Cálculo 3 cal3na 32

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 32∗
Integrais de Superf´ıcie
As integrais de linha, a um paraˆmetro, medem comprimento, massa ou fluxo ao longo de
curvas. As integrais de superf´ıcie sa˜o uma generalizac¸a˜o dessas integrais para as superf´ıcies.
Sa˜o integrais a dois paraˆmetros que, agora, medem a´rea, massa ou fluxo atrave´s de superf´ıcies.
Superf´ıcies Parame´tricas
O primeiro exemplo de uma superf´ıcie e´ o gra´fico de uma func¸a˜o diferencia´vel f : D → R,
com D ⊂ R2, que e´ o conjunto S = {(x, y, f(x, y)) ∈ R3; (x, y) ∈ D}. A superf´ıcie S pode
ser descrita por meio da func¸a˜o vetorial ϕ : D → R3 dada por
ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y))
Com essa notac¸a˜o tem-se que S = ϕ(D), a imagem de
D por ϕ, o que e´ uma maneira de descrever S por meio dos
paraˆmetros x e y. Assim, ϕ e´ dita uma parametrizac¸a˜o
de S, ou que S e´ uma superf´ıcie parame´trica.
Para x = x0 fixo, y 7→ ϕ(x0, y) = (x0, y, f(x0, y)) e´
uma func¸a˜o que descreve um caminho sobre a superf´ıcie
S, e e´ dito um caminho coordenado. A figura ao lado
ilustra o caminho juntamente com o seu vetor velocidade
no ponto y0, que e´ o limite do quociente de Newton
x0
y0
ϕy
D
S
ϕy(x0, y0) = lim
∆y→0
ϕ(x0, y0 +∆y)− ϕ(x0, y0)
∆y
(1)
= lim
∆y→0
(
0, 1,
f(x0, y0 +∆y)− f(x0, y0)
∆y
)
= (0, 1, fy(x0, y0)).
Analogamente, para y = y0 fixo, a func¸a˜o x 7→ ϕ(x, y0) = (x, y0, f(x, y0)) e´ tambe´m um
caminho coordenado cujo vetor velocidade no ponto x0 e´
ϕx(x0, y0) = lim
∆x→0
ϕ(x0 +∆x, y0)− ϕ(x0, y0)
∆x
(2)
= lim
∆x→0
(
1, 0,
f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0)
∆x
)
= (1, 0, fx(x0, y0)).
ϕx
ϕy
ϕx × ϕy
Tanto ϕx como ϕy sa˜o vetores do plano tangente, e
portanto ϕx×ϕy e´ um vetor normal a` superf´ıcie. Usando
as expresso˜es obtidas acima segue-se que
ϕx × ϕy = det

 i j k1 0 fx
0 1 fy

 = (−fx,−fy, 1)
Em particular a norma ‖ϕx × ϕy‖ =
√
1 + f 2x + f
2
y e´
sempre diferente de zero, o que sera´ usada logo adiante.
∗Texto digitado e diagramado por Ange´lica Lorrane a partir de suas anotac¸o˜es de sala
Ana´logo aos caminhos no plano, que podem ou na˜o ser gra´ficos de func¸o˜es, tambe´m as
superf´ıcies podem ou na˜o ser gra´ficos de func¸o˜es. Por exemplo a esfera, que na˜o e´ gra´fico,
pode ser parametrizada usando as coordenadas esfe´ricas. Para isso, considere o domı´nio
D = (0, 2pi)× (0, pi) e a func¸a˜o vetorial ϕ : D → R3 dada por
ϕ(θ, φ) = (R sen(φ) cos(θ), R sen(φ) sen(θ), R cos(φ))
que sa˜o as coordenadas esfe´ricas com raio constante ρ = R. Enta˜o a imagem S = ϕ(D) e´ a
esfera de raio R menos o meridiano correspondente ao aˆngulo θ = 0.
