Apostila de Vibrações Mecânicas 4ª edição 2014

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Faculdade Redentor 
Curso de Graduação em Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 2 
 
 
Cronograma da Disciplina 
 
CARGA HORÁRIA TOTAL: 45h CRÉDITOS: 03 
 
EMENTA: 
Sistemas com um grau de liberdade. Representação por vetores rotativos. Vibrações livres amortecidas e não 
amortecidas. Equação do movimento. Vibrações forçadas amortecidas. Excitações harmônicas por notação 
complexa. Sistemas com múltiplos graus de liberdade: análise modal. 
 
DISTRIBUIÇÃO DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO, ATIVIDADES TEÓRICAS E AVALIAÇÕES. 
Data Tipo Assunto 
01/08 Teórica Capítulo 1 – Fundamentos de Vibrações – Parte I 
08/08 Teórica Capítulo 1 – Fundamentos de Vibrações – Parte II 
15/08 Teórica Capítulo 2 - Vibração Livre de Sistemas com um Grau de Liberdade – Parte I 
22/08 Teórica Capítulo 2 - Vibração Livre de Sistemas com um Grau de Liberdade – Parte II 
29/08 Teórica Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso – Parte I 
05/09 Teórica Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso – Parte II 
12/09 Teórica Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso – Parte III 
19/09 Teórica Revisão para a Avaliação // Resolução de Exercícios 
26/09 Avaliação 1ª Verificação – V1 (8,0 Pontos) 
03/10 Teórica 
Vista de Prova 
Capítulo 4 – Vibração Livre com outros tipos de amortecimento – Parte I 
10/10 Teórica Capítulo 4 – Vibração Livre com outros tipos de amortecimento – Parte II 
17/10 Teórica Capítulo 5 – Vibrações excitada harmonicamente – Parte I 
24/10 Teórica Capítulo 5 – Vibrações excitada harmonicamente – Parte II 
07/11 Teórica Capítulo 6 – Vibrações em sistemas com dois graus de liberdade – Parte I 
14/11 Teórica Capítulo 6 – Vibrações em sistemas com dois graus de liberdade – Parte II 
28/11 Teórica Revisão para a Avaliação // Resolução de Exercícios 
05/12 Avaliação 2ª Verificação – V2 (8,0 Pontos) 
19/12 Avaliação 3ª Verificação – V3 (10,0 Pontos) 
Total 45 horas 
 
Bibliografia Básica: 
RAO, Singiresu S. Vibrações Mecânicas. 4ª Edição. São Paulo: Prentice Hall, 2009. 
MERIAM, James L. KRAIGE. Mecânica para Engenharia – Dinâmica. Vol. II. 5ª edição. Ed. LTC. 2003. 
FRANÇA, Luiz Novaes Ferreira. Introdução às Vibrações Mecânicas. 1ª Edição. São Paulo: Edgard Blucher, 2006 
 
Bibliografia Complementar: 
INMAN, Daniel J. Engineering Vibrations. 3ª Edição. São Paulo: Prentice Hall, 2007. 
HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia. 12ª edição. Ed. Prentice Hall. 2011. 
BEER, F. P. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Cinemática e Dinâmica. Traduzido por Adolpho Hengeltraub. 
5ª Edição revisada. São Paulo: Makron Books, 1994. 
MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery. New York: John Wilwy & Sons, 1987. 
MEIROVITCH, L. - Elements of Vibration Analysis - USA - McGraw-Hill 1975 
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João Batista de Aguiar et 
al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 3 
 
 
Lista de Símbolos 
 
Símbolo Significado Unidades Inglesas Unidades SI 
A Área in² m² 
c Coeficiente de amortecimento viscoso lb.s/in N.s/m 
cc 
Constante de amortecimento viscoso 
crítico 
lb.s/in N.s/m 
d Diâmetro in m 
e Excentricidade in m 
E Módulo de Young lb/in² Pa 
 Frequência linear Hz Hz 
F Força lb N 
F0 Amplitude da força F(t) lb N 
FT Força transmitida lb N 
g Aceleração da gravidade in/s² m/s² 
G Módulo de elasticidade transversal lb/in² Pa 
h Constante de amortecimento por histerese lb/in N/m 
H(i ) Função resposta em frequência 
I Momento de inércia de área in4 m4 
J Momento de inércia polar in4 m4 
k Constante elástica lb/in N/m 
m Massa lb.s²/in kg 
M Momento fletor lb-in Nm 
N Força normal lb N 
p Pressão lb/in² Pa 
r Razão de frequências = 
s Coeficiente exponencial, raiz da equação 
T Torque in.lb J 
T Energia cinética in.lb J 
U Energia potencial in.lb J 
 Velocidade linear in/s m/s 
V Energia potencial in.lb J 
W Peso da massa lb N 
X Amplitude de x(t) in m 
y Deslocamento de base in M 
 Constante de amortecimento por histerese 
 Peso especifico lb/in³ N/m³ 
 Decremento logarítmico 
 Deflexão estática in m 
 Energia dissipada em um ciclo in.lb J 
 Fator de amortecimento 
 Constante, deslocamento angular rad rad 
 Amplitude de θ(t) rad rad 
 Viscosidade de um fluido 
 Coeficiente de atrito lb.s/in² kg/m.s 
 Densidade de massa lb.s²/in4 kg/m³ 
 Período de oscilação s s 
 Ângulo de fase rad rad 
 Frequência natural rad/s rad/s 
 Frequência de vibração amortecida rad/s rad/s 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 4 
 
 
Sumário 
 
Capítulo 1 – Fundamentos de Vibrações .................................................................................................................. 6 
1.1 Conceitos Básicos ................................................................................................................................................... 8 
1.1.1 Graus de Liberdade (GDL) .................................................................................................................... 8 
1.1.2 Classificação das vibrações ................................................................................................................... 9 
1.1.2.1 Quanto à existência ou não de forçamento ........................................................................... 9 
1.1.2.2 Quanto à existência ou não de amortecimento ................................................................... 10 
1.2 Construção de Modelos de Sistemas Vibratórios .................................................................................................. 10 
1.2.1 Elementos de Inércia ............................................................................................................................ 11 
1.2.2 Elementos de rigidez ............................................................................................................................ 13 
1.2.2.1 Molas lineares ..................................................................................................................... 14 
1.2.2.2 Associação de molas........................................................................................................... 15 
1.2.2.3 Constantes elásticas equivalentes de elementos estruturais .............................................. 16 
1.2.3 Outra forma de elementos de energia potencial ................................................................................... 20 
1.2.4 Elementos de Dissipação ..................................................................................................................... 20 
1.2.4.1 Amortecimento viscoso ....................................................................................................... 21 
1.2.4.2 Amortecimento Coulomb ou por atrito seco ........................................................................ 21 
1.2.4.3 Amortecimento material ou sólido ou por histerese ............................................................. 21 
1.2.4.4 Construção de amortecedores viscosos ............................................................................. 22 
1.2.5 Análise da modelagem física ................................................................................................................ 23 
1.2.6 Projeto para vibração................................................................................................................................. 26 
Exercícios ................................................................................................................................................... 27 
Capítulo 2 – Vibração Livrede Sistemas com um grau de Liberdade .................................................................. 30 
2.1 Introdução ............................................................................................................................................................. 30 
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido ................................................................................ 32 
2.2.1 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton ................................................... 32 
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos ........................................................................................ 33 
2.2.3 Equação do movimento de um sistema massa-mola em posição vertical ........................................... 34 
2.2.4 Solução da equação do movimento ..................................................................................................... 35 
2.2.5 Movimento harmônico .......................................................................................................................... 36 
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido ........................................................................................ 40 
2.3.1 Equação do movimento ....................................................................................................................... 40 
2.3.2 Solução ................................................................................................................................................ 41 
Exercícios .................................................................................................................................................... 42 
Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso .................................................................................... 48 
3.1 Equação do movimento ......................................................................................................................................... 48 
3.2 Solução .................................................................................................................................................................. 49 
 3.2.1 Caso 1: Sistema sub amortecido .......................................................................................................... 51 
 3.2.2 Caso 2: Sistema criticamente amortecido ............................................................................................ 52 
 3.2.3 Caso 3: Sistema superamortecido ....................................................................................................... 53 
3.3 Decremento logarítmico ......................................................................................................................................... 54 
3.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso ....................................................................................................... 55 
3.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso .................................................................................................. 55 
Exercícios .................................................................................................................................................................... 57 
Capítulo 4 – Vibração Livre com outros tipos de amortecimentos ....................................................................... 64 
4.1 Vibração livre com amortecimento Coulomb ....................................................................................................... 64 
 4.1.1 Equação do movimento ....................................................................................................................... 64 
 4.1.2 Solução ............................................................................................................................................... 66 
4.1.3 Vibração torcional com amortecimento Coulomb ................................................................................. 69 
4.2 Vibração livre com amortecimento por histerese .................................................................................................. 70 
4.2.1 Rigidez Complexa ....................................................................................................................................... 71 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 5 
 
