ListaA1 Solucao

Prévia do material em texto

2011/1
Soluc¸a˜o
Lista A1 EE/UFMG
Problema 1
Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743, a` taxa efetiva de 15% ao
meˆs?
Soluc¸a˜o:
F = P (1 + i)n
F
P
= (1 + i)n
ln
(
F
P
)
= n ln (1 + i)
n =
ln
(
F
P
)
ln (1 + i)
=
ln
(
83.743
18.000
)
ln (1 + 0,15)
= 11
Problema 2
Uma pessoa deve pagar 3 prestac¸o˜es mensais, iguais e consecutivas, de $3.500 cada, sendo a
primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a d´ıvida por meio de um pagamento u´nico daqui a 3
meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 5% ao
meˆs?
Soluc¸a˜o:
X = 3500 + 3500(1 + i)1 + 3500(1 + i)2 = 11033,75
Problema 3
Na compra de um bem cujo valor a` vista e´ $140, deve-se pagar uma entrada, ale´m de 2 prestac¸o˜es
de $80 no fim dos 2 meses seguintes. Considerando-se uma taxa de juros efetiva de 20% ao meˆs,
qual o valor da entrada?
Soluc¸a˜o:
140− E − 80
(1 + i)1
− 80
(1 + i)2
= 0
E = 17,78
Problema 4
A rentabilidade efetiva de um investimento e´ de 10% ao ano. Se um capital de $83.000 proporcionou
juros de $27.437, por quanto tempo esse capital ficou aplicado?
Soluc¸a˜o:
C(1 + i)n − C = J ⇒ J = C [(1 + i)n − 1]
J
C
+ 1 = (1 + i)n
n =
ln
(
J
C + 1
)
ln(1 + i)
n = 3
Pa´gina 1 de 4
2011/1
Soluc¸a˜o
Lista A1 EE/UFMG
Problema 5
Por um equipamento de $360.000, paga-se uma entrada de 20% mais 2 pagamentos mensais
consecutivos. Se o primeiro pagamento e´ de $180.000 e a taxa de juros efetiva aplicada e´ de
10% ao meˆs, qual e´ o valor do segundo pagamento?
Soluc¸a˜o:
360.000− 360.000× 0,2− 180.000
(1 + i)1
− X
(1 + i)2
= 0
X = 150.480
Problema 6
Pretende-se, daqui a seis meses, comprar um automo´vel de $25.000. Quanto e´ necessa´rio aplicar
hoje, em um investimento que rende juros efetivos de 13% ao meˆs, para que o ve´ıculo possa ser
comprado com os juros ganhos na aplicac¸a˜o?
Soluc¸a˜o: O que sa˜o juros? Os juros sa˜o a diferenc¸a entre o Valor Futuro (F) e o Valor Presente
(P). Assim, partindo-se da equac¸a˜o fundamental:
F = P (1 + i)n
F − P = P (1 + i)n − P
J = P [(1 + i)n − 1]
P =
J
(1 + i)n − 1
P =
25.000
(1 + 0,13)6 − 1 = 23.106,39
Problema 7
Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em determinado prazo. Se esse prazo fosse 2 meses maior,
o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcule:
(a) a taxa de juros efetiva ao meˆs ganha com a aplicac¸a˜o;
(b) o prazo em meses.
Soluc¸a˜o: {
C(1 + i)n − C = 1.000
C(1 + i)(n+2) − C = 1.000 + 2060,40{
(1 + i)n = C+1.000C
(1 + i)(n+2) = C+1.000+2060,40C
Dividindo a segunda equac¸a˜o do sistema pela primeira:
(1 + i)2 =
C + 1.000 + 2060,40
C + 1.000
i =
[
C + 1.000 + 2060,40
C + 1.000
]1/2
− 1 = 0,02 = 2%
Pa´gina 2 de 4
2011/1
Soluc¸a˜o
Lista A1 EE/UFMG
Problema 8
Dois capitais foram aplicados durante 2 anos: o primeiro com juros efetivos de 2% ao meˆs e o
segundo, a 1,5% ao meˆs. Qual o valor de cada capital, considerando que o primeiro tem $10.000
a mais que o segundo e seu rendimento excedeu o deste em $6.700.
Soluc¸a˜o:
(C + 10.000)
[
(1 + 2%)24 − 1]− C [(1 + 1,5%)24 − 1] = 6700
C = 3440,52
Portanto, um dos capitais e´ C1=3440,52 e o outro C2=13440,52.
Problema 9
Dois capitais - o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800 - foram aplicados por 40 dias e 32 dias,
respectivamente. Considerando que o primeiro capital ganhou uma taxa efetiva de 5% ao meˆs
e sabendo que ele rendeu $100 a mais que o segundo, qual e´ a taxa mensal ganha pelo segundo
capital?
Soluc¸a˜o:
C1
[
(1 + i1)
40/30 − 1
]
− C2
[
(1 + i2)
32/30 − 1
]
= 100
2.400
[
(1 + 5%)40/30 − 1
]
− 1.800
[
(1 + i2)
32/30 − 1
]
= 100
i2 = 3,19%
Problema 10
Um capital foi aplicado por 6 meses a juros efetivos de 15% ao ano. Determine o valor do capital
sabendo que, se ao te´rmino do prazo, o montante diminu´ıdo da metade dos juros ganhos, fosse
reaplicado a` mesma taxa efetiva, renderia, em 3 meses, juros de $18,42.
Soluc¸a˜o: {
C(1 + i)6/12 − 1
2
C
[
(1 + i)6/12 − 1
]} [
(1 + i)3/12 − 1
]
= 18,42
C = 499,93
Problema 11
Apo´s 4 meses, certo capital transformou-se em $850,85. Este capital, diminu´ıdo dos juros ganhos
neste prazo, reduz-se a $549,15. Calcule o capital e a taxa de juros efetiva ao meˆs ganha na
aplicac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: {
C(1 + i)4 = 850,85
C − C [(1 + i)4 − 1] = 549,15
substituindo a primeira expressa˜o na segunda
C − C [(1 + i)4 − 1] = 549,15
C − C(1 + i)4 + C = 549,15
Pa´gina 3 de 4
2011/1
Soluc¸a˜o
Lista A1 EE/UFMG
2C − 850,85 = 549,15⇒ C = 700
Substituindo-se o valor de C na primeira equac¸a˜o obte´m-se i = 5%.
Problema 12
Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% ao meˆs. Se a diferenc¸a entre o capital
inicial e os juros ganhos neste per´ıodo fosse aplicada a` mesma taxa, renderia em 3 meses juros de
$44,02. Determine o valor do capital.
Soluc¸a˜o: {
C − C
[
(1 + i)50/30 − 1
]} [
(1 + i)3 − 1] = 44,02
C = 499,98
Pa´gina 4 de 4