C3 UnB Lista 4 Gabarito

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Denote por (x, y, z) o centro de massa do so´lido Q, de densidade 1, limitado pelo para-
boloide z = x2 + y2, pelo cilindro x2 + y2 = 4x e pelo plano z = 0, conforme a figura. Se
necessa´rio, use que cos4(t) = 1
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(cos(4t) + 4 cos(2t) + 3).
C E a) Em coordenadas cartesianas, tem-se que
Q = {(x, y, z);x2 + y2 ≤ 4x e 0 ≤ z ≤ x2 + y2}
C E b) Em coordenadas cil´ındricas, o so´lido corresponde a` regia˜o
Q̂ = {(r, θ, z); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4 cos(θ) e 0 ≤ z ≤ r2}
C E c) A massa de Q e´ maior do que 25π.
C E d) Tem-se necessariamente que z < 16.
C E e) Tem-se necessariamente que y = 0. x
y
z
2) A atmosfera alcanc¸a cerca de 100 × 103 m e possui massa aproximada de 5, 1 × 1018 kg.
Suponha a Terra esfe´rica de raio R m e denote por Q a regia˜o da atmosfera situada entre o
n´ıvel do solo e um altura de h0 m. Suponha ainda que a densidade nesta regia˜o, em kg/m
3
e na altura de h m, possa ser aproximada pela func¸a˜o δ(h) = a− b(R+ h), em que a e b sa˜o
constantes apropriadas.
h
a) Obtenha a expressa˜o da regia˜o Q em coordenadas cartesianas.
Resposta: Q = {(x, y, z);R2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ (R + h0)
2}
b) Obtenha a expressa˜o da regia˜o Q em coordenadas esfe´ricas.
Resposta: Q̂ = {(ρ, θ, φ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π e R ≤ ρ ≤ R+ h0}
c) Calcule a massa M de Q em termos das constantes a, b, R e h0.
Resposta: M = 4π
[
a
3ρ
3 − b4ρ
4
] ∣∣R+h0
R
d) Suponha agora R = 6.370 × 103 e h0 = 3 × 10
3. Enta˜o as constantes a = 619, 09 e
b = 9, 7× 10−5 fornecem um bom modelo para a densidade. Verificar que, neste caso,
M e´ maior do que 1, 5× 1018.
Resposta: M ≈ 1, 6× 1018
e) Nas condic¸o˜es acima verifique que, apesar da altura de Q ser de 3% da altura total,
essa regia˜o concentra mais de 30% da massa da atmosfera.
Resposta: 100× 1,65,1 > 30
Ca´lculo III Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 – 1/2
3) Considere o cilindro Q = {(x, y, z); x2 + y2 ≤ 32 e 0 ≤ z ≤ 4}, com densidade constante
δ0, e o problema de calcular a forc¸a gravitacional com que ele atrai uma part´ıcula de massa
m0 situada no ponto P0 = (0, 0, 0). Denote por G a constante de gravitac¸a˜o e por dF (P ) a
forc¸a com que a massa dm = δ0 dxdydz do ponto P = (x, y, z) atrai a part´ıcula. Observe
que, por simetria, as componentes horizontais de dF (x, y, z) e dF (−x,−y, z) se cancelam,
restando apenas as componentes verticais dessas forc¸as.
a) Use as leis de gravitac¸a˜o para determinar dF (P ).
Resposta: dF (P ) = Gm0dm‖P‖2
P
‖P‖
b) Usando um argumento infinitesimal, obtenha a expres-
sa˜o da componente vertical Fv da forc¸a F = (0, 0, Fv)
com que o cilindro atrai a part´ıcula.
Resposta: Fv =
∫∫∫
Q
Gm0δ0z dxdydz
(x2+y2+z2)3/2
c) Calcule a integral
∫ 4
0
z dz
(r2+z2)3/2
.
Resposta:
∫ 4
0
z dz
(r2+z2)3/2
= r−1 − (r2 + 42)−1/2
d) Calcule Fv usando os itens anterior e coordenadas cil´ındricas.
Resposta: Fv = 4πGm0δ0
e) Seja agora d > 0 tal que Fv = GM m0/d
2, onde M = π324δ0 e´ a massa de Q. Verifique
se d e´ menor, e´ igual ou e´ maior do que a distaˆncia entre a part´ıcula e o centro de
massa do cilindro.
Resposta: d = 3 > 2 = distaˆncia da part´ıcula ao centro de massa
4) O campo ele´trico E(P ) gerado por uma bola uniforme de raio R com carga total q e´ dado
por E(P ) =
q
4πǫ0R3
P se ‖P‖ ≤ R e por E(P ) =
q
4πǫ0‖P‖3
P se ‖P‖ > R, onde P = (x, y, z)
e´ um ponto gene´rico de R3. A energia potencial U correspondente a esse campo, que e´ o
trabalho requerido para agrupar as cargas, pode ser calculada por meio da integral
q
4πǫ0R2
‖E‖
R ‖P‖
U =
ǫ0
2
∫∫∫
R3
‖E(x, y, z)‖2 dxdydz
a) Encontre a expressa˜o de ‖E(P )‖2 nos casos em que
‖P‖ ≤ R e ‖P‖ > R.
Resposta: ‖E(P )‖2 = (
q
4πǫ0
)2 ‖P‖
2
R6 se ‖P‖ ≤ R,
e ‖E(P )‖2 = (
q
4πǫ0
)2 1‖P‖4 se ‖P‖ > R
b) Expresse o resultado acima em coordenadas esfe´ricas.
Resposta: ‖E(P )‖2 = (
q
4πǫ0R3
)2 ρ
2
R6 se ‖P‖ ≤ R, e ‖E(P )‖
2 = (
q
4πǫ0
)2 1ρ4 se ‖P‖ > R
c) Calcule ǫ0
2
∫∫∫
BR
‖E(x, y, z)‖2 dxdydz, onde BR e´ a bola de raio R.
Resposta: ǫ02
∫∫∫
BR
‖E(x, y, z)‖2 dxdydz = 12
q2
4πǫ0
1
5R
d) Calcule a integral ǫ0
2
∫∫∫
Qa
‖E(x, y, z)‖2 dxdydz onde Qa = {P ∈ R
3;R < ‖P‖ < a}.
Em seguida, passando o limite com a→∞, calcule a energia potencial total U .
Resposta: ǫ02
∫∫∫
Qa
‖E(x, y, z)‖2 dxdydz = 12
q2
4πǫ0
(
1
R −
1
a
)
e U = 35
q2
4πǫ0
1
R
e) A energia de um sistema de duas cargas de magnitude q/2 separadas por uma distaˆncia
d e´ q
2
16πǫ0d
. Determine d para que a energia deste sistema seja igual a` energia U .
Resposta: d = 512R
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