C3 UnB Lista 3 Gabarito

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Para func¸o˜es de uma varia´vel g(t), se g′(0) = 0 e g′′(0) > 0 enta˜o t = 0 e´ mı´nimo
local. Se usado para func¸o˜es de va´rias varia´veis esse crite´rio conduz a alguns resultados
surpreendentes, como mostra o exemplo da func¸a˜o f(x, y) = (y − 3x2)(y − x2). Para isso,
dada uma direc¸a˜o v = (a, b), indique por g(t) = f(tv) a restric¸a˜o de f ao longo desta direc¸a˜o.
C E a) Estudando as derivadas parciais, conclu´ı-se que f e´
diferencia´vel na origem.
C E b) Usando a regra da cadeia obte´m-se que, para alguma
direc¸a˜o v, t = 0 na˜o e´ ponto cr´ıtico da func¸a˜o g(t).
C E c) Calculando g′′(t) conclui-se que, para alguma direc¸a˜o v,
t = 0 na˜o e´ ponto de mı´nimo local de g(t).
C E d) Ao longo da curva (t, 2t2) a func¸a˜o f possui um ma´ximo local em t = 0.
C E e) A origem (0, 0) e´ ponto de mı´nimo local da func¸a˜o f .
2) O per´ıodo t de um peˆndulo de comprimento s e´ dado por t = 2pi
√
s/g, e essa fo´rmula pode
ser usada para calcular uma aproximac¸a˜o da acelerac¸a˜o g da gravidade nas proximidades da
Terra. Para isso, indique por s0 o comprimento e por t0 o per´ıodo do pendulo, e por s e t as
medidas dessas quantidades feitas por aparelhos que esta˜o sujeitos a pequenos erros.
s
a) Obtenha a expressa˜o de g = g(s, t) como func¸a˜o das
varia´veis s e t.
Resposta: g(s, t) = 4pi2s/t2
b) Justifique a afirmac¸a˜o de que g(s, t) e´ diferencia´vel no do-
mı´nio s > 0 e t > 0.
Resposta: as derivadas parciais sa˜o cont´ınuas nesse domı´nio
c) Obtenha a aproximac¸a˜o de g(s, t) usando diferenciais em torno do ponto (s0, t0).
Resposta: g(s, t) = g(s0, t0) +
4pi2
t2
0
(s− s0)− 8pi2t3
0
(t− t0)
d) Estive o erro percentual na medida de g(s, t) supondo erros ma´ximos de 0, 5% em s e
de 0, 25% em t.
Resposta: |g(s, t)− g(s0, t0)| ≤ 1100g(s0, t0)
e) Supondo que os erros percentuais ma´ximos em s e t sejam iguais, determine esse erro
para que o erro percentual em g(s, t) na˜o exceda a 0, 6%.
Resposta: erro percentual ma´ximo ≤ 0, 2%
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.o/2017 – 1/2
3) Considere uma distribuic¸a˜o de carga ao longo do eixo Oz com densidade constante δ = 1.
No domı´nio D = {(x, y); y > 0} e para K > 0, essa distribuic¸a˜o gera um campo ele´trico
E(x, y) que e´ o gradiente E(x, y) = −∇f(x, y) da func¸a˜o f(x, y) = −K ln(x2+y2). Suponha
que uma part´ıcula de massa m e carga 1 desloca-se com trajeto´ria P (t) = (x(t), y(t)) sujeita
apenas ao campo E. Enta˜o E e´ a resultante das forc¸as, vale a lei de Newton E(P (t)) =
mP ′′(t) e E(t) = (m/2)‖P ′(t)‖2 + f(P (t)) e´ a energia total da part´ıcula no tempo t.
a) Calcule as derivadas fx(P ) e fy(P ).
Resposta: fx(P ) =
−2Kx
‖P‖2 e fy(P ) =
−2Ky
‖P‖2 .
b) Calcule a norma ‖E(P )‖ e o vetor unita´rio U(P ) na direc¸a˜o
e sentido do campo em um ponto gene´rico P = (x, y) ∈ D.
Resposta: ‖E(P )‖ = 2K‖P‖ e U(P ) = P‖P‖
c) Esboce o vetor U(P ) e a curva de n´ıvel de f por um ponto
gene´rico P ∈ D.
Resposta: ver figura ao lado.
P
U(P )
d) Verifique que a energia total da part´ıcula e´ conservada, isto e´, que dE(t)/dt ≡ 0.
Resposta: d
dt
E(t) = 〈mP ′′(t)− E(P (t)), P ′(t)〉 = 0.
e) Use o item anterior para verifique que, se a part´ıcula estiver se movendo sobre uma
curva de n´ıvel de f , enta˜o ‖P ′(t)‖ e´ constante.
Resposta: E(t) e f(P (t)) constantes =⇒ ‖P ′(t)‖ tambe´m constante.
4) A distaˆncia de ponto ao plano, estudada em geometria anal´ıtica, pode ser obtida por meio
das te´cnicas de ma´ximos e mı´nimos. De fato, para o plano P de equac¸a˜o ax+by+cz+d = 0 e
um ponto P0 = (x0, y0, z0) 6∈ P, a distaˆncia de P0 a P e´, por definic¸a˜o, a menor das distaˆncias
de P0 a um ponto gene´rico do plano P ∈ P. Sem perda de generalidade, suponha que c 6= 0,
de modo que z = z(x, y) pode ser expresso como func¸a˜o de (x, y), e indique por f = f(x, y)
o quadrado da distaˆncia de P0 ao ponto P = (x, y, z(x, y)) ∈ P.
P0
P
P
a) Obtenha a expressa˜o de f em termos de x, y e z(x, y).
Resposta: f(x, y) = (x−x0)2+(y−y0)2+(z(x, y)−z0)2, onde
z(x, y) = −1
c
(ax+ by + d)
b) Calcule as derivadas parciais e monte o sistema


fx(x, y) = 0
fy(x, y) = 0
2(z(x, y)− z0)− 2 cc(z(x, y)− z0) = 0.
Resposta: fx(x, y) = 2(x− x0)− 2ac (z(x, y)− z0) e fy(x, y) = 2(y − y0)− 2 bc (z(x, y)− z0)
c) Multiplique uma das equac¸o˜es acima por a, outra por b e outra por c. Em seguida,
usando a equac¸a˜o do plano, verifique que vale a igualdade 1
c
(z(x, y)− z0) = k, onde k
depende apenas das coordenadas de P0 e das constantes a, b, c e d.
Resposta: k = −ax0 + by0 + cz0 + d
a2 + b2 + c2
d) Use mais uma vez o sistema acima para concluir que, se P = (x, y, z(x, y)) e´ um ponto
cr´ıtico de f , enta˜o P − P0 e´ ortogonal ao plano.
Resposta: (x− x0, y − y0, z − z0) = 1c (z − z0)(a, b, c) e´ mu´ltiplo do vetor ortogonal (a, b, c).
e) Do item anterior segue-se que f possui um u´nico ponto cr´ıtico, que e´ o mı´nimo absoluto
da func¸a˜o. Use essa informac¸a˜o para calcular a distaˆncia de P0 a P .
Resposta:
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
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