 
4.2.2 Resposta do sistema ................................................................................................................................... 72 
Exercícios .................................................................................................................................................................... 73 
Capítulo 5 – Vibrações excitada harmonicamente ................................................................................................. 75 
Exercícios ........................................................................................................................................................... 90 
 
 
 
Apostila de Vibrações Mecânicas - 4ª Edição - 2014 
Autor: Juvenil Nunes de Oliveira Júnior 
Engenheiro Mecânico e de Segurança do Trabalho 
Mestre em Engenharia de Materiais 
 
Contato: prof.juvenil@gmail.com 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 6 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Conceitos Básicos 
1.1.1 Graus de Liberdade (GDL) 
1.1.2 Classificação das vibrações 
1.1.2.1 Quanto à existência ou não de forçamento 
1.1.2.2 Quanto à existência ou não de amortecimento 
1.2 Construção de Modelos de Sistemas Vibratórios 
1.2.1 Elementos de Inércia 
1.2.2 Elementos de rigidez 
1.2.2.1 Molas lineares 
1.2.2.2 Associação de molas 
1.2.2.3 Constantes elásticas equivalentes de elementos 
estruturais 
1.2.3 Outra forma de elementos de energia potencial 
1.2.4 Elementos de Dissipação 
1.2.4.1 Amortecimento viscoso 
1.2.4.2 Construção de amortecedores viscosos 
1.2.5 Análise da modelagem física 
1.2.6 Projeto para vibração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração. Nós 
ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos porque ondas luminosas se 
propagam. A respiração está associada à vibração dos pulmões, os batimentos 
cardíacos são movimentos vibratórios do coração, a fala se fundamenta na vibração das 
cordas vocais e os nossos movimentos envolvem oscilações de braços e pernas. Em muitos 
outros campos da atividade humana, fenômenos apresentam variáveis cujo comportamento é 
oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.). 
Em engenharia, as aplicações das vibrações mecânicas são de grande importância nos 
tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de 
controle e outros, exigem que questões relacionadas com vibrações sejam levadas em conta. 
Os primeiros estudos de vibrações em engenharia foram motivados pelo problema de 
desbalanceamento em motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de 
projeto como de fabricação e manutenção. As rodas de locomotivas podem sair até um 
centímetro dos trilhos devido a desbalanceamentos. Em turbinas, os engenheiros ainda não 
foram capazes de resolver uma grande parte dos problemas originados em pás e rotores. As 
A 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 7 
 
 
estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas (motores, turbinas, bombas, 
compressores, etc.) também estão sujeitas a vibração, sendo possível que partes dessas 
estruturas sofram fadiga devido à variação cíclica de tensões. A vibração também causa 
desgaste mais rápido em mancais e engrenagens, provocando ruído excessivo. Em máquinas, 
a vibração pode provocar o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a 
vibraçãopode causar trepidação, conduzindo a um pobre acabamento superficial. 
Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com 
a frequência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância, que 
leva a grandes deformações e falhas mecânicas. A literatura é rica em exemplos de falhas 
causadas por vibrações excessivas em virtude da ressonância. Um exemplo clássico é o da 
ponte de Tacoma Narrows, conforme figura 1.1, nos Estados Unidos. Inaugurada em julho de 
1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonância induzida 
pelo vento. Em virtude dos efeitos devastadores que podem surgir em máquinas e estruturas, 
os testes vibratórios se tornaram um procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da 
maioria dos sistemas em engenharia. 
 
Figura 1.1: Ponte Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento. 
 
Em muitos sistemas de engenharia o ser humano atua como parte integrante do mesmo. 
A transmissão de vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficiência. 
Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mau funcionamento ou dificuldade de 
leitura de medidores. Portanto, um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a 
redução dos níveis vibratórios através do projeto e montagem adequados de máquinas. Nesta 
interface, o engenheiro mecânico tenta projetar a máquina para que a mesma apresente níveis 
vibratórios baixos, enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da máquina de forma 
a assegurar que o efeito da vibração não se transmita. 
Por outro lado, a vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações 
industriais. Esteiras transportadoras, peneiras vibratórias, compactadores, misturadores, 
máquinas de lavar e outras, utilizam a vibração em seu princípio de funcionamento. A vibração 
também pode ser útil em testes de materiais, processos de usinagem e soldagem. 
Os ultrassons são largamente utilizados também em medicina (obstetrícia, destruição de 
cálculos renais, etc.). A vibração também pode ser empregada para simular terremotos em 
pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares. 
Nas indústrias automobilísticas são feitos teste de vibração nos laboratórios de 
segurança veicular, por exemplo, o Sled Test, uma espécie de trenó que faz simulações de 
impacto veicular; um novo Laboratório Elétrico-eletrônico foi construído, com câmaras 
climáticas, bancadas para testes em componentes e capacidade para teste de descarga 
eletrostática; o Laboratório de Ruídos e Vibrações possui um dinamômetro para validar a 
qualidade sonora dos veículos; e o Laboratório Estrutural recebeu um simulador de pistas para 
avaliação estrutural mais completa dos modelos. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 8 
 
 
 
Figura 1.2: Teste de vibração em Automóveis. 
 
1.1 Conceitos básicos 
 
Qualquer movimento que se repete depois de certo intervalo de tempo é denominado 
vibração ou oscilação. A vibração, portanto, é o estudo do movimento de oscilação de um 
corpo em torno de uma posição de equilíbrio, bem como das forças e/ou momentos a ele 
associadas. 
 
1.1.1 Graus de Liberdade (GDL) 
 
É o número mínimo de coordenadas independentes (denominadas coordenadas 
generalizadas) que descrevem completamente o movimento de todos os elementos do 
sistema. 
 
Nº de GDL do sistema = Nº de massas do sistema x Nº de GDL de cada massa 
 
 Exemplos de Sistemas com 1 GDL (fig. 1.3): 
 
Figura 1.3: Exemplos de sistemas com 1 GDL. 
 
 Exemplos de Sistemas com 2 GDL (fig. 1.4): 
 
Figura 1.4: Exemplos de sistemas com 2 GDL. 
 
 Exemplos de Sistemas com 3 GDL (fig. 1.5): 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 9 
 
 
 
Figura 1.5: Exemplos de sistemas com 3 GDL. 
 
1.1.2 Classificação das vibrações 
 
1.1.2.1 Quanto à existência ou não de forçamento: 
 
• Vibrações livres (ou naturais): causadas por condições iniciais (deslocamento 
inicial e/ou velocidade inicial). 
• Vibrações forçadas: causadas por forças e/ou torques externos; as oscilações 
persistem durante a aplicação dos mesmos e uma vez cessadas essas solicitações o sistema 
entra em vibração livre. A seguir os tipos de excitação mais comuns: 
Força harmônica: forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos, descrita 
pela equação: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Sendo F a amplitude da excitação e a freqüência de excitação em rad/s. Também é 
usual descrever as frequências em Hertz Hz. A frequência em Hz é nomeada de f e descrita 
por: 
 
 
 
 
 ( ) 
Sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico leva para repetir 
seu padrão), medidos em s. A relação entre as frequências sem Hz e rad/s é dada por: 
 
 
 
 
 ( ) 
Um movimento harmônico é definido completamente a partir do conhecimento das 
variáveis acima. Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa 
desbalanceada. 
Força periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não de forma 
exatamente igual. Motores de combustão interna são exemplos deste tipo de excitação; 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 10 
 
 
Força transitória: Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um 
intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descrevem este tipo de força: explosão, impacto, 
etc; 
Força aleatória: São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico 
que possa ser definido por uma equação. Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é 
necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas 
excitados por forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, 
etc. 
 
1.1.2.2 Quanto à existência ou não de amortecimento: 
 
• Vibrações sem amortecimento: não há perda de energia por atrito. Se a vibração for 
livre, não haverá diminuição da amplitude da vibração e o sistema vibrará indefinidamente. Se 
a vibração for forçada, a excitação reporá energia no sistema, podendo ocorrer até aumento da 
amplitude da vibração; 
• Vibrações com amortecimento: há perda de energia por atrito. Se a vibração for livre, 
haverá sempre diminuição da amplitude da vibração e o sistema tenderá a parar na posição de 
equilíbrio estático. Se a vibração for forçada, poderá haver ou não diminuição da amplitude da 
vibração, porque a excitação repõe energia no sistema. 
A figura 1.7 ilustra uma vibração não amortecida e uma amortecida. 
 
Figura 1.7: Vibrações livres sem e com amortecimento. 
 
