1 Aula Rotação

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Rotação
Professor Dr. Valdir Rosa
valdirrosa@ufpr.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS 
EXATAS E ENGENHARIAS
FÍSICA II
𝜃 =
𝑠
𝑟
(1)
𝜃 é 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 (𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠)
𝑠 é 𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑟 é 𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
DESLOCAMENTO ANGULAR
∆𝜃 = 𝜃2 − 𝜃1 (2)
Sentido horário
Deslocamento negativo
Sentido anti-horário
Deslocamento positivo
VELOCIDADE ANGULAR
𝑤𝑚é𝑑 =
𝜃2 − 𝜃1
𝑡2 − 𝑡1
=
∆𝜃
∆𝑡
(3)
𝑤 = lim
∆𝑡→0
∆𝜃
∆𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
(4)
Velocidade 
angular média
Velocidade angular 
instantânea
ACELERAÇÃO ANGULAR
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Substituindo equação (01) no s, temos:
Da definição (4), então:
𝑣 = 𝑟𝑤 (5) Então:
𝑎𝑡𝑎𝑛 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎𝑡𝑎𝑛 = 𝑟
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝑎𝑡𝑎𝑛 = 𝑟𝛼 (6)
ACELERAÇÃO ANGULAR
𝛼𝑚é𝑑 =
𝑤2 − 𝑤1
𝑡2 − 𝑡1
=
∆𝑤
∆𝑡
(7)
𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑟𝑎𝑑/𝑠2
𝑟𝑒𝑣/𝑠2
𝛼𝑚é𝑑 = lim
∆𝑡→0
∆𝑤
∆𝑡
=
𝑑𝑤
𝑑𝑡
(8)
EXEMPLO:
A posição angular em relação a linha de referência de uma roda de 
bicicleta girando é dada pela equação 
𝜃 𝑡 = 2 − 3𝑡2 + 2𝑡3. 
Determine (a) a velocidade angular e (b) a aceleração para o tempo t = 2s.
𝜃 𝑡 = 2 − 3𝑡2 + 2𝑡3
𝑤(𝑡) =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑤(𝑡) =
𝑑(2 − 3𝑡2 + 2𝑡3)
𝑑𝑡
𝑤(𝑡) = −6𝑡 + 6𝑡2
𝑤(2) = −6(2) + 6(2)2 = 
𝛼𝑚é𝑑 =
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝛼𝑚é𝑑 =
𝑑(−6𝑡 + 6𝑡2)
𝑑𝑡
𝛼𝑚é𝑑 = −6 + 12𝑡
Exemplo:
Um pião gira com aceleração angular 𝛼 = 5𝑡3 − 4𝑡, onde t está em 
segundos e  em radianos por segundo ao quadrado. Em t = 0 a velocidade 
do pião é w = 5 rad/s e uma reta de referência traçada no pião está na 
posição angular  = 2 rad. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade 
angular do pião, w(t). (b) Obtenha uma expressão para a posição angular do 
pião  (t).
𝛼 =
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝑑𝑤 = 𝛼𝑑𝑡 න𝑑𝑤 = න𝛼 𝑑𝑡
න𝑑𝑤 = න(5𝑡3 − 4𝑡) 𝑑𝑡
a)
𝑤 =
5
4
𝑡4 − 2𝑡2 + 𝐶
Para t = 0
5 =
5
4
.04−2.02+𝐶 ∴ 𝑤 =
5
4
𝑡4 − 2𝑡2 + 5
(b) Obtenha uma expressão para a posição angular do pião  (t).
𝑑𝜃 = 𝑤𝑑𝑡
න𝑑𝜃 = න𝑤𝑑𝑡
න𝑑𝜃 = න(
5
4
𝑡4 − 2𝑡2 + 5) 𝑑𝑡
𝜃 =
1
4
𝑡5 −
2
3
𝑡3 + 5𝑡 + 𝐶
Para t = 0
2 =
1
4
(05) −
2
3
0 3 + 5(0) + 𝐶
∴ 𝜃 =
1
4
𝑡5 −
2
3
𝑡3 + 5𝑡 + 2
Energia Cinética de Rotação
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2
𝐾 =
1
2
𝑚1𝑣1
2 +
1
2
𝑚2𝑣2
2 +⋯ =෍
1
2
𝑚𝑖𝑣𝑖
2
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣 = 𝑟𝑤
𝐾 =෍
1
2
𝑚𝑖(𝑤𝑟𝑖)
2 𝐾 =
1
2
(෍𝑚𝑖 𝑟𝑖
2)𝑤2
𝐼 =෍𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
𝐾 =
1
2
𝐼𝑤2
𝐼 =෍𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
Momento de inércia (I) do corpo:
- depende da massa do corpo;
- do eixo do qual está sendo executada 
a rotação;
- oferece resistência ao estado de 
movimento
Em qual das duas situações é mais fácil girar a barra?
