FUNÇÃO – Definição, domínio e imagem

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FUNÇÃO – Definição, domínio e imagem
Conceituação
Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma propriedade especial. 
Definição de variável
É um símbolo representativo de qualquer valor dos elementos de um conjunto, por exemplo x é uma variável:
Contínua – intervalo 
Inteira - 
Definição de função: 
Sejam x e y duas variáveis, diz-se que y é função de x e escreve-se: 
Entre as duas variáveis existe uma correspondência 
. Chama-se x de variável independente e y de variável dependente.
Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Usaremos a notação f : A ( B para indicar que f é função de A em B.
Ex.: 
(a)
	
 A f B
(b)
	
 C g D
(c)
	
 M h N
(d)
	
 P t O
Note que, nos exemplos acima, as relações f, g e h são funções, pois:
todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B;
todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D;
todo elemento de M está associado, através de h, a um único elemento de N;
porém, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de O (1 e 6).
Nota:
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. No exemplo (a) acima, temos:
CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; Im(f) = {16}.
Imagem de um elemento através do diagrama de flechas
Consideremos a função descrita no diagrama de flechas abaixo. Se um elemento y de B estiver associado a um elemento x de A, através de f, então diremos que y é a imagem de x , através de f. Indica-se y = f (x) (lê-se “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”). Assim, temos:
	6 = f (1)
7 = f (2)
8 = f (3)
8 = f (4)
11 = f (5)
	
 f
 A B
Imagem de um elemento através da lei y = f(x)
Consideremos os conjuntos A = [-3, 1] , B = [-5, 3] e a função f : A ( B, onde cada x, 
, é associado a um único f(x), 
, através da lei
.
A lei 
 nos diz que a imagem de cada x do domínio de f é o número 
 do contradomínio. Assim, temos, por exemplo:
a imagem do elemento -3, através de f, é:
f (-3) = 2 ( (-3) + 1 = -6 + 3 = -5 ( f (-3) = -5; logo, (-3,-5) ( f
a imagem do elemento 1, através de f, é:
f (1) = 2 ( 1 + 1 = 2 + 1 = 3 ( f (1) = 3; logo, (1,3) ( f
Note que o símbolo 
 representa a ordenada do ponto de abscissa x. Assim, em vez de escrevermos 
, podemos escrever
, ou seja, o símbolo f(x) pode ser substituído por y e vice-versa.
Imagem de um elemento através do gráfico de uma função
Consideremos o gráfico de uma função y = f(x), conforme abaixo.
Cada ponto (x,y) do gráfico de f deve ser interpretado como (x, f(x)), ou seja, a ordenada é a imagem da abscissa através de f. Por exemplo:
	(5,4) é ponto do gráfico; logo f(5) = 4;
(-2,0) é ponto do gráfico; logo f(-2) = 0;
(2, 3) é ponto do gráfico; logo f(2) = 3;
(0, 1) é ponto do gráfico; logo f(0) = 1;
	
Estudo do sinal de uma função através do gráfico
Sendo f uma função de domínio D, dizemos que:
f é positiva para um elemento x, x ( D, se, e somente se, f(x) > 0;
f é negativa para um elemento x, x ( D, se, e somente se, f(x) < 0;
f se anula para um elemento x, x ( D, se, e somente se, f(x) = 0.
Note que o sinal da função para um elemento x, x ( D, é o sinal de 
, e não o sinal de x.
Ex.:
Seja o gráfico da função y = f(x) do item anterior.
no intervalo –2 < x < 7, f(x) > 0;
no intervalo –6 ( x < -2 ou 7 < x ( 9, f(x) < 0;
para x = -2 e x = 7, f(x) = 0. Note que essas abscissas correspondem aos pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox.
Análise gráfica – reconhecimento de uma função
Através do gráfico, podemos verificar se uma relação é ou não uma função. Se uma reta paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em mais de um ponto, então R não é função.
Em outras palavras, um gráfico representará uma função de A em B se, e somente se, qualquer reta paralela ao eixo Oy, passando por um ponto qualquer de abscissa x, x ( A, interceptar o gráfico num único ponto.
Ex.:
Considere o gráfico a seguir, de uma relação R de A = {1, 2, 3} em B = {4, 5, 6, 7}:
	
