cal3na 10 C3 UnB

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 10∗
Regra da Cadeia II
Ale´m do que ja´ foi visto, a regra da cadeia tem duas outras consequeˆncias. Uma e´ em
relac¸a˜o a`s derivadas direcionais, com as quais e´ poss´ıvel determinar a direc¸a˜o de maior cres-
cimento de uma func¸a˜o. Outra e´ uma demonstrac¸a˜o matema´tica de uma lei de conservac¸a˜o.
Derivada Direcional
As derivadas parciais sa˜o as inclinac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de uma func¸a˜o ao
longo dos eixos coordenados. E ao longo de uma outra reta qualquer, qual a inclinac¸a˜o desse
gra´fico? Essa pergunta pode ser respondida com a derivada direcional, cuja interpretac¸a˜o e´
exatamente essa, a de fornecer a inclinac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o ao longo de uma reta dada.
Assim, as derivadas direcionais sa˜o uma extensa˜o natural das derivadas parciais, e de fato
essas duas derivadas possuem propriedades muito semelhantes.
A derivada direcional e´ definida como segue. Seja
f : D → R uma func¸a˜o dada e P0 = (x0, y0) um ponto
interior a D, isto e´, tal que B(P0, δ) ⊂ D para algum
δ > 0. Escolhida uma direc¸a˜o qualquer v = (a, b), a
reta por P0 e na direc¸a˜o v pode ser parametrizada por
P (t) = P0 + tv = (x0 + at, y0 + bt). Com essa parame-
trizac¸a˜o, se |t| for pequeno, enta˜o P (t) ∈ B(P0, δ) ⊂ D, e
fica definida a composta
f(P (t)) = f(x0 + at, y0 + bt)
P0 P (t)
f(P (t))
que representa a restric¸a˜o da func¸a˜o f ao longo da reta P (t). Veja a figura acima.
Definic¸a˜o 1. Caso exista, a derivada direcional de f no ponto P0 e na direc¸a˜o v e´ o limite
fv(P0) =
d
dt
f(P (t))
∣∣∣
t=0
= lim
t→0
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
t
No caso em que v = (1, 0), a reta e´ P (t) = (x0 + t, y0), e portanto a derivada direcional
fv(P0) = lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
e´ a derivada parcial fx(P0). Da mesma forma fv(P0) = fy(P0) no caso em que v = (0, 1).
Isto mostra que as derivadas direcionais sa˜o uma generalizac¸a˜o das derivadas parciais.
Assim como as parciais, as derivadas direcionais podem ou na˜o existir. Podem inclusive
na˜o existir em todas as direc¸o˜es, como ilustra o pro´ximo exemplo.
Exemplo 1. Determinar as direc¸o˜es em que a func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) =
√
x2 + y2,
possui derivada direcional no ponto P0 = (0, 0).
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotac¸o˜es de sala
P (t)
Soluc¸a˜o. Considere uma direc¸a˜o qualquer v = (a, b) com
‖v‖ 6= 0. Enta˜o a reta por P0 e na direc¸a˜o v tem equac¸a˜o
P (t) = P0 + tv = (at, bt). Da´ı segue-se que
f(P (t))− f(P (0))
t
=
√
(at)2 + (bt)2
t
=
|t|√a2 + b2
t
.
onde
√
a2 + b2 = ‖v‖ 6= 0. Ora! Como na˜o existe o limite
limt→0 |t|/t, na˜o existe tambe´m a derivada direcional fv(P0).
Como v e´ uma direc¸a˜o qualquer, conclu´ı-se que a func¸a˜o na˜o
possui derivada direcional em todas as direc¸o˜es.
�
Exemplo 2. Determinar as direc¸o˜es em que a func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) =√|xy|, possui
derivada direcional no ponto P0 = (0, 0).