1.2 Construção de modelos de sistemas vibratórios 
 
Nesta seção, os elementos que formam um modelo de sistema vibratório são descritos, e 
a utilização desses elementos na construção de modelos é ilustradas com exemplos. 
Em geral, existem três elementos que constituem um sistema vibratório: 
a) Elementos de Inércia: que armazenam e liberam energia cinética, são caraterizados 
por uma relação entre uma força (ou momento) aplicada e a resposta em aceleração 
correspondente; 
b) Elementos de Rigidez: armazenam e liberam a energia potencial, são caracterizados 
por uma relação entre uma força (ou momento) aplicada e a resposta em deslocamento (ou 
rotação) correspondente; 
c) Elementos de Dissipação: que são utilizados para expressar a perda de energia em 
um sistema e são caracterizados por uma relação entre uma força (ou momento) aplicada e a 
resposta em velocidade correspondente. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 11 
 
 
Cada um desses elementos apresenta características diferentes de resposta á excitação, 
e esta tem a forma de uma força ouum momento, e a resposta correspondente do elemento 
tem a forma de deslocamento, velocidade ou aceleração. 
A natureza dessas relações, que podem ser lineares ou não lineares, é apresentada 
neste capítulo. As unidades associadas com esses elementos e os símbolos comumente 
utilizados para os vários elementos estão relacionados na Tabela 1.1. 
 
Tabela 1.1: Unidades de componentes que compõem um sistema mecânico vibratório. 
Grandeza Unidades 
Movimento de translação 
Massa, m kg 
Rigidez, k N/m 
Amortecimento, c N.s/m 
Força externa, F N 
 
Movimento rotacional 
Massa, m kg.m² 
Rigidez, k N.m/rad 
Amortecimento, c N.m.s/rad 
Força externa, F N.m 
 
1.2.1 Elementos de Inércia 
O movimento de translação de uma massa é descrito como o movimento ao longo do 
percurso seguido pelo centro de massa. A propriedade de inércia associada depende apenas 
da massa total do sistema e é independente de sua geometria de distribuição de massa. 
Entretanto, a propriedade de inércia de uma massa em movimento rotacional é uma 
função da distribuição de massa, especificamente do momento de inércia da massa, que, em 
geral, é definido em torno de seu centro de massa ou de um ponto fixo O. 
Quando a massa oscila em torno de um ponto fixo O ou um ponto pivô O, a inércia de 
rotação JO é dada por: 
 
 ( ) 
Onde: 
m – massa do elemento; JG é o momento de inércia da massa em torno do centro de 
massa, e d é a distância do centro de gravidade ao ponto O. Na equação 1.4, os momentos de 
inércia são definidos em relação aos eixos normais ao planto de massa. Essa relação entre os 
momentos de inércia de massa em torno de um eixo através do centro de massa G e um eixo 
paralelo através de outro ponto O resultado do teorema dos eixos paralelos. Os momentos 
de inércia de massa de algumas formas comuns estão relacionados na Tabela 1.2. 
 
Tabela 1.2: Momentos de inércia de massa em torno do eixo z normal ao plano x-y e que atravessa o 
centro de massa. 
Barra Delgada 
 
 
 
 
 
Disco Circular 
 
 
 
 
 
Esfera 
 
 
 
 
 
Cilindro Circular 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 12 
 
 
 
A figura 1.8 mostra uma massa m em translação a uma 
velocidade de magnitude ̇ no plano X-Y. O sentido do vetor 
velocidade também é indicado na figura, juntamente com o 
sentido da força que atua sobre a massa. 
Com base no princípio da quantidade de movimento linear, a 
equação governante do movimento da massa é: 
 
 
 
( ̇ ) ( ) 
A qual, se m e i são independentes do tempo, é simplificada 
para: 
 ̈ ( ) 
Para obter a equação da energia cinética da massa, basta aplicar o teorema do trabalho-
energia. Vamos supor que a massa mostrada na figura 1.8 seja deslocada de um estado inicial 
de repouso, no qual a velocidade é zero no instante t0, para o estado final no instante tf. Então, 
temos que o trabalho W, realizado sob a ação de uma força Fi, é: 
 ∫ 
 
 
 ∫ ̈ 
 
 
 ∫ ̈ 
 
 
 ( ) 
 ∫ ̈ ̇ 
 
 
 ∫ ̇ ̇
 ̇
 
 
 
 
 ̇ ( ) 
Onde aplicamos a relação ̇ . Portanto, a energia cinética é: 
 ( ) ( ) 
 
 
 ̇ ( ) 
 
No caso de um corpo rígido apenas em rotação 
no plano a uma velocidade angular ̇ , pode-se 
mostrar, com base no princípio da quantidade de 
movimento angular: 
 
 ̈ ( ) 
Onde M é o momento que atua em relação ao 
centro de massa G ou a um ponto fixo O (como 
mostra a figura 1.9) ao longo da direção normal ao 
plano de movimento e J é o momento de inércia de 
massa associado. 
Da equação 1.9, temos que, para o movimento rotacional, a propriedade de inércia J é a 
razão do momento pela aceleração angular. Pode-se verificar que as unidades de J 
relacionadas na tabela 1.1 estão consistentes com a equação 1.9. Essa propriedade de inércia 
também é chamada inércia de rotação. A energia cinética do sistema é: 
 
 
 
 ̇ ( ) 
Desse modo, a energia cinética do movimento rotacional é linearmente proporcional à 
propriedade de inércia J, o momento de inércia da massa. 
 
 
Figura 1.8: Massa em 
translação. 
 
Figura 1.9: (a) Disco uniforme articulado 
em um ponto de seu perímetro e (b) barra 
de massa uniforme articulada em uma 
extremidade. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 13 
 
 
Exemplo 1.1: Determinação de momentos de inércia de massa 
Determine os momentos de inércia de massa dos corpos-rígidos: 
(a) Disco Uniforme; 
 
(b) Barra Uniforme. 
 
 
1.2.2 Elementos de Rigidez 
Os elementos de rigidez são fabricados com vários materiais e têm diversas formas. O 
tipo de elemento é escolhido de acordo com os requisitos. Por exemplo, para minimizar a 
transmissão de vibração das máquinas para o suporte de estrutura, isolar um edifício dos 
efeitos dos terremotos ou absorver a energia de sistemas sujeitos a impactos. 
Alguns tipos representativos de elementos de rigidez comercialmente disponíveis são 
mostrados na figura 1.10, juntamente com sua aplicação. 
 
 
Figura 1.10: (a) Isolamento da base de edifícios ou pistas de alta velocidade no que concerne a 
movimento lateral utilizando elementos cilíndricos de borracha; (b) isoladores de cabos de aço para 
isolar movimentos verticais das máquinas; (c) molas pneumáticas utilizadas em sistemas de suspensão 
para isolar movimentos verticais; (d) molas helicoidais convencionais de aço para isolamento de 
movimentos verticais e (e) molas de cabo de aço utilizadas em um amortecedor de massa regulado de 
chaminé para suprimir movimentos laterais. 
 
Os elementos de rigidez armazenam e liberam a energia potencial de um sistema. A 
figura 1.11 ilustra a representação de um elemento de rigidez, que está preso na extremidade 
O, e, na outra extremidade, uma força de magnitude F está direcionada no sentido vertical. 
Sob a ação dessa força, o elemento se estica de um comprimento inicial ou não 
estendido L0 para um comprimento L0 + x no sentido vertical. 
Movimento 
Movimento 
Movimento 
Movimento 
Mola 
Molas Molas 
Cabo de aço 
Molas 
de 
cabo 
de aço 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 14 
 
 
 
Figura 1.11: (a) Elementos de rigidez com uma força aplicada a ele e (b) o respectivo diagrama de corpo 
livre (DCL). 
 
Por tentar restaurar a configuração não deformada do elemento de rigidez, a força FS é 
chamada de força restauradora. À medida que é deformado, o elemento de rigidez armazena 
energia, e esta é liberada à medida que a forma do elemento de rigidez é restaurada. 
 
1.2.2.1 Molas Lineares 
Tipo 1 - Mola de Translação: se for aplicada a uma mola linear, como a figura 1.12(a), 
uma força F produzirá uma deflexão x, de modo que: 
 
 ( ) ( ) 
Onde o coeficiente k é chamado de constante elástica e uma relação linear é 
estabelecida entre a força e o deslocamento. 
A energia potencial V assume a forma: 
 ( ) ∫ 
 
 
 ( ) 
Com base nas equações 1.11 e 1.12, a energia potencial V armazenada na mola é 
definida por: 
 ( ) ∫ ( ) ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Desta forma, para uma mola linear, a energia potencial associada é linearmente 
proporcional à rigidez da mola k e proporcional à segunda potência da magnitude do 
deslocamento. 
 
