Cálculo 3 UnB cal3na 13

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 13∗
Integrac¸a˜o em Va´rias Varia´veis
As integrais em uma varia´vel sa˜o usadas para medir quantidades como a´rea, centro de
massa e temperatura me´dia de barras, etc. As integrais em va´rias varia´veis sa˜o uma genera-
lizac¸a˜o natural dessas medidas para volume, centro de massa e temperatura me´dia de chapas
ou so´lidos, etc. O curioso e´ que, para isso, na˜o e´ necessa´rio nada de muito novo!
Lembrando: Integrac¸a˜o em Uma Varia´vel
Suponha que, ate´ o momento, so´ se conhec¸a a a´rea de retaˆngulos, que e´ o produto da
base pela altura. A partir da´ı, como calcular, por exemplo, a a´rea A abaixo do gra´fico da
func¸a˜o g : [0, 2]→ R dada por g(x) = 1 + x2?
2 2 2
1 1 1
5 5 5
A a´rea A O retaˆngulo menor O retaˆngulo maior
O problema, claro, e´ que o gra´fico de g na˜o e´ uma reta, e a a´rea A na˜o pode ser calculada
imediatamente. No entanto, ela pode ser aproximada observando o seguinte: como a func¸a˜o
e´ crescente, tem-se que g(0) ≤ g(x) ≤ g(2) para todo x ∈ [0, 2]. Logo, a a´rea A esta´ entre as
a´reas de dois retaˆngulos, o menor de base 2 e altura g(0) e o maior de base 2 e altura g(2).
Veja as figuras acima. Da´ı segue-se que
2 = 2× 1 = 2× g(0) ≤ A ≤ 2× g(2) = 2× 5 = 10 (1)
Bem, concluir que a a´rea A esta´ entre 2 e 10 na˜o chega a ser emocionante! Mas o
importante e´ que esse e´ o primeiro passo de aproximac¸o˜es cada vez melhores.
1 12 2 2
1 1 1
5 5 5
A a´rea A Uma soma inferior Uma soma superior
O segredo esta´ em dividir o domı´nio em intervalos menores, e aplicar o passo acima
em cada um desses pequenos intervalos. Por exemplo, considere a partic¸a˜o 0 < 1 < 2 do
intervalo [0, 2]. Enta˜o, como g e´ crescente, tem-se que g(0) ≤ g(x) ≤ g(1) para todo x ∈ [0, 1]
e g(1) ≤ g(x) ≤ g(2) para todo x ∈ [1, 2]. Com o auxilio das figuras acima, da´ı segue-se que
∗Texto digitado e diagramado por Deivid Vale a partir de suas anotac¸o˜es de sala
3 = g(0)× 1 + g(1)× 1 ≤ A ≤ g(1)× 1 + g(2)× 1 = 7 (2)
O´timo. Apesar de ainda na˜o ser uma boa aproximac¸a˜o, ja´ melhorou em relac¸a˜o a` anterior.
Ale´m disso, repetindo-se esses passos as aproximac¸o˜es ficam cada vez melhores.
O lado esquerdo das desigualdades (1) e (2) e´ dito uma soma inferior da func¸a˜o g, por
calcular aproximac¸o˜es a menor da a´rea A. Como no caso acima, passando do valor 2 para o
3, essas somas aumentam com o aumento do nu´mero de partic¸o˜es do intervalo.
O lado direito das desigualdades (1) e (2) e´ dito uma soma superior da func¸a˜o g, por
calcular aproximac¸o˜es a maior da a´rea A. Tambe´m como no caso acima, passando do valor
10 para o 7, essas somas diminuem com o aumento do nu´mero de partic¸o˜es do intervalo.
Esta e´ uma boa maneira de calcular aproximac¸o˜es, por meio das somas inferiores e supe-
riores. As primeiras aumentam e as segundas diminuem, e a a´rea esta´ sempre entre elas.
No entanto, as somas inferiores e superiores apresentam um
problema pra´tico importante. E´ necessa´rio saber o mı´nimo e o
ma´ximo da func¸a˜o em cada subintervalo do domı´nio. No exemplo
acima isso foi fa´cil porque a func¸a˜o e´ crescente: o mı´nimo ocorre no
lado esquerdo de cada subintervalo, e o ma´ximo no lado direito.
