Sistemas de numeração

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Sistema de numeração binário
�Existem 10 tipos de pessoas: as que entendem binário e as que não entendem.�
1 Conversão de números de base binária para base de
imal
Considere o número
(dn dn−1 · · · d1 d0, d−1 d−2 · · · d−m)2.
A 
onversão para base de
imal é feita por
dn · 2
n + dn−1 · 2
n−1 + · · ·+ d1 · 2
1 + d0 · 2
0 + d−1 · 2
−1 + d−2 · 2
−2 + · · ·+ d−m · 2
−m
Exemplo 1
(10, 01)2 = 1 · 2
1 + 0 · 20 + 0 · 2−1 + 1 · 2−2
= 1 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0, 5 + 1 · 0, 25
= 2 + 0, 25 = 2, 25
2 Conversão de números de base de
imal para base binária
Considere um número na base de
imal D. Para realizar a 
onversão deste número para a base b é ne
essário en
ontrar os �dígitos�
dn tal que
∞∑
n=−∞
dn2
n = D,
onde dn é 0 ou 1.
Observe que a equação a
ima possui in�nitas in
ógnitas dn, mas permite apenas uma solução.
A 
onversão de números de base de
imal para base binária é feita em duas partes. Primeiramente é 
onvertida a parte inteira
do número para depois ser feita a 
onversão da parte fra
ionária.
D = Di +Df .
Para 
ada par
ela vamos apresentar um algoritmo.
Par
ela Inteira
A 
onversão da parte inteira é feita realizando a divisão do número por 2 e armazenando o resto da divisão. Esta operação
é repetida até que o resultado da divisão seja igual a 1. A representação binária é formada então, pelo último quo
iente e pelos
restos, tomados na ordem inversa a que foram obtidos.
Exemplo: (401)10
dividendo quo
iente resto
401 200 1
200 100 0
100 50 0
50 25 0
25 12 1
12 6 0
6 3 0
3 1 1
Portanto (401)10 = (110010001)2.
Par
ela Fra
ionária
Para 
onverter a parte fra
ionaria, fazemos um pro
esso de multipli
ação por 2 e subtração da unidade. O pro
esso é repetido
até que o resultado seja igual a 1, 0. Os dígitos à esquerda do ponto de
imal forma a representação binária do número, na ordem
em que foram obtidos.
Exemplo: 0, 640625
1
multipli
ando resultado
0,640625 1,28125
0,28125 0,5625
0,5625 1,125
0,125 0,25
0,25 0,5
0,5 1,0
Portanto (0, 640625)10 = (0, 101001)2.
Juntando as in
ógnitas da par
ela inteira 
om a par
ela fra
ionária temos que (401, 640625)10 = (11001000, 101001)2.
3 Representação de números em um 
omputador
Os 
omputadores armazenam os números e realizam as operações utilizando o sistema de numeração binário. Existem diversas
maneiras de representar um número binário, onde as mais usuais são a representação por ponto-�xo e ponto-�utuante.
3.1 Representação de números reais em ponto-�xo
Os 
omputadores representam os números utilizando uma 
erta quantidade de bits (binary digit). Atualmente os 
omputadores
são feitos, em sua maioria, 
om pro
essadors de 64bits, o que signi�
a que são utilizados 64 dígitos em binário para representar
um número real.
No sistema de ponto-�xo o ponto binário o
upa uma posição �xa (daí o nome) - existe uma quantidade pré-de�nida de dígitos
à esquerda e a direita do ponto. O registrador do 
omputador é dividido em três 
ampos:
• s, sinal do número (|s| = 1 bit);
• e, dígitos à esquerda do ponto binário (|e| = 15 bits, por exemplo);
• d, dígitos à direita do ponto binário (|d| = 16 bits, por exemplo).
Por exemplo, o número −11, 75 é representado em ponto-�xo 
omo
1 00000000001011 1100000000000000
4 Exer
í
ios
Exer
í
io 1 Converta para base de
imal 
ada um dos seguintes números:
• (0100, 111)2
• (0100, 001)2
• (0000, 001)2
• (1111, 111)2
Exer
í
io 2 Converta para base binária 
ada um dos seguintes números:
• 52
• 0, 125
• 854, 5
• 0, 3
Exer
í
io 3 Considere a representação em ponto-�xo 
om s = 1, e = 3 e d = 4. Qual o maior número que pode ser
representado? Qual o menor número? Qual o menor número positivo? Qual o maior número negativo?
2