Matemática Aplicada - Módulo 1 - Juros Simples

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MATEMÁTICA APLICADA MÓDULO I - PROFESSOR LUCAS MAGALHÃES
MATEMÁTICA
APLICADA
INTRODUÇÃO
Antes de adentrarmos aos estudos da matemática aplicada é importante entender o que ela
representa e seus conceitos.
Matemática Financeira
A matemática financeira estuda a variação do capital (dinheiro) no decorrer do tempo, mediante
a uma taxa de juros
Tempo
O tempo é um dos fatores principais na matemática financeira, o capital é sempre ajustado em
função deste. O período de tempo vem sempre acompanhado de uma unidade de medida.
Exemplo: 1 ano, 4 trimestres, 12 meses
Juros
Os juros têm como função, fazer com que o capital mantenha ao longo do tempo seu poder de
compra.
Os juros têm como função, fazer com que o capital mantenha ao longo do tempo seu poder de
compra.
Exemplo: Se hoje eu compro um produto por R$ 100 reais, daqui à um ano eu consigo comprar
este produto pelos mesmos R$ 100 reais, é lógico que não pois o valor das coisas muda com o
decorrer do tempo, e para o dinheiro não perder seu poder de compra deve ser reajustado, e a
forma de “reajuste” são os juros.
Os juros normalmente são dados em percentuais acompanhados do período.
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Exemplo:
5 % a.m. = cinco por cento ao mês.
60 % a.a. = Sessenta por cento ao ano.
A matemática financeira estuda a capitalização dos juros sob duas formas, que são:
Juros Simples, Juros Compostos.
Dica:
1) A unidade de medida do tempo deve ser sempre a mesma da unidade de medida da taxa de juros.
2) Para se fazer os cálculos devemos usar os juros em linguagem decimal e nunca em percentual.
JUROS SIMPLES
É um regime de capitalização onde os juros só incidem sobre o capital inicial ou principal.
Exemplo: Um capital de R$100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês,
durante 5 meses.
Tabela 1: Capitalização usando juros simples
Mês Saldo no Início do Mês Juros Mensais Saldo no final do Mês
1 R$100,00 R$100,00×0,10=R$10,00 R$110,00
2 R$110,00 R$100,00×0,10=R$10,00 R$120,00
3 R$120,00 R$100,00×0,10=R$10,00 R$130,00
4 R$130,00 R$100,00×0,10=R$10,00 R$140,00
5 R$140,00 R$100,00×0,10=R$10,00 R$150,00
Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado nos outros meses
Corresponde ao saldo do mês anterior.
Juros Mensais - No caso de juros simples os juros são aplicados sempre sobre o capital.
Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros mensais.
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Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros só incidem sobre o capital e não sobre os juros ou o
saldo do final do mês anterior; sendo assim, no final dos 5 meses foram pagos R$ 50,00 de juros
( R$ 10,00 por mês vezes os 5 meses) e o saldo final (montante) foi de R$ 150,00 (R$ 100,00 do
capital mais R$ 50,00 de juros.
Pode-se então concluir que o valor dos juros é igual ao capital inicial (C) multiplicado pela taxa
de juros (i) e multiplicado pelo período de tempo (t), nesse caso meses, ou seja:
J = C·i·t
E que o saldo no final do período (montante) é igual ao capital inicial mais os juros.
M = C + J
Como J = C.i.t, então substituindo temos:
M = C + (C.i.t)
M = 1.C + C.i.t
M = C . (1) + C . (i.t)
M = C·(1+ i·t)
Gráfico 1: Capitalização usando juros simples
O Gráfico 1 foi montado a partir dos dados da
Tabela 1, podemos perceber um gráfico linear, o
que significa que no regime de juros simples o
capital cresce de forma linear ou em progressão
aritmética.
Convenção:
M = Montante
C = Capital
i = Taxa de juros
J = Juros
t = Período de tempo
% a.s. = % ao semestre
% a.d. = % ao dia
% a.m. = % ao mês
% a.t. = % ao trimestre
% a.b. = % ao bimestre
% a.a.= % ao ano
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TAXAS PROPORCIONAIS
Definição: duas taxas de juros i1 e i2 relativas aos períodos de tempo t1 e t2 serão proporcionais
quando observarem a relação de proporcionalidade mostrada abaixo e os tempos t1 e t2
estiverem expressos na mesma unidade:
Exemplo: Converta a taxa de juros de 18% a.a. em taxa de juros mensal por proporcionalidade.
Solução
Aplique a condição de proporcionalidade observando que o tempo deve estar expresso nas
mesmas unidades (no caso, um mês e 12 meses).
Situação 1 i1 = x% am t1 = 1 mês
Situação 2 i2 = 18% aa t2 = 1 ano = 12 meses
Aplicando a fórmula, temos:
Exercícios de Fixação
1. O Banco Alfa emprestou a Francisco Silva o capital de R$10.000,00 por 90 dias. Ao final
desse prazo, Francisco deverá devolver ao banco um total de R$10.800,00.
a) determine a taxa de juros (i) da operação em suas formas unitária e percentual.
b) Qual seria a taxa de juros (i) se a operação fosse feita com um prazo de 30 dias?
2. Um banco emprestou a um cliente R$5.000,00 por um prazo de 120 dias a uma taxa de
juros (i) de 10% a.q. (ao quadrimestre). Que montante (M) esse cliente deverá pagar ao
final da operação?
3. Um banco empresta a seu cliente R$7.500,00 a uma taxa de juros (i) convencionada de
12% a.q. (ao quadrimestre). Esse empréstimo deverá ser pago de uma só vez ao final de
quatro meses. determine o montante (M) a ser pago.
4. Um empréstimo feito por um período de oito meses a uma taxa de juros (i) de 25%
determinou um montante (M) de R$800,00. Qual o valor do capital inicial?
5. Calcule as taxas mensais, bimensais e trimestrais proporcionais à taxa de 30% a.s.
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6. Calcule as taxas mensais, bimensais, trimestrais, quadrimestrais e semestrais
proporcionais à taxa de 36% a.a.
7. Determine o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado por:
a) 4 meses a 2% a.m.
b) 8 meses a 6% a.a.
c) 85 dias a 2,5% a.m.
8. O montante de uma dada aplicação é de R$12.000,00. Sabe-se que o prazo da operação
foi de quatro meses e que o juro gerado foi de R$ 1.500,00. determine:
a) O capital aplicado.
b) A taxa de juros mensal da aplicação.
9. Determine o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5%
am. Em quanto tempo esse capital triplicaria?
10. O valor nominal de um título é 7/5 do seu valor atual. Sendo o prazo de aplicação de seis
meses, qual a taxa de juros mensal aplicada?
11. Por quanto tempo um capital deve ser aplicado a 30% a.a. para que os juros gerados
correspondam a 2,5 vezes o valor do capital?
Respostas:
1. a) 0,08 at; 8% at e b) 0,08 am; 8% am
2. M = R$ 5.500,00
3. M = R$ 8.400,00
4. C = R$ 640,00
5. 5%a.m.; 10%a.b.; 15% a.t.
6. 3% a.m.; 5% a.b.; 9% a.t.; 12% a.q.; 18% a.s
7. Resposta depois
8. Resposta depois
9. Resposta depois
10. Resposta depois
11. Resposta depois
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