AL_MÓDULO_03

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MATEMÁTICA-III
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO-03
DETERMINANTES
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
DETERMINANTES
Seja M, uma matriz quadrada 2x2, definida por: 
M
a b
c d=




 
 
O número real detM (∆M) definido por detM = a×d - b×c é
chamado de DETERMINANTE associado a matriz M.
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 1 MANUEL
 
5 2
6 4
22×


=A
EXEMPLOS
det A = 4×5 - 6×2 = 20 - 12 = 8
det A = 8
 
2 2
8 3
22×


=B det B = 3×2 - 8×2 = 6 - 16 = -10
det B = -10
 
5 1
4- 2
22×


=C det C = 2×5 - (- 4×1) = 10+4 = 14
det C = 14
DETERMINANTES
 
6 4
3 2
22×


=D
EXEMPLOS
det D = 2×6 - 3×4 = 12 -12 = 0
det D = 0
 
2 4
8 2
22×


=E
 
1 0
0 1
22×


=F det F = 1×1 - 0×0 = 1 - 0det F = 1
244228422det ××−=×−×=E
26282222422det −=−=×−=E
DETERMINANTES
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 2 MANUEL
RELEMBRANDO.......
84242 =×=×
2222248 =×=×=
2222 =+
1 BANANA + 1 BANANA = 2 BANANAS ! 
RELEMBRANDO.......
?
2
2
= Vamos multiplicar o numerador e o
denominador por raiz de 2 !
22
22
2
2
2
2
×
×
=×
4
22
=
2
22
= 2=
OLHOU E VIU !2
2
2
= FEROZ !
A MATEMÁTICA foi a linguagem que DEUS usou
para criar o universo ! Leonardo Da Vinci !
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 3 MANUEL
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM








=
333231
232221
131211
 
 
 
aaa
aaa
aaa
A
MÉTODO - DESENVOLVIMENTO POR LINHA OU COLUNA
EXEMPLO - DESENVOLVIMENTO POR LINHA
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
EXEMPLO - DESENVOLVIMENTO POR LINHA
REGRA PRÁTICA:
1) Escolher uma linha de A⇒ Exemplo: 1ª linha
2) Multiplicar o 1º elemento da linha escolhida (1ª linha) a11 pelo
determinante menor da submatriz de A, que se obtém eliminando a
1ª linha e a 1ª coluna.
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
 
 








a
a a
a a11
22 23
32 33
×


 
 
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 4 MANUEL
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
EXEMPLO - DESENVOLVIMENTO POR LINHA
REGRA PRÁTICA
3) Multiplicar o 2º elemento (a12) da 1ª linha pelo determinante
menor da submatriz de A, que se obtém eliminando a 1ª linha e a 2ª
coluna.








333231
232221
131211
 
 
 
aaa
aaa
aaa
a
a a
a a12
21 23
31 33
×


 
 
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
EXEMPLO - DESENVOLVIMENTO POR LINHA
REGRA PRÁTICA
4) Multiplicar o 3º elemento (a13) da 1ª linha pelo determinante
menor da submatriz de A, que se obtém eliminando a 1ª linha e a 3ª
coluna.
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
 
 








a
a a
a a13
21 22
31 32
×


 
 
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 5 MANUEL
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
EXEMPLO - DESENVOLVIMENTO POR LINHA
REGRA PRÁTICA
5) Fazer os três produtos obtidos anteriormente serem precedidos
alternadamente pelos sinais + e - conforme a tabela.
+ - + 
- + -
+ - +
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
EXEMPLO - DESENVOLVIMENTO POR LINHA








=
333231
232221
131211
 
 
 
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
 
 
 
 
 
 )det(
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA ×+×−×=
Este procedimento é chamado DESENVOLVIMENTO POR
LINHA. Se trocarmos a linha por coluna e executarmos o
mesmo procedimento teremos então o DESENVOLVIMENTO
POR COLUNA.
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 6 MANUEL
Exemplo-1: Calcular o determinante da matriz A desenvolvendo
pela 1ª linha.
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
)154(2)030(1
1 3
5 4
2
6 3
0 4
0
6 1
0 5
1)det( −×+−×=×+×−×=A
+ - +
- + -
+ - +
82230)11(230)det( =−=−×+=A
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
DETERMINANTES
Exemplo-2: Calcular o determinante da matriz A desenvolvendo
pela 3ª coluna.
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
)4051(6)3514(2
5 4
0 1
6
1 3
0 1
0
1 3
5 4
2)det( ×−××+×−××=×+×−×=A
+ - +
- + -
+ - +
8302230)11(256)154(2)det( =+−=+−×=×+−×=A
DETERMINANTES
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
A =








1 0 2
4 5 0
3 1 6
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 7 MANUEL
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
REGRA DE SARRUS








=
333231
232221
131211
 
 
 
aaa
aaa
aaa
A
















=
3231
2221
1211
333231
232221
131211
 
 
 
 
 
 
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
1º PASSO⇒ REPETIR AS DUAS PRIMEIRAS COLUNAS !
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
REGRA DE SARRUS
















=
3231
2221
1211
333231
232221
131211
 
 
 
 
 
 
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
2º PASSO ⇒ MULTIPLICAR AS COLUNAS DA SEGUINTE
FORMA: LINHAS EM VERMELHO SINAL DE +
LINHAS EM AZUL SINAL DE -
Det A = a11 × a22 × a33 + a12 × a23 × a31 + a13 × a21 × a32
- a13 × a22 × a31 - a11 × a23 × a32 - a12 × a21 × a33
+ + +- - -
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 8 MANUEL
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
REGRA DE SARRUS - EXEMPLO
















=
1 3
5 4
0 1
6 1 3
0 5 4
2 0 1
A
1º PASSO⇒ REPETIR AS DUAS PRIMEIRAS COLUNAS !








=
6 1 3
0 5 4
2 0 1
A
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
REGRA DE SARRUS
Det A = 1 × 5 × 6 + 0 × 0 × 3 + 2 × 4 × 1
- (2 × 5 × 3) - (1 × 0 × 1) - (0 × 4 × 6) 
+ + +- - -
















=
1 3
5 4
0 1
6 1 3
0 5 4
2 0 1
A
2º PASSO ⇒ MULTIPLICAR AS COLUNAS DA SEGUINTE
FORMA: LINHAS EM VERMELHO SINAL DE +
LINHAS EM AZUL SINAL DE -
Det A = 30 + 0 + 8 - 30 - 0 - 0 Det A = 8 
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 9 MANUEL
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P1. O determinante de uma matriz não se altera quando
se trocam as linhas pelas colunas.
2
4 2
3 1
det
4 3
2 1
 det −=

=


P2. Se a matriz A possui um linha ou coluna constituída de
elementos nulos (zeros), o seu determinante é nulo.








=
2 3 1
4 6 7
0 0 0
A det(A) = 0
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P3. Se a matriz A tem duas linhas ou duas colunas iguais
o determinante é nulo.
P4. Se em uma matriz duas linhas ou duas colunas tem
seus elementos correspondentes proporcionais, o
determinante é nulo.


=
2 1
2 1
A ⇒ det(A) = 0


=
8 4
4 2
A 

=
6 3
2 1
B 

=
2 1
2 1
C



−=
 24 4-
2 1
D
det(A) = 0 det(B) = 0 det(C) = 0 det(D) = 0








=
7 2 1
3 8 4
7 2 1
B ⇒ det(B)
= 0
L2 = 2×L1 C2 = 2×C1 L2 = 1×L1 L2 = 4×L1
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_03 - DETERMINANTES 10 MANUEL