Estatísticas. Medidas Cenrais. Separatriz

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Medidas
Professor Claudio Xavier - FATEC de Praia Grande
9 de março de 2018
1 Medidas de tendência central
As medidas de tendência central buscam, de alguma forma, representar um conjunto de dados do ponto de vista de um valor
central. As medidas mais importantes são: Média Aritmética, a Moda e a Mediana.
Consideraremos os dados em três situações:
• Dados não agrupados;
• Dados agrupados em uma tabela de frequência SEM intervalo de classe;
• Dados agrupados em uma tabela de frequência COM intervalo de classe;
1.1 Média aritmética x¯
Para dados não-agrupados:
A média é calculada por meio da divisão da soma dos valores dos dados pelo número total de valores (n):
x¯ =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
(1)
1.1.1 Exemplos
Um corretor vende apólices de seguro de vida. O número de apólices vendidas mensalmente é mostrada na tabela a seguir:
Nesse caso, a média é dada pela soma das vendas de apólice mensal(252) dividido pelo número de meses (12). Assim:
x¯ =
252
12
= 21
Temos em uma média mensal de 12 apólices.
Para dados agrupados sem intervalos de classe:
Nesse caso os valores são organizados por por uma frequência associada a cada classe. A expressão da média aritmética
é dada por:
x¯ =
x1f1 + x2f2 + · · ·+ xnfn
n
(2)
1
1.1.2 Exemplos
Foi realizada uma pesquisa em 50 residências da cidade de São Paulo com o objetivo de saber qual é o número de computadores
em cada casa. A tabela a seguir mostra os resultados da pesquisa. Calcule a média.
Resolução
É prático acrescentar uma coluna ao lado da tabela e calcular cada valor de xifi:
Observa-se que o total das parcelas xifi é dado por 86 e o número de dados é 50, temos que a média é:
x¯ =
86
50
= 1, 72
Para dados agrupados com intervalos de classe:
Nesse caso utiliza-se a mesma fórmula destacada no caso anterior. Entretanto, cada valor de xi deve ser calculado
para cada intervalo de classe (como definimos na aula anterior).
x¯ =
x1f1 + x2f2 + · · ·+ xnfn
n
(3)
Com
xi =
li + Li
2
(4)
Exemplo
Com o objetivo de regulamentar a configuração de aviões de transporte de passageiros, para especificar a distância entre o
encosto e o assento e a largura das poltronas das aeronaves, uma empresa realizou o levantamento da altura dos passageiros,
sendo que os resultados são apresentados na tabela a seguir:
Nesse caso, deve ser calculado o ponto médio xi e os valores de xifi em duas colunas, como a seguir:
Observando o total, temos que a média aritmética é dada por:
x¯ =
18.754, 5
109
= 172, 06cm
1.2 Moda
A moda é o dado que ocorre com maior freqUência em um conjunto de dados (esse dado é denominado valor modal).
2
Tabela 1: Tabela de frequência com a estatura dos passageiros
i Estaturas (cm) xi Número de passageiros (fi)
1 150 ` 157 7
2 157 ` 164 19
3 164 ` 171 25
4 171 ` 178 26
5 178 ` 185 21
6 185 ` 192 8
7 192 ` 199 3
Total
Tabela 2: Tabela de frequência com a estatura dos passageiros
i Estaturas (cm) xi Número de passageiros (fi)
1 150 ` 157 7 153,5 1074,5
2 157 ` 164 19 160,5 3049,5
3 164 ` 171 25 167,5 4187,5
4 171 ` 178 26 174,5 4537,0
5 178 ` 185 21 181,5 3811,5
6 185 ` 192 8 188,5 1058,0
7 192 ` 199 3 195,5 586,5
Total 18754,5
Moda para dados não agrupados
Exemplo
Uma série é dado pelos dados brutos:
4,5,7,10,2,12,8,7,5,2,10,8,11,7,3,9,6,8
Organizando os valores em ordem crescente:
2,2,3,4,5,5,6,7,7,7,7,8,8,8,9,10,10,11,12.
Temos que a o valor modal é 7
Mo = 7
Moda para dados agrupados sem intervalos de classe
A partir da definição de moda, observa-se dado que possui maior frequência.