θ
φ
ϕθ
ϕφ
D
Sϕ
As figuras acima ilustram a esfera juntamento com alguns caminhos coordenados e seus
respectivos vetores velocidades, que sa˜o dados por
ϕθ(θ, φ) = (−R sen(φ) sen(θ), R sen(φ) cos(θ), 0)
ϕφ(θ, φ) = (R cos(φ) cos(θ), R cos(φ) sen(θ),−R sen(φ))
Um ca´lculo longo mostra que ϕθ(θ, φ)× ϕφ(θ, φ) = −R sen(φ)ϕ(θ, φ). Como sen(φ) > 0
para φ ∈ (0, pi), daqu´ı segue-se que ‖ϕθ × ϕφ‖ = |R sen(φ)|‖ϕ(θ, φ)‖ = R2 sen(φ) e, em
particular, ‖ϕθ × ϕφ‖ na˜o se anula no domı´nio D.
Em geral, uma superf´ıcie parame´trica e´ aquela que pode ser descrita por meio de uma
parametrizac¸a˜o regular, segundo a pro´xima definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1. A func¸a˜o vetorial ϕ : D → R3 e´ uma parametrizac¸a˜o regular de S = ϕ(D) se
i) ϕ e´ diferencia´vel;
ii) ‖ϕθ × ϕφ‖ na˜o se anula em D;
iii) ϕ : D → S e´ injetiva e ϕ−1 : S→ D e´ cont´ınua.
ϕθ
ϕφ
A
A condic¸a˜o de que ‖ϕθ × ϕφ‖ na˜o se anule esta´ relacionada com uma comparac¸a˜o entre
a´reas a ser vista a seguir. Com efeito, segundo o Lema 1 da Aula 22, A = ‖ϕθ×ϕφ‖ e´ a a´rea
do paralelogramo gerado por ϕθ e ϕφ, a´rea que pode ser calculada diretamente a partir do
vetor ϕθ × ϕφ, ou enta˜o indiretamente pela fo´rmula ‖ϕθ × ϕφ‖ =
√‖ϕθ‖2‖ϕφ‖2 − 〈ϕθ, ϕφ〉2.
Revendo os exemplos acima, do gra´fico e da esfera, verifica-se que eles satisfazem as
condic¸o˜es para serem parametrizac¸o˜es regulares. De fato, isso e´ claro para o caso de gra´ficos.
Para o caso da esfera, e´ importante observar que a retirada de um meridiano e´ o que garante
que a func¸a˜o inversa ϕ−1 : S→ D e´ cont´ınua.
Lembrando: Comprimento de Arco
Como guia para o que se vai fazer adiante, vale lembrar como e´ calculado o comprimento
de um caminho C de parametrizac¸a˜o P (t) = (x(t), y(t)), com ‖P ′(t)‖ 6= 0 ∀t ∈ [a, b].
O primeiro passo e´ fazer um ca´lculo local, comparando o comprimento de um pequeno
intervalo [t, t +∆t] do domı´nio com o comprimento do caminho entre P (t) e P (t+∆t).
Ca´lculo III Notas da Aula 32 2/6
t t+∆t
P
P ′(t)∆t
P (t) P (t+∆t)
Usando a figura como guia, e lembrando da definic¸a˜o do vetor velocidade
lim
∆t→0
P (t+∆t)− P (t)
∆t
= P ′(t)
pode-se usar a aproximac¸a˜o P (t + ∆t) − P (t) ≈ P ′(t)∆t no caso em que ∆t e´ pequeno.
Assim, nesse caso, o comprimento entre P (t) e P (t+∆t) pode ser aproximado por
‖P (t+∆t)− P (t)‖ ≈ ‖P ′(t)‖∆t
Feito o ca´lculo local, o passo seguinte e´ a globalizac¸a˜o por meio das somas de Riemann.