	
 R
 A B
Analisando o gráfico, percebemos que a relação R não é função de A em B, pois, (1, 4) e (1, 7) pertencem a R, isto é, o elemento 1 do conjunto de partida está associado, através de R, a dois elementos do contradomínio: 4 e 7.
Observe o gráfico a seguir, de uma relação R de A = {2, 5} em B = {1, 3,3}.
	Note que qualquer reta paralela ao eixo Oy, passando por um ponto de abscissa x, x ( A, intercepta o gráfico num único ponto. Isso significa que qualquer x, x ( A, está associado, através de R, a um único y, y ( B. Logo, R é função de A em B.
	
Função real de variável real
Toda função f em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R denomina-se de função real de variável real. 
Para que uma função esteja completamente definida, é necessário que sejam dados: o seu domínio, o seu contradomínio e a lei de associação y = f (x). Porém, para facilitar o estudo das funções reais de variável real, foi convencionado:
“Se o domínio de uma função f for o mais amplo subconjunto de R onde f pode ser definida, e o contradomínio de f for R, então essa função pode ser apresentada simplesmente pela lei de associação y = f (x).
Assim sendo, ao apresentarmos a função y = f (x), ficam subentendidos como domínio e contradomínio de f os conjuntos:
D(f ) = {x ( R | f (x) ( R } e CD(f ) = R
Ex.:
Ao apresentarmos a função f , através da lei 
,
fica subentendido como domínio de f o conjunto de todos os números x, reais, de modo que 
 também seja real; temos que:
 ( R ( x ( R e x ( 0; logo, D(f ) = R*;
fica subentendido como contradomínio de f o conjunto dos números reais, 
 R.
Ao apresentarmos a função f , através da lei
,
fica subentendido como domínio de f o conjunto de todos os números x, reais, de modo que 
 também seja real; temos que:
 ( R ( x ( R +; logo, D(f ) = R +;
fica subentendido como contradomínio de f o conjunto dos números reais, CD(f ) = R.
Função constante, crescente ou decrescente
2.1. Raiz de uma função
Definição: Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, y = f (x), a todo número r, do domínio de f, tal que f (r) = 0.
Ex.:
Considere a função f : R ( R tal que 
. Note que 
 e 
. Ou seja, para 
 ou 
, a função 
 se anula. Por isso, os números 3 e – 3 são chamados de raízes (ou de zeros) da função f.
A raiz da função 
 é obtida fazendo-se 
, isto é, 
. Logo, a raiz de g é 
.
A função 
 não possui raiz no domínio R, pois 
. Não há número real cujo quadrado seja igual a –9.
2.2. Função constante
Chama-se “função constante” a toda função f : R ( R tal que f (x) = k (k, constante real). 
O gráfico da função constantef (x) = k é a reta paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, k).
	
Ex.:
Consideremos a função real, de variável real 
, ou seja, a imagem de qualquer número real x é o número 5. Por exemplo, 
, 
, etc..
	
2.3. Função crescente e função decrescente
Uma função real f, de variável real, é crescente em A , A ( D( f ), se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre 
.
Uma função real f, de variável real, é decrescente em A, 
, se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre 
.
Ex.:
Seja a função f cujo gráfico é:
	
f é crescente no intervalo [-6, -2];
f é constante no intervalo [-2, 3];
f é decrescente no intervalo [3, 5].
	