Moda para dados agrupados com intervalos de classe
Quando os dados são agrupados em intervalos de classe, a determinação da moda não é imediata. Para tal, deve ser
usada a Fórmula de Czuber.
Primeiramente deve ser determinada a classe com maior frequência, chamada de CLASSE MODAL.
Em seguida devem ser determinados os valores:
• lMo = limite inferior da classe modal
• d1 = diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe modal anterior a classe modal
• d2 = diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe modal posterior a classe modal
• hMo = amplitude da classe modal
Por fim, calcula-se a moda através da Fórmula de Czuber
Mo = lMo +
d1
d1 + d2
hMo
3
i Idade xi Pessoas que usaram a internet (fi)
1 10 ` 18 66
2 18 ` 26 87
3 26 ` 34 54
4 34 ` 42 42
5 42 ` 50 29
6 50 ` 58 16
7 58 ` 66 6
Total
1.2.1 Exemplos
No bairro de Vila Mariana, foi realizada uma pesquisa relativa à idade de pessoas que utilizaram a internet nos últimos três
meses. Calcule a idade modal dessa amostra.
1. A classe modal tem frequência 87, assim fMo = 87
2. As diferenças são dados por d1 = 87− 66 = 21 e d2 = 87− 54 = 33
3. O limite inferior da classe modal lMo = 18
4. E a amplitude da classe modal hMo = 26− 18 = 8.
5. Aplicando a Fórmula, temos:
Mo = lMo +
d1
d1 + d2
hMo = 18 +
21
21 + 33
8 = 21, 11
Portanto, a idade modal é 21,11 anos.
4
Exercícios
Entregar na próxima aula
1. Determinar a media e a moda dos seguintes conjuntos de valores:
(a) 2,3; 2,1; 1,5 ;1,9; 3,0; 1,7; 1,2; 2,1; 2,5 ;1,3; 2,0 ;2,7 0,8; 2,3; 2,1; 1,7
(b) 37; 38 ;33 ;42 ;35; 44; 36; 28; 37 ;35; 33; 40 ;36 ;35 ;37
2. Uma empresa produz vasos de cerãmica que são embalados em caixas. Em uma pesquisa realizada com uma amostra de
caixas, revelou-se a existência de vasos defeituosos segundo a tabela abaixo:
Pede-se:
(a) Determine o valor médio de vasos defeituosos por caixa.
(b) Determine o valor modal (moda) de vasos defeituosos por caixa.
(c) Quantas caixas tem 2 ou mais vasos com defeito? Calcule o percentual.
(d) Quantas caixas tem mais de 2 vasos com defeito? Calcule o percentual.
(e) Quantas caixas tem tem pelo menos quatro vasos com defeito? Calcule o percentual.
3. Uma empresa especializada avalia o desempenho de uma fábrica em relação a produção diária de para-choques. Foi
avaliado um período de 60 dias e os dados de produção foram organizados na tabela a seguir:
Calcule a média aritmética e a moda dos dados coletados.
i Produção de para-choques Número de dias (fi)
1 230 ` 250 6
2 250 ` 270 5
3 270 ` 290 8
4 290 ` 310 14
5 310 ` 330 12
6 330 ` 350 11
7 350 ` 370 4
Total
2 Medidas separatrizes: quartis, decis e percentis
Para determinação do quartil, usa-se a notação genérica QK , onde k = 1, k = 2 ou k = 3.
A posição de um quartil é dada por:
QK =
kn
4
Identificada a posição, determina-se a classe onde está o quartil procurado e o valor da variável correspondente.
5
2.0.1 Exemplo
Em um time de futebol, as idades são discriminadas abaixo. Determine os quartis.
Tabela 3: Distribuição de tempo gasto na internet
Idade (kg) Número de alunos
11 5 2
12 4
13 3
14 4
15 3
16 5
17 3
Total 24
Respostas: Q1=12 Q2=14 Q3=16
2.1 Quartil para dados agrupados com intervalos de classe
Da mesma forma que foi feito no caso anterior, a posição de um quartil é dada por:
QK =
kn
4
Identificada a posição, determina-se a classe onde está o quartil procurado. Em seguida, o valor do quartil deve ser
calculado através da fórmula:
QK = lQK +
kn
4 − Fant
fQK
hQK (5)
Onde: k = quartil considerado lMd = limite inferior da classe do quartil considerado; Fant = frequência acumulada da
classe anterior à classe do quartil considerado; fMd = frequência da classe do quartil considerado n =número de dados
hMd = Amplitude do intervalo da classe do quartil considerado
2.2 Exemplos
Numa fábrica de objetos de decoração, a distribuição do peso das peças fabricadas está registrada na tabela abaixo,
calcule o valor dos quartis Q1, Q2 e Q3.