Para isso escolhe-se uma partic¸a˜o [a, b] = ∪Ii do intervalo [a, b], onde cada Ii = [ti, ti +∆ti]
e´ um pequeno intervalo. O comprimento de cada imagem pode enta˜o ser aproximado por
‖P (ti +∆ti)− P (ti)‖ ≈ ‖P ′(ti)‖ ∆ti, e o comprimento total por
comprimento de C ≈
∑
‖P (ti +∆ti)− P (ti)‖ ≈
∑
‖P ′(ti)‖ ∆ti
aproximac¸a˜o ta˜o melhor quanto menor forem os ∆ti. O lado direito desta igualdade e´ uma
soma de Riemann e, passando ao limite com a norma da partic¸a˜o tendendo a zero, obte´m-se
comprimento de C =
∫ b
a
‖P ′(t)‖ dt
Essa integral e´ denotada por
∫
C
ds, e ds = ‖P ′(t)‖ dt e´ o elemento comprimento de arco
do caminho. Assim, se P : [a, b] → R2 e´ uma parametrizac¸a˜o regular de C = P ([a, b]), enta˜o∫
C
ds =
∫ b
a
‖P ′(t)‖ dt
A´rea de Superf´ıcie
Usando a estrutura acima como modelo, o primeiro passo para se calcular a a´rea de
uma superf´ıcie e´ fazer um ca´lculo local, comparando a a´rea de um pequeno retaˆngulo R̂ do
domı´nio com a a´rea da imagem R = ϕ(R̂).
Considere enta˜o uma parametrizac¸a˜o regular ϕ : D → R3 de S = ϕ(D). Considere ainda
um ponto (x, y) ∈ D e comprimentos ∆x e ∆y pequenos o suficiente para que o retaˆngulo
R̂ = [x, x+∆x]× [y, y +∆y] esteja contido em D, e indique a imagem por R = ϕ(R̂).
x
y
x+
∆
x
y +∆y
ϕ(x, y)
ϕ(x, y +∆y)
ϕ(x+∆x, y)
ϕy(x, y)∆y
ϕ x
(x
, y
)∆
x
R̂
R
ϕ
Usando a figura como guia, e lembrando das definic¸o˜es dos vetores velocidades dadas em
(1) e (2), para ∆x e ∆y pequenos tem-se que
ϕ(x+∆x, y)− ϕ(x, y) ≈ ϕx(x, y)∆x e ϕ(x, y +∆y)− ϕ(x, y) ≈ ϕy(x, y)∆y
Ca´lculo III Notas da Aula 32 3/6
de onde segue-se que a a´rea de R pode ser aproximada pela a´rea do paralelogramo gerado por
ϕx(x, y)∆x e ϕy(x, y)∆y. Ora! Segundo o que foi lembrado acima, a a´rea deste paralelogramo
e´ o mo´dulo do produto vetorial entre os dois vetores. Assim
a´rea de R ≈ ‖(ϕx(x, y)∆x)× (ϕy(x, y)∆y)‖
= ‖ϕx(x, y)× ϕy(x, y)‖ ∆x∆y = ‖ϕx(x, y)× ϕy(x, y)‖ a´rea de R̂ (3)
Surpresa! As duas a´reas podem ser comparadas por meio do fator ‖ϕx × ϕy‖. Assim,
esse fator desempenha um papel semelhante ao do ‖P ′(t)‖ no caso de caminhos.
Essa semelhanc¸a e´ ainda maior no caso de gra´ficos. Com efeito, se P (x) = (x, g(x))
parametriza o gra´fico da func¸a˜o g(x), enta˜o ‖P ′(x)‖ = √1 + g′(x)2. Analogamente, se
ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)) parametriza o gra´fico da func¸a˜o f(x, y), enta˜o ja´ foi visto que
‖ϕx × ϕy‖ =
√
1 + f 2x + f
2
y nesse caso. Fica enta˜o claro que o caso de superf´ıcies e´ uma
generalizac¸a˜o natural do caso de caminhos.