Tipos de Funções
Funções injetoras
Definição: Uma função f : A ( B é injetora se, e somente se, 
, 
.
Em outras palavras, uma função f : A ( B é injetora se, e somente se, elementos quaisquer do domínio de f, distintos entre si, tiverem imagens também distintas entre si, através de f. (De um elemento x do conjunto A para apenas um elemento y do conjunto B, ou ainda, se f(x1) = f(x2), então x1 = x2).
Ex.:
(a)
	
 A f B
f é uma função injetora, pois elementos de A quaisquer, distintos, têm imagens também distintas. 
(b)
	
 E g F
g é uma função injetora, pois elementos de E quaisquer, distintos, têm imagens também distintas.
(c)
	 M h N
h não é uma função injetora, pois os elementos distintos 2 e 3 de M têm a mesma imagem. 
Funções sobrejetoras
Definição: Uma função f : A ( B é sobrejetora se, e somente se, para todo y, y ( B, existe x, x ( A, tal que f (x) = y.
Em outras palavras, uma função f : A ( B é sobrejetora se, e somente se, Im(f) = CD(f) = B (não sobram elementos no contradomínio). 
Ex.:
(a)
	
 A f B
f é uma função sobrejetora, pois Im(f ) = CD(f ) = B.
(b)
	
 E g F
g é uma função sobrejetora, pois Im(g ) = CD(g ) = F.
(c)
	
 M h N
h não é uma função sobrejetora, pois Im(h ) ( CD(h ). 
Funções bijetoras
Definição: Uma função f : A ( B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora.
Em outras palavras, uma função f : A ( B é bijetora se, e somente se, todo elemento y, y ( B, for imagem, através de f, de um único x, x ( A.
Ex.:
(a)
	
 A f B
f é uma função bijetora, pois é injetora e sobrejetora. 
(b)
	
 E g F
g não é uma função bijetora, pois não é sobrejetora.
(c)
	 M h N
h não é uma função bijetora, pois não é injetora. 
Classificação de uma função f através da lei de associação y = f (x)
Dada a lei de associação y = f (x) de uma função f, sobrejetora, injetora ou bijetora, a conclusão sobre qual dessas classificações ocorre pode ser feita da seguinte maneira:
Se para qualquer y, y ( CD( f ), a equação na variável x: f (x) = y tem pelo menos uma solução, então f é sobrejetora.
Se para todo y, y ( Im( f ), a equação na variável x: f (x) = y tem uma única solução, então f é injetora.
Note que, se essa condição for verdadeira, então temos: 
, 
. Por isso, a função é injetora.
Se para qualquer y, y ( CD( f ), a equação na variável x: f (x) = y tem uma única solução, então f é bijetora.
Ex.:
Classificar como sobrejetora, injetora ou bijetora a função f : R ( R, tal que 
.
Seja y, y ( CD( f ) = R. Resolvendo a equação f (x) = y na variável x, temos:
Note que para qualquer y, y ( CD( f ) = R, a equação, em x, 
 tem solução única. Logo, f é bijetora.
Conceito de funções inversas
5.1 Relações inversas
Definição: Seja R uma relação de A em B e seja S uma relação de B em A, tal que:
Nessas condições, e somente nessas condições, as relações R e S são inversas entre si.
Ex.:
Consideremos a relação R de A em B, descrita pelo diagrama:
	
 A R B
Ou seja, R = {(1, 8), (2, 9), (3, 9)}. Vamos construir a relação S de B em A, tal que: 
, isto é, cada par ordenado 
de S é obtido invertendo-se a ordem dos elementos do par 
 de R. Assim, temos:
(1, 8) ( R ( (8, 1) ( S; (2, 9) ( R ( (9, 2) ( S; (3, 9) ( R ( (9, 3) ( S.
A representação da relação S em diagrama de flechas é:
	
 B S A
As relações R e S são relações inversas entre si.
5.2 Funções inversas
Definição: Uma função f : A ( B é invertível se, e somente se, sua relação inversa f -1 de B em A também for função.
As funções f e f –1 são chamadas de “funções inversas entre si”.
Logo, uma função f : A ( B é invertível se, e somente se, é bijetora.
Ex.:
Verificar se cada uma das funções é ou não invertível. Em caso afirmativo, determinar a inversa da função.
a)
	
 A f B
f é uma função bijetora, pois é injetora e sobrejetora. Logo, f –1 é função e, portanto, f é invertível. f –1 = {(4, 1), (9, 2), (8, 3)}.
(b)
	