Tipo 2 – Mola de Torção: se consideramos uma mola de torção linear com um momento 
 aplicado a uma de suas extremidades e a outra extremidadepresa, teremos: 
 
 ( ) ( ) 
Onde kt é a constante elástica, e  a deformação da mola. A energia potencial 
armazenada na mola será: 
 
 ( ) ∫ ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Elemento 
de Rigidez 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 15 
 
 
1.2.2.2 Associação de molas 
 
Em muitas aplicações práticas, várias molas lineares são usadas em associação. Estas 
molas podem ser associadas em uma única mola equivalente como indicado a seguir: 
 Molas em paralelo: O sistema da 
figura (1.12b) tem molas em paralelo na qual 
a força F atua e permanece paralela à sua 
posição original, os deslocamentos das duas 
molas são iguais e, desse modo, a força 
total é: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
Onde F(x) é a força resultante na mola 
e keq é a constante elástica equivalente para 
duas molas em paralelo definida por: 
 
 ( ) 
 
Em geral, para N molas em paralelo, 
temos: 
 ∑ 
 
 
 ( ) 
 
 Molas em série: no caso de duas ou mais molas em série, como mostra a figura 1.12(c), 
a força em cada mola é a mesma, e o deslocamento total é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 ( ) 
 
Esta equação pode ser generalizada para o caso de N molas em série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
A energia potencial para a combinação de molas mostrada na figura 1.12 (b), associação 
em paralelo, é dada por: 
 ( ) ( ) ( ) 
Onde ( )é a energia potencial associada à mola de rigidez k1, e ( ) é a energia 
potencial associada à mola de rigidez k2. Aplicando a equação 1.13 para determinar ( ) e 
 ( ), obtemos: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 ( ) 
Para a combinação de molas mostrada na figura 1.12(c), associação em série, a energia 
potencial é definida por: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Figura 1.12: Várias configurações de molas: (a) 
uma mola, (b) duas molas em paralelo e (c) duas 
molas em série. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 16 
 
 
1.2.2.3 Constantes elásticas equivalentes de elementos estruturais comuns 
utilizadas em modelos de vibração 
 
Elementos elásticos como vigas também se comportam como molas. Por exemplo, 
considere uma viga em balanço com uma massa m na extremidade como mostra a figura 1.13. 
 
(a) Sistema Atual (b) Modelo com um 
único grau de liberdade 
Figura 1.13: Viga em balanço com massa na extremidade. 
 
Admitimos que a massa da viga é desprezível em comparação com a massa m. Pela 
resistência dos materiais, sabemos que a deflexão estática da viga na extremidade livre é dada 
por: 
 
 
 
 ( ) 
 
Onde W = mg é o peso da massa m, E ó modulo de Young, e I é o momento de 
inércia da seção transversal da viga. Como consequência, a constante elástica é: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir amortecimento 
pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos podem dissipar energia de formas 
diferentes. O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento 
viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade 
da forma. 
A tabela 1.3, resume algumas constantes de molas obtidas a partir de elementos 
estruturais. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 17 
 
 
Tabela 1.3: Constantes elásticas para alguns elementos elásticos comuns. 
 
A: área da seção transversal; E: módulo de Young; G: módulo de cisalhamento; I: momento de inércia de 
área ou momento de inércia polar. 
Haste ou barra 
carregada axialmente 
Haste cônica 
carregada axialmente 
Haste circular oca em 
torção 
Viga em balanço 
Viga articulada, 
simplesmente apoiada 
Viga bi-engastada 
Duas barras circulares 
em torção 
Duas barras circulares 
em torção 
Mola helicoidal 
Placa retangular 
engastada espessura 
constante, força 
aplicada ao centro 
Coeficiente de Poisson 
Placa circular 
engastada, espessura 
constante, força 
aplicada ao centro 
Placa em balanço, 
espessura 
constante, força 
aplicada ao centro 
da borda livre 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 18 
 
 
Exemplo 1.2: Rigidez Equivalente de uma combinação viga-mola 
Considere as combinações mostradas na figura 1.14, onde temos uma viga em balanço com 
uma mola presa na extremidade livre. 
 
Figura 1.14: Combinação de molas e diagramas de corpo livre. 
 
 
Exemplo 1.3: Rigidez equivalente de uma viga em balanço com carga transversal na 
extremidade 
Uma viga em balanço, feita de uma liga com um módulo de elasticidade (módulo de Young) E 
= 72 x 109 N/m², é carregada transversalmente em sua extremidade livre. Se o comprimento 
da viga for 750 mm, e a viga tiver uma seção transversal anular com os diâmetros interno e 
externo 110 mm e 120 mm, respectivamente, determine a rigidez equivalente da viga. 
 
 
Exemplo 1.4: Rigidez equivalente de uma viga com extremidade fixa e em translação na outra 
extremidade. 
Na figura 1.15, uma viga uniforme de comprimento L e rigidez flexional EI, onde E é módulo de 
elasticidade (módulo de Young), e I, o momento de inércia de área em torno do eixo de 
curvatura, é mostrada. Essa viga está presa em uma extremidade e livre para se mover em 
translação na direção vertical na outra extremidade, com a restrição de que a inclinação da 
viga seja zero nessa extremidade. A rigidez equivalente dessa viga deve ser determinada 
quando a viga for submetida a um carregamento transversal F na extremidade em translação. 
 
 
 
Figura 1.15: Viga presa em uma extremidade e livre para se mover em translação na outra 
extremidade. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 19 
 
 
Exemplo 1.5: Rigidez equivalente de um sistema microeletromecânico (MEMS) em flexão 
fixa-fixa. 
Um sistema de sensor microeletromecânico (MEMS) consistindo em quatro flexões é 
mostrado na figura. Cada um dos elementos em flexão está preso em uma extremidade e 
ligado a uma massa na outra extremidade. Cada elemento tem um comprimento L, uma 
espessura h e uma largura b. Um carregamento transversal atua sobre a massa na direção Z, 
que é normal ao plano X-Y. Cada elemento é fabricado com um material polisilício, que tem 
um módulo de elasticidade (módulo de Young) E = 150 GPa. Se o comprimento de cada 
elemento for 100m, e a largura e a espessura forem de 2 m, determine a rigidez equivalente 
do sistema. 
 
 
 
Figura 1.15: Viga presa em uma extremidade e livre para se mover em translação na outra 
extremidade. 
 
 
Exemplo 1.6: k equivalente de um sistema de suspensão 
A figura 1.16 mostra o sistema de suspensão de um vagão ferroviário de carga com um 
arranjo de molas em paralelo. Determine a constante elástica equivalente da suspensão se 
cada uma das três molas helicoidais for fabricada em aço comum módulo de elasticidade 
transversal G=80x109 N/m² e tiver cinco espirais efetivas, diâmetro médio do enrolamento 
D=20 cm, e diâmetro do arame d= 2 cm. 
 
 
Figura 1.16: Arranjo em paralelo de molas em um vagão ferroviário de carga. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 20 
 
 
 
Exemplo 1.7: Constante elástica torcional de um eixo de um propulsor a hélice 
Determine a constante elástica torcional do eixo de hélice em aço mostrado na figura 1.17. 
 
 
Figura 1.17: Eixo de um propulsor a hélice. 
 
 
1.2.3 Outra forma de elementos de energiapotencial 
 
 Elemento de fluido 
Como um exemplo de elemento de fluido, considere o 
manômetro mostrado na figura 1.18, no qual o fluido é 
deslocado em um percurso x em um dos segmentos do 
manômetro. Consequentemente, o fluido foi deslocado em um 
percurso total de 2x. Se o fluido tiver uma densidade de 
massa ,e o manômetro tiver uma área A0, a magnitude da 
força total do fluido deslocado que atua sobre o restante do 
fluido será: 
 ( ) ( ) 
 
Consequentemente, a constante elástica equivalente do sistema de fluido será: 
 
 
 
 ( ) 
Que mostra claramente que a rigidez do elemento de fluido depende da densidade de 
massa , da área da seção transversal do manômetro A0 e da aceleração da gravidade g. A 
energia potencial correspondente é: 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
1.2.4 Elementos de Dissipação 
Supõe-se que os elementos de amortecimento não têm inércia nem meios para 
armazenar ou liberar a energia potencial. O movimento mecânico aplicado a esses elementos é 
convertido em calor ou som e, dessa forma, eles são chamados não conservativos ou 
dissipativos, porque essa energia não é recuperável pelo sistema mecânico. 
Existem quatro tipos comuns de mecanismos de amortecimento utilizados na construção 
de modelos de sistemas vibratórios. Esses tipos são: 
 
Figura 1.18: Manômetro. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 21 
 
 
a) Amortecimento viscoso; 
b) Amortecimento de Coulomb ou de atrito seco; 
c) Amortecimento material, sólido ou histerético; 
d) Amortecimento fluido. 
Em todos esses casos, a força de amortecimento é expressa como uma função da 
velocidade entre suas extremidades. 
 
1.2.4.1 Amortecimento viscoso 
Quando um fluido viscoso escoa através de uma fenda 
ou em torno de um pistão em um cilindro, a força de 
amortecimento gerada é proporcional à velocidade relativa 
entre as duas superfícies de limite que confinam o fluido. 
Uma representação comum de um amortecedor viscoso é 
um cilindro com cabeça de pistão, como mostra a figura 1.19. 
Nesse caso, a cabeça de pistão se move com velocidade 
 ̇ relativa à carcaça do cilindro, que está fixa. A magnitude da 
força do amortecimento F sempre atua no sentido oposto ao da 
velocidade. 
Dependendo da estrutura do amortecedor na faixa de velocidade, a magnitude da força 
do amortecimento F( ̇) é uma função não linear da velocidade ou pode ser aproximada como 
uma função linear da velocidade. No caso linear, a relação é expressa como: 
 
 ( ̇) ̇ ( ) 
Onde a constante de proporcionalidade, denotada por c, é chamada coeficiente de 
amortecimento. O coeficiente de amortecimento tem unidades de N/(m/s). O amortecimento 
viscoso da forma da pela equação 1.28, também é chamado de amortecimento de fluido lento 
ou amortecimento viscoso linear. 
Quando os amortecedores aparecem em associação, eles podem ser substituídos por um 
amortecedor equivalente adotando-se um procedimento semelhante ao especificado para 
mola. 
 