Soluc¸a˜o. Novamente, considere uma direc¸a˜o qualquer
v = (a, b) com ‖v‖ 6= 0. Enta˜o a reta por P0 e na direc¸a˜o
v tem equac¸a˜o P (t) = P0 + tv = (at, bt), e portanto
f(P (t))− f(P (0))
t
=
√|(at)(bt)|
t
=
|t|√|ab|
t
.
Como no exemplo acima, a func¸a˜o na˜o possui derivada
P (t)
direcional nos casos em que
√
|ab| 6= 0, pois nesse caso na˜o existe o limite limt→0 |t|/t.
No entanto, pode-se ter
√|ab| = 0 com ‖v‖ 6= 0. Basta escolher, por exemplo, v = (1, 0).
Neste caso, o quociente f(P (t))−f(P (0))
t
se anula identicamente, e portanto existe a derivada
fv(P0) = 0. Essa derivada e´ a deriva parcial fx(P0), uma vez que a direc¸a˜o e´ v = (1, 0).
Analogamente obte´m-se fv(P0) = fy(P0) = 0 para v = (0, 1). Esse exemplo ilustra o caso
em que as derivadas direcionais podem existir em algumas direc¸o˜es e na˜o em outras. �
Exemplo 3. Determinar as direc¸o˜es em que a func¸a˜o f : R2 → R possui derivada direcional
no ponto P0 = (0, 0), onde f(P0) = 0 e f(P ) =
2x2y
x4 + y2
para P = (x, y) 6= P0.
P (t)
Soluc¸a˜o. Mais uma vez, considere uma direc¸a˜o qualquer
v = (a, b), com ‖v‖ 6= 0, e a reta de equac¸a˜o P (t) = P0+ tv =
(at, bt), que passa por P0 e tem a direc¸a˜o v. Enta˜o
f(P (t))− f(P (0))
t
=
1
t
2(at)2(bt)
[(at)4 + (bt)2]
=
2a2b
a4t2 + b2
.
e deve-se considerar os casos em que b = 0 e b 6= 0. No
primeiro caso, em que b = 0, o quociente f(P (t))−f(P (0))
t
se
anula identicamente, e portanto existe a derivada fv(P0) = 0.
No segundo caso, em que b 6= 0, tambe´m existe a derivada direcional e e´ igual a
fv(P0) = lim
t→0
f(P (t))− f(P (0))
t
= lim
t→0
2a2b
a4t2 + b2
=
2a2
b
.
Assim, a func¸a˜o possui derivada direcional em todas as direc¸o˜es. �
Esse exemplo e´ chocante! A mesma func¸a˜o foi estudada no Exemplo 3 da Aula 04 e,
usando a regra dos dois caminhos, foi visto la´ que ela nem e´ cont´ınua em P0. Assim, em um
determinado ponto, a func¸a˜o pode ter derivadas direcionais em todas as direc¸o˜es e, apesar
disso, na˜o ser continua no ponto. Na˜o sendo cont´ınua ela tambe´m na˜o e´ diferencia´vel.
Deste exemplo conclui-se que a existeˆncia das derivadas direcionais na˜o implica em dife-
renciabilidade. No entanto, de acordo com o pro´ximo resultado, vale a implicac¸a˜o contra´ria.
Ca´lculo III Notas da Aula 10 2/5
Teorema 1. Se f e´ diferencia´vel em P0 enta˜o, neste ponto, ela possui derivada direcional
em qualquer direc¸a˜o v = (a, b) e fv(P0) = fx(P0)a + fy(P0)b.
Demonstrac¸a˜o. Esta e´ uma consequeˆncia simples da regra da cadeia. De fato, indicando
por P (t) = P0 + tv a equac¸a˜o da reta por P0 e na direc¸a˜o v, a derivada direcional fv(P0),
caso exista, e´ a derivada da composta f(P (t)) em t = 0.