 E g F
g não é uma função bijetora, pois não é sobrejetora. g –1 não é função e, portanto, g não é invertível.
(c)
	 M h N
h não é uma função bijetora, pois não é injetora. h –1 não é função e, portanto, h não é invertível.
Nota: Técnica para a obtenção da inversa de uma função
A inversa de uma função bijetora 
, real de variável real, é obtida do seguinte modo:
fazemos a seguinte mudança de variáveis na função 
: trocamos x por I e y por x, escrevendo x = f (I);
isolamos a variável I, após a mudança de variáveis, obtendo I = f -1(x)
Ex.:
Determinar a inversa da função bijetora y = 3x – 1, de domínio D = R e contradomínio CD = R.
Trocando x por I e y por x, temos: x = 3I – 1.
Isolando a variável I, temos: 
.
Assim, a inversa da função 
 é a seguinte função:
.
5.3 Gráficos de funções inversas
Os gráficos de duas funções inversas f e f –1 são simétricos em relação à reta suporte que divide ao meio os quadrantes ímpares (bissetriz).
Ex.:
Seja f uma função bijetora cujo gráfico é:
	
Sabemos que (x, y) é ponto de f –1 se, e somente se, (y, x) é ponto de f. Assim sendo, para obter o gráfico de f –1, basta transformarmos cada ponto (x, y) do gráfico de f em seu simétrico (y, x) em relação à reta suporte das bissetrizes dos quadrantes ímpares. Logo o gráfico de f –1 é:Referências:
Manoel Paiva, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.
Edwaldo Bianchini, Herval Paccola, “Matemática”, Vol. 1, Editora Moderna.
I – Exercícios de Plano Cartesiano
Represente no plano cartesiano os seguintes pontos:
 A(4, 2) (d) D(5, -2) (g) G(-6, 0)
 B(2, 4) (e) E(-4, -1) (h) H(0, -6)
 C(-2, 5) (f) F(-1, 4) (i) I(0, 0)
Para que valores reais de x o ponto P(5x – 8, x + 2) pertence ao 2o quadrante?
Para que valores reais de x o ponto P(x2 - 9, 5) pertence ao eixo das ordenadas?
Determine os números reais a e b de modo que: (3a – 2b, a + b) = (10, 11).
Sendo a e b números reais tais que (5a – 1, 2a + 1) = (2b + 4, a – 2b + 7), a que quadrante pertence o ponto P(a, b)?
II – Exercícios de Relações
Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine cada uma das relações seguintes, representando-as em diagrama de flechas e construindo seu gráfico cartesiano:
 R1 = {(x, y) ( A X B | y = x2}
 R2 = {(x, y) ( A X B | y = x + 1}
 R3 = {(x, y) ( A X B | y > x + 1}
Construa o gráfico da relação R = {(x, y) ( R2 | y = 4}. Dê seu domínio e conjunto imagem.
Construa o gráfico da relação R = {(x, y) ( N2 | y = x}. Dê D(R) e Im(R).
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}. Uma relação de A em B é:
{(1, 1)} (d) {(2, 1), (1, 2)}
{(1, 3), (4, 3)} (e) {(2, 4), (3, 3)}
{(3, 3), (4, 4)}
O conjunto R dos pontos do gráfico abaixo é um subconjunto de R2, portanto é uma relação de R em R. Observando o gráfico, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir: 
	(5, 8) ( R. 
O ponto de R, de abscissa 7, é o ponto (7, 0).
O ponto de R, de abscissa 4, tem ordenada menor que 8.
Existe apenas um ponto de R com ordenada 4.
Não existe nenhum ponto de R com ordenada negativa.
Existe um único ponto de R com ordenada 2.
Se 5 < x < 6 e (x, y) ( R, então 4 < y < 8.
Se 7 < x < 9 e (x, y) ( R, então y > 0.
	
Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Represente a relação R = {(x, y) ( A
B | y = x + 2} em diagrama de flechas, determine o domínio e a imagem de R e dê o gráfico da relação.
O gráfico de uma relação R é o conjunto de pontos representados no gráfico abaixo. Determine o domínio e o conjunto imagem da relação R.
	
A figura abaixo mostra o gráfico de uma relação R. Dê o domínio e a imagem de R.
	