1.2.4.2 Amortecimento Coulomb ou por atrito seco 
Aqui, a magnitude da força de amortecimento é constante, mas no sentido oposto ao 
movimento do corpo vibratório. O amortecimento, nesse caso, é causado pelo atrito entre 
superfícies em contato que estejam secas ou não tenham lubrificação suficiente. 
 
1.2.4.3 Amortecimento material ou sólido ou por histerese 
Quando um material é deformado, ele absorve e dissipa energia. O efeito deve-se ao 
atrito entre os planos internos, que deslizam ou escorregam enquanto as deformações 
ocorrem. Quando um corpo com amortecimento material é sujeito à vibração, o diagrama 
tensão-deformação mostra um ciclo de histerese como indicado na figura 1.20. A área desse 
ciclo denota a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao 
amortecimento. 
 
Figura 1.19: Representação de 
um amortecedor viscoso. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 22 
 
 
 
Figura 1.20: Ciclo de histerese para materiais elásticos. 
1.2.4.4 Construção de amortecedores viscosos 
Um amortecedor viscoso pode ser construído usando-se duas placas paralelas 
separadas por uma distância h, com um fluido de viscosidade  entre as placas (Figura 1.20). 
Considere que uma das placas é fixa e a outra está movimentando-se com uma velocidade v 
em seu próprio plano. As camadas de fluido em contato com a placa em movimento movem-se 
com uma velocidade v, enquanto as que estão em contato com a placa fixa não se movem. 
Admite-se que as velocidades das camadas intermediárias de fluido variam linearmente entre 0 
e v, como mostra a figura 1.21. 
 
 
Figura 1.21: Placas paralelas com um fluido viscoso entre elas. 
 
Segundo a lei de Newton de fluxo viscoso, a tensão de cisalhamento ( ) desenvolvida na 
camada de fluido a uma distância y da placa fixa é dada por: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Onde du/dy = v/h é o gradiente de velocidade. A força de cisalhamento ou de resistência 
(F) desenvolvida na superfície inferior da placa em movimento é: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Onde A é a área da superfície da placa em movimento e 
 
 
 
 
 ( ) 
É denominado constante de amortecimento. 
Energia gasta (ABD) 
Energia recuperada (BCD) 
Tensão 
Deformação 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 23 
 
 
Exemplo 1.8: Folga em um mancal 
Verificou-se que um mancal, que pode ser aproximado como duas placas planas separadas 
por uma fina película de lubrificante (figura 1.22), oferece uma resistência de 400 N quando é 
usado óleo SAE30 como lubrificante e a velocidade relativa entre as placas é 10 m/s. Se a 
área das placas (A) for 0,1 m², determine a folga entre as placas. Suponha que a viscosidade 
absoluta do óleo SAE30 seja 50 reyn ou 0,3445 Pa.s. 
 
 
Figura 1.22: Placas planas separadas por uma fina película de lubrificante. 
 
Exemplo 1.9: Coeficiente de amortecimento equivalente e rigidez equivalente de um sistema 
vibratório 
Determine o coeficiente de amortecimento equivalente e a rigidez equivalente do sistema 
vibratório mostrado na figura 1.23. 
 
 
Figura 1.23: Sistema vibratório linear. 
 
Exemplo 1.10: Projeto de um amortecedor de placas paralelas 
Um amortecedor de placas paralelas com uma placa superior de dimensões 100 mm x 100 
mm deve ser puxado através de uma camada de óleo de 0,2 mm de espessura, confinada 
entre a placa móvel e a placa fixa. O óleo é do tipo SAE30, cuja viscosidade é de 0,3445 Pa.s. 
Determine o coeficiente de amortecimento. 
 
 
1.2.5 Análise da modelagem física 
O objetivo é representar esquematicamente todas as propriedades importantes do 
sistema, visando reduzir as equações que descrevem o seu comportamento. Deve haver um 
compromisso entre simplicidade do modelo e a precisão obtida, ou seja, o modelo deve ser o 
mais simples possível, porém mantendo as propriedades principais do sistema. A seguir, dois 
exemplos de modelagem física com refinamentos do modelo. 
A seguir temos um exemplo de modelagem física de uma prensa mecânica: 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 24 
 
 
 
Figura 1.24: Modelagem de um martelo de forjar. 
 1º Modelamento (1 GDL): 
 
Figura 1.25: Representação do martelo de forjar com 1 GDL. 
 
O deslocamento vertical x1 do conjunto bigorna + fundação, ou seja, com apenas 1 GDL. 
 
 
 
 2º Modelamento (2 GDL): 
 
Figura 1.26: Representação da Prensa Mecânica com 2 GDL. 
Martelo-pistão 
Suporte 
Bigorna 
Coxim elástico 
Bloco de base 
Solo 
Martelo-pistão 
Rigidez do solo Amortecimento do solo 
Bigorna e bloco da 
baseMartelo-pistão 
 Bigorna 
Rigidez do coxim elástico Amortecimento do coxim 
elástico 
Rigidez do solo Amortecimento do solo 
 Bloco de base 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 25 
 
 
 
O modelo físico do mesmo sistema com 2 GDL utilizando o deslocamento vertical x1 para 
a bigorna e o deslocamento vertical x2 para a fundação. Evidentemente, o modelo com 2 GDL 
é mais refinado, porém apresenta uma maior complexidade matemática. 
Agora vamos realizar a modelagem física de um sistema composto pelo conjunto 
motociclista + motocicleta. 
 
Figura 1.27: Conjunto Motocicleta + Motociclista. 
 
 1º Modelamento (1 GDL): 
 
Figura 1.28: Representação do Conjunto Motocicleta + Motociclista com 1 GDL. 
 
Temos apenas 1 GDL, o deslocamento vertical da massa equivalente às massas das 
rodas, da motocicleta e do motociclista; na figura 1.28. 
 
 2ª Modelamento (3 GDL): 
 
 
Figura 1.29: Representação do Conjunto Motocicleta + Motociclista com 3 GDL. 
 
Agora a quantidade de GDL aumentou para 3; os deslocamentos verticais das massas e 
a rotação da massa que engloba a moto + motociclista em torno de um eixo horizontal 
perpendicular ao plano do papel e passando pelo centro de massa do conjunto; 
Motociclista 
Longarina 
Longarina 
Pneu 
Roda 
Rodas, moto, motociclista 
Pneus, suspensões, 
motociclista 
Suspensões, motociclista 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 26 
 
 
 3ª Modelamento (4 GDL): 
 
Figura 1.30: Representação do Conjunto Motocicleta + Motociclista com 4 GDL. 
 
E finalmente temos acrescentado, em relação ao modelo da anterior, mais 1 GDL, que é 
o deslocamento vertical do corpo do motociclista, perfazendo um total de 4 GDL. Esse último 
modelo está mais próximo da realidade do que os anteriores, embora a complexidade 
matemática decorrente seja bem maior. 
 
1.2.6 Projeto para Vibração 
Os princípios que governam os sistemas de um grau de liberdade, múltiplos graus de 
liberdade e contínuos são abordados apresentados nesta apostila, e apresentados juntamente 
com as informações necessárias para a investigação experimental, numérica e analítica de um 
sistema vibratório. Na figura 1.31, é apresentado como esses diferentes aspectos são 
utilizados para projetar um sistema com características específicas de vibração. 
 
 
Figura 1.31: Projeto de vibração 
Índices: 
t: pneu v: veículo 
w: roda r: motociclista 
s: longarina eq: equivalente 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 27 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Calcule a rigidez equivalente ( ) para cada um dos sistemas massa-mola não-amortecidos 
mostrados abaixo. 
(a) (b) (c) 
 
2. Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura a seguir, usando o 
deslocamento do bloco como uma coordenada generalizada. 
 
 
3. Represente o sistema vibratório dado na figura abaixo como um sistema vibratório 
equivalente com massa m, rigidez equivalente ke e coeficiente de amortecimento equivalente 
ce. Cada rigidez tem valor 1000 N/m e cada constante de amortecimento o valor 30 Ns/m. 
 