Mas isso na˜o seria ta˜o fa´cil, por exemplo, para a func¸a˜o cujo
gra´fico esta´ ilustrado ao lado. A figura mostra uma soma inferior, e
percebe-se que, dependendo da partic¸a˜o do domı´nio, na˜o e´ tarefa fa´cil
determinar o valor mı´nimo da func¸a˜o em cada subintervalo.
As Somas de Riemann
O problema com as somas inferiores e superiores pode ser contornado usando-se as somas
de Riemann, como indicado abaixo.
Considere uma partic¸a˜o P = {0 = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = 2} do intervalo [0, 2].
Para cada i = 1, 2, . . . , m escolhe-se um ponto qualquer si ∈ [xi−1, xi]. Com essas escolhas,
e com a mesma func¸a˜o g acima, forma-se a soma de Riemann
SR(g,P) =
m∑
i=1
g(si)∆xi
onde ∆xi = xi − xi−1 e´ o comprimento do intervalo [xi−1, xi]. Cada termo desta soma
representa a a´rea de um retaˆngulo de altura g(si) e base ∆xi, e a soma dessas a´reas e´ uma
aproximac¸a˜o para a a´rea A. As figuras abaixo ilustram essas somas no caso da partic¸a˜o
0 < 1 < 2 e com duas escolhas diferentes dos si’s.
1 1s1 s2 s1 s22 2 2
A a´rea A Uma soma de Riemann Outra soma de Riemann
A partir das figuras percebe-se que, se forem escolhidos s1 = 0 e s2 = 1, enta˜o a soma de
Riemann coincide com a soma inferior. Analogamente, se forem escolhidos s1 = 1 e s2 = 2,
enta˜o a soma coincide com a soma superior.
Ca´lculo III Notas da Aula 13 2/7
Assim, as somas inferiores e superiores sa˜o casos particulares das somas de Riemann. E´
claro que sa˜o casos particulares importantes porque, para cada partic¸a˜o P, a soma inferior
e´ o menor, e a soma superior o maior, valor que as somas de Riemann podem assumir. Em
particular, uma soma de Riemann qualquer esta´ entre a soma inferior e a superior.
Da´ı segue-se que tambe´m as somas de Riemann se aproximam da a´rea a` medida que
se aumenta o nu´mero de pontos da partic¸a˜o. De fato, o que e´ importante na˜o e´ aumentar
o nu´mero de pontos da partic¸a˜o, mas diminuir os tamanhos ∆xi dos intervalos [xi−1, xi].
O que se pretende e´ que todos esses tamanhos diminuam. Para isso, dada uma partic¸a˜o
P = {0 = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = 2}, define-se a sua norma por
‖P‖ = maior dos comprimentos ∆xi com i = 1, 2, ..., m
E´ claro que, se ‖P‖ diminui, enta˜o todos os comprimentos ∆xi tambe´m diminuem, e
pode-se finalmente definir a integral como sendo o limite∫ 2
0
g(x)dx = lim
‖P‖→0
SR(g,P)
Esta e´ a definic¸a˜o da integral, e dela decorre todas as propriedades que a integral tem.