Exercícios de funções – injetora, bijetora e sobrejetora
Dados os conjuntos 
, 
, 
, 
, 
, classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora:
 f : A ( B tal que f (x) = x2 (c) h : A ( F tal que h (x) = x + 4
g : A ( C tal que g (x) = x + 1 (d) t : A ( E tal que t(x) = x2
O gráfico da função f : R ( ]-(, 2] é a parábola:
	 Classifique f como sobrejetora, injetora ou bijetora.
	
Classifique a função f : [3, 8] ( [2, 12] tal que f (x) = 2x – 4 como sobrejetora, injetora ou bijetora.
Nas funções seguintes classifique em:
I) Injetora	II) Sobrejetora		III) Bijetora	IV) Não é sobrejetora nem injetora
a) 
		tal que	
b) 
		tal que	
c) 
		tal que	
d) 
	tal que	
e) 
		tal que	
Exercícios de funções inversas
Os gráficos das funções f : R ( R e g : R ( R , representados a seguir, são uma parábola e uma reta, respectivamente. Qual das funções, f ou g, é invertível ? Por quê ?
	
	
Sendo f : R ( R uma função definida por f (x) = 2x + 3, deseja-se saber se existe f –1 e, em caso afirmativo, determiná-la.
Determinar a inversa da função bijetora 
 de domínio 
D = R – { –2} e CD = R – 
Sejam os conjuntos A = {1, -1, 2, -2, 3} e B = {2, 5, 10}.
Determine a inversa da relação: R = {(x, y) ( A X B | y = x2 + 1}.
Determine os conjuntos D(R), Im(R), D(R-1), Im(R-1).
A relação R-1 é função ? Por quê ?
Dados os conjuntos A = {1, -1, 2, 3} e B = {1, 16, 81} e a função f : A ( B tal que f (x) = x4. A função f é invertível ? Por quê ?
Determine a inversa de cada uma das funções bijetoras, sendo dados o domínio D e o contradomínio CD:
y = 3x –5 com D = R e CD = R;
f (x) = 8x + 4 com D = R e CD = R;
y = 
 com D = R – {2} e CD = R – {1};
g (x) = 
 com D = R – {– 8} e CD = R – {5}.
Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine cada uma das relações seguintes, representando-as em diagrama de flechas e construindo seu gráfico cartesiano. Indique as que são funções e dê seu domínio e imagem:
 R1 = {(x, y) ( A X B | y = x2}
 R2 = {(x, y) ( A X B | y = x + 1}
 R3 = {(x, y) ( A X B | y > x + 1}
Construa o gráfico da relação R = {(x, y) ( R2 | y = 3}. Dê seu domínio e conjunto imagem. R é função? Justifique sua resposta.
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}. Uma função de A em B é:
{(1, 1)} (d) {(3, 3), (2, 6), (1, 6)}
{(1, 3), (4, 3)} (e) {(2, 4), (3, 3)}
{(3, 3), (4, 4)}
Sabendo-se que o diagrama abaixo representa uma função f de A em B, pede-se:
	f (1), f (2), f (3)
D( f ) e CD( f )
Im( f )
	
 A f B
Dada a função f : R ( R, definida por f (x) = x2 – 2x + 3, determine:
f (0) (c) 
f (-2) (d) f (1/2)
Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2} e B = 
, determine o conjunto imagem da função f : A ( B, definida por:
f (x) = x + 2
f (x) = x2
f (x) = 2x
Sendo f : R ( R uma função definida por f (x) = 2x + 3, deseja-se saber:
o valor de x para que f (x) = 0
o valor de x para que f (x) = 
A função f : R ( R, definida por f (x) =
, tem Im( f ) = {-2, 0, 2, 4, 8}. Determine o domínio da função. 
Represente, no plano cartesiano, o gráfico da função f (x) = 2x – 1, no caso em que o domínio seja:
D( f ) = {-1, 0, 1, 2, 3}
D( f ) = {x ( R | -1 ( x ( 3}
D( f ) = R
Identifique os conjuntos de pontos que representam gráficos de funções com domínio D = {1, 2, 3}:
	(a)
	(b)
	(c)
	(d)
Construa o gráfico da função f (x) = x2 – 1, no caso em que seu domínio seja D( f ) = {-2, -1, 0, 1, 2}. Para que valores de x :
(a) f (x) > 0 ? (b) f (x) = 0 (c) f (x) < 0 ?
Considere o gráfico da função f abaixo. Dê seu domínio e sua imagem e determine os valores de x para os quais:
	f (x) > 0
f (x) = 0
f (x) < 0
	
