp
Química Quântica - Matemática 1 25 
Integração Diversa 
21/08/2013 
 





Lx
0x
Lx
0x
L
0
x udu
L
du
L
uxdx
L
cosx
L
senf pp
pp
 Se a integral é sobre seno e cosseno, como o caso do valor médio abaixo... 
00senu0x
0senuLx
xdx
L
cosdu
xdx
L
cos
L
du
x
L
senu
L





p
p
pp
p
p
Lx
0x
2
Lx
0x
2
x
L
x
sen
2
L
2
uL
f





p
pp







L
0
sen
L
L
sen
2
L
f 22x
pp
p
Química Quântica - Matemática 1 26 
M.5 Coordenadas polares esféricas 
21/08/2013 
27 21/08/2013 
OQ
y
sen 
OQ
x
cos
OP
z
cos
 sensenry 
 cossenrx 
cosrz 
Q
P
R
O
cosOQx 
OQseny 
cosrz 
r
OQ
sen 
rsenOQ 
28 21/08/2013 
 sensenry 
 cossenrx 
 















 z
z
fy
y
fx
x
f
)x(f
cosrz 


sensenr
x





cossenr
y



0
z




y
x




x
y




   x
y
y
x 








x
y
y
x









Química Quântica - Matemática 1 29 
M.6 Números Complexos e Imaginários 
21/08/2013 
 Números imaginários não podem ser usados para representar alguma quantidade 
física mensurável, mas são úteis na mecânica quântica. A unidade imaginária é chamada i e 
é definida por... 
1i
ibac 
 Na equação acima, se b é um número real, a quantidade ib é imaginário puro; se a é 
também real, a equação é dita número complexo. O número real a é chamado de parte real 
de c e o número real b é chamado de parte imaginária de c. 
)c(Ra 
)c(Ib 
Química Quântica - Matemática 1 30 
Números Complexos e Imaginários 
21/08/2013 
 Diagrama de Argand 
 A localização do ponto na plano de Argand pode ser 
obtido por coordenadas polares. A distância da origem ao 
ponto é definido por r (valor absoluto ou o módulo do 
número complexo), o ângulo  (também chamado de 
argumento ou fase) em radianos entre o eixo real positivo e 
a linha segmentada unindo a origem e o ponto. 
 rsenicosriyxz r
x
cos 
r
y
sen 
Química Quântica - Matemática 1 31 
Números Complexos e Imaginários 
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 O complexo conjugado de um número é 
definido com o número que te a mesma parte real e 
uma parte imaginária que é o negativo daquele 
número original. O conjugadocomplexo é 
representado por (*). 
  iyx*iyx*z 
Química Quântica - Matemática 1 32 
Números Complexos e Imaginários 
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ymortimeralchemistrsforphysicMathematicpágina  46
 Existe um teorema, conhecido como fórmula de Euler, que permite o número 
complexo ser escrito como uma exponencial com um expoente imaginário... 
 rsenicosriyxrez i 
 Esta forma é chamada de representação polar do número complexo. 
Química Quântica - Matemática 1 33 
M.7 Relação entre números complexos e funções trigonométricas 
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2
ee
xcos
ixix 

i
ee
xsen
ixix
2


ixix
eexisen
2
ixix
exisene
 2
ixix
eexisenx
  2cos2
xisenxe
ix  cos
xisenee
ixix
2
ixix
eex
cos2
xiseneex
ixix
2cos2 
xisenxe
ix  cos