2
Por exemplo, e´ fa´cil deduzir da definic¸a˜o que a integral
de uma soma e´ a soma das integrais. Pode-se tambe´m cal-
cular boas aproximac¸o˜es para a integral. Conforme a figura
ao lado, obte´m-se uma boa aproximac¸a˜o para a a´rea A di-
vidindo o intervalo [0, 2] em 10 subintervalos e escolhendo os
si
′s como sendo os pontos me´dios desses intervalos. Neste
caso o valor da soma e´
SR(g,P) =
10∑
i=1
g(si)∆xi = 4, 660
O Teorema Fundamental do Ca´lculo
As somas de Riemann, ou equivalentes, ja´ eram conhecidas dos antigos gregos, que cal-
cularam a a´rea do c´ırculo com ideias semelhante. A novidade do Ca´lculo e´ que a integral
pode ser calculada de uma forma indireta, mais fa´cil que a definic¸a˜o. Para isso, e´ importante
lembrar um outro resultado, conhecido como o
Teorema 1 (do Valor Me´dio). Se G(x) e´ cont´ınua em [a, b]
e deriva´vel em (a, b), enta˜o existe s ∈ (a, b) tal que
G(b)−G(a)
b− a
= G′(s)
A figura ilustra o significado geome´trico do teorema. Ele
afirma que a inclinac¸a˜o da reta por (a,G(a)) e (b, G(b))
(o lado esquerdo da igualdade acima) e´ igual a` inclinac¸a˜o
da tangente ao gra´fico em algum ponto s ∈ (a, b). a s b
G(a)
G(b)
Pode-se ainda escrever a igualdade como
G(b)−G(a) = G′(s)(b− a)
e interpreta´-la assim: a diferenc¸a G(b)−G(a) (no eixo Oy) e´ proporcional a` diferenc¸a b−a (no
eixo Ox), com constante de proporcionalidade igual a` derivada G′(s) para algum s ∈ (a, b).
Ca´lculo III Notas da Aula 13 3/7
O surpreendente e´ que esse teorema faz uma ponte extremamente elegante entre as
derivadas e as integrais. De fato, suponha que G seja uma primitiva de g(x) = 1 + x2,
isto e´, tal que G′(x) = g(x). Por exemplo, pode-se escolher G(x) = x + x3/3, mas poderia
ser qualquer outra primitiva. Enta˜o, existe algum s ∈ [0, 2] tal que
G(2)−G(0) = G′(s)(2− 0) = g(s)(2− 0)
Veja que igualdade interessante. No gra´fico de G(x), ela significa uma proporc¸a˜o entre os
tamanhos G(2)− G(0) e 2 − 0. Ja´ no gra´fico de g(x) ela significa uma a´rea retangular, de
base 2− 0 e altura g(s). Esta situac¸a˜o esta´ ilustrada na coluna do meio da figuraa seguir.
s
s
g(s)
s1 1 s2
s1 1 s2
G(2) G(2) G(2)
g(s1)
g(s2)
2 2 2
2 2 2
A a´rea A
Gra´fico de G
Primeiro passo Segundo passo
Acompanhe agora a terceira coluna. Ela ilustra o uso do Teorema do Valor Me´dio nos
subintervalos da partic¸a˜o 0 < 1 < 2. Assim, existem s1 ∈ [0, 1] e s2 ∈ [1, 2] tais que
G(2)−G(0) = G(2)−G(1) +G(1)−G(0)
= G′(s2)(2− 1) +G
′(s1)(1− 0)
= g(s2)(2− 1) + g(s1)(1− 0)
= g(s2)∆x2 + g(s1)∆x1
em que o u´ltimo termo e´ uma soma de Riemann da func¸a˜o g. O truque usado acima, de
somar e subtrair G(1), e´ conhecido como uma soma telesco´pica.
E´ claro enta˜o que, dada uma partic¸a˜o P = {0 = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = 2} de
[0, 2], pode-se somar e subtrair G(xi) e concluir que existem si ∈ [xi−1, xi] tais que
G(2)−G(0) =
m∑
i=1
G(xi)−G(xi−1) =
m∑
i=1
G′(si)∆xi =
m∑
i=1
g(si)∆xi
Resumindo: para cada partic¸a˜o P de [0, 2], existem si ∈ [xi−1, xi] tais que
G(2)−G(0) =
m∑
i=1
g(si)∆xi = SR(g,P)
Agora fica claro que, passando ao limites com ‖P‖ → 0, obte´m-se o
Ca´lculo III Notas da Aula 13 4/7
Teorema 2 (Fundamental do Ca´lculo). Se g : [a, b]→ R e´ cont´ınua com primitiva G, enta˜o∫ b
a
g(x) dx = G(b)−G(a)
Em particular, como G(x) = x+ x3/3 e´ uma primitiva de g(x) = 1 + x2, segue-se que a
a´rea A sob o gra´fico de g no intervalo [0, 2] e´∫ 2
0
g(x) dx = G(2)−G(0) = 2 + 23/3 ≈ 4, 66667
Integrac¸a˜o em Va´rias Varia´veis
Suponha que, ate´ o momento, so´ se conhec¸a a integral de func¸o˜es de uma varia´vel. A
partir da´ı, como calcular, por exemplo, o volume V abaixo do gra´fico da func¸a˜o f : D → R,
onde D = [0, 2]× [0, 2] e f(x, y) = 1 + x2 + y2?