Determinar o domínio e o conjunto imagem da função f cujo gráfico é:
	
II – Exercícios de Funções (Domínio)
1. Qual o domínio da função real 
?
2. Dada a função 
, escreva seu domínio ou campo de definição.
3. Escreva o domínio de definição da função 
 com valores reais.
4. Sendo 
 uma função de valores reais, escreva o seu conjunto de definição D.
5. Escreva o conjunto de todos os valores de x, para os quais 
 é um número real.
6. Dada a função 
, escreva o seu domínio.
7. Se f(x) = (3 - x2)1/2, escreva o intervalo do domínio de f.
8. Escreva o conjunto do domínio da função real de variável real f(x) = (x2 + 2x -15)-1/2.
 9. Escreva o domínio da função 
.
 10. Qual o domínio da função 
?
11. Em IR qual é o domínio mais extenso possível da função dada por 
 ?
12. O domínio da função 
 é:
 13. O domínio da função definida por 
 é:
14. Para que valor de x a função 
 é real.15. Qual o domínio da função real definida por 
? 
III – Exercícios de Funções
1. Dada as funções 
onde A = { 1; 2; 3 } e f( x) = x - 1 , calcule o conjunto imagem de f. 
2. Dados os conjuntos A ={a, b, c, d} e B ={1, 2, 3, 4, 5}, uma função de A em B pode ser definida pelo conjunto {(a, 1) , (b, 1) , (c, 1) , (d, 1)}? Justifique.
3. Sendo uma função 
 definida por f(x) = 2 - x, calcule f(- 3).
4. A relação R = {(-2, -1), (-1, 0), (0, 1)} é uma função. Expresse o domínio e o conjunto imagem respectivamente.
5. Qual é a imagem do elemento 5 na função f definida por f(x)= 1 + 2x2 ?
6. Obtenha o elemento do domínio de f(x) = 4x-3, cuja imagem é 13.
7. Sejam a s funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = -3x + 2b. Determine a + b de modo que se tenha g(1) = 3 e f(0) = - 1.
8. Seja a função 
 definida por 
. Calcule o elemento do domínio de f cuja imagem é 5.
9. Sabendo f(x)= 
 determinar o valor de 
. 
10. Se D = {1, 2, 3, 4, 5} é o domínio da função f(x) = (x - 2).(x - 4), então quantos elementos possui seu conjunto imagem?
11. Seja 
uma função. Quantos elementos possui o conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com uma reta vertical:
12. Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {0,1, 2}. Faça um diagrama de flechas para a função de A em B, f(x) = x2 - 3x + 2.
13. Seja a função f(x) = ax3 + b. Se f(- 1) = 2 e f(1) = 4, calcule a e b. 
14. Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia , contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função 
. Se o número de funcionários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, qual a porcentagem de moradores que a receberam?
15. Um consumidor comprou um automóvel por R$ 20.000,00, contanto que, no final de cada ano de uso, o valor de mercado do veículo diminuí para 90% do valor de um ano atrás. Veja na tabela a seguir o que acontece até o final do 2º ano.
	Tempo de uso do automóvel (anos)
	Valor de mercado (R$)
	0 
	20.000
	1
	0,9.20.000
	2
	0,9.0,9.20.000=(0,9)3.20.000
a) Determine o valor do automóvel ao final de 3 anos e ao final de x anos de uso.
b) Indicando por y o valor de mercado desse automóvel com x anos de uso, obtenha a equação que relaciona x e y.
c) O valor de mercado do automóvel é uma função do tempo de uso? Por que?
16. Dentro de certos limites, a variação do comprimento da coluna de mercúrio contido em um certo termômetro é 8 mm, para mais ou para menos, conforme a temperatura aumenta 5º C ou diminua 5º C, respectivamente, À temperatura 0º C, o comprimento da coluna é 40 mm.
a) Construa uma tabela para registrar a temperatura em graus Celsius, variando de 5 em 5º C, e o comprimento da coluna, em milímetros, da coluna para cada temperatura x, em graus Celsius, dentro dos limites considerados, obtenha y em função de x.
17. Em uma refinaria de petróleo, uma fissura num reservatório de gasolina provocou um grande vazamento. Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que, a partir do instante em que ocorreu a avaria, o volume V de gasolina restante no reservatório, em quilolitros, em função do tempo t, em horas, podia ser calculado pela função: V(t)= (2y2 (8t + 120.
a) Qual era a quantidade de gasolina restante no reservatório 3 horas depois da ocorrência da avaria?
b) Calcule a capacidade desse reservatório, sabendo que ele estava completamente cheio no momento em que ocorreu a fissura.
c) Qual será o tempo necessário para que o reservatório fique vazio, caso os técnicos não consigam realizar o conserto?
d) Para que sejam salvos 80% da gasolina do reservatório, em que tempo os técnicos deverão realizar o conserto?
18. Um biólogo, ao estudar uma cultura bacteriológica, contou o número de bactérias num determinado instante que chamou de instante zero; no final de cada uma das seis horas seguintes fez nova contagem das bactérias. Os resultados desta experiência foram descritos pelo gráfico abaixo.
Observando o gráfico, responda:
a) Qual era o número de bactérias no início da contagem, isto é, no instante zero?
b) De quanto aumentou o número de bactérias da quinta para a sexta hora?
c) De quanto aumentou o número de bactérias da terceira para a quinta hora?
IV – Exercícios de Funções
Dada a função f (x) = (-3m + 6)x + m + 5, determine m de modo que:
f (x) seja uma função do 1o grau. (c) f (x) seja uma função crescente.
f (x) seja uma função constante. (d) f (x) seja uma função decrescente.
Resp. (a) 
; (b) 
; (c) 
; (d) 
Sendo f (x) = 2x + 5, determine 
. 
Sendo f (x) = – 2, g (x) = 3x + 1 e h (x) = 4, calcule x de modo que: 
 