 
4. Determine a constante elástica equivalente do sistema mostrado na figura abaixo, sabendo 
que cada k tem valor de 300 N/m. 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 28 
 
 
5. Uma máquina de massa m=500kg está montada sobre um viga de aço simplesmente 
apoiada de comprimento l=2m, seção transversal retangular (profundidade = 0,1m, largura 
=1,2m) e módulo Young E = 2,06 x 1011 N/m². Para reduzir a deflexão vertical da viga, uma 
mola de rigidez k é acoplada ao ponto central do vão, como mostra a figura. Determine o valor 
de k necessário para reduzir a deflexão da viga em: 
(a) 25% de seu valor original; 
(b) 50% de seu valor original; 
(c) 75% de seu valor original. 
Admita que a massa da viga seja desprezível. 
 
 
6. Um tambor de içamento equipado com um cabo de aço é montado na extremidade de uma 
viga em balanço como mostrado na figura abaixo. Determine a constante elástica equivalente 
do sistema quando o comprimento de suspensão do cabo é L. Admita que o diâmetro efetivo 
da seção transversal do cabo é d e que o módulo de Young da viga e do cabo é E. 
 
7. Na figura abaixo, determine a constante elástica equivalente do sistema na direção de . 
 
8. Considere duas molas helicoidais com as seguintes características: 
Mola 1: material: aço; número de esperas: 10; Diâmetro médio do enrolamento: 12 in; 
Diâmetro do arame: 2 in; comprimento livre: 15 in; Módulo de elasticidade transversal: 12 x 106 
psi. 
Mola 2: material: alumínio; número de espiras: 10; Diâmetro médio do enrolamento: 10 in; 
diâmetro do arame: 1 in; comprimento livre: 15 in; Módulo de elasticidade transversal 4 x 106 
psi. 
Determine a constante elástica equivalente quanto (a) a mola 2 é colocada dentro da mola 1, e 
(b) a mola 2 é colocada sobre a mola 1. 
 
9. Determine o comprimento equivalente Le de uma mola de seção transversal constante de 
diâmetro d2 que tem a mesma constante elástica da mola cônica mostrada no Caso 2 da tabela 
1.3. As duas molas têm o mesmo módulo de Young E. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 29 
 
 
10. Determine a rigidez equivalente de cada sistema mostrado na figura abaixo. Cada sistema 
consiste de três molas lineares com rigidez k1 = 10 N/m; k2 = 20 N/m e k3 = 5 N/m. 
 
11. Para o sistema de molas de translação e torção mostrada na figura abaixo, determine a 
constante elástica equivalente para oscilações torcionais. O disco tem um raio R, e as molas de 
translação são tangentes ao disco no ponto de ligação. 
 
12. Determine uma única constante de amortecimento equivalente para os seguintes casos 
a) Quando três amortecedores estão em paralelo. 
b) Quando três amortecedores estão em série. 
c) Quando três amortecedores estão conectados a uma barra rígida (figura a) e o amortecedor 
equivalente está no ponto c1. 
d) Quando três amortecedores torcionais estão localizados a eixos engrenados (figura b) e o 
amortecedor equivalente está no ponto ct1. 
(a) (b) 
Sugestão: A energia dissipada por um amortecedor viscoso em um ciclo durante o movimento 
harmônico circular é dada por , onde c é a constante de amortecimento, é a frequência e X é a 
amplitude de oscilação. 
 
13. A constante de amortecimento (c) do amortecedor pistão-cilindro mostrado na figura é dado 
por: 
 
 
 
6( 
 
 
)
 
 7 [
 
 
 
 
 ] 
 
Determine a constante de amortecimento do amortecedor para os seguintes dados: = 0,3445 
Pa.s, =10cm, h = 0,1 cm, a = 2 cm, r = 0,5 cm. 
 
14. No problema 13, usando os dados apresentados como referência, determine a variação da 
constante de amortecimento c quando: 
a) r varia de 0,5cm a 1,0 cm. b) h varia de 0,05cm a 0,10 cm c) a varia de 2 cm a 4 cm. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 30 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 
2.2.1 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton 
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos 
2.2.3 Equação do movimento de um sistema massa-mola em posição vertical 
2.2.4 Solução da equação do movimento 
2.2.5 Movimento harmônico 
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido 
2.3.1 Equação do movimento 
2.3.2 Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
onsidera-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob 
uma perturbação inicial, sem a ação de nenhuma força após essa 
perturbação inicial. As oscilações do pêndulo de um relógio de armário e o 
movimento de uma criança em um balanço após o empurrão inicial 
representam alguns exemplosde vibração livre. 
C 
2 
 
As oscilações livres dos sistemas são fatores importantes que devem ser considerados para o 
estabelecimento de operações eficazes em um sistema. No caso de um helicóptero ou 
guindaste de navio, as oscilações da carga devem ser consideradas para que as operações de 
transferência de carga sejam executadas com segurança. 
Na turbina eólica, a massa das 
hélices é apoiada pela coluna, que 
funciona como uma mola. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 31 
 
 
A figura 2.1(a) mostra um sistema massa-mola que representa o sistema vibratório mais 
simples possível. É denominado um sistema com um grau de liberdade visto que a coordenada 
(x) é suficiente para especificar a posição da massa a qualquer tempo. Não há nenhuma força 
externa aplicada à massa; por consequência, o movimento resultante de uma perturbação 
inicial será uma vibração livre. Uma vez que não existe nenhum elemento que cause 
dissipação de energia durante o movimento da massa, a amplitude do movimento permanece 
constante ao longo do tempo; é um sistema não amortecido. 
O estudo da vibração livre de sistemas com um grau de liberdade, amortecidos e não 
amortecidos, é fundamental para o entendimento de questões mais avançadas de vibrações. 
 
Figura 2.1: Sistema massa-mola em posição horizontal. 
 
Os elementos do sistema came-seguidor (haste de 
comando, balancim, válvula e mola da válvula) são todos 
elásticos, mas podem ser reduzidos a uma única mola 
equivalente de rigidez keq. Assim, para uma análise 
simples, o sistema came-seguidor pode ser idealizado 
como um sistema massa-mola com um grau de liberdade, 
como mostra a figura 2.2. 
De maneira semelhante, a estrutura apresentada na 
figura 2.3(a) pode ser considerada uma viga em balanço 
fixada no solo. 
Para o estudo da vibração transversal, a massa que 
está na parte superior pode ser considerada uma massa 
pontual, e a estrutura do suporte (viga) pode ser 
aproximada como uma mola para obter o modelo com um 
grau de liberdade exposto na figura 2.3(b) e (c). 
 
(a) (b) (c) 
Figura 2.3: (a) Obelisco Espacial, uma torre com 184 metros de altura, Seattle. (b) Idealização da 
estrutura alta. (c) Sistema massa-mola equivalente. 
 
Figura 2.2: Sistema massa-mola 
equivalente para o sistema came-
seguidor. 
 
 
Comprimento 
livre 
Comprimento 
distendido 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 32 
 
 
A estrutura de edifício mostra a figura 2.4(a) também pode ser idealizada como um 
sistema massa-mola, como se pode ver na figura 2.4(b). Nesse caso visto que a constante 
elástica da mola, k, é a mera razão entre força e deflexão, ela pode ser determinada pelas 
propriedades geométricas e materiais das colunas. A massa do sistema idealizado é igual à 
massa do piso, se considerar que a massa das colunas é desprezível. 
 
 
 
Figura 2.4: Idealização da estrutura de um edifício. 
 
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 
 
2.2.1 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton 
Nesta seção, usaremos a segunda lei de movimento de Newton para obter a equação de 
movimento. O procedimento utilizado pode ser resumido em: 
(I) Seleção de uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou do 
corpo rígido no sistema; 
(II) Determinação da configuração de equilíbrio estático do sistema; 
(III) Medição do deslocamento da massa ou do corpo rígido em relação à sua posição de 
equilíbrio; 
(IV) Desenho do diagrama de corpo livre da massa ou corpo rígido quando submetido a 
um deslocamento positivo e a uma velocidade; 
(V) Aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa ou corpo rígido. 
 
Assim, se a massa m for deslocada por uma distância ⃗( ) quando uma força resultante 
 ⃗( ) agir sobre ela na mesma direção, a segunda lei do movimento de Newton resulta em: 
 
 ⃗( ) 
 
 
4 
 ⃗( )
 
5 
 
Se a massa m for constante, essa equação se reduz a: 
 
 ⃗( ) 
 
 
4 
 ⃗( )
 
5 ̈ ( ) 
Onde 
 ̈ 
 ⃗( )
 
 
É a aceleração da massa. A equação 2.1 pode ser enunciada em palavras como: 
(b) Sistema massa-mola 
equivalente (a) Estrutura do edifício 
Colunas elásticas 
(massa é desprezível) 
Piso rígido 
(massa = m) 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 33 
 
 
Força resultante sobre a massa = Massa x Aceleração 
 
Para um corpo rígido sujeito a movimento rotacional, a lei de Newton resulta em: 
 
 ⃗⃗⃗( ) ̈ ( ) 
 
Onde ⃗⃗⃗ é momento resultante que age sobre o corpo, e e ̈ =d²(t)/dt² são o 
deslocamento angular e a aceleração angular resultantes, respectivamente. A equação (2.1) ou 
a (2.2) representa a equação de movimento do sistema vibratório. 
Agora, o procedimento é aplicado ao sistema não amortecido com um grau de liberdade 
mostrado na figura 2.1(a). Nesse caso, a massa está apoiada sobre roletes sem atrito e pode 
ter movimento de translação no sentido horizontal. 
Quando a massa é deslocada a uma distância +x em relação à sua posição de equilíbrio 
estático, a força na mola é kx, e o diagrama de corpo livre da massa pode ser representado 
como mostra a figura 2.1(c). 
A aplicação da equação 2.1 à massa m resulta na equação de movimento. 
 