x x xy
y y
O volume V O paralelep´ıpedo menor O paralelep´ıpedo maior
O problema, claro, e´ que o gra´fico de f na˜o e´ um plano, e o volume V na˜o pode ser
calculado imediatamente. No entanto, ele pode ser aproximado observando o seguinte: a
func¸a˜o e´ tal que f(0, 0) ≤ f(x, y) ≤ f(2, 2) para todo (x, y) ∈ D; logo, o volume V esta´ entre
os volumes de dois paralelep´ıpedos, o menor de base 2× 2 e altura f(0, 0) e o maior de base
2× 2 e altura f(2, 2). Veja as figuras acima. Da´ı segue-se que
4 = 2× 2× f(0, 0) ≤ V ≤ 2× 2× f(2, 2) = 36
Bem, de novo, concluir que o volume V esta´ entre 4 e 36 na˜o parece muito animador! Mas
agora ja´ se sabe que o segredo esta´ em dividir o domı´nio em retaˆngulos menores, e aplicar o
passo acima em cada um desses pequenos retaˆngulos.
2 x2 x4x1 x1 x2 x3
2 y3 y3
y2 y2
y1 y1
As figuras acima ilustram algumas partic¸o˜es poss´ıveis do domı´nio. Em geral, sejam
P1 = {0 = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = 2} uma partic¸a˜o de [0, 2] ao longo do eixo Ox e
P2 = {0 = y0 < y1 < · · · < yn−1 < yn = 2} uma partic¸a˜o de [0, 2] ao longo do eixo Oy, e
indique por ∆xi = xi − xi−1 e ∆yj = yj − yj−1 os comprimentos dos respectivos intervalos.
A partic¸a˜o P = P1 × P2 do domı´nio D corresponde a fazer o produto cartesiano dos
intervalos Rij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj], obtendo retaˆngulos Rij de a´reas ∆xi ∆yj. A norma
desta partic¸a˜o e´, por definic¸a˜o, o nu´mero
‖P‖ =
√
‖P1‖2 + ‖P2‖2
de modo que ‖P‖ → 0 se, e somente se, ‖P1‖ → 0 e ‖P2‖ → 0.
Ca´lculo III Notas da Aula 13 5/7
Correspondente a` partic¸a˜o P podem ser definidas a soma inferior, a soma superior, ou
mesmo uma soma de Riemann qualquer. Essas u´ltimas sa˜o mais fa´ceis e, para isso, devem
ser escolhidos si∈ [xi−1, xi] e tj∈ [yj−1, yj]. Enta˜o, a soma de Riemann correspondente e´
SR(f,P) =
n∑
j=1
m∑
i=1
f(si, tj)∆xi ∆yj
Cada termo desta soma representa o volume de um paralelep´ıpedo de altura f(si, tj) e
a´rea da base ∆xi ∆yj, e a soma desses volumes e´ uma aproximac¸a˜o para o volume V .
x y
A figura ao lado ilustra essa soma no caso das partic¸o˜es
P1 = 0 < 1/2 < 1 < 3/2 < 2 e P2 = 0 < 2/3 < 4/3 < 2
e com (si, tj) sendo o centro do retaˆngulo Rij . Neste caso,
∆xi = 1/2 e ∆yj = 2/3 para todo i e j, e na˜o e´ dif´ıcil
verificar que a aproximac¸a˜o correspondente para o volume e´
SR(f,P) =
3∑
j=1
4∑
i=1
f(si, tj)∆xi ∆yj ≈ 14, 44
Exatamente como antes, define-se a integral dupla de f sobre o domı´nio D como sendo∫∫
D
f(x, y) dxdy = lim
‖P‖→0
SR(f,P)
Desta definic¸a˜o seguem todas as propriedades da integral dupla, o que sera´ visto adiante.