Determine a raiz de cada uma das seguintes funções:
	
	
Seja a função f : R ( R, definida por f (x) = ax + b. Sabendo que (1, -1) ( f e (-1, 2) ( f , determine 
. 
Discuta, através do gráfico, a variação de sinal de cada uma das funções:
f (x) = 5x – 10 (e) y = 5x (i) f (x) = 4x + 1
f (x) = – 5x – 10 (f) y = – 5x (j) f (x) = – 4x + 1
f (x) = 3x + 1 (g) y = x – 2 (k) f (x) = x
y = – 3x + 1 (h) y = – x – 2 (l) f (x) = – x 
Discuta algebricamente a variação de sinal de cada uma das funções:
f (x) = 2x – 5 (d) y = – 4x + 2 (g) f (x) = 
x + 
f (x) = – 2x – 5 (e) f (x) = 
 + 1 (h) f (x) = – 
x – 
y = 4x + 2 (f) f (x) = – 
 + 1 
Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de abril, segundo a função y = – 
 + 18, em que x ( {1, 2, 3, ..., 30} e y é o saldo do cliente em real no dia x de abril.
Em que dia do mês de abril o saldo do cliente chega a R$ 0,00 ?
Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é positivo ?
Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é negativo ?
O gráfico mostra a temperatura de uma região do Rio Grande do Sul desde as 5 h até as 11 h.
	Em que horário desse período a temperatura atingiu 0 oC ?
Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve negativa ?
Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve positiva ?
	
