PROVA N2 A5 GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS

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Usuário EDUARDO OLIMPIO RAMOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
Teste 20211 - PROVA N2 (A5)
Iniciado 09/04/21 13:35
Enviado 09/04/21 17:18
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 3 horas, 43 minutos
Instruções
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Pergunta 1
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da
resposta:
Dado um cilindro circular reto de raio  e altura , sua área de superfície total  é a soma da área da
superfície lateral com a área da tampa e da base, ou seja, . Já o seu volume  é dado como o
produto da área da base com a altura, isto é, . Considere uma lata fechada com a forma de um
cilindro circular reto. Se o volume da lata é de , assinale a alternativa que apresenta o valor da altura
  e do raio  para que seja usada a menor quantidade de material em sua fabricação.
h = 6 cm, r = 3 cm.
h = 6 cm, r = 3 cm.
Resposta correta. A alternativa está correta. Ao analisar cada alternativa, depreende-se que as dimensões da
lata devem ser h = 6 cm, r = 3 cm, pois é a única alternativa que satisfaz a função volume com a menor área
possível, conforme veri�cado a seguir. 
Se h = 6 cm, r = 3 cm, então  e  (opção correta). 
Se h = 5 cm, r = 3 cm, então  e 
Se h = 4 cm, r = 4 cm, então  e 
Se h = 9 cm, r = 3 cm, então  e 
Se h = 8 cm, r = 5 cm, então  e 
Pergunta 2
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Comentário
da
resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força eletromotriz 
 (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte
equação diferencial: . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem,
considere um resistor de , uma indutância de  e uma voltagem constante de . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear de primeira ordem
 é expresso por . Dada a EDO , temos
que  e, portanto, o fator integrante é .
1 em 1 pontos
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Pergunta 3
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da
resposta:
Analise a figura a seguir: 
  
  
Figura: Semicircunferência no primeiro quadrante. 
Fonte: Elaborada pela autora. 
  
A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa pode
ser expressa em coordenadas polares como , com . Supondo uma lâmina com o
formato da região acima, a medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é
proporcional à medida de sua distância até a origem, isto é, , onde  é uma constante. Assinale a
alternativa que corresponde à massa da lâmina descrita acima considerando  e  e sabendo que
 .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, dados  e , temos que  e .
Então, a região de integração é  e a massa corresponde à integral 
.
Pergunta 4
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Comentário
da
resposta:
Às vezes, calcular uma integral dupla , onde  é uma região em formato circular, usando
coordenadas retangulares pode ser algo trabalhoso a se fazer. Porém, a descrição de  pode se tornar mais
simples fazendo o uso de coordenadas polares, isto é,  em que
 . Use coordenadas polares para calcular a integral 
 onde . Assinale a alternativa correta. (Dica: lembre que ).
Resposta correta. A alternativa está correta, pois em coordenadas polares escrevemos  e
, portanto, a região  em coordenadas polares pode ser escrita como
. Assim, em coordenadas polares, temos a seguinte integral
. Integrando
1 em 1 pontos
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primeiro em relação à variável  e, em seguida, integrando em relação à variável  temos: 
Pergunta 5
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Comentário da
resposta:
O centro de massa de uma lâmina na forma de uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante é
dado pelo par , onde  e . Nesse caso, em coordenadas polares, temos
 ,  e , onde  é uma
constante. Considere uma lâmina na forma de uma semicircunferência de equação  com
 . Assinale a alternativa que corresponde ao centro de massa da lâmina quando :
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a região de integração é dada por
. Dado , temos que: 
 
 
     
 
Logo,  e , ou seja, .
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma , onde  e 
 são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de
primeira ordem é dada pela expressão . 
  
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa que
apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
  
  
I. A solução geral da equação  é . 
II. A solução geral da equação  é . 
III. A solução geral da equação  é . 
IV. A solução geral da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I, II e IV, apenas.
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Comentário
da resposta:
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para uma equação diferencial
linear, temos: 
A�rmativa I: correta. Temos que  e , assim, 
. 
  
A�rmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que  e , assim,
. 
  
A�rmativa IV: correta. Temos que  e , assim,
, onde
.
Pergunta 7
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Comentário
da
resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em
resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o
bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C.
Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a
temperatura de 30 °C. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
  
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode ser descrita pela
equação diferencial  onde  e são fornecidas as seguintes informações:
 e . Nosso problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que
. Resolvendo a equação diferencial, temos
 
, onde . Das condições  e  vamos
determinar as constantes  e . De  temos . De , temos . Portanto,
a função temperatura do bolo é . Vamos determinar agora o tempo para o qual a
temperatura é 30ºC. De , temos .
Pergunta 8
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na
mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a
concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
  
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função
  no ponto P(-1,1). 
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Quarta-feira, 17 de Novembro de 2021 16h30min56s BRT
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Comentário
da
resposta:
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são:
,  e . Logo, . Como a
direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente,
temos que o vetor procurado é .
Pergunta 9
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Comentário
da
resposta:
Considerando uma função , temos que o valor do coeficiente angular da reta tangente a um ponto P da
função  é dado pelo valor da derivada da função  no ponto P. Assim, considerando um ponto  da
função , na equação da reta dada por , temos que . Nesse sentido, assinale
a alternativa que apresenta a equação da retatangente à função  no ponto P(1,3).
y = 9x - 6.
y = 9x - 6.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a equação reduzida da reta tangente à função  no ponto
P(1,3) tem como coe�ciente angular o valor  e como coe�ciente linear o valor . Dessa
maneira, a sua equação é .
Pergunta 10
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da
resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a
função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor
gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior
decrescimento da função. 
  
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função  no
ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é . Precisamos então
determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função ,
assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
-                          
-                         
-                
  
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é .
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