Método da posição falsa

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Método da Posição Falsa
�A raiz está próxima da 
orda.�
1 Método da posição falsa
O Método da posição falsa é bastante pare
ido 
om o Método da bisseção.
A 
ada iteração o método pro
ura por uma nova aproximação para a raiz da equação, e divide o intervalo de bus
a [a, b] em
duas partes.
A prin
ipal diferença entre os métodos é que o Método da bisseção divide o intervalo [a, b] exatamente ao meio, enquanto
que o Método da Posição Falsa, divide o intervalo [a, b] no ponto:
p =
af(b)− bf(a)
f(b)− f(a) .
Este ponto p é o ponto em que a 
orda que passa entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b) 
ruza o eixo da ab
issa. Podemos ver
este fato na Figura 1.
Exemplo 1 Repita 5 iterações do Método da Posição Falsa para aproximar o valor de uma raiz da equação ln(x/2) = 0 no
intervalo [1, 9].
Iteração a b p f(a) f(b) f(p)
1 1 9 3.52372 - + +
2 1 3.52372 2.38887 - + +
3 1 2.38887 2.1055 - + +
4 1 2.1055 2.02917 - + +
5 1 2.02917 2.00811 - + +
Tabela 1: Método da posição falsa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 1: Exemplo 1
1
1.1 Algoritmo
O 
ódigo para S
iLab é:
fun
tion [y℄=g(x)
y=log(x/2)
endfun
tion
fun
tion [p℄=pfalsa(f,a,b,N)
for i=1:N
p=(a*f(b) - b*f(a))/(f(b)-f(a))
if f(p)==0 then break end
if f(a)*f(p)<0 then
b=p
else
a=p
end
end
endfun
tion
2 Critérios de Parada de Algoritmos
Os algoritmos de bus
a por raízes de equações pro
uram, em 
ada iteração, por uma aproximação xn da raiz x∗ da equação
f(x) = 0. Geralmente estes algoritmos não en
ontram o valor exato da raiz, mas a 
ada iteração xk se aproxima mais de x∗.
Como os algoritmos podem nun
a 
hegar na raiz é ne
essário utilizar um 
ritério de parada para que os algoritmos não sejam
exe
utados inde�nidamente.
Os três 
ritérios de parada mais usuais são:
• Parada pelo número máximo de iterações;
O algoritmo para após exe
utar N iterações.
Exemplo: Algoritmo apresentado a
ima.
• Pre
isão do valor da função - |f(xn)| < e1;
Observe que f(x∗) = 0 e portanto se xn está próximo de x∗ então |f(xn)| é bem pequeno.
Exemplo:
if abs(f(p))<e1 then break end
• Velo
idade de 
onvergên
ia - |xn+1 − xn| < e2.
Para a maioria dos algoritmos, quando xn está próximo da raiz a velo
idade do algoritmo é bastante baixa.
Exemplo:
if abs(x-x0)<e2 then break end
• Velo
idade de 
onvergên
ia relativa - |(xn+1 − xn)/xn+1| < e3.
Para a maioria dos algoritmos, quando xn está próximo da raiz a velo
idade do algoritmo é bastante baixa.
Exemplo:
if abs(x-x0)<e3 then break end
É possível também utilizar uma 
ombinação dos 
ritérios a
ima apresentados.
2
2.1 Algoritmo
fun
tion [y℄=g(x)
y=log(x/2)
endfun
tion
fun
tion [p℄=pfalsa(f,a,b,N,e1,e2,e3)
for i=1:N
p=(a*f(b) - b*f(a))/(f(b)-f(a))
disp([i a b p℄)
if abs(f(p))<=e1 then break end
if i>1
if abs((p-p0))<e2 then break end
if abs((p-p0)/p)<e3 then break end
end
if f(a)*f(p)<0 then
b=p
else
a=p
end
p0=p
end
endfun
tion
3 Exer
í
ios
Problema 1 Utilize o método da posição falsa para aproximar todas as raízes das equações abaixo.
• e x2 + x2 − 3 = 0
• ex + sen(x) = 2
• x3 − x2 + 3x− 2 = 0
• (x− 3)2 − 2cos(x− 2) = 0
• √x− 2ln(x) = 1
3