Peso dos objetos (kg) Número de peças
0 ` 5 52
5 ` 10 36
10 ` 15 30
15 ` 20 41
20 ` 25 28
25 ` 30 25
30 ` 35 18
Total 230Respostas: Q1=5,76 Q2=14,5 Q3=22,41kg
3 Decis
Nos decis, a série é dividida em dez partes iguais, com o mesmo número de elementos, de tal forma que cada intervalo
do decil contenha 10% doe elementos coletados.
Os decis são D1, . . . Dn.
A interpretação dos decis é importante:
6
Tabela 4: Distribuição de tempo gasto na internet
Peso dos objetos (kg) Número de peças
120 ` 130 14
130 ` 140 19
140 ` 150 17
150 ` 160 21
160 ` 170 16
170 ` 180 5
Total 92
• O primeiro decil (D1) separa os primeiros 10% dos elementos da série;
• O segundo decil (D2) separa os primeiros 20% dos elementos da série;
3.1 Decil para dados agrupados com intervalos de classe
Da mesma forma que foi feito no caso anterior, a posição de um quartil é dada por:
DK =
kn
10
Identificada a posição, determina-se a classe onde está o quartil procurado. Em seguida, o valor do quartil deve ser
calculado através da fórmula:
DK = lDK +
kn
10 − Fant
fDK
hDK (6)
Onde: k = quartil considerado lMd = limite inferior da classe do quartil considerado; Fant = frequência acumulada da
classe anterior à classe do quartil considerado; fMd = frequência da classe do quartil considerado n =número de dados
hMd = Amplitude do intervalo da classe do quartil considerado
3.1.1 Exemplos
Uma fábrica de agasalhos infanto-juvenil realiza uma pesquisa uma pesquisa sobre as estaturas dos adolescentes que
participam de um acampamento, durante o período de férias. Os dados obtidos são apresentados na tabela:
Calcule os resultados dos decis D1, D2 e D7.
4 Percentil
4.0.1 Exemplo
7
Exercícios
1. Determine os quartis:
Número de acidentes por dia (xi) Número de dias fi
0 30
1 5
2 3
3 1
4 1
2. Uma rede de eletrodomésticos tem um gasto salarial com seus funcionários de acordo com a tabela abaixo.
i Produção de para-choques Número de dias (fi)
1 0 ` 2 14
2 2 ` 4 28
3 4 ` 6 19
4 6 ` 8 15
5 8 ` 10 16
6 10 ` 12 17
7 12 ` 14 13
8 14 ` 16 9
9 16 ` 18 6
10 18 ` 20 3
Total 140
Encontre:
(a) A média
(b) A moda
(c) A mediana
(d) os quartis
(e) o 2
o
, o 6
o
e o 9
o
decil
(f) o 18
o
, o 29
o
e o 59
o
percentil.
3. Um teste de raciocínio abstrato foi aplicado a 816 alunos de uma escola de 1o grau, dando os seguintes resultados:
(a) Qual é o máximo de pontos que classifica um aluno entre os 25% mais fracos?
(b) Qual é o mínimo de pontos necessários para um aluno se classificar entre os 25% mais fortes?
(c) Qual é o máximo de pontos que ainda classifica um aluno entre os 10% mais fracos?
(d) Qual é o mínimo de pontos para que um aluno esteja entre os 10% mais fortes?
(e) Qual é o máximo de pontos que ainda classifica o aluno entre os 1% mais fracos?
(f) Qual é o mínimo de pontos para que um aluno esteja entre os 5% mais fortes?
8
	Medidas de tendência central
	Média aritmética 
	Exemplos
	Exemplos
	Moda
	Exemplos
	Medidas separatrizes: quartis, decis e percentis
	Exemplo
	Quartil para dados agrupados com intervalos de classe
	Exemplos
	Decis
	Decil para dados agrupados com intervalos de classe
	Exemplos
	Percentil
	Exemplo