28. (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preções, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$90,00 mais o valor de R$5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52, lugares, calcule:
a) A expressão da função P, que calcula o preço de cada passagem considerando que viajam x passageiros.
b) O total arrecadado pela empresa pelo pagamento de 40 passageiros.
29. Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme a Figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o "lado" AB (Figura 2). Seja D’ esta posição do vértice D e x a distância de A a D’. A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é:
30. Uma turma de torcedores de um time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do time para a torcida. Contataram com um fabricante que deu o seguinte orçamento:
• Arte final mais serigrafia: R$90,00 independente do número de camisetas.
• Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$6,50 por camiseta.
Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja de R$7,00?
31. Um ônibus de 40 lugares foi fretado sob as seguintes condições: cada passageirodeve pagar R$ 50,00 mais uma taxa de R$ 2,00 por lugar que ficar vago.
a) Se 25 passageiros forem viajar, quanto receberá a empresa de ônibus por esse frete?
b) Se x passageiros forem viajar, qual é a função que expressa o valor f(x), em reais, arrecadado pela empresa de ônibus com esse frete?
32. (Puccamp) Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom condicionamento aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de sangue. Em um esforço rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa normal pode ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o gráfico. Se o aumento dos batimentos cardíacos de uma pessoa normal ocorre de forma linear, então os números de batimentos cardíacos do atleta e de uma pessoa normal serão iguais, após quantos segundos do momento do saque?
a) 0,8 b) 0,78 c) 0,75 d) 0,64 e) 0,6
	
33. Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café, em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador, usando a equação 
, em que P é o preço em dólares e x é o número de sacas vendidas.
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir cem sacas?
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir duzentas sacas?
c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?
34. Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por: 
, em que p é a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança de 8 Kg.
Determine:
a) a área da superfície corporal da criança.
b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar. (Use a aproximação 
).
35. Para encher uma piscina, até então vazia, foi aberta uma torneira cuja vazão é de 26 litros por minuto.
a) Indicando por y o volume em litros de água despejada pela torneira em x minutos, obtenha a equação que relaciona y e x.
b) O volume de água despejada é função do tempo? Por que?
36. (UEG) Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão C(x) = qx + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine:
a) Os valores de b e de q. b) O custo de produção de 800 camisetas.
37. O preço do gás natural para um consumidor residencial na Cidade do Rio de Janeiro é obtido a partir das informações: 1) O consumidor paga pelo que gasta de acordo com quatro níveis de consumo: Os sete primeiros metros cúbicos custam R$ 2,20 cada, os próximos dezesseis já custam mais caro, R$2,90 cada. 2) Se o consumo for acima desses 23, mais caro fica (R$ 3,60 por cada metro cúbico). E ainda existe mais uma faixa. Por exemplo, se o consumo da sua casa for de 25 m³, você deverá pagar: 7 × 2,20 + 16 × 2,90 + 2 × 3,60 = R$ 69,00.
a) Quanto pagará uma família cujo consumo for de 85 m³?
b) Escreva uma expressão que dê o valor pago por uma residência cujo consumo mensal, N, está entre 8 e 23 m³/mês.
38. (PUCMG) De acordo com certa revista, o peso ideal do corpo adulto em função da altura é dado pela fórmula 
, em que P é o peso, em quilogramas, a é a altura, em centímetros, b = 4, para homens e para mulheres, b = 2. Se André e Simone, que têm a mesma altura, estão com seu peso ideal, segundo a informação dessa revista, e André pesa 6 quilos a mais do que Simone, pode-se afirmar que o peso de Simone, em quilogramas, é igual a:
39. Seja a função f(x – 4) = x³ + 1, calcule o valor de f(-3) + 4.f(5) – f(0).
40. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1) = 3.f(x) – 2. Calcule o valor de f(0).
41. Seja a função f(x + 2) = x³ + 3f(x) e f(1) = 3, calcule o valor de f(5).
II – Exercícios de Funções Racionais 
Encontre a função f (x) • g (x), sendo f (x) = 
 e g (x) = 
. Qual o domínio de f (x) • g (x) ?
Encontre a função 
, sendo f (x) = 
 e g (x) = 
. Qual o domínio de 
?
Esboce o gráfico de f (x) = 
. Dê seu domínio e conjunto imagem.
Esboce o gráfico de f (x) = 
. Dê seu domínio e conjunto imagem.
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