Ora! E´ claro que P (t) e´ deriva´vel com P ′(0) = v. Como f e´ diferencia´vel em P0 = P (0),
da regra da cadeia segue-se que a composta f(P (t)) e´ deriva´vel em t = 0. Logo, a func¸a˜o
possui a derivada direcional fv(P0). Ale´m disso, ainda pela regra da cadeia, essa derivada e´
fv(P0) =
d
dt
f(P (t))
∣∣∣
t=0
= 〈∇f(P (0)), P ′(0)〉 (1)
= 〈∇f(P0), v〉 = fx(P0)a + fy(P0)b �
O´timo! Nos pontos em que a func¸a˜o e´ diferencia´vel ela tambe´m possui derivada direcional
em qualquer direc¸a˜o. Ale´m disso, a derivada direcional e´ dada por um produto escalar! Isso e´
interessante porque o produto escalar pode ser interpretado em termos da projec¸a˜o ortogonal.
Vale enta˜o lembrar que a projec¸a˜o ortogonal do vetor
Q = (c, d) sobre o vetor v = (a, b), com ‖v‖ 6= 0, e´ dada
por rv, onde r = 〈Q, v〉/‖v‖2. Mais explicitamente, a
projec¸a˜o ortogonal e´ dada por
rv =
〈Q, v〉
‖v‖2 v =
〈
Q,
v
‖v‖
〉
v
‖v‖ v
rv
Q
No caso em que a direc¸a˜o v e´ um vetor unita´rio, isto e´, em que ‖v‖ = 1, enta˜o a projec¸a˜o
e´ dada por rv = 〈Q, v〉v, onde |r| = |〈Q, v〉| e´ o comprimento da projec¸a˜o. Em particular,
no caso em que Q e´ o vetor gradiente, com ‖∇f(P0)‖ 6= 0, de (1) segue-se que
|fv(P0)| = |〈∇f(P0), v〉| = comprimento da projec¸a˜o de ∇f(P0) sobre v
v 〈∇f, v〉v
∇f Com essa interpretac¸a˜o, e com o auxilio da figura, segue-
se que, entre todas as direc¸o˜es v com ‖v‖ = 1, o maior valor
de fv(P0) e´ obtido quando se escolhe v na direc¸a˜o de∇f(P0)!
Como fv(P0) e´ tambe´m a inclinac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o
ao longo da reta por P0 e na direc¸a˜o v, segue-se que a direc¸a˜o
do gradiente e´ a de maior inclinac¸a˜o. Dito de outra maneira,
no ponto P0 o gradiente ∇f(P0) aponta na direc¸a˜o de maior
crescimento da func¸a˜o. Essa justificativa geome´trica pode
ser demonstrada analiticamente como segue.
Lema 1. Supor f diferencia´vel em P0 com ‖∇f(P0)‖ 6= 0. Enta˜o a direc¸a˜o w = ∇f(P0)‖∇f(P0)‖
e´ tal que fv(P0) ≤ fw(P0) para toda direc¸a˜o v com ‖v‖ = 1
Demonstrac¸a˜o. Como w = ∇f(P0)/‖∇f(P0)‖, e´ claro quefw(P0) = 〈∇f(P0), w〉 = 〈∇f(P0),∇f(P0)〉‖∇f(P0)‖ = ‖∇f(P0)‖ (2)
Para uma outra qualquer direc¸a˜o v, com ‖v‖ = 1, e indicando por θ o aˆngulo entre v e
∇f(P0), de (2) acima segue-se que
fv(P0) = 〈∇f(P0), v〉 = ‖∇f(P0)‖‖v‖ cos(θ) ≤ ‖∇f(P0)‖ = fw(P0) (3)
como afirma o lema. �
O pro´ximo exemplo e´ uma aplicac¸a˜o interessante do Lema 1, em que as linhas de fluxo
do calor sa˜o as linhas ao longo das quais o calor flui.
