prova n2

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AIM1832 CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVEIS EAD - 202010.112856.05 Prova N2
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PROVA N2 (A5)
Usuário LUCIANO none ALVES DA SILVA
Curso AIM1832 CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVEIS EAD -
202010.112856.05
Teste 20201B1 - CLIQUE AQUI PARA ACESSAR A PROVA N2 (A5)
Iniciado 09/06/20 11:38
Enviado 09/06/20 12:29
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Instruções
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Pergunta 1
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resposta:
Toda raiz de índice pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário,
isto é, . Assim, para derivar uma função raiz, primeiramente, é preciso
escrever a raiz como uma potência fracionária. A partir do exposto, assinale a
alternativa que apresenta a derivada da função .
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Ao reescrever a raiz como
uma potência, temos que . A regra
da derivada para a função potência é dada pelas seguintes informações:
Se , então . Temos, assim, que a derivada da
função é
.
Pergunta 2
Para calcular a área de uma região limitada por duas funções, é possível se utilizar
da teoria de integrais. Com ela, a área entre duas funções e limitada em
um intervalo pode ser definida como , desde
que para todo . Nesse sentido, assinale a alternativa que
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apresenta a área da região limitada pelas funções e no
intervalo .
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que 
 para todo . Assim, a área da região desejada é calculada por
. Aplicando as regras de integrações
adequadas, temos que
.
Pergunta 3
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Considerando uma função , temos que o valor do coeficiente angular da reta
tangente a um ponto P da função é dado pelo valor da derivada da função no
ponto P. Assim, considerando um ponto da função , na equação da
reta dada por , temos que . Nesse sentido,
assinale a alternativa que apresenta a equação da reta tangente à função
 no ponto P(1,3).
y = 3x 2 + 6x.
y = 9x - 6.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois a derivada
da função é . Assim, o coeficiente angular da
reta tangente à função no ponto P(1,3) é
. Dessa maneira, a equação da reta é
.
Pergunta 4
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resposta:
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de
primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma
 . O nome separável vem do fato de que a equação pode
ser separada em uma função de e uma função de . A solução de tal equação é
obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade. 
 
Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à
solução da equação diferencial separável . 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada
é uma equação separável. Separando as variáveis e , podemos
reescrever a equação como .
Integrando ambos os lados da igualdade, temos
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,
onde .
Pergunta 5
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto
que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função
de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores
que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a
seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
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IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
I, II, IV, apenas.
I, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Verificando as
restrições para a função, temos que são falsas as afirmativas II, III e IV,
pois: 
Afirmativa II: Incorreta. A função tem a seguinte
restrição . Portanto, o seu domínio é o conjunto
, que deveria corresponder a uma
região em formato de parábola. 
Afirmativa III: Incorreta. A função tem a
seguinte restrição . Portanto, o seu domínio é o
conjunto , que deveria
corresponder a uma circunferência. 
Afirmativa IV: Incorreta. A função tem a
seguinte restrição . Portanto, o seu domínio é o conjunto
, que deveria corresponder a
uma região limitada entre as retas e .
Pergunta 6
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da
função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois
vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é
máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
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Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da
função e o vetor gradiente são: ,
 e . Logo,
. Como a direção de máximo crescimento se dá
no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente,
temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 7
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Considere uma função de duas variáveis positiva, isto é, . Se a função 
 está limitada a uma região retangular , o volume do sólido que está acima da
região retangular e abaixo da superfície é obtido por meio da expressão
 Utilize a expressão acima para calcular o volume do
sólido que está acima da região e abaixo da superfície
 . Assinale a alternativa que representa o volume do sólido
considerado:
 
11 u.v.
16 u.v.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, aplicando
a definição de integral dupla, temos que ,
onde ,
 e . Assim,
. 
 
Pergunta 8
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial 
 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é
dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema
pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde representa
a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma
substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15
anos. 
 
Com relação a essa informação,analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
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III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação
diferencial separável , temos que as afirmativas I e II estão
corretas, pois 
, onde . 
Para , concluímos que e, para 
 concluímos . Portanto, a função que representa o
problema descrito é .
Pergunta 9
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resposta:
Uma função é denominada racional quando for obtida pela divisão de dois
polinômios, isto é, . Para integrar esse tipo de função quando o grau da
função for maior que o grau da função , é possível fazer uso da seguinte
formulação , em que
 são constantes e são as raízes do polinômio . A
partir dessas informações, calcule a integral e assinale a
alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que e
. O grau da função é maior que o grau da
função . Assim, 
 e . Aplicando o método
citado no enunciado, temos que
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software
pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que
podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o
conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
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Terça-feira, 9 de Junho de 2020 12h29min51s BRT
 
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da
resposta:
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de
duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder
visualizar uma representação geométrica da função no plano 
 recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do plano
. Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
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