A comparac¸a˜o vai inclusive mais longe. Nos dois casos, a partir do ca´lculo local, os
resultados podem ser globalizados por meio das somas de Riemann.De fato, escolhendo-se
uma partic¸a˜o D = ∪R̂ij do domı´nio D, onde cada R̂ij = [xi, xi +∆xi]× [yj, yj +∆yj] e´ um
pequeno retaˆngulo, de (3) obte´m-se que a a´rea de Rij = ϕ(R̂ij) pode ser aproximada por
a´rea de Rij ≈ ‖ϕx(xi, yj)× ϕy(xi, yj)‖ ∆xi∆yj
Como S = ϕ(D) = ϕ(∪R̂ij) = ∪ϕ(R̂ij) = ∪Rij , a a´rea de S pode ser aproximada por
a´rea de S =
∑∑
a´rea de Rij ≈
∑∑
‖ϕx(xi, yj)× ϕy(xi, yj)‖ ∆xi∆yj
aproximac¸a˜o ta˜o melhor quanto menores forem os ∆xi e ∆yj. Como o lado direito da
igualdade acima e´ uma soma de Riemann da func¸a˜o ‖ϕx × ϕy‖, passando ao limite com a
norma da partic¸a˜o tendendo a zero deve-se ter que
a´rea de S =
∫∫
D
‖ϕx(x, y)× ϕy(x, y)‖ dxdy
Abreviadamente usa-se a notac¸a˜o
∫∫
S
dS para indicar essa a´rea, e dS = ‖ϕx×ϕy‖ dxdy e´
dito o elemento de a´rea da superf´ıcie. Assim, por definic¸a˜o, se ϕ : D → R3 e´ uma parametriza-
c¸a˜o regular de S = ϕ(D), enta˜o∫∫
S
dS =
∫∫
D
‖ϕx(x, y)× ϕy(x, y)‖ dxdy
Exemplo 1. Sejam D o disco de raio R e f : D → R a func¸a˜o f(x, y) = H
R
√
x2 + y2, cujo
gra´fico e´ um cone de raio R e altura H > 0. Calcule a a´rea do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o. Esse exemplo e´ interessante porque permite comparar os resultados obtidos de
duas maneiras diferentes: usando integrais de superf´ıcie e planificando o cone.
R
HA B
C A B
C
√
R
2
+
H
2
√ R2
+
H
2
2piR
Para planificar, basta cortar ao longo de AC, como indicado na figura da esquerda, para
enta˜o transformar o cone no setor circular da figura da direita, e isso sem alterar sua a´rea.
Ca´lculo III Notas da Aula 32 4/6
Na figura da esquerda o c´ırculo de raio R tem comprimento 2piR, c´ırculo que comec¸a no
ponto A e termina no ponto B. Ale´m disso, por Pita´goras, o segmento AC tem comprimento√
R2 +H2. Estes sa˜o os mesmos comprimentos na figura da direita:
√
R2 +H2 para o
segmento AC e 2piR para o arco AB
)
. Ora, por proporcionalidade,
a´rea do setor circular
comprimento 2piR do arco AB
) =
a´rea do disco
comprimento do c´ırculo
=
pi(R2 + h2)
2pi
√
R2 + h2
de onde segue-se que a a´rea procurada e´ piR
√
R2 +H2.
Para usar integrais de superf´ıcie o primeiro passo e´ calcular as derivadas parciais
fx(x, y) =
H
R
x√
x2 + y2
e fy(x, y) =
H
R
y√
x2 + y2
Em seguida, como o cone e´ o gra´fico da func¸a˜o f , o elemento de a´rea e´ dado por
dS =
√
1 + f 2x + f
2
y dxdy =
√
1 +H2/R2 dxdy =
1
R
√
R2 +H2 dxdy
Da´ı segue-se que a a´rea do cone e´ igual a∫∫
S
dS =
∫∫
D
1
R
√
R2 +H2 dxdy =
1
R
√
R2 +H2
∫∫
D
dxdy
=
1
R
√
R2 +H2 piR2 = piR
√
R2 +H2
que e´ o mesmo valor obtido com a planificac¸a˜o. Essa comparac¸a˜o funciona como uma aˆncora,
para esclarecer e dar seguranc¸a ao que se esta fazendo. �
Exemplo 2. Calcule a a´rea da esfera de raio R.