Ca´lculo III Notas da Aula 10 3/5
Exemplo 4. Determinar as linhas de fluxo do calor para a chapa semicircular
D = {(x, y); x2 + y2 < 1 e y > 0} com temperatura T : D → R dada por
T (x, y) =
20
pi
arctan
(
2y
1− x2 − y2
)
.
Soluc¸a˜o. O primeiro passo e´ estudar as curvas de n´ıvel
Ck = {(x, y) ∈ D : T (x, y) = k}, que sa˜o as isotermas da
chapa. Indicando por k̂ = tan(kpi
20
), e´ fa´cil concluir que Ck e´
um arco do c´ırculo x2 + (y+ 1/k̂)2 = 1+ 1/k̂2, de centro no
ponto (0,−1/k̂) e raio
√
1 + 1/k̂. Todos esses c´ırculos pas-
sam pelos pontos (1, 0) e (−1, 0), conforme ilustra a figura. −1 1 x
y
−1 1 x
y Ora! Em cada ponto P ∈ D, o calor flui na direc¸a˜o da menor
temperatura, e pelo Lema 1 essa direc¸a˜o dada por −∇T (P ),
isto e´, a direc¸a˜o contra´ria a` de maior crescimento. Ale´m
disso, o gradiente e´ ortogonal a` curva de n´ıvel. Assim, as
linha de fluxo sa˜o aquelas ortogonais a`s isotermas, conforme
ilustra a figura ao lado.
O exemplo pode ser melhor percebido pelo gra´fico da
func¸a˜o temperatura, ilustrado na figura ao lado. Do gra´fico
percebe-se que a temperatura e´ alta em pontos do domı´nio
perto do c´ırculo x2 + y2 = 1, e a temperatura e´ baixa em
pontos do domı´nio perto do eixo Ox. O calor flui enta˜o da
maior para a menor temperatura, ao longo de linhas que sa˜o
ortogonais a`s isotermas.
Este exemplo ilustra bem como as propriedades do gradi-
ente, obtidas a partir da Regra da Cadeia, podem ser usadas
em estudos de termodinaˆmica. �
x
y
Forc¸as Conservativas
A mesma regra da cadeia pode tambe´m ser usada na demonstrac¸a˜o de algumas leis de
conservac¸a˜o, conforme ilustrado a seguir.
Considere a forc¸a gravitacional com que a Terra atrai um sate´lite que esta´ em o´rbita.
Escolha um sistema de coordenadas Oxy em que a Terra esta´ na origem e indique por
P = (x, y) a posic¸a˜o do sate´lite, por M a massa da Terra, por m a massa do sate´lite e por
F (P ) a forc¸a gravitacional com que a Terra atrai o sate´lite.
F
v
Segundo as leis de Newton, a intensidade da forc¸a e´
‖F (P )‖ = GMm/‖P‖2, a direc¸a˜o e´ aquela que liga os
centros de massa e o sentido e´ do sate´lite para a Terra.
Assim, a forc¸a F (P ) tem a direc¸a˜o e sentido do vetor
unita´rio U(P ) = −P/‖P‖ e portanto sua expressa˜o e´
F (P ) = ‖F (P )‖ U(P ) = GMm‖P‖2
−P
‖P‖ = −
GMm
‖P‖3 P
Em termos das coordenadas P = (x, y) do ponto P a forc¸a escreve-se como
F (x, y) = − GMm
(
√
x2 + y2)3
(x, y) =
( −GMmx
(x2 + y2)3/2
,
−GMmy
(x2 + y2)3/2
)
Ca´lculo III Notas da Aula 10 4/5
Indique agora por F (x, y) = (L(x, y),M(x, y)) as coordenadas do vetor forc¸a, isto e´,
L(x, y) =
−GMmx
(x2 + y2)3/2
e N(x, y) =
−GMmy
(x2 + y2)3/2
Com essa notac¸a˜o percebe-se uma igualdade impressionante: a func¸a˜o
f(P ) =
GMm
‖P‖ = GMm (x
2 + y2)−1/2
e´ tal que
fx(x, y) =
−1
2
GMm (x2 + y2)−3/2 (2x) =
−GMm x
(x2 + y2)3/2
= L(x, y)
e analogamente obte´m-se que fy(x, y) = N(x, y). Da´ı segue-se que a forc¸a F e´ igual ao
gradiente da func¸a˜o f , isto e´,
F (x, y) = (L(x, y),M(x, y)) = (fx(x, y), fy(x, y))
Como sera´ visto no pro´ximo exemplo, essa igualdade e´ o motivo de fundo pelo qual a
forc¸a gravitacional e´ conservativa. A partir dela e´ poss´ıvel mostrar que a func¸a˜o f fornece o
trabalho realizado pela forc¸a F ao longo de uma trajeto´ria. Ale´m disso, como o trabalho e
a energia potencial tem sinais contra´rios, se o sate´lite esta´ no ponto P = (x, y) enta˜o a sua
energia potencial e´ dada por EP (x, y) = −f(x, y).
