2 Aula Rolamento, torque e momento linear

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Rolamento, Torque e 
Momento Angular
Professor Dr. Valdir Rosa
valdirrosa@ufpr.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS 
EXATAS E ENGENHARIAS
Rolamento, Torque e Momento Angular
s = R  (01)
Vcm
𝑣𝐶𝑀 = 𝜔𝑅 (02)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑅
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣𝐶𝑀 Ԧ𝑣 = − Ԧ𝑣𝐶𝑀 Ԧ𝑣 = 0
Rolamento com uma rotação pura
𝐾 =
1
2
𝐼𝑝𝜔
2 (03)
Energia Cinética de Rolamento (com uma rotação pura)
𝐼𝑝 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑅
2
Teorema dos Eixos Paralelos, substitui em (03), temos:
𝐾 =
1
2
(𝐼𝐶𝑀+𝑀𝑅
2)𝜔2
𝐾 =
1
2
𝐼𝐶𝑀𝜔
2 +
1
2
𝑀𝑅2𝜔2
𝐾 =
1
2
𝐼𝐶𝑀𝜔
2 +
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2 (04) Energia cinética de rotação em torno do CM mais a 
energia cinética de translação
Rolando para baixo em uma rampa
𝑎 = −
𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
1 +
𝐼𝐶𝑀
𝑀𝑅2
(05) 𝑓𝑎 = −𝐼𝐶𝑀
𝑎𝐶𝑀
𝑅2
(06)
Exemplo (Halliday)
Uma bola uniforme de massa M = 6,00 kg e raio R, rola suavemente, a partir do 
repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo  = 30 graus.
a) A bola desce uma distancia vertical h = 1,20m para chegar à base da rampa. Qual é a 
sua velocidade ao chegar à base? Dado I tabelado da bola: 𝐼𝐶𝑀 =
2
5
𝑀𝑅2
𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 = 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖
1
2
𝐼𝐶𝑀𝜔
2 +
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2 + 0 = 0 +𝑀𝑔ℎ
𝐸𝑓 = 𝐸𝑖
Sabemos que:
𝑣𝐶𝑀 = 𝜔𝑅
𝑣𝐶𝑀
𝑅
= 𝜔
1
2
2
5
𝑀𝑅2(
𝑣𝐶𝑀
𝑅
)2+
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2 = 𝑀𝑔ℎ
Substituindo, temos:
1
5
𝑣𝐶𝑀
2 +
1
2
𝑣𝐶𝑀
2 = 𝑔ℎ
𝑣𝐶𝑀 =
10𝑔ℎ
7
𝐼𝐶𝑀 =
2
5
𝑀𝑅2 Tabela
𝑓𝑎 = −𝐼𝐶𝑀
𝑎𝐶𝑀
𝑅2
b) Quais são o módulo da força de atrito que age sobre a bola quando ela desce a 
rampa rolando?
𝑎 = −
𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃
1 +
𝐼𝐶𝑀
𝑀𝑅2
𝐼𝐶𝑀 =
2
5
𝑀𝑅2
𝑎 = −3,5 𝑚/𝑠2
𝑓𝑎 = 8,40 𝑁
A física do iôiô
𝑀𝑔 − 𝑇 = 𝑀𝑎 (1)
𝜏 = 𝑇𝑟
𝜏 = 𝐼𝐶𝑀 𝛼
𝐼𝐶𝑀 𝛼 = 𝑇𝑟
𝛼 =
𝑇𝑟
𝐼𝐶𝑀
(2)
Sabemos que:
𝑎 = 𝛼. 𝑟 (3)
𝛼 =
𝑎
𝑟
(4)
Substituindo (3) em (1) e depois (2) e isolando T, teremos:
𝑀𝑔 − 𝑇 = 𝑀
𝑇𝑟
𝐼𝐶𝑀
𝑟 𝑇 =
𝑀𝑔
1 +
𝑀𝑟2
𝐼𝐶𝑀
(5)
Podemos substituir (4) em (2) para encontra a aceleração:
𝛼 =
𝑇𝑟
𝐼𝐶𝑀
(2)
𝛼 =
𝑎
𝑟
(4)
𝑎
𝑟
=
𝑇𝑟
𝐼𝐶𝑀
𝑎 =
𝑇𝑟2
𝐼𝐶𝑀
(5)
Revisão do Torque
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝐹 (𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜)
𝜏 = 𝑟 𝐹 𝑠𝑒𝑛 ∅ = 𝑟 𝐹
Momento Angular
Ԧ𝑙 = Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝑝 (𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜)
Ԧ𝑙 = 𝑚(Ԧ𝑟 𝑥 Ԧ𝑣)
Quando Ԧ𝑟 gira no sentido Horário = −Ԧ𝑙
Quando Ԧ𝑟 gira no sentido anti-horário: Ԧ𝑙
𝑙 = 𝑟 𝑚 𝑣 𝑠𝑒𝑛 ∅
Exemplo (Halliday)
Duas partículas se movem com velocidades constantes ao longo de trajetórias 
horizontais (Figura). A partícula 1 tem quantidade de movimento de 5,0 kg.m/s, tem 
m vetor posição r1 e passará a 2,0 m do ponto O. A partículas 2, com módulo 2,0 
kg.m/s, tem vetor r2 e passará a 4,0 m do ponto O. Quais são o módulo e a 
orientação do momento angular total L em relação ao ponto O do sistema formado 
pelas duas partículas?
𝑙1 = 𝑟1 𝑝
𝑙2 = 𝑟2 𝑝
𝐿 = 𝑙1 + 𝑙2
Torque e momento angular (L)
Ԧ𝜏𝑟𝑒𝑠 =
𝑑Ԧ𝑙
𝑑𝑡
(partícula isolada)
Ԧ𝜏𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
( sistema de partículas)
𝐿 = Ԧ𝑙1 + Ԧ𝑙2 +⋯+ Ԧ𝑙𝑛 =෍
𝑖=1
𝑛
Ԧ𝑙𝑖
𝑎) 𝑤𝑜 =
𝑣𝐶𝑀
𝑅
𝑏) 𝑤2 = 𝑤𝑜
2 + 2𝛼𝜃
𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝜃 = 30 . 2𝜋 = 188𝑟𝑎𝑑
𝑐) 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 = 𝑅. 𝜃
𝐾𝑖 =
1
2
𝐼𝑤2 +
1
2
𝑚𝑣2
Temos:
M = 140 kg
V = 0,150 m/s
E sabemos que:
𝐼 = 𝑚𝑟2
𝑤 =
𝑣
𝑟
𝐾𝑖 =
1
2
𝑚𝑟2. (
𝑣
𝑟
)2 +
1
2
𝑚𝑣2
𝐾𝑖 =
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝑚𝑣2
𝐾𝑖 = 𝑚𝑣
2 = 140. (0,150)2 = 3,15 𝐽
O trabalho é W = K
Ou seja, W = Kf - Ki
Logo, temos:
𝑊 = 0 − 3,15
𝑊 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖
𝑊 = −3,15 𝐽
Conservação do Momento Angular
𝐼𝑖𝜔𝑖 = 𝐼𝑓𝜔𝑓
𝐿𝑖 = 𝐿𝑓