Soluc¸a˜o. A a´rea da esfera pode ser justificada por meio
de um racioc´ınio simples, que na˜o chega a ser uma demon-
strac¸a˜o, mas da´ uma boa ideia do que esta´ acontecendo.
Para isso, considere a concha esfe´rica entre os raios R e
R+∆R, conforme ilustra a figura. Apesar de na˜o ser plana,
a concha tem a propriedade interessante de que, em cada
ponto, a sua altura e´ constante e igual a ∆R.
R
R+∆R
Pode-se enta˜o imaginar uma a´rea plana A(R,∆R), que dependa tanto de R como de ∆R,
que fosse a “a´rea da base” do volume da concha. Nesse caso, o volume seria “a´rea da base
vezes altura”, isto e´, A(R,∆R)∆R, e e´ claro que A(R,∆R) deve aproximar a a´rea da esfera.
Ora, o volume da concha e´ V (R+∆R)−V (R), onde V (R) = 4
3
piR3 e´ o volume da esfera
de raio R. Igualando esses volumes e dividindo por ∆R obte´m-se que
A(R,∆R) =
V (R +∆R)− V (R)
∆R
Caramba! A “a´rea da base” e´ o quociente de Newton da func¸a˜o V (R). Passando ao limite
com ∆R→ 0, deve-se ter que a a´rea da esfera e´ igual a` derivada A(R) = V ′(R) = 4piR2.
Este valor esta´ mesmo correto, conforme os ca´lculos com as integrais de superf´ıcie. De
fato, se parametrizada pelas coordenadas esfe´rica ϕ : D → R3, onde D = (0, 2pi) × (0, pi),
o elemento de a´rea da esfera e´ dS = R2 sen(φ) dθdφ, conforme o que foi visto acima. Da´ı
segue-se que a a´rea da esfera de raio R e´ dada por∫∫
S
dS =
∫∫
D
R2 sen(φ) dθdφ
= R2
∫ 2pi
0
(∫ pi
0
sen(φ) dφ
)
dθ = R2
∫ 2pi
0
2 dθ = 4piR2
�
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Exemplo 3. Calcule a a´rea do gra´fico de f(x, y) = 1
2
(x2 + y2) definida no disco de raio R.
R
R2/2
Soluc¸a˜o. O domı´nio e´ D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ R2}, e
o gra´fico de f e´ um paraboloide, conforme ilustra a figura.
Este exemplo e´ interessante porque, agora, na˜o se tem
nada com o que comparar! O jeito e´ confiar nas integrais
de superf´ıcie, nada mais. De fato, a comparac¸a˜o so´ pode
ser feita em casos muito simples. Na maioria das vezes a
integral de superf´ıcie e´ o u´nico ca´lculo poss´ıvel, e isso quando
a integral pode ser calculada!
No caso do exemplo, entretanto, os ca´lculos sa˜o bem simples: calcula-se as derivadas
parciais fx(x, y) = x e fy(x, y) = y e o elemento de a´rea da superf´ıcie
dS =
√
1 + f 2x + f
2
y dxdy =
√
1 + x2 + y2 dxdy
Em seguida, usando coordenadas polares e a substituic¸a˜o u = 1 + r2, obte´m-se que a a´rea e´∫∫
S
dS =
∫∫
D
√
1 + x2 + y2 dxdy =
∫∫
D̂
√
1 + r2 r drdθ
= 2pi
∫ R
0
√
1 + r2 r dr = pi
∫ 1+R2
1
u1/2 du =
2pi
3
((1 +R2)3/2 − 1)
�
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