A energia total do sate´lite e´ a soma EC(x, y)+EP (x, y) das energias cine´tica e potencial.
Em relac¸a˜o a` energia cine´tica, indicando por P (t) = (x(t), y(t)) a posic¸a˜o do sate´lite no
instante t, a velocidade vetorial e´ P ′(t) = (x′(t), y′(t)), a velocidade escalar e´ v(t) = ‖P ′(t)‖
e a energia cine´tica e´ EC(P (t)) =
1
2
mv(t)2 = 1
2
m‖P ′(t)‖2.
Exemplo 5. Com a notac¸a˜o acima, verifique que a energia total E(t) = EC(P (t))+EP (P (t))
do sate´lite e´ conservada, isto e´, que E(t) na˜o muda com o tempo.
Soluc¸a˜o. Basta verificar que a derivada de E(t) e´ nula! E, de fato, como
EC(P (t)) =
1
2
m‖P ′(t)‖2 = 1
2
m(x′(t)2 + y′(t)2)
segue-se que
d
dt
EC(P (t)) =
1
2
m(2x′(t)x′′(t) + 2y′(t)y′′(t))
= 〈(mx′′(t), my′′(t)), (x′(t), y′(t))〉 = 〈mP ′′(t), P ′(t)〉
onde P ′′(t) = (x′′(t), y′′(t)) e´ o vetor acelerac¸a˜o do sate´lite.
Por outro lado, a energia potencial EP (P (t)) = −f(P (t)) e´ uma composta, e sua derivada
e´ dada pela Regra da Cadeia:
d
dt
EP (P (t)) = 〈−∇f(P (t)), P ′(t)〉 = 〈−F (P (t)), P ′(t)〉
onde foi usado que ∇f = F .
Agora e´ hora de usar mais uma das leis de Newton, a que afirma que a forc¸a e´ igual
a massa vezes a acelerac¸a˜o. No caso em questa˜o essa lei assegura que F (P (t)) = mP ′′(t).
Usando essa lei e somando as derivadas acima obte´m-se que
d
dt
E(t) = d
dt
EC(P (t)) +
d
dt
EP (P (t))
= 〈mP ′′(t), P ′(t)〉+ 〈−F (P (t)), P ′(t)〉 = 〈mP ′′(t)− F (P (t)), P ′(t)〉 = 0
Isso mostra que E(t) tem derivada nula, e portanto e´ independente do paraˆmetro t, o que
significa que a energia total se mante´m constante ao longo da trajeto´ria do sate´lite. �
Neste exemplo na˜o ha´ nada de muito particular em relac¸a˜o a` forc¸a gravitacional. O
importante e´ que a forc¸a F seja o gradiente F = ∇f de alguma func¸a˜o f . Se esse for o caso,
o mesmo argumento mostra que a energia total e´ conservada, e a forc¸a e´ dita conservativa.
Ca´lculo III Notas da Aula 10 5/5