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Elementos de Rigidez
Prof. Me. Luiz Fernando S. Borges
4 de Março de 2018
1 Introdução
Os elementos de rigidez são fabricados com vários materiais e têm diversas formas. O tipo de elemento
é escolhido de acordo com os requisitos. Por exemplo, para minimizar a transmissão de vibração das
máquinas para suporte da estrutura, isolar um edifício dos efeitos dos terremotos ou absorver a energia de
sistemas sujeitos a impactos.
Os elementos de rigidez armazenam e liberam a energia potencial de um sistema. Para estudar como a
energia potencial é definida, consideremos a ilustração mostrada na Figura 1, na qual uma mola está presa
na extremidade O, e, na outra extremidade, uma força de magnitude F está direcionada no sentido do
vetor unitário j. Sob a ação dessa força, o elemento se estica de um comprimento inicial ou não estendido
L0 + x no sentido de j. Nesse tipo de deformação, a relação entre F e x pode ser linear ou não linear.
Figura 1: (a) Elemento de rigidez com uma força aplicada a ele e (b) o respectivo diagrama de corpo livre.
Se Fs representar a força interna que atua no elemento de rigidez, como mostrado no diagrama de
corpo livre na Figura, no segmento da mola inferior, essa força será igual e oposta à força externa F , isto é,
Fs = −Fj
Por tentar restaurar a configuração não deformada do elemento de rigidez, a força Fs, é chamada de força
restauradora. À medida que é deformado, o elemento de rigidez armazena energia, e esta é liberada à
medida que a forma do elemento de rigidez é restaurada. A energia potencial V é definida como o trabalho
requerido para mudar o estado do elemento de rigidez de deformada para não deformado, isto é, o trabalho
necessário para restaurar a forma original do elemento. Para o elemento mostrado na Figura, essa energia
é definida como:
V (x) =
∫ 0
x
Fs · dx =
∫ 0
x
−Fj · dxj =
∫ x
0
Fdx (1)
onde utilizamos a identidade j · j = 1 e Fs = −Fj. Como a energia cinética T , a energia potencial V é
uma função escalar.
A relação entre a deformação de uma mola e uma força aplicada externamente pode ser linear ou não
linear.
1
2 Molas Lineares
2.1 Mola de translação
Se for aplicada uma mola linear, como mostra a Figura 2.1a, uma força F produzirá uma deflexão x,
de modo que
F (x) = kx (2)
onde o coeficiente k é chamado constante elástica e uma relação linear é estabelecida entre a força e o
deslocamento. Com base nas Eqs. (1) e (2), a energia potencial V armazenada na mola é definida por:
V (x) =
∫ x
0
F (x)dx =
∫ x
0
kxdx = k
∫ x
0
xdx =
1
2
kx2 (3)
Figura 2: Várias configurações de molas: (a) uma mola, (b) duas molas em paralelo e (c) duas molas em
série.
Dessa forma, para uma mola linear, a energia potencial associada é linearmente proporcional à rigidez
da mola k e proporcional à segunda potência da magnitude do deslocamento.
2.2 Mola de torção
Se considerarmos uma mola de torção linear com um momento τ aplicado a uma de suas extremidades
e a outra extremidade presa, teremos:
τ(θ) = ktθ (4)
onde kt é a constante elástica, e θ a deformação da mola. A energia potencial armazenada na mola será:
V (θ) =
∫ θ
0
τ(θ)dθ =
∫ θ
0
ktθdθ =
1
2
ktθ
2 (5)
2.3 Combinações de molas lineares
Agora, diferentes combinação de elementos de mola linear são consideradas, e a rigidez equivalente
dessas combinações é determinada. Primeiramente, combinação de molas de translação mostrada na Figura
2.1b, são consideradas e, depois consideramos combinações de molas de torção, mostradas nas Figuras.
Quando existem duas molas paralelas, como mostra a Figura b, e a barra na qual a força F atua
permanece paralela à sua posição original, os deslocamentos das duas molas são iguais e, desse modo, a
força total é
F (x) = F1(x) + F2(x) = k1x+ k2x = (k1 + k2)x = Kex (6)
2
onde Fj(x) é a força resultante na mola kj , j = 1, 2, e ke é a constante elástica equivalente para duas
molas em paralelo definida por:
ke = k1 + k2 (7)
No caso de duas molas em série, como mostra a Figura 2.1c, a força em cada mola é a mesma, e o
deslocamento total é:
x = x1 + x2 (8)
=
F
k1
+
F
k2
=
(
1
k1
+
1
k2
)
F =
F
ke
(9)
onde a constante elástica equivalente ke é:
ke =
(
1
k1
+
1
k2
)−1
=
k1k2
k1 + k2
(10)
Em geral, para N molas em paralelo, temos:
ke =
N∑
i=1
ki (11)
e para N molas em série, temos:
ke =
[
N∑
i=1
1
ki
]−1
(12)
A energia potencial para a combinação de molas mostradas na Figura 2.1b é dada por:
V (x) = V1(x) + V2(x) (13)
onde V1(x) é a energia potencial associada à mola de rigidez k1, e V2(x) é a energia potencial associada à
mola de rigidez k2. Aplicando a Eq. (3) para determinar V1(x) e V2(x), obtemos:
V (x) =
1
2
k1x
2 +
1
2
k2x
2 =
1
2
(k1 + k2)x
2 (14)
Para a combinação de molas mostradas na Figura 2.1c, a energia potencial do sistema é definido por:
V (x1, x2) = V1(x1) + V2(x2) =
1
2
k1x
2
1 +
1
2
k2x
2
2 (15)
onde, novamente, a Eq. (3) foi utilizada. As expressões com origem na energia potencial dos sistemas são
úteis na determinação das equações de movimento de um sistema.
3