𝐼 = න𝑟2𝑑𝑚
Momento de Inércia 
para um corpo contínuo
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀ℎ
2
Teorema dos eixos paralelos
Exemplo (Halliday 10-6):
A figura mostra duas partículas de massa m ligadas por uma barra de 
comprimento L e de massa desprezível.
(a) Qual é o momento de inércia 𝐼𝐶𝑀 em relação a um eixo passando pelo 
centro de massa e perpendicular à barra?
𝐼 =෍𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
𝐼𝐶𝑀 = 𝑚 (
1
2
𝐿)2 + 𝑚 (
1
2
𝐿)2
𝐼𝐶𝑀 = 2𝑚
1
4
𝐿2
𝐼𝐶𝑀 =
1
2
𝑚𝐿2
(b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo 
passando pela extremidade esquerda da barra e paralela ao primeiro 
eixo?
𝐼 =෍𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
𝐼 = 𝑚 (0)2 + 𝑚 (𝐿)2
𝐼 = 𝑚 𝐿2
Ao resolver pelo Teorema dos Eixos Paralelos, 
teremos:
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀ℎ
2
𝐼 =
1
2
𝑚𝐿2 + (2𝑚)(
1
2
𝐿)2 𝐼 = 𝑚 𝐿2
O torque tende a girar ou mudar o estado de rotação dos 
corpos, representando o efeito girante de uma força.
O efeito de rotação de uma força ou torque depende de duas coisas: 
- da intensidade da força aplicada; 
- do comprimento do braço de alavanca da força.
𝜏 = 𝑟 𝐹 𝑠𝑒𝑛 ∅ = 𝑟 𝐹 (07) 𝑁.𝑚
A Segunda Lei de Newton para a rotação
F = ma (08)
𝜏 = 𝑟 𝐹 (07)
𝑎𝑡 = 𝑟𝛼 (06)
Substituindo (06) em (08), e depois na equação (07) Lei, temos:
𝜏 = 𝑚𝑟2𝛼
𝜏 = 𝐼𝛼
Exemplo - Halliday:
A figura mostra um disco uniforme, de massa M = 2,5 kg e raio R 20 cm, montado em 
um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por uma corda 
de massa desprezível que está enrolada na borda do disco. Determine a aceleração 
do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda.
𝑇 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 (1)
𝜏 = 𝑟 𝐹
𝜏 = 𝐼 𝛼
𝜏 = −𝑇𝑅
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐼 =
1
2
𝑀𝑅2 𝑇𝑎𝑏. 10 − 2𝑐
−𝑇𝑅 =
1
2
𝑀𝑅2 𝛼 (2)
Sabemos que:
𝑎 = 𝛼. 𝑟
𝛼 =
𝑎
𝑅
−𝑇 =
1
2
𝑀𝑅
𝑎
𝑅
𝑇 = −
1
2
𝑀𝑎 (3)
Substituímos (3) em (1)
−
1
2
𝑀𝑎 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎
𝑎 = −
2𝑚𝑔
(2𝑚 +𝑀)
𝑎 = −4,8 𝑚/𝑠2
𝛼 =
𝑎
𝑅
𝛼 = 24 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
𝑇 = −
1
2
𝑀𝑎 (3) 𝑇 = 6,0 𝑁
𝛼 =
𝑎
𝑅
𝛼 =
−4,8
0,20
𝛼 = 24 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
Torque como Produto Vetorial
𝜏 = 𝐹 𝑥 𝑟
Exemplo: 
Calcule o torque considerando que a força e o deslocamento sejam 
dados por:
Ԧ𝐹 𝑥 Ԧ𝑟 = 𝐹𝑦𝑟𝑧 − 𝐹𝑧𝑟𝑦 Ƹ𝑖 + 𝐹𝑧𝑟𝑥 − 𝐹𝑥𝑟𝑧 Ƹ𝑗 + 𝐹𝑥𝑟𝑦 − 𝐹𝑦𝑟𝑥 ෡𝑘
Trabalho, Potência e Energia Cinética Rotacional
𝑊 = න
𝜃𝑖
𝜃𝑓
𝜏 𝑑𝜃
𝑃 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
= 𝜏𝜔
𝑊 = 𝜏 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
∆𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑊
∆𝐾 =
1
2
𝐼𝜔𝑓
2 −
1
2
𝐼𝜔𝑖
2 = 𝑊
Exercícios
Capitulo 10: 2, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 45, 47, 
49, 51, 53, 55, 57, 59, 61.