 ( ) ̈ 
Ou 
 ̈ ( ) 
 
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos 
As equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadas por vários 
métodos como: o Princípio de D’Alembert, o principio dos deslocamentos virtuais e o princípio 
da conservação de energia. 
Princípio da conservação da energia: Diz-se que um sistema é conservativo se nenhuma 
energia for perdida devido a atrito ou membros não elásticos que dissipam energia. Visto que a 
energia de um sistema vibratório é parcialmente potencial e parcialmente cinética, a soma 
dessas duas energias permanece constante. 
A energia cinética T é armazenada na massa em virtude de sua velocidade, e a energia 
potencial U é armazenada na mola em virtude de sua deformação elástica. Assim, o princípio 
de conservação de energia pode ser expresso como: 
 
T + U = Constante 
Ou 
 
 
( ) ( ) 
 
As energias cinética e potencial são dadas por: 
 
 
 
 ̇ ( ) 
E 
 
 
 
 ( ) 
A substituição das equações (2.5) e (2.6) na equação (2.4) dá a equação desejada: 
 
 ̈ ( ) 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 34 
 
 
2.2.3 Equação de movimento de um sistema massa-mola em posição vertical 
Considere a configuração do sistema massa-mola mostrada na figura 2.5(a). A massa 
está pendurada na extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior, por sua vez, 
está ligada a um suporte rígido. 
 
Figura 2.5: Um sistema massa-mola em posição vertical. 
 
Em repouso, a massa penderá em uma posição denominada posição de equilíbrio 
estático, na qual a força da mola dirigida para cima equilibra exatamente a força gravitacional 
dirigida para baixo que age sobre a massa. 
Nessa posição, o comprimento da mola é , onde é a deflexão estática – o 
alongamento devido ao peso W da massa m. Pela figura 2.5(a), constatamos que, para 
equilíbrio estático. 
 ( ) 
 
Onde g é a aceleração da gravidade. Se a massa sofrer uma deflexão até uma distância 
+x em relação à sua posição de equilíbrio estático, então a força da mola é ( ), como 
mostra a figura 2.5(c). A aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa m dá: 
 
 ̈ ( ) 
 
E, visto que , obtém-se: 
 
 ̈( ) 
 
Observe que as equações (2.3) e (2.8) são idênticas. Isso indica que, quando a massa se 
movimenta em uma direção vertical, podemos ignorar seu peso, contanto que x seja medida 
em relação á sua posição de equilíbrio estático. 
 
 
Posição de equilíbrio estático 
Posição final 
Força de mola 
Energia potencial 
Posição de equilíbrio estático 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 35 
 
 
2.2.4 Solução da equação do movimento 
Partindo da equação do movimento encontrada anteriormente, temos: 
 
 ̈ 
 
Dividindo a equação anterior por m tem-se: 
 
 ̈( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Definindo a frequência angular natural não-amortecida em rad/s. 
 
 √
 
 
 ( ) 
 
Substituindo a equação 2.10 na equação 2.9 tem-se: 
 
 ̈( ) 
 ( ) 
 
Para encontrar as equações da posição, velocidade e aceleração, temos duas soluções e 
são elas: 
 
 
 
Com uma solução geral, temos: 
 
 ( ) ( ) 
 
Onde e são constantes e podem ser determinadas pelas condições iniciais do 
sistema. Duas condições devem ser especificadas para avaliar essas constantes 
inequivocamente. Observe que o número de condições a especificar é igual à ordem da 
equação diferencial governante. No presente caso, se os valores do deslocamento ( ) e da 
velocidade ̇( ) ( ( ) ) forem especificados como e ̇ em t = 0, temos, pela equação 
2.11, 
 
 ( ) 
 ̇( ) ̇ 
 
Por consequência, e ̇ . Assim, a solução da equação movimento 
sujeita às condições iniciais é dada por: 
 
 ( ) 
 ̇ 
 
 ( ) 
 
Os valores máximos dos módulos da velocidade e aceleração são: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 36 
 
 
( ) 
( ) 
2.2.5 Movimento Harmônico 
As equações 2.11 e 2.12 são funções harmônicas do tempo. O movimento é simétrico em 
relação à posição de equilíbrio da massa m. A velocidade é um máximo, e a aceleração é zero 
toda vez que a massa passa por essa posição. Nos deslocamentos extremos, a velocidade é 
zero e a aceleração é um máximo. Visto que isso representa movimento harmônico simples, o 
próprio sistema massa-mola é denominado um oscilador harmônico. A quantidade dada 
pela equação 2.10 representa a frequência natural de vibração do sistema. 
A equação 2.11 pode ser expressa de uma forma diferente com a introdução da notação: 
 
 
 ( ) 
 
onde A e são novas constantes, que podem ser expressas em termos de e 
como: 
 ( 
 
 ) [ 
 .
 ̇ 
 
/
 
]
 
 
 
 (
 
 
) (
 ̇ 
 
) 
 
Introduzindo a equação 2.15 na equação 2.11, a solução pode ser escrita como: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Usando as relações 
 
 
 
 
A equação 2.11 também pode ser expressa como: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Onde: 
 6 
 (
 ̇ 
 
)
 
7
 
 
 ( ) 
E 
 
 (
 
 ̇ 
) ( ) 
 
A seguir temos uma representação gráfica do movimento de oscilação harmônica: 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 37 
 
 
 
Figura 2.6: Representação gráfica do movimento de um oscilador harmônico. 
 
 
Observações: 
 
1 – Se o sistema massa-mola estiver em uma posição vertical, como a figura seguir, a 
frequência natural circular pode ser expressa como: 
 √
 
 
 
A constante elástica da mola, k, pode ser expressa em termos da massa m pela seguinte 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A substituição da equação anterior na equação 2.6 dá 
 √
 
 
 
Por consequência, a frequência natural em ciclos por segundo e o período natural são 
dados por: 
Máximo de velocidade 
Amplitude 
Inclinação = 𝑥 ̇ 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 38 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
Assim, quando a massa vibra em sentido vertical, podemos calcular a frequência natural 
e o período de vibração pela simples medição da deflexão estática . Não é necessário saber 
qual é a rigidez da mola, k, e a massa da mola, m. 
 
2 – Pela equação 2.17, a velocidade ̇( ) e a aceleração ̈( ) da massa m no tempo t 
pode ser obtida como: 
 ̇( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 
 . 
 
 
/ 
 
 ̈( ) 
 ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
A equação 2.22 mostra que a velocidade está adiantada (defasada) em relação ao 
deslocamento por ⁄ e a aceleração esta adiantada (defasada) em relação ao deslocamento 
por . 
 
3 – Se o deslocamento inicial ( ) for zero, a equação 2.17 torna-se: 
 
 ( ) 
 ̇ 
 
 . 
 
 
/ 
 ̇ 
 
 
 
Contudo, se a velocidade inicial ( ̇ ) for zero, a solução torna-se: 
 
 ( ) 
 
 
Exemplo 2.1: Módulo de Young pela medição da frequência natural 
Constata-se que uma viga simples bi engastada com seção transversal quadrada de 5 mm x 5 
mm e comprimento de 1 m, que suporta uma massa de 2,3 kg em seu ponto médio tem uma 
frequência natural de vibração transversal de 30 rad/s. Determine o módulo de Young (E) da 
viga. 
 
 
 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 39 
 
 
Exemplo 2.2: Determinação da frequência natural 
Um corpo de massa desconhecida é colocada sobre uma mola sem peso, que se comprime 
2,54 cm. Determine (a) a frequência natural de vibrações do sistema massa mola; (b) a 
frequência natural em ciclos por segundo e (c) o período natural. 
 
 
Exemplo 2.3: Determinação da constante elástica 
Quando um colar de 3 kg é colocado sobre o prato que é preso à mola de rigidez 
desconhecida, observa-se que a deflexão estática adicional do prato é de 42 mm. Determine a 
constante elástica da mola. 
 
 
Exemplo 2.4: Resposta harmônica de uma caixa d’água 
A coluna da caixa d’água mostrada na figura ao lado, tem 300 ft de altura e é feita de concreto 
reforçado com uma seção transversal tubular de 8 ft de diâmetro interno e 10 ft de diâmetro 
externo. A caixa d’água pesa 2,76 x 105 lb quando está cheia. Desprezando a massa da 
coluna e admitindo que o módulo de Young do concreto reforçado seja 4 x 106 psi, determine o 
seguinte: 
(a) A frequência natural e o período natural de vibração transversal da caixa d’água; 
(b) A resposta de vibração da caixa d’água resultante de um deslocamento transversal inicial 
de 10 in; 
(c) Os valores máximos da velocidade e da aceleração experimentados pela caixa d’água. 
 