No entanto, tambe´m como no caso de uma varia´vel, a definic¸a˜o na˜o e´ uma maneira pra´tica
de calcular a integral dupla, e vale procurar maneiras alternativas de se fazer esse ca´lculo.
As Integrais Iteradas
As integrais duplas podem ser calculadas, e de maneira mais fa´cil que a definic¸a˜o, por
meio das integrais iteradas, como indicado a seguir.
Para isso, considere a partic¸a˜o P = P1×P2 como definida acima, onde P1 e´ uma partic¸a˜o
de [0, 2] ao longo do eixo Ox e P2 uma partic¸a˜o de [0, 2] ao longo do eixo Oy. A soma de
Riemann correspondente pode ser organizada na forma
n∑
j=1
m∑
i=1
f(si, tj)∆xi ∆yj =
n∑
j=1
(
m∑
i=1
f(si, tj)∆xi
)
∆yj (3)
o que corresponde a, primeiro, fixar o ı´ndice j e somar em i de 1 a m e, em seguida, somar
os resultados em j de 1 a n. Organizando a soma desta forma obte´m-se que a soma interna∑m
i=1 f(si, tj)∆xi e´ uma soma de Riemann da func¸a˜o de uma varia´vel g(x) = f(x, tj). Muito
interessante, pois ja´ se sabe tudo sobre func¸o˜es de uma varia´vel!
De fato, cada termo (
∑m
i=1 f(si, tj)∆xi)∆yj da soma em (3) e´ o volume de um so´lido
formado por paralelep´ıpedos, de largura ∆yj e laterais que sa˜o aproximac¸o˜es da a´rea abaixo
do gra´fico da func¸a˜o g(x) = f(x, tj). Este so´lido esta´ ilustrado na figura do meio a seguir.
x x xy y y
∆yj
∆yj
Ca´lculo III Notas da Aula 13 6/7
Passando ao limite com ‖P1‖ → 0 obte´m-se o so´lido que esta´ ilustrado a` direita, de volume(
lim
‖P1‖→0
m∑
i=1
f(si, tj)∆xi
)
∆yj =
(∫ 2
0
f(x, tj) dx
)
∆yj = A(tj)∆yj
onde foi usada a notac¸a˜o A(y) =
∫ 2
0
f(x, y) dx, que e´ a a´rea abaixo do gra´fico da func¸a˜o
g(x) = f(x, y). Esta a´rea e´ tambe´m dita a a´rea da sec¸a˜o transversal pelo ponto (0, y).
Finalmente, como ‖P‖ → 0 se, e somente se, ‖P1‖ → 0 e ‖P2‖ → 0, segue-se que∫∫
D
f(x, y) dxdy = lim
‖P‖→0
n∑
j=1
m∑
i=1
f(si, tj)∆xi ∆yj
= lim
‖P2‖→0
n∑
j=1
(
lim
‖P1‖→0
m∑
i=1
f(si, yj)∆xi
)
∆yj = lim
‖P2‖→0
n∑
j=1
A(tj)∆yj
Ora! O u´ltimo termo desta igualdade e´ o limite das somas de Riemann da func¸a˜o A(y).
Por definic¸a˜o, este limite e´ a integral da func¸a˜o A(y) no intervalo [0, 2], e portanto∫∫
D
f(x, y) dxdy =
∫ 2
0
A(y) dy =
∫ 2
0
(∫ 2
0
f(x, y) dx
)
dy
Surpresa! A integral dupla pode ser calculada iteradamente por meio de integrais simples.
Calcula-se a integral da func¸a˜o f(x, y) na varia´vel x para se obter a a´rea da sec¸a˜o transversal;
em seguida, integra-se essas a´reas para se obter o volume.
No exemplo em estudo, em que f(x, y) = 1 + x2 + y2, tem-se que∫∫
D
f(x, y) dxdy =
∫ 2
0
(∫ 2
0
(1 + x2 + y2) dx
)
dy
=
∫ 2
0
(
2 + 23/3 + 2y2
)
dy = 44/3 ≈ 14, 6667
Ca´lculo III Notas da Aula 13 7/7