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Apostila Cálculo II

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= (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) = ... 
 
Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5, 21π/2) 
 
5.1.1 Mudança de coordenadas 
 
Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em 
coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação entre os dois sistemas, consideramos o 
ponto O coincidindo com a origem do sistema cartesiano e a semi-reta, a parte do eixo x, à direita 
de O. 
 
a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas 
 
Seja P um ponto com coordenadas polares (r,θ). Considerando inicialmente 
0<θ<π/2, do triângulo retângulo OPx obtemos as seguintes relações: 
 
 
Se θ=0, temos P no eixo das abcissas. Logo, P tem coordenadas cartesianas (x,0) e coordenadas 
polares (x,0) (r = x e θ = 0). Assim, x = x×1 = r cos θ e y = 0 = r×0 = r sen θ. 
Para os casos onde θ≥π/2, fica como exercício mostrar que também x = r cos θ e y = r sen θ. 
b)Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares 
 
Seja P um ponto de coordenadas cartesianas (x,y). Como vimos acima. Considerando P Com 
coordenadas (r, θ), temos as relações x = r.cosθ e y = r.senθ . Como x2 + y2 = r2(cos2θ +sen2θ) = 
x2+y2=r2 , que resulta em 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2. 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 27 
Se r = 0 , isto é, x = y, então podemos tomar qualquer θ 
Se r ≠ 0, é tal que cos𝜃 =
𝑥
𝑟
e sen𝜃 =
𝑦
𝑟
 
Exemplo 
1)Se P tem coordenadas polares (−2,
𝜋
3
), passe para coordenadas cartesiana 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Se P tem coordenadas cartesiana (-1, 1), passe para coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos transformar equações cartesianas em polares e vice-versa 
 
Exemplo 
3)Qual a equação polar da circunferência de centro na origem e raio 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Se uma curva tem equação polar 𝑟 = cos𝜃 + sen𝜃, qual a sua equação cartesiana 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios. 
1)Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares: 
a)(1,1) b) (2,–2) c)(√3, 1) d) (4,0) e) (0,–3) f)(3,1) 
 
2)Transforme coordenadas polares em coordenadas cartesianas: 
a)(1, π/2) b) (–2, 49π/6) c) (3, −5π/3) d) (0, π/9) e) (7,π) 
 
3)Encontre a equação polar para cada uma das seguintes equações cartesianas. 
𝑎)(𝑥 − 1)2 + 𝑦1 = 1 𝑏)(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 13 d)x = -2 e)y = 3 f)y = x 
 
4)Encontre a equação cartesiana para cada uma das seguintes equações polares. 
a) r = 5 b) r = 2sen θ c) r = 2cos θ - 4sen θ d) θ = π/3 e) sen θ = cos θ 
 
f)𝑟 =
2
3sen𝜃−5cos𝜃
 
 
5)Encontre as equações polares das seguintes curvas: 
a)da elipse 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 b)da hipérbole 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 c)da parábola y = x2 
 
 
 
 
 
5.2 Coordenadas Cilíndricas e Coordenadas Esféricas 
 
São necessárias três coordenadas para estabelecer a localização de um ponto no espaço 
tridimensional. Já havíamos visto isso em coordenadas retangulares (cartesianas). Contudo as figura 
abaixo mostra outras duas possibilidades: a parte (a) da figura mostra as coordenadas retangulares 
(x,y,z) de um ponto P, a parte (b) mostra as coordenadas cilíndricas (r,θ,z) de O e a parte (c) mostra 
 
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coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) de P. Em um sistema de coordenadas retangulares, as coordenadas 
podem ser quaisquer números reais, mas no sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas há 
restrições sobre os valores admissíveis das coordenadas (conforme mostra na figura). 
 
 
 
5.2.1 Convertendo Coordenadas 
Da mesma forma que convertemos entre coordenadas retangulares e polares no espaço 
bidimensional, precisamos converter entre coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas no 
espaço tridimensional. Observando os gráficos abaixo podemos entender melhor como foram 
deduzidas as fórmulas de conversão apresentadas na tabela logo abaixo 
 
 
 
Exemplo 
1)Determine as coordenadas retangulares do ponto P (4, π/3, -3 ). Faça o gráfico 
 
 
 
 
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2)Determine as coordenadas retangulares do ponto P (4, π/3, π/4). Faça o gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Determine as coordenadas esféricas do ponto P (4, -4, 4√6). Faça o gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.2 Equações de superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
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As superfícies de revolução em torno do eixo z de um sistema de coordenadas retangulares têm, 
geralmente, equações mais simples nas coordenadas cilíndricas do que nas coordenadas 
retangulares, e as equações de superfície com simetria em torno da origem são geralmente mais 
simples nas coordenadas esféricas do que nas coordenadas retangulares 
Exemplo 
1)Transforme a equação 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Obtenha as equações do parabolóide z = x2 + y2 em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
1)converta as coordenadas de retangulares para cilíndricas. 
a) (4√3, 4, −4) 
b) (−5,5,6) 
c) (0,2,0) 
d) (4, −4√3, 6) 
2)Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares 
a) (4,
𝜋
6
, 3) 
b) (8,
3𝜋
4
, −2) 
c) (5,0,4) 
d) (7, 𝜋, −9) 
3)Converta as coordenadas de retangulares para esféricas 
a) (1, √3,−2) 
b) (1, −1,√2) 
c) (0,3√3, 3) 
d) (−5√3, 5,0) 
4)Converta as coordenadas de esféricas para retangulares 
a) (5,
𝜋
6
,
𝜋
4
) 
b) (7,0,
𝜋
2
) 
c) (1, 𝜋, 0) 
d) (2,
3𝜋
2
,
𝜋
2
) 
5)Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas 
a) (√3,
𝜋
6
, 3) 
b) (1,
𝜋
4
, −1) 
c) (2,
3𝜋
4
, 0) 
d) (6,1,−2√3) 
6)Converta as coordenadas de esféricas para cilíndricas 
a) (5,
𝜋
4
,
2𝜋
3
) 
b) (1,