Figura 2.7: Reservatório elevado. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 40 
 
 
 
Exemplo 2.5: 
Um corpo de 10 kg é suspenso por uma mola de rigidez k=2,5 kN/m. No tempo de t=0 ele 
possui uma ̇= 0,5 m/s para baixo quando para pela posição de equilíbrio estático. Determine: 
(a) Deslocamento estático da mola; 
(b) Frequência natural do sistema em rad/s e em Hz; 
(c) Período do sistema; 
(d) Deslocamento x em função do tempo, onde x é medido a partir da posição de equilíbrio 
estático; 
(e) A velocidade máxima alcançada pela massa; 
(f) Aceleração máxima alcançada pela massa. 
 
 
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido 
 
2.3.1 Equação do movimento 
Observe a figura 2.8: 
 
Figura 2.8: Vibração por torção de um disco. 
 
A vibração livre, gerada por umacondição inicial, é regida por uma equação resultante da 
aplicação da segunda Lei de Newton ao movimento angular, em que os esforços atuantes 
estão mostrados no diagrama de corpo livre da figura 2.8 (b), resultando em: 
 
 ̈ ( ) 
 
que podemos verificar que é idêntica à equação 2.3, se o momento de inércia de massa polar 
 , o deslocamento angular e a constante elástica torcional kt forem substituídos pela massa 
m, deslocamento x e a constante elástica linear k, respectivamente. Assim, a frequência natural 
circular do sistema torcional é: 
 
 √
 
 
 ( ) 
e o período e a frequência de vibração em ciclos por segundo são: 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 41 
 
 
 √
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
√
 
 
 ( ) 
 
Observe os seguintes aspectos desse sistema: 
1. Se a seção transversal do eixo que suporta o disco não for circular, a constante de 
rigidez deverá ser calculada apropriadamente através dos métodos de Resistência dos 
Materiais. 
2. O momento de inércia de massa polar de um disco é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
onde  é a densidade da massa, h é a espessura, D é o diâmetro e W é o peso do 
disco. 
3. O sistema de mola de torção-inércia mostrado na figura 2.8 é denominado pêndulo de 
torção. Uma das mais importantes aplicações de um pêndulo de torção é em relógios 
mecânicos, nos quais um sistema catraca-lingueta converte a oscilação regular de um 
pequeno pêndulo de torção nos movimentos dos ponteiros. 
 
2.3.2 Solução 
 
A solução geral da equação 2.23 pode ser obtida, como no caso da equação 2.3: 
 
 ( ) ( ) 
 
Onde é dado pela equação 2.24 e A1 e A2 podem ser determinados pelas condições 
iniciais. Se: 
 
 ( ) ̇( ) 
 
 
( ) ̇ ( ) 
 
As constantes A1 e A2 podem ser determinadas: 
 
 
 
 ̇
 
⁄ 
Com isso, a solução da equação se transforma em: 
 
 ( ) 
 ̇
 
 ( ) 
 
A equação 2.30 representa um movimento oscilatório de frequência igual a que 
depende, exclusivamente das condições iniciais. 
 
 
 
 ( ) 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 42 
 
 
Exemplo 2.6: Frequência natural de pêndulo composto 
Qualquer corpo rígido articulado em um ponto que não seja seu centro de massa oscilará em 
relação ao ponto de articulação sob sua própria força gravitacional. Tal sistema é conhecido 
como um pêndulo composto, mostrado na figura. Determine a frequência natural desse 
sistema. 
 
 
 
 
Exercícios 
 
15. Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima de uma partícula que se move em 
movimento harmônico simples com uma amplitude de 5 mm e um período de 0,1 s. 
 
16. Um homem de 90 kg fica de pé na extremidade de um trampolim, causando um 
deslocamento nessa posição. Se ele flexionar seus joelhos levemente, de modo a provocar 
uma vibração na direção vertical, com período de 0,6s, qual é a deflexão estática causada pelo 
homem na extremidade do trampolim? Admita um comportamento elástico do trampolim e 
despreze sua massa relativamente pequena. 
 
 
17. Uma prensa industrial está montada sobre almofadas de borracha, a fim de evitar a 
transmissão de vibrações para a vizinhança. Quando da montagem, verificou-se que os 
isoladores deformaram 5 mm devido ao peso da prensa. Achar a frequência natural do sistema. 
 
18. Uma torre de resfriamento de uma unidade de condicionamento de ar pesa 8900 N e deve 
ser montada sobre 4 molas de ar. Calcular a rigidez que deve ter cada mola de tal modo que a 
frequência natural da unidade seja 7,5 rad/s. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 43 
 
 
19. O cilindro de um servomecanismo da figura possui um pistão com m = 0,3 kg associado a 
uma mola helicoidal de d =1 mm, D = 10 mm, 10 espiras ativas e G = 1,05 x 1011 Pa. 
Determinar a frequência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. 
 
20. Determine a amplitude e a velocidade máxima de uma partícula que se move em 
movimento harmônico simples com uma aceleração máxima de 60 mm/s² e uma frequência de 
40 Hz. 
 
21. Uma chave de comando elétrica é suportada por um guindaste por meio de dois cabos de 
aço de 4 m de comprimento e 12 mm de diâmetro cada. Se o período natural de vibração axial 
da chave for 0,2 s, determine a massa da chave. 
 
22. Determine a frequência natural do sistema massa-mola mostrado na figura em rad/s e em 
ciclos /s (Hz). 
 
23. Resolva a equação ̈ para k = 4N/m, m= 1kg, x0= 1mm e v0= 0. Sabemos que a 
solução da equação diferencial acima é ( ) ( ) ( ). 
 
24. Um sistema massa-mola tem um período natural de 0,21 s. Qual será o novo período se a 
constante elástica for: 
a) aumentada em 50 %. 
b) reduzida em 50 %. 
 
25. Considere um bloco de 6 kg suspenso por uma mola de rigidez k = 200 N/m. Comunica-se 
ao bloco uma velocidade de 0,4 m/s para cima quando este está 75 mm acima da sua posição 
de equilíbrio. Determine a equação que descreve o movimento do bloco. 
 
26. Durante o projeto de um sistema de apoio com molas uma plataforma de pesagem de 4000 
kg, foi decidido que a frequência de vibração livre vertical na condição descarregada não deve 
exceder 3 ciclos por segundo. (a) Determine a constante de mola máxima aceitável k para cada 
uma das três molas idênticas. (b) para essa constante de mola, qual seria a frequência natural 
 da vibração vertical da plataforma carregada por um caminhão de 40 t? 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 44 
 
 
27. Quando se prende um bloco de 3 kg com uma mola esta se alonga 60 mm. Determine a 
frequência natural e o período de vibração para um bloco de 0,2 kg ligado à mola. 
 
28. Quando se suspende uma massa de 9,1 kg por uma mola esta se alonga 101,6mm. 
Determine a frequência natural e o período de vibração correspondente para uma massa de 
4,54 kg ligada à mola. 
 
29. Um praticante de bungee jumping que pesa 160 lb amarra uma extremidade de uma corda 
elástica de comprimento 200 ft e rigidez 10 lb/in a uma ponte e a outra extremidade a si mesmo 
e pula da ponte. Admitindo que a ponte seja rígida, determine o movimento vibratório do rapaz 
em relação à sua posição de equilíbrio estático. 
 
30. As molas de suspensão de um automóvel cuja massa é 2.000 kg sofrem uma deflexão de 
0,02 m sob condições estáticas. Determine a frequência natural do automóvel no sentido 
vertical, considerando o amortecimento desprezível. 
 
31. Determine a frequência natural do sistema massa mola tanto em rad/s quanto por ciclos por 
segundo. Dados: k = 100 N/m e m = 30 kg. 
 
32. Para o sistema massa mola do problema anterior determine: 
(a) A posição x da massa em função do tempo se a massa for solta do repouso no tempo t = 0 
de uma posição 50 mm à esquerda da posição de equilíbrio; 
(b) A velocidade e a aceleração máximas da massa em um ciclo de movimento. 
 
33. Para o sistema mostrado abaixo, calcule: 
 
(a) Rigidez equivalente do sistema; 
(b) A frequência natural em rad/s e em ciclos por segundo; 
(c) O período de oscilação natural. 
 
34. Três molas e uma massa estão ligadas a uma barra rígida sem peso PQ, como mostra a 
figura abaixo. Determine a frequência natural de vibração do sistema. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 45 
 
 
35. Uma unidade de resfriamento de ar com peso de 2000 lb deve ser apoiada por quatro 
molas de ar. Calcule as molas de ar de modo que a frequência natural de vibração da unidade 
fique entre 